Pilares Centrais de Concreto Armado - Roberto Chust de Carvalho

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 
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PILARES CENTRAIS DE CONCRETO ARMADO 
 
1. INTRODUÇÃO 
1.1. Considerações gerais 
Em uma estrutura existe a possibilidade de a mesma apresentar instabilidade como um 
todo, ou seja, como um único corpo (instabilidade global), e que não será aqui visto. Mesmo que 
isto não aconteça, ainda assim é possível ocorrer a instabilidade de alguns elementos da estrutura, 
no caso os pilares (elementos verticais submetidos predominante à compressão). 
 Assim há duas situações claras: 
 Aquela em que a estrutura é de nós móveis, sendo neste caso necessário, para se analisar os 
pilares, considerar os efeitos de segunda ordem devido a não linearidade geométrica e física. 
Em cada extremidade do pilar será necessário considerar os esforços nodais oriundos da 
análise global. 
 Aquela em que a estrutura é considerada de nós fixos, de modo que os pilares podem ser 
admitidos como elementos isolados, e nesse caso manifestam-se em suas extremidades apenas 
os efeitos de primeira ordem. 
Cabe lembrar que para efeito de esforços transversais, como a ação do vento, a estrutura 
deve ser sempre considerada de nós móveis e as solicitações de primeira ordem, oriundas destas 
ações, deverão ser sempre consideradas no cálculo. 
Neste capítulo considera-se, em princípio, que os pilares analisados pertencem a estruturas 
de nós fixos e que os esforços de ações transversais são desprezíveis. 
 O estudo do dimensionamento dos pilares não é simples, pois além de estarem sujeitos à 
flexão composta (normal ou oblíqua) e à flambagem, nas estruturas de concreto existe sempre o 
problema da fissuração, que influi no estado de deformação e é sempre difícil de avaliar. 
 O cálculo da armadura de pilares, em algumas situações, pode ser feito com processos 
simplificados que permitem, com o auxílio de ábacos, como os empregados no dimensionamento 
de seções sob flexão composta e oblíqua, determinar a armadura necessária sem o uso de 
programa de computador. Para tanto é necessário definir uma série de conceitos e apresentar as 
simplificações feitas que levam a uma análise qualitativa e quantitativa das diversas variáveis 
envolvidas. O que se propõe e se fará aqui, embora possa parecer o contrário, é procurar 
situações particulares em que algumas variáveis podem ser desprezadas de maneira que o cálculo 
seja simplificado. 
Como se verá na seqüência detalhadamente, as principais variáveis em questão e situações 
que envolvem o dimensionamento de pilares são: 
 Posição do pilar em planta: central ou intermediário, lateral, de canto. 
 Tipo de solicitação: flexão composta normal ou flexão composta oblíqua. 
 Esbeltez (função do comprimento e seção transversal): curto, medianamente esbelto, esbelto, e 
muito esbelto. 
 Tipo de excentricidade: de forma, inicial, acidental, de segunda ordem, complementar. 
 Características geométricas e condições de contorno dos apoios. 
 Processos de cálculo: simplificados (pilar padrão com curvatura máxima, pilar padrão acoplado 
a diagrama M, N, 1/r, pilar padrão com rigidez  aproximada) e processo geral (substitui os 
demais). 
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1.2. Conceitos básicos 
 Pilar é um elemento estrutural geralmente vertical (em algumas situações pode ser 
inclinado) e recebe ações predominantemente de compressão. Pode, portanto, estar submetido à 
compressão composta normal ou oblíqua. São elementos de grande importância estrutural, 
pois recebem cargas das vigas ou lajes e as conduzem para as fundações. 
Junto com as vigas os pilares formam os pórticos, que geralmente são os responsáveis por 
resistir às ações verticais e horizontais e garantir a estabilidade global da estrutura. 
 Em seu item 14.4.1.2, a NBR 6118:2003 define pilares como elementos lineares de eixo 
reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são 
preponderantes. 
Os pilares têm forma prismática ou cilíndrica (usualmente com seção transversal 
quadrada, retangular ou circular), sendo uma das dimensões (comprimento) bem maior que as 
outras duas; são tratados como elementos lineares e, geralmente, isolados. 
 
1.3. Efeitos de segunda ordem 
 Pelo fato das ações principais serem de compressão, os pilares estão sujeitos à 
flambagem, que é um fenômeno que causa equilíbrio instável na barra (Figura 1), onde o estado 
de deformação da estrutura influi nos esforços internos (não linearidade geométrica), não valendo 
a superposição de efeitos. Esse fenômeno é designado de efeito de segunda ordem. 
 
Momento fletor de
segunda ordem P.e
P
e
(a) (b)
P
2e
Seção transversal
2
no meio do vão
e
M = P.e2 2
2M 
M 2
P P 
Figura 1. Flambagem de uma haste submetida à compressão. 
 
Assim, devido à instabilidade, sob a ação do carregamento, surgem esforços de flexão, 
fazendo com que o pilar apresente uma deformação que, por sua vez, gera nas seções um 
momento incremental eP  , provocando novas deformações e novos momentos. Se as ações 
externas forem menores que a capacidade resistente da barra, essa interação continua até que seja 
atingido um estado de equilíbrio para todas as seções da barra, resultando, portanto, uma forma 
fletida estável. Por outro lado, se as ações externas forem maiores que a capacidade resistente da 
barra, o pilar perde estabilidade, atingindo um estado limite último. 
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Essa situação pode ocorrer mesmo nos pilares em que as ações normais são consideradas 
centradas. Se atuarem apenas forças de tração, haverá um efeito estabilizador e a deformação da 
própria peça pode ser considerada desprezível. 
No caso de haver compressão, a deformação da peça, que obrigatoriamente deve ser 
considerada, é a “deformação de segunda ordem” e a teoria que a considera também é chamada 
de segunda ordem. 
 Os efeitos de segunda ordem que serão aqui abordados são os referentes à flambagem 
devida à compressão (efeitos locais), não se estudando as chamadas flambagens “localizadas”, 
mais comuns em estruturas metálicas. Os efeitos localizados devem ser considerados nos pilares 
paredes que são aqueles que, segundo o item 14.4.2.4 da Norma, têm uma das dimensões 
superior a cinco vezes a outra. 
 As considerações a respeito dos efeitos de segunda ordem estão no capítulo 15 da 
NBR 6118:2003, cujo título é “Instabilidade e efeitos de 2ª ordem”. No item 15.2, conforme 
transcrito a seguir, estão delineados o campo de aplicação e alguns conceitos fundamentais: 
Campo de aplicação: 
 As considerações do capítulo 15 se aplicam principalmente às estruturas constituídas por 
barras submetidas à flexão composta, onde a contribuição da torção, nos efeitos de 2ª ordem, 
possa ser desprezada; 
 Os princípios do capítulo podem ser aplicados a outros tipos de elementos estruturais, como 
cascas, paredes e vigas-parede. 
Estado-limite último de instabilidade: nas estruturas de concreto armado, é atingido sempre 
que, ao crescer a intensidade do carregamento e, portanto, das deformações, há elementos 
submetidos à flexo-compressão em que o aumento da capacidade resistente passa a ser inferior ao 
aumento da solicitação. 
Efeitos de segunda ordem: são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira 
ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a 
análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração deformada. 
Simplificação: os efeitos de segundaordem, em cuja determinação deve ser levado em conta o 
comportamento não-linear dos materiais, podem ser desprezados sempre que não representem 
acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura. 
 
2. DIMENSÕES MÍNIMAS DOS PILARES SEGUNDO A NBR 6118:2003 
As dimensões limites de pilares e pilares parede são tratadas no item 13.2.3, e de maneira 
geral a seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. 
 Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde 
que os esforços solicitantes finais de cálculo, a serem considerados no dimensionamento dos 
pilares, sejam majorados por um coeficiente adicional n, de acordo com o indicado na Tabela 1, 
porém com área mínima de 360 cm2. 
 
Tabela 1. Coeficiente adicional (tabela 17, NBR 6118:2003). 
Menor dimensão da seção transversal do pilar (b) 
b 19 18 17 16 15 14 13 12 
n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
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3. ARMADURAS MÍNIMAS E MÁXIMAS EM PILARES 
 Na NBR 6118:2003, item 17.3.5, estão relacionados princípios básicos que norteiam a 
adoção de armaduras mínimas e máximas nos elementos estruturais, e os valores correspondentes 
aos pilares estão no item 17.3.5.3: 
 Armaduras mínimas: a ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da 
primeira fissura, deve ser evitada, considerando-se, para o cálculo das armaduras, um 
momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de 
concreto simples. 
 Armaduras máximas: a especificação de valores máximos para as armaduras decorre da 
necessidade de se assegurar condições de ductilidade e de se respeitar o campo de validade 
dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento conjunto aço-concreto. 
 
3.1. Valores mínimos 
 Para as armaduras longitudinais de pilares e tirantes, a armadura longitudinal mínima 
deve ser: 
 
c
yd
d
min,s A004,0f
N
15,0A 







 (1) 
onde Nd é o valor da força normal de cálculo e Ac é a área da seção do pilar. 
 Essa expressão pode ser escrita em termos da taxa geométrica de armadura  
( cs AA ) e de  ( cdcd fAN  ), valor da força normal em termos adimensionais: 
 
%40,0
f
f15,0
yd
cd
min  (2) 
 
A Tabela 2 fornece alguns valores para min, para aço CA-50, c = 1,4 e s = 1,15. 
 
Tabela 2. Taxas mínimas de armadura de pilares. 
Valores de min (%) para CA-50, 1,4c  e 1,15s  
fck 20 25 30 35 40 45 50 
Valores de  
0,1 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,2 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,3 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,4 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,444 0,493 
0,5 0,400 0,400 0,400 0,431 0,493 0,554 0,616 
0,6 0,400 0,400 0,444 0,518 0,591 0,665 0,739 
0,7 0,400 0,431 0,518 0,604 0,690 0,776 0,863 
0,8 0,400 0,493 0,591 0,690 0,789 0,887 0,986 
 
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3.2. Valores máximos 
 A maior armadura possível em pilares deve ser de 8% da seção real, considerando-se 
inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda, ou seja: 
 
ctot,máx,s A100
0,8A  (3) 
 
4. ÍNDICE DE ESBELTEZ, RAIO DE GIRAÇÃO, COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM 
 O índice de esbeltez () é uma grandeza que depende do comprimento do pilar, da sua 
seção transversal (forma e dimensões) e das condições de extremidade; no caso de seções 
simétricas  é definido, para cada uma das direções x e y principais (e também centrais) de 
inércia, como: 
 
A
I
i 
i
y
y
y
x,e
x 

 (4) 
A
Ii 
i
x
x
x
y,e
y 

 (5) 
Em que: 
  índice de esbeltez; 
e  comprimento de flambagem nas direções x ou y - depende das condições de apoio; 
i  raio de giração em x ou y; 
I  momento de inércia em x ou y; 
A  área da seção transversal do pilar. 
 
Para peças com seção transversal retangular resulta (Figura 2): 
 
 
12
hbI
3
x

 
12
bhI
3
y

 
12
h
hb
1
12
hbi
3
x 


 
12
b
hb
1
12
bhi
3
y 


 
b
12
==
i
xe,
12
b
xe,
y
x,e
x



 
h
12
==
i
ye,
12
h
ye,
x
y,e
y



 
 
Observa-se na Figura 2 que quando a deformação ocorre na direção do eixo x (portanto 
esbeltez x) a rotação da seção transversal ocorre segundo o eixo y (assim raio de giração iy). 
Quanto maior o índice de esbeltez, maior a possibilidade de haver flambagem do pilar, que 
ocorre sempre segundo o eixo de menor inércia da seção (ou eixo segundo o qual o índice de 
esbeltez é maior). 
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 6 
 
b
h x
y
y
x
b
h
e2
2e
 
Figura 2. Pilar de seção retangular: flambagem segundo o eixo de menor inércia (y). 
 
 Na NBR 6118:2003 (item 15.8.2) o cálculo do índice de esbeltez  é feito em função do 
comprimento de flambagem  e (chamado de comprimento equivalente pela Norma) e do raio de 
giração i, ou seja: 
 
i/e (6) 
 
onde: 
i é o raio de giração mínimo da seção bruta de concreto; 
e é o comprimento equivalente do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as 
extremidades, e deve ser o menor dos seguintes valores (NBR 6118:2003, item 15.6): 
 


 




ho
e (7) 
 
Sendo (Figura 3): 
o – distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que 
vinculam o pilar (podem ser vigas ou lajes); 
h – altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; 
 – distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado (vigas ou 
lajes, em situações de lajes sem vigas); no caso de pilar engastado na base e livre no topo o 
valor de e é igual a 2 . 
 
Observe-se que o gabarito não tem o mesmo significado que pé direito que é a distância 
entre as superfícies acabadas da face superior de uma laje (pavimento) até a face inferior da laje 
(pavimento) superior. 
 
 
 
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Figura 3. Determinação do comprimento de flambagem e . 
 
Na Figura 4 são mostrados outros tipos do comprimento de flambagem para algumas 
situações de vinculação dos apoios nas extremidades. 
 
LLLL
 
rótula-rótula 
Le  
rótula-engaste 
L699,0e  
engaste-engaste 
L5,0e  
livre-engaste 
L2e  
Figura 4. Comprimentos de flambagem para algumas situações de vinculação. 
 
5. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES 
 Para sistematizar o estudo e possibilitar uma abordagem mais simples e prática, os 
diversos tipos de pilares são classificados: 
 quanto à posição em planta: central, lateral, canto; 
 quanto à esbeltez: curtos, medianamente esbeltos, esbeltos e muito esbeltos. 
 
 
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5.1. Classificação dos pilares quanto à posição em planta 
 A localização do pilar em planta, central, lateral ou de canto (Figura 5), determina como 
as excentricidades do carregamento vertical em relação ao centro do mesmo deverão ser 
consideradas e o tipo de solicitação a que eleestará submetido (compressão simples, flexão 
composta normal ou oblíqua). 
 
 
Figura 5. Pilares internos (centrais) de borda (laterais) e de canto (Libânio, 2003). 
 
No pavimento ilustrado na Figura 6, onde são encontradas essas três situações, duas 
observações são importantes: 
 nas extremidades das vigas ocorrem giros significativos tais como em A e D, causados por 
momentos que são então transmitidos aos pilares e não podem ser desprezados; 
 nos pontos B e C as rotações são pequenas, e portanto os momentos transmitidos aos pilares 
localizados nestes pontos também são pequenos, e podem geralmente ser desprezados. 
 
PLANTA
P1 P2 P3 P4
P8P7P6P5
P9 P10 P11 P12
CORTE 1-1
LINHA ELÁSTICA
 1 1
 
Figura 6. Pavimento com pilares centrais, laterais e de canto. 
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A partir dessas considerações os pilares podem ser classificados, quanto à posição em 
planta, conforme se apresenta nos três próximos itens. 
 
5.1.1. Pilares centrais ou intermediários (Figura 6, pilares P6 e P7) 
 Localizam-se no interior do edifício. 
 São submetidos, em princípio, só a cargas concentradas verticais (compressão simples, não 
sofrem flexão). 
 A NBR 6118:2003 (item 14.6.7.1) indica que vigas contínuas podem ser calculadas como 
simplesmente apoiadas nos pilares centrais, portanto sem transmissão de momentos para os 
mesmos. 
 
5.1.2. Pilares laterais ou de extremidade (Figura 6, pilares P2, P3, P5, P8, P10 e P11) 
 Localizam-se nas bordas do edifício, e dessa forma as vigas neles apoiadas e perpendiculares a 
essa borda são interrompidas no pilar. 
 Solicitados por cargas concentradas verticais e momento fletor transmitido pelas vigas na 
direção perpendicular (flexão composta). 
 Na outra direção (paralela à borda) há continuidade e, portanto, não há transmissão de 
momentos para o pilar. 
 A NBR 6118:2003 (item 14.6.7.1 c) especifica que quando não for feito o cálculo exato da 
influência da solidariedade dos pilares com a viga (considera-se o nó como rótula), deverá ser 
considerado, na viga e nos tramos superior e inferior do pilar concorrentes nos apoios 
externos, momento fletor igual a uma parcela (dependente da rigidez dos elementos) do 
momento de engastamento perfeito. 
 
5.1.3. Pilares de canto (Figura 6, pilares P1, P4, P9 e P12) 
 Localizam-se nos cantos do edifício, e as vigas que neles chegam, em duas direções, são ali 
interrompidas. 
 Solicitados por cargas concentradas verticais e momentos fletores transmitidos pelas vigas nas 
duas direções (flexão composta oblíqua). 
 Podem ser considerados como pilares “laterais” em duas direções. 
 Os momentos transmitidos pelas vigas também podem ser determinados de maneira 
aproximada, em cada direção, da mesma maneira que nos pilares laterais. 
 As ações nos pilares podem ser representadas pela força normal atuante e pela sua 
excentricidade final (soma de várias excentricidades) em relação ao centro do pilar, indicando a 
ação dos momentos fletores. 
 
5.2. Classificação dos pilares, de acordo com a esbeltez, a partir da NBR 6118:2003 
No cálculo de pilares, a consideração da flambagem (efeitos de 2a ordem - não 
linearidade geométrica, onde as deformações da estrutura influem nos próprios esforços internos) 
está relacionada às condições de apoio, comprimento e seção transversal do pilar, através do 
índice de esbeltez (), e tem abordagens com maior ou menor simplificação para diferentes 
valores desse índice. 
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De acordo com a NBR 6118:2003 (capítulo 15, itens 15.8.2 e 15.8.3), dependendo do 
índice de esbeltez do pilar, ele não pode ser utilizado, os efeitos de segunda ordem podem ser 
desprezados ou são definidos os métodos de cálculo a ser empregados. 
As condições dos itens anteriores são aplicáveis apenas a elementos isolados de seção 
constante e armadura constante ao longo de seu eixo, submetidos à flexo-compressão. Chamou-se 
aqui, para efeitos didáticos, os pilares de curtos, medianamente esbeltos, esbeltos e muito 
esbeltos, embora essa denominação não conste da norma. 
 
5.2.1. Índice de esbeltez máximo 
 Em nenhum caso se admitem pilares com índice de esbeltez superior a 200 (  200). 
 
5.2.2. Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem - Pilares Curtos 
 Os esforços locais de 2ª ordem, conforme o item 15.8.2, em elementos isolados podem 
ser desprezados quando o índice de esbeltez  for menor que o valor limite 1 (dado pela 
expressão seguinte e limitado a 90), que depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: 
 a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h, onde e1 é a excentricidade de 1a ordem, não 
incluindo excentricidade acidental; 
 a vinculação dos extremos da coluna isolada; 
 a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. 
 O valor de 1 pode ser calculado pela expressão: 
 








35 
90 /h)e12,5 (
 
b
1
1
 25 (8) 
 
 O valor de b, que depende da vinculação dos extremos da coluna isolada e do 
carregamento atuante, deve ser determinado da seguinte maneira: 
 
a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais: 






00,1
40,0
M
M
40,060,0
A
B
b 
 Os momentos de 1ª ordem MA e MB são os momentos nos extremos do pilar. 
 Toma-se para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado. 
 MB tem o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário. 
 
b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da altura: 
b = 1,0 
 
c) Para em pilares em balanço: 






00,1
85,0
M
M
20,080,0
A
C
b 
 MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em 
balanço. 
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d) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo: 
b = 1 
se o maior momento calculado ao longo do pilar for menor que o momento mínimo definido no 
item 11.3.3.4.3, dado por: 
 
)h03,0015,0(NM dmín,d1  (9) 
 
onde: 
 M1d,min é o momento total de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem acrescido 
dos efeitos das imperfeições locais (seção 6.3); 
 0,015 é dado em metros; 
 h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros; 
 Nd é o esforço normal de cálculo. 
 
No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse momento mínimo deve ser 
respeitado em cada direção principal, separadamente (o pilar deve ser verificado sempre à flexão 
obliqua composta onde, em cada verificação, pelo menos um dos momentos respeita o mínimo 
acima). 
A expressão de M1d,min pode ser expressa em função de uma excentricidade mínima: 
 
h)0,03(0,015
N
M
e
d
mín1d,
mín1d,  (10) 
 
5.2.3. Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem 
 Nas situações em que os efeitos de 2ª ordem não podem ser desprezados, a análise dos 
mesmos pode ser efetuada, de acordo com o item 15.8.3 da Norma, por métodos aproximados e 
pelo método geral, com a consideração ou não da fluência. 
 
a) A consideração da fluência, dada no item 15.8.4 da Norma, é obrigatória para  > 90. 
 
b) Em barras submetidas à flexo-compressão normal (item 15.8.3.1), o cálculo pode ser feito pelo 
método geral ou por métodos aproximados, de acordo com itens 15.8.3.2 ou 15.8.3.3. 
 
c) O método geral (considera a relação momento-curvatura real em cada seção,e a não-
linearidade geométrica de maneira não aproximada) é obrigatório para  > 140. 
 
d) A determinação dos esforços locais de 2ª ordem, por métodos aproximados, pode ser feita 
nas seguintes situações: 
 Método do pilar padrão com curvatura aproximada: é permitido para   90, em pilares 
de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. 
 Método do pilar padrão com rigidez  (kapa) aproximada: é permitido para   90 nos 
pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do eixo: 
 a não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a 
deformada da barra seja senoidal; 
 a não linearidade física é levada em conta através de expressão aproximada da rigidez. 
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 Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N , 1/r (método do pilar padrão ou pilar 
padrão melhorado): 
 permitido em pilares com   140, devendo-se utilizar para a curvatura da seção crítica 
valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos para o caso; 
 se  > 90, é obrigatória a consideração dos efeitos da fluência. 
 Método do pilar padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta 
oblíqua: quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta 
oblíqua, for menor que 90 ( < 90) nas duas direções principais, permite-se aplicar o método 
do pilar padrão com rigidez  (kapa) aproximada simultaneamente em cada uma das direções. 
 
5.2.4. Resumo das recomendações da NBR 6118:2003 
 
a) Pilares curtos ( < 1) 
 A análise dos efeitos locais de 2ª ordem pode ser dispensada, lembrando que por sua vez 1 
deve ser menor ou igual a 90. 
 
b) Pilares medianamente esbeltos (1<   90) 
 Método do pilar padrão com curvatura aproximada. 
 Método do pilar padrão com rigidez  (kapa) aproximada, inclusive para pilares retangulares 
submetidos à flexão composta oblíqua. 
 
c) Pilares esbeltos (90<   140) 
 A consideração da fluência é obrigatória. 
 Método do pilar padrão com curvatura real acoplado a diagramas M, N, 1/r. 
 
d) Pilares muito esbeltos (140<   200) 
 A consideração da fluência é obrigatória. 
 Método geral é obrigatório. 
 
e) Pilares com  > 200 
 Não pode haver pilar com índice de esbeltez superior a 200. 
 
6. TIPOS DE EXCENTRICIDADES 
 Uma força normal atuando em um pilar de seção retangular pode estar aplicada no centro 
geométrico do mesmo (compressão centrada ou simples), a uma certa distância desse centro e 
sobre um dos eixos de simetria (flexão composta) e em um ponto qualquer da seção (flexão 
oblíqua). Essas distâncias, chamadas de excentricidades, que devem ser conhecidas para o 
dimensionamento de pilares isolados, são de diversos tipos e causadas por fatores diferentes. 
 De maneira geral, elas podem ser divididas em: 
 excentricidade inicial; 
 excentricidade de forma; 
 excentricidade acidental; 
 excentricidade de segunda ordem; 
 excentricidade suplementar. 
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 13 
 
6.1. Excentricidade inicial (ei) 
 Os pilares laterais e de canto, por estarem monoliticamente ligados à extremidade de uma 
viga, estão submetidos a um momento fletor inicial, que pode ser representado por uma 
excentricidade inicial ei da força de compressão atuante. Essa excentricidade ocorre apenas em 
pilares extremos, pois, como já visto, as normas permitem desconsiderar eventuais momentos 
transmitidos pelas vigas a pilares intermediários. 
Reitere-se que aqui está se tratando de estruturas usuais em que o vento não tem ação de 
grande importância, ou seja, admitindo-se estruturas de nós indeslocáveis e com ações verticais. 
A excentricidade inicial ocorre em pilares de qualquer esbeltez e nas direções x ou y ou 
em ambas (eix, eiy), e deve ser considerada como indicado na Figura 7, de acordo com cada 
situação específica (por exemplo, em pilar lateral pode haver eix ou eiy); deverá ainda ser 
associada às demais excentricidades que serão vistas. 
 
x
Fd
eix
x
Fd e
x
iy
Fd
e
eix
x
iy
Fd
e i
 
 Pilar Central Pilar Lateral Pilar de Canto 
Figura 7. Situação de projeto da excentricidade inicial ei de força normal em pilares. 
 
 As excentricidades iniciais são obtidas dividindo-se os momentos na ligação (Mx, My) 
pelas forças normais (N) atuantes, ou seja: 
 
N
M
e xx,i  (11) 
 
N
M
e yiy  (12) 
 Os momentos Mx e My se não calculados de maneira exata, podem ser determinados, 
aproximadamente, a partir do momento de engastamento perfeito no apoio, conforme o item 
14.6.7.1 da NBR 6118:2003. 
 
6.2. Excentricidade de forma 
No projeto estrutural de uma edificação, em função do projeto arquitetônico, muitas vezes 
não é possível fazer com que eixos de vigas e pilares sejam coincidentes. O mais usual é que as 
faces externas ou internas das vigas coincidam com as faces dos pilares em que estão apoiadas. 
Dessa maneira, os eixos das vigas não passam pelo centro geométrico da seção transversal 
do pilar, como pode ser observado em relação ao pilar P4 da Figura 8, de modo que as reações 
das vigas apresentam excentricidades em relação ao centro do pilar - excentricidades de forma. 
A excentricidade de forma de uma viga em relação a um pilar, para efeito de cálculo pode, 
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 14 
em algumas situações, ser considerada absorvida por outra viga, como é o caso da V100 e V101 
da Figura 8a, cujo esquema estrutural está indicado na Figura 8b. Porém no caso da viga V100 
e pilar P4, é necessário considerar a excentricidade viga-pilar, conforme detalhado na Figura 8c. 
Especial cuidado deve ser tomado ao se usar programas automáticos de cálculo que 
muitas vezes adotam como padrão a consideração desta excentricidade, mesmo no caso da 
Figura 8a, o que pode levar a valores de momentos exagerados no pilar. 
 
 
 a) planta b) esquema de V101 c) detalhe ligação V100-P4 
Figura 8. Situações de apoio viga-pilar. 
 
Esta situação se repete para o caso em que há variação de seção transversal do pilar ao 
longo da vertical, cabendo ao projetista considerar ou não esta excentricidade. 
 
6.3. Excentricidade acidental (ea) 
É a excentricidade que, como o próprio nome diz, pode acidentalmente ocorrer (por 
exemplo, incerteza na localização da força normal ou desvio do eixo da peça, durante a 
construção, em relação à posição prevista no projeto). 
A NBR 6118:2003 parte do princípio que, de uma forma genérica, as construções de 
concreto são geometricamente imperfeitas; nela o assunto é visto no item 11.3.3.4, que trata das 
imperfeições geométricas dos eixos das peças da estrutura descarregada que devem ser 
consideradas na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas nas quais, por 
exemplo, existem imperfeições na posição e forma dos eixos das peças, na forma e dimensões da 
seção transversal, na distribuição da armadura, etc. 
Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação, 
mas as imperfeições dos eixos das peças, não. Elas devem ser explicitamente consideradas, 
porque têm efeitos significativos sobre a estabilidade da construção. Essas imperfeições podem 
ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais. 
 No caso que aqui está se tratando, de elementos isolados,na verificação de um lance de 
pilar deve ser considerado o efeito das imperfeições locais (Figura 9), que são a falta de 
retilinidade do seu eixo ou o desaprumo (Figuras 9b e 9c, respectivamente). 
Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo 
do lance de pilar seja suficiente. 
 
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 15 
 
Figura 9. Imperfeições geométricas locais em pilares (figura 11.2, NBR 6118:2003). 
 
O valor da excentricidade acidental, para o caso de falta de retilinidade, pode ser calculado 
pelas duas expressões abaixo: 
 







2
H
e i1a (13) 
 
min
i
1 H100
1


 (14) 
 
sendo: 
1 – desaprumo de um elemento vertical contínuo; 
Hi – altura de um pavimento; 
1min = 1/300 para imperfeições locais; 
1máx = 1/200. 
 
Segundo a NBR 6118:2003, o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser 
substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a ordem dado 
por (já citado na apresentação da Equação 9, sendo h a altura total da seção transversal na 
direção considerada, em metros): 
 
 h03,0015,0NM dmín,d1  
 
Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja 
atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. A este momento devem ser 
acrescidos os momentos de 2a ordem, quando for o caso. No caso de pilares submetidos à flexão 
oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, 
separadamente. 
A excentricidade acidental (ea), que ocorre em pilares de qualquer esbeltez, deve ser 
adicionada à excentricidade inicial (ei), quando houver. A maneira como fazê-lo será mostrada em 
seções seguintes. 
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 16 
 
6.4 Excentricidade de segunda ordem (e2) 
 O fenômeno da flambagem causa na peça uma deformação, chamada de 2a ordem, que 
influi no próprio esforço interno, podendo causar sua instabilidade. A teoria que trata desse 
fenômeno é chamada de teoria de 2a ordem, e pode ser mais ou menos simplificada, dependendo 
do índice de esbeltez do pilar, como visto nos itens anteriores. Os principais processos de 
determinação das deformações de uma barra serão apresentados na seção 7. 
Para reproduzir o efeito da flambagem, admite-se que a força de compressão atue com 
uma certa excentricidade (e2) em relação ao centro do pilar, chamada de excentricidade de 2a 
ordem. Ela existe também em pilares considerados centrais e, portanto, mesmo nesses existe 
flexão composta. 
A excentricidade de 2a ordem (e2) deve ser tomada, quando necessária, na direção 
perpendicular ao eixo de menor inércia do pilar, e será adicionada à excentricidade inicial (ei), 
quando esta existir, e à excentricidade acidental (ea). Deverá ser considerada como se verá 
posteriormente. 
 
6.5 Excentricidade suplementar (fluência) 
A excentricidade suplementar deve ser prevista de modo a levar em conta a fluência do 
concreto, recomendação prevista na NBR 6118:2003, item 15.8.4. É obrigatória em pilares com 
índice de esbeltez  > 90 e pode ser efetuada, de maneira aproximada, acrescentando ao momento 
de 2ª ordem M2d um momento Mc dado por: 
 
cSdc eNM  (15) 
 
Sendo: 





















1718,2e
N
M
e Sge
Sg
NN
N
a
Sg
Sg
c (16) 
 
Em que: 
 
eN 2
e
cc IE10


 
MSg , NSg – valores característicos dos esforços solicitantes devidos às ações permanentes; 
ea – excentricidade acidental; 
 – coeficiente de fluência; 
Ec – módulo de elasticidade do concreto; 
Ic – momento de inércia da seção bruta do elemento de concreto segundo a direção do 
carregamento analisado. 
 
 Na Tabela 3 está um resumo de todos os tipos de excentricidades e em que situações 
devem ser aplicadas. 
 
 
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 17 
Tabela 3. Tipos de excentricidades e aplicação. 
Excentricidade Símbolo Aplicação 
Inicial ei Pilar central 
ei = 0 
Pilar lateral 
eix ou eiy  0 
Pilar de canto 
eix e eiy  0 
De forma ef ef = 0 quando há viga capaz 
de absorver momento 
ef  0 quando não há viga 
capaz de absorver momento 
Acidental ea ea Considerar sempre ou então e1d,min 
Mínima e1d,min Quando maior considerar no lugar de ea ou de e1 (1ª ordem) 
Segunda ordem e2 e2 = 0 para   1 e2  0 para  > 1 
Suplementarr 
(fluência) 
ecc ecc = 0 para   90 ecc  0 para  > 90 
 
7. CÁLCULO DOS ESFEITOS DE SEGUNDA ORDEM 
 Inicialmente, é necessário apresentar alguns conceitos básicos sobre os efeitos de segunda 
ordem que serão empregados nos cálculos. 
Teoria de 1a ordem: no estudo, admite-se que as deformações na estrutura não causam efeitos 
nos esforços internos; as relações entre tensões e deformações são lineares, geométrica e 
fisicamente. 
Teoria de 2a ordem: o estudo leva em conta que as relações entre tensões e deformações não são 
lineares, ou seja, as tensões são influenciadas pelas deformações; no estágio atual, será estudada 
apenas a não linearidade geométrica. 
Não linearidade física: as tensões () não são proporcionais às deformações () devido às 
características físicas do material; o concreto, por exemplo, não é um material homogêneo e sofre 
o fenômeno da fissuração. 
Não linearidade geométrica: os esforços, e consequentemente as tensões, são afetados pelo 
estado de deformação da estrutura; não há uma relação linear entre essas duas grandezas (é o que 
ocorre em barras sujeitas à flambagem). 
 Para calcular o efeito de segunda ordem existem diversos métodos que apresentam 
razoável precisão quando aplicados às situações específicas. Assim, os métodos mais 
simplificados servem apenas para algumas situações e os mais sofisticados, obviamente, servem 
para todas as condições, mas dependem de um grande trabalho numérico, muitas vezes só 
possível com o emprego de programas computacionais. Desta forma, devido ao objetivo deste 
texto, os métodos mais complexos serão apenas descritos resumidamente, procurando-se dar um 
enfoque maior nos métodos mais simples que resolvem os casos usuais com precisão razoável. 
 
7.1. Método geral - processo exato 
O método geral para a determinação da carga crítica de flambagem, segundo o item 
15.8.3.2 da NBR 6118:2003, consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com 
discretização adequada da barra, com a consideração da relação momento-curvatuta real em cada 
seção, e consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada. 
O método geral deve ser empregado obrigatoriamente para pilares muito esbeltos 
( > 140), mas por ser geral também pode ser usado nos casos em que o índice de esbeltez seja 
menor. É indicado também para pilares de seção transversal variável ou caso de cargas laterais. 
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 18 
A curvatura da peça é determinada em função do estado de esforços resistidos pela seção, 
onde em cada ponto se relaciona o momento atuante com a curvatura, diferentemente do 
processo simplificado, onde se considera apenas a máxima curvatura da seção mais solicitada. 
O problema envolve equações diferenciais que geralmente não têm solução direta 
conhecida e, portanto, é necessário empregar soluções aproximadas (numéricas) para o cálculo,como os métodos iterativos (carregamento incremental) e o que se apropria do conceito de pilar 
padrão. 
 
7.2. Processo geral iterativo – carregamento incremental 
O método iterativo consiste em aplicar o carregamento em parcelas – carregamento 
incremental – de modo que em cada etapa é possível considerar o deslocamento da etapa anterior 
e, se for o caso, a variação da rigidez ao longo da peça. Em cada etapa o procedimento é linear. 
A carga crítica é alcançada quando a curva carga  deslocamento atinge seu máximo 
(Figura 10). Esta situação corresponde à situação de instabilidade na flexão normal. 
Em princípio, a determinação exata da carga crítica na flexão composta oblíqua pode ser 
feita pelos mesmos métodos empregados na flexão normal, com as devidas adaptações para a 
consideração tanto da existência de dois momentos fletores atuantes quando da variação da 
posição da linha neutra. 
 
Fcrit
Fn
Fn-1
F2
F1
y1 y2 yn-1 yn ycrit
F
y
 
Figura 10. Diagrama carga  deslocamento com carregamento incremental 
 
Conforme pode ser visto na Figura 11, o processo constitui em uma constante 
atualização, nas direções principais x e y, dos deslocamentos, determinando a carga crítica que, 
em princípio, poderia ocorrer em x ou y. Na primeira etapa de cálculo devem ser considerados 
apenas os momentos fletores de 1ª ordem. Com essa hipótese serão determinados os 
deslocamentos do eixo da barra. Nas etapas subseqüentes de cálculo devem ser considerados os 
momentos de segunda ordem em cada seção analisada decorrentes dos deslocamentos calculados 
na etapa anterior. 
 
 
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 19 
F= F ref
Wx
Fcrit
Fn
crit,F ref)
F2
F1
Wy
Wx1 Wx2 WxnWy1Wy2Wyn
x
y
x
y
z
u
l
e1
F
 
Figura 11. Cálculo pelo processo geral da carga crítica para o caso da flexão oblíqua. 
 
A partir de valores de F podem ser traçados os diagramas de flechas de Wx e Wy de uma 
seção de referência. A carga crítica será determinada pelo diagrama de flechas Wx e Wy, que 
primeiro tender a uma assíntota paralela ao eixo dos deslocamentos. O trabalho necessário à 
aplicação de um processo rigoroso de cálculo é grande, extrapolando os objetivos deste texto. 
 
7.3. Método aproximado do pilar padrão 
Os métodos aproximados, em geral, procuram identificar a seção mais solicitada do pilar 
e, a partir de algumas simplificações, estabelecer expressões que permitam calcular o efeito de 
segunda ordem. Seja um pilar, engastado na base e solto na sua outra extremidade (chamado de 
pilar padrão), submetido a uma carga normal com uma excentricidade inicial e1 (Figura 12); 
pode-se considerar que o pilar apresentará, como efeito de segunda ordem, uma elástica com a 
forma de uma senóide. Observe-se que a situação deformada deste pilar é similar à de um pilar bi-
rotulado com o dobro do comprimento. Desta semelhança vem o conceito de comprimento de 
flambagem. 
 
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 20 
P
a
(a)
P
P
a
P
y
x
2
ee 2
Pilar com extremidades 
engastada e livre rotuladas
PiIar com extremidades 






 xsenaxy
e
)( 
e1
 
Figura 12. Pilar engastado na base e solto na extremidade superior solicitado por carga 
vertical excêntrica, equivalente a um pilar bi-rotulado com o dobro do comprimento. 
 
7.3.1. Determinação da excentricidade e do momento de segunda ordem 
Para a determinação da excentricidade de segunda ordem são admitidas as seguintes 
hipóteses: 
 a flecha máxima (a) é função linear da curvatura da barra; 
 a linha elástica da barra deformada é dada por uma função senoidal; 
 a curvatura é dada pela derivada segunda da equação da linha elástica; 
 será desconsiderada a não linearidade física do material. 
Considera-se que a linha elástica (deformada) y(x) do eixo da barra seja expressa pela 
função contínua: 
 








 xsena)x(y 
e
 (17) 
em que e é o comprimento equivalente ou de fambagem do pilar que, conforme visto na 
Figura 12, é igual a 2, ficando a expressão anterior igual a: 
 





 


 x
2
sena)x(y 

 (18) 
que atende as condições geométricas de contorno, ou seja, y(x = 0) = 0 e y(x = ) = a. Assim, 
para uma ordenada x qualquer basta entrar com o valor na expressão para encontrar a 
excentricidade. 
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 21 
Considerando que os deslocamentos y sejam pequenos, a curvatura (1/r) pode ser 
expressa por: 
 
2
2
dx
)x(yd
r
1
 (19) 
 
e derivando duas vezes a expressão y (x) chega-se a: 
 





 





 x
2
cosa
2dx
)x(dy 

 
 





 










 x
2
sena
2dx
)x(yd 
2
2
2

 
 
e, portanto 
 





 





 x
2
sena
4dx
)x(yd
r
1
2
2
2
2

 
 
Para  e = 2 tem-se para x =  o valor da curvatura: 
 
a
2
sena
r
1
2
e
2
2
e
2
x







 







 
 
 
e, eliminando o sinal negativo, o valor de a fica: 
 
2
2
e
xr
1a










 
 
Finalmente, fazendo 2 = 10, obtém-se a expressão indicada pela norma (a partir deste 
ponto, chamar-se-á a de e2): 
 
10r
1e
2
e
x
2









 (20) 
 
 Assim o valor da excentricidade de segunda ordem é diretamente proporcional à curvatura 
na base do pilar (seção mais solicitada) que com as características descritas passa a ser chamado 
de pilar padrão. Desta forma, ao se fazer um gráfico do momento fletor total 
[   1212t MMeePM  ] em função da curvatura, para um valor constante de P obtêm-se 
o gráfico da Figura 13, destacando que M2 é o momento de segunda ordem e M1 o de primeira 
ordem. 
 
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 22 
M
1/r
e
M1
2
- 10 e1
1M
2M = 10 
2
eP r
1
x x
 
Figura 13. Representação do momento externo total composto pela soma de M1 com M2. 
 
Variando-se o valor da curvatura de zero até um valor máximo que representaria a ruína 
do material (momento último), mantendo-se a força normal P constante, obtêm-se uma curva do 
tipo representada na Figura 14. 
1/r
M
M 
A =constante 
interno ou resistente
P=constante 
s
últimoM 
 
Figura 14. Momento interno resistente obtido para valores de AS e P fixos com variação da 
curvatura (1/r). 
 
 Existirá equilíbrio se o momento externo [Mexterno = P(ei+e2)] for igual ou inferior ao valor 
do momento resistido. Na Figura 15 são mostradas 3 situações: a) equilíbrio estável com o 
momento externo (a partir de 1/r1) menor que o momento resistente; b) equilíbrio estável na 
situação em que o momento externo é igual ao interno (no valor 1/r2); e c) quando não há 
possibilidade do momento externo ser igual ou inferior ao interno. 
 
1/r
M
M 
A =constante 
interno ou resistente
P=constante 
s
1
1
M externo, 3
r r2
1
externo, 1M 
M externo, 2
1e
2e
e3
 
Figura 15. Situações possíveis de equilíbrio. 
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 23 
 
A partir da análise baseada Figura 15 percebe-se que é possível montar um procedimento 
em que se obtém o maior momento interno possível, que corresponde à situação de equilíbrio 
estável em que o momento externo é igual ao interno. A partir de um determinado valor de força 
axial, de uma dada taxa de armadura, e geometria conhecida, constrói-se a curva de momento 
resistido. 
O momento de segunda ordem é dado pelo produto da força pela excentricidade de 2ª 
ordem, ou seja: 
 
10r
1PePM
2
e
x
22









 (21) 
 
7.3.2. Determinação da curvatura 
 Para o cálculo do momento de segunda ordem a partir da expressão 21 é preciso 
determinar a curvatura (1/r) de uma barra de concreto armado, analisando-a na situação 
deformada, conforme a Figura 16. 
 
ds
r= r
d
 
 dss
 dsc
d
( + )ds
As
sA
Vista Lateral antes de 
deformar 
Seção Transversal Vista Lateral após
deformar 
M M
M M
s
 
 dsc ds c s
d
 dsc
d
d
Construção 
auxiliar 
 
Figura 16. Relação entre deformações e curvatura em uma barra de concreto armado. 
 
 Partindo do princípio que os ângulos são pequenos, e sabendo que a variação de 
comprimento entre a fibra mais comprimida de concreto e a fibra tracionada de aço é dada por 
  dssc  , por semelhança de triângulos (observar construção auxiliar na Figura 16) resulta: 
 
  ds
d
ds
r
sc 
  
dr
1 sc  
 
A expressão de 1/r obtida é devida apenas à flexão; para levar em conta o efeito da 
compressão (curvatura de uma seção submetida à flexão composta), e retirando-se a partir de 
agora o módulo nos valores das deformações, ela passa a ser (h é a altura real e não a altura útil 
da seção): 
 
 
  h5,0r
1 sc


 (22) 
 
Em que: 
cd
d
cdc
d
fhb
F
fA
F



 é o valor adimensional da força normal. 
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 24 
 
7.4. Método aproximado do pilar padrão com curvatura máxima 
 Neste método aproximado considera-se, a favor da segurança, que a curvatura deve ter o 
maior valor possível e, portanto, as deformações do concreto e do aço deverão ser iguais àquelas 
correspondentes ao estado limite último, ou seja: 
 
0035,0c  e E
f
s
yd
s  
 
Considerando o aço com tensão de escoamento fyd = 435 MPa, resulta no numerador o 
valor de 0,00557 que acabou sendo simplificado para 0,005 na NBR 6118:2003, chegando-se 
finalmente a (deve-se ter   15,0  ): 
 
  h5,0
005,0
r
1

 (23) 
 
Desta forma, a expressão para o cálculo da excentricidade de segunda ordem ficará: 
 
  h5,0
005,0
10
e
2
e
2 


 (24) 
 
 O cálculo, para os pilares medianamente esbeltos, da curvatura com os valores máximos 
de s e c permite o emprego dos domínios de deformação e, desta forma, pode-se dimensionar a 
seção transversal mais solicitada usando ferramentas como ábacos, com e2 calculado com a 
equação 24. Verifica-se que assim não há inconsistência na solução, pois, estabelecidos os 
valores de s e c máximos, a curvatura estará definida e não há necessidade, em princípio, de 
consultar ábacos. O que se está fazendo, ao adotar as deformações específicas máximas, é 
determinar um efeito de segunda ordem maior do que o real. 
 Outra justificativa para o uso da curvatura decorre da análise do gráfico da Figura 17, 
onde se percebe que a solução para o caso dado é encontrado com o valor de curvatura 1/r. Este 
valor é bem próximo ao da curvatura máxima. 
 
e1
M externo
1
r rmáxima
1
s
P=constante 
interno ou resistente
A =constante M 
M
1/r
 
Figura 17. Pilar medianamente esbelto com solução próxima ao da curvatura máxima. 
 
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 25 
7.5. Método aproximado do pilar padrão com curvatura real ou acoplado com diagrama 
momento curvatura 
Para os pilares esbeltos com 90 <  < 140, pode-se empregar o método do pilar padrão 
com curvatura real, cujo metodologia já foi desenvolvida na seção anterior (a curvatura 
aproximada é caso particular da curvatura real). Neste caso os ábacos de flexão composta normal 
e oblíqua no ELU de flexão ou compressão não podem ser usados porque a instabilidade ocorre 
para valores de c e s não constantes dos domínios de deformação. 
O processo é baseado no esquema da Figura 18, em que a solução ideal ocorre quando a 
curva (no caso do pilar padrão considerada uma reta) de ações tangencia a curva de esforços 
internos (neste caso 1/r não é máximo). 
 
1/r
M A =constante 
interno ou resistente
P=constante 
s
r
1
externoM 
1(e /h)
10
1e . 2
e
1
2
L 
 
Figura 18. Determinação do ponto L para cálculo do máximo momento de primeira 
ordem resistido pela seção em que haverá equilíbrio. 
 
 Conhecendo, para um determinado , as curvas de M1/r ou 1/r, para diversas taxas 
de armadura  (Figura 19), calcula-se a inclinação da reta através da expressão 20, básica do 
pilar padrão: 
 
10r
1e
2
e
x
2









 
 
Como visto no texto sobre flexão composta que )h/e(νµ.  , essa expressão pode ser 
escrita da seguinte forma: 
 
















r
1
10
l
h
2
e
2 (25) 
 
E finalmente tem-se a expressão da tangente (coeficiente angular) do segmento de reta, 
traçado a partir do ponto a como mostra a Figura 19-2. 
 











10
l
h
tg
2
e (26) 
 
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 26 
1/r
 =0,1
r2
1
2
e 10i
=0,2 
 =0,3
=0,4 
=0,5 
 =0,5 =0,4
=0,3 =0,2
=0,1 
=constante 
1/r 1/r
=constante 
1
2
e 10i
1 
a
e
e.
2
10htag
2
d' 
h =constante 
Mh
d' 
3 4 
=0,3 
ie 10
2
1
r
=constante 
1/r
 2
1 
=constante 
1
1
 
Figura 19. Determinação do momento máximo resistido M1 ( 1 ) usando-se o pilar padrão e 
gráfico acoplado de momento, curvatura e normal. 
 
Conhecido o ponto de passagem da reta de esforços externos, por exemplo,  = 1d e 
1/r = 0, e a inclinação da mesma é possível traçar o gráfico da Figura 19, obtendo-se o valor de 
, solução que corresponde a curva que tangencia esta reta. Para obter a solução da armadura 
basta traçar na curva em questão (a que é tangenciada pela curva, e destacada na Figura 19-4) 
uma paralela passando pela origem, obtendo o valor de M1 ( 1 ) máximo resistido pela seção, 
correspondente à taxa de armadura . 
Esse procedimento, descrito por FUSCO (1995) pode ser sistematizado criando-se um 
ábaco em função do momento de primeira ordem, força normal, taxa de armadura e comprimento 
de flambagem. Basta efetuar a rotina anterior diversas vezes, para um certo valor de comprimento 
de flambagem, variando-se, por exemplo, a taxa de armadura e mantendo o valor da força normal 
fixo; para cada condição desta tem-se um momento correspondente. Repete-se o procedimento 
mudando o valor da força normal e assim sucessivamente, obtendo-se um gráfico do tipo 
apresentado na Figura 20. 
Assim, conhecidos o valor da força normal P ( na forma reduzida), o comprimento de 
flambagem e, eo momento de primeira ordem através de 1 pode-se, para a distribuição de aço 
em duas faces e os cobrimentos indicados, entrar no ábaco e encontrar a taxa  da armadura 
necessária. Neste caso a curvatura não é máxima, não se usaram os domínios de deformação, e o 
efeito de segunda ordem já está embutido no ábaco. 
A consideração da estabilidade nas situações de flexão composta oblíqua poderia, em 
princípio, ser feita a partir de gráficos de curvatura em duas direções e com correções da ação de 
uma na outra, como mostra FUSCO (1995), porém o próprio autor cita que teoricamente os 
diagramas das curvaturas podem ser feitos, mas o trabalho material para isso tende a ser 
proibitivo. Desta forma, a não ser que se usem programas computacionais, a instabilidade na 
flexão composta oblíqua requer o uso do método geral. 
 
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 27 
 
 
Figura 20. Ábaco obtido pelo método do pilar padrão com diagrama 1/r [FUSCO (1995)]. 
 
7.6. Método aproximado do pilar padrão com a rigidez  aproximada 
 Outro método aproximado para o cálculo de pilares medianamente esbeltos é o do pilar 
padrão com rigidez  aproximada, considerando que: 
 A não linearidade geométrica é levada em conta de forma aproximada, supondo-se que a 
deformada da barra seja senoidal. 
 A não linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da rigidez. 
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 28 
 Esse método, apresentado no item 15.8.3.3.3 da NBR 6118:2003, é permitido para   90 
nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do eixo. O 
momento total máximo no pilar é dado pela expressão: 
min,d1A,d12
A,d1b
tot,d MM
/120
1
M
M 




 
(27) 
 
 O valor da rigidez adimensional  (kapa) é dado aproximadamente por: 








d
tot,d
Nh
M
5132 (28) 
 
 As variáveis h, , M1d,A e b são as mesmas definidas anteriormente. Essas duas 
expressões podem ser escritas de outra maneira, considerando a excentricidade de segunda ordem 
como faz BANKI (2003), resultando em: 
10
hke5e25)k2(he10hk
e 11
2
111
22
1
2

 (29) 
Com 
3840
1k
2
1

 e 
d
1
1 N
Me  
 
7.7 Resumo do cálculo das excentricidades 
 Após a determinação das excentricidades de segunda ordem montou-se a Tabela 4, com 
um resumo das diversas excentricidades e possibilidades de uso no cálculo dos pilares. 
 
Tabela 4. Resumo do emprego das excentricidades. 
Excentricidade Situações para uso Expressões 
Acidental 
ea 
todas Seção extrema 
1 
Seção intermediária 
 2/1  200
1
100
1
1 



 
Mínima 
 
e1,min 
Todas se maior que 
imperfeições 
geométricas ou de 
1a ordem 
 
ei,min = 0,015+0,03h (h em m) 
Segunda ordem 
 
e2 
Sempre que  > 1 1 <  <90 
  h5,0
005,0
10
e
2
e
2 


 
90   <140 
r
1
10
e
2
e
2 

 
Gráficos N,1/r,M 
140   < 200 
 
Processo geral 
Forma 
ef 
Carga excêntrica 
sem vigas ef = e 
 
Inicial 
 
ei 
 
Pilares laterais e de 
canto 
Pilar lateral 
N
Me ii  
Pilar de canto 
N
M
e ixix  N
M
e iyiy  
Seções 
intermediárias 
ib
*
i ee  
 
Suplementar 
 
ecc 
 
Sempre que 
 
 > 90 




















1718,2e
N
M
e Sge
Sg
NN
N
a
Sg
Sg
c 2
e
cc
e
IE10
N


 
 
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 29 
8. CÁLCULO DE PILARES CENTRAIS 
 A classificação dos pilares quanto à sua posição facilita o uso de processos aproximados e 
mais simples que não necessitam de programas de computador, nem sempre acessíveis. Pilar 
central é aquele que, em princípio, não está submetido à flexão devido às cargas verticais. Como 
aqui está se lidando apenas com estruturas de nós fixos e também com estruturas em que as ações 
laterais são pequenas, existem três casos a considerar no dimensionamento dos pilares centrais: 
pilar curto, pilar medianamente esbelto e pilar esbelto. Os cálculos nestas três situações serão 
abordados em seguida. 
 
8.1. Cálculo de pilares centrais curtos 
 Apesar de não haver momento de segunda ordem (no pilar curto é dispensada a 
consideração do efeito de segunda ordem) e o momento de primeira ordem ser devido apenas às 
cargas verticais, este problema acaba recaindo em um dimensionamento de flexão normal 
composta (não apenas compressão) pois é preciso considerar a excentricidade acidental ou a 
excentricidade mínima previstas pela NBR 6118:2003. 
 
EXEMPLO 1 
 Calcular um pilar curto de seção transversal quadrada para resistir a um esforço 
P = 200 kN, com concreto de fck = 2 0MPa, aço CA-50, admitindo que o ambiente seja 
residencial, que o gabarito da edificação será de 2,70 m, que o revestimento inferior da laje (r1) e 
do piso (r2) somados sejam de 8 cm, as vigas ligadas ao pilar tenham altura de 30 cm e a laje 
superior tenha 12 cm de espessura (Figura 21). 
 
h/2
 
h/2
eL
=
2 r 
r 1 
L 
 +
 
+ 
p
15 cm
 
30 cm
 
15 cm
 
30 cm
 
12 cm
 
L o
p
L
r
 
2
 
1
 
r
 
 
pilar
viga
viga
 
Figura 21. Corte vertical junto ao pilar do exemplo 1. 
 
Comprimento de flambagem e dimensões da seção transversal do pilar: 
Para resolver o problema é preciso inicialmente definir o comprimento de flambagem do pilar, que 
é dado pela expressão 7, ou seja, é igual a soma da distância entre as faces internas dos elementos 
(vigas) que contraventam o pilar somada à dimensão do pilar ou a metade da altura das vigas em 
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 30 
questão. Como a dimensão do pilar ainda não é conhecida usar-se-á a segunda condição. Assim, o 
valor do comprimento de flambagem será dado por: 
m08,330,008,070,2hrr 21pe   
Chamando de b o lado do pilar tem-se: 
b
66,10
b
46,308,3
b
46,3
bb12
bbi
e
3
e
min
e 








 
Como a condição do problema indica que o pilar deve ser curto então, no máximo, 1 e, com 
a expressão 8: 








35 
90 /h)e12,5 (
 
b
1
1
 25 
Por ser um pilar bi-apoiado com momento aplicado (zero) menor que o mínimo (e1 = 0), b = 1 
(seção 5.2.2 d), 1 fica: 
25
1
 0)12,5 (25 1 

 e, portanto, pelas condições impostas, 35 1  . 
Assim, deve-se ter: 
35
b
66,10
 
resultando em b  0,304, podendo ser considerado b = 0,30 m. 
Mas, como o comprimento de flambagem ou equivalente deve ser menor que uma das relações 7, 
a segunda leva ao mesmo valor já determinado: 
m08,330,008,070,2brr 21pe   
 
Excentricidade acidental: 
Embora não exista momento de primeira ordem aplicado diretamente ao pilar é preciso considerar 
a excentricidade acidental devida à falta de retilineidade e prumo, com as expressões 13 e 14: 






2
e 1a
 
min1 100
1




 
Sendo: 
 = 3,08 m (altura de um pavimento); 
1min = 1/300 para imperfeições locais; 
1máx = 1/200. 
Assim para a seção intermediária tem-se: 
m0077,0
2
08,3200
1ea 




 
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 31 
Para a seção de extremidade o desaprumo é o dobro deste valor: 
ea = 0,0154 m 
Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: 
  m024,0)30,003,0015,0(b03,0015,0e mín,1  
Portanto a situação de cálculo corresponde a uma força normal de N = 200 kN e a um momento 
de mkN8,4024,0200M  . 
 
Cálculo da armadura: 
Para determinar a armadura necessária é preciso definir a distância do centro de gravidade da 
barra longitudinal em relação à face do pilar (Figura 22). 
detalhe 1y
x
detalhe 1
c
tx
e1,min
d' 
 
Figura 22. Seção transversal do pilar do exemplo 1 com cobrimento da armadura. 
 
Admitindo que o pilar seja interno em uma residência e que receberá cobrimento de argamassa, a 
classe de agressividade ambiental pode ser considerada classe I (agressividade fraca), e que ainda 
na sua confecção usar-se-á espaçadores de plástico para garantir o cobrimento (com inspeção 
rigorosa), pode-se usar uma tolerância ∆c = 5 mm, portanto com cobrimento igual a 2 cm. 
Tomando estribos de t = 5 mm e armadura longitudinal de  = 10 mm, chega-se a uma relação 
d’/h = (2+0,5+0,5)/30 = 0,1. Assim pode-se usar o ábaco 2 do texto sobre flexão composta, com 
os seguintes valores de entrada: 
22,0
4,1
2000030,030,0
2004,1
fbb
N
cd
d 




 
018,022,0
30,0
024,0
b
e
fbb
eN
cd
2
d 


 
Com esses valores de  e  resulta  = 0. 
Desta forma deve-se empregar a armadura mínima dada pela expressão 2: 
%40,0
f
f
15,0
yd
cd
min  
%11,00011,022,0
5004,1
15,12015,0min 

 
Resulta então %4,0min  e 
2
s cm6,33030004,0A  
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 32 
8.2. Cálculo de pilares centrais medianamente esbeltos 
 Quando o índice de esbeltez  está contido no intervalo de 1 e 90 diz-se que o pilar é 
medianamente esbelto. Não havendo variação de seção transversal e nem de armadura, o pilar 
pode ter sua armadura calculada com o método do pilar padrão com curvatura máxima. Assim na 
direção da menor inércia atuarão as excentricidades e2 e ea ou e2 e e1,min. 
Como pode ser visto na Figura 23, em princípio é preciso analisar as duas direções, 
embora normalmente a situação “a”, principalmente se a seção for um retângulo bem alongado, 
prevaleça. Observe-se que deve ser tomada a excentricidade acidental ea ou a excentricidade 
mínima emin que também, em geral, prevalece. 
 
b)a)
min,ye
ou
a,ye
e2,y
dF
Fd
2,xeea,xoue
situações de cálculo
d
situação de projeto
y
x
y
x
min,x
y
F
x
 
Figura 23. Excentricidades em projeto e cálculo de pilar central medianamente esbelto. 
 
EXEMPLO 2 
Calcular o pilar do exemplo 1 (mesmos dados) considerando-o medianamente esbelto. 
 
Comprimento de flambagem e dimensões da seção transversal do pilar: 
Para resolver o problema, levando em conta que a seção transversal é quadrada, o comprimento 
de flambagem ou equivalente do pilar será, inicialmente, tomado como o do exemplo 1, pois não 
se conhece o lado do pilar, e apenas em uma direção (na outra direção é o mesmo valor). Desta 
forma o comprimento de flambagem é: 
m08,3e  
Conseqüentemente, chamando o lado do pilar de b, tem-se: 
b
66,10
imin
e 

 
Como a condição do problema indica pilar medianamente esbelto, implica em que 90 . 
Assim: 
90
b
66,10
 
E, portanto, b  0,118 m; como a menor dimensão, sem nenhuma consideração especial, deve ser 
de 19 cm, adota-se b = 0,20m. 
Mas ainda, como o comprimento de flambagem ou equivalente deve ser menor que uma das 
relações 7, chega-se ao seguinte valor para e: 
m98,2020,008,070,2brr 21pe   
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 33 
Resulta para o índice de esbeltez: 
52
20,0
98,246,3
12/bi
ee 

 
 
Excentricidade acidental: 
A excentricidade acidental, para a altura real do pavimento de 3,08 m será, como no exemplo 
anterior, igual a: 
ea = 0,0077 m (seção intermediária); 
ea = 0,0154 m (seção de extremidade). 
Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: 
  m021,0)20,003,0015,0(b03,0015,0e mín,1  , valor a ser utilizado. 
 
Excentricidade de segunda ordem: 
Como o pilar é medianamente esbelto é preciso considerar o efeito de segunda ordem que pode 
ser dado pela expressão 24: 
 
m022,0
20,01
005,0
10
98,2
20,0)5,049,0(
005,0
10
98,2
b5,0
005,0
10
e
222
e
2 






 
Em que: 
49,0
4,1
2000020,020,0
2004,1
fbb
N
cd
d 




 
  15,0  
 
Cálculo da armadura: 
Com as mesmas condições do exemplo 1 e pilar de lado igual a 20 cm tem-se 
d’/h = (2+0,5+0,5)/20 = 0,15. Assim usa-se o ábaco 3 do texto sobre flexão composta, com os 
seguintes valores de entrada: 
49,0 
105,049,0
20,0
022,0021,0
b
e
fbb
eN
cd
2
d 




 
Com esses valores de  e  resulta  = 0. 
Desta forma deve-se empregar a armadura mínima dada pela expressão 2: 
%40,0
f
f
15,0
yd
cd
min  
%24,00024,049,0
5004,1
15,12015,0min 

 
Resulta então %4,0min  e 
2
s cm6,12020004,0A  . 
 
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 34 
EXEMPLO 3 
Calcular o pilar do exemplo 1 (mesmos dados) considerando uma das suas dimensões com o valor 
mínimo, ou seja, 12 cm. 
 
Comprimentos de flambagem e outra dimensão da seção transversal do pilar: 
Com uma das dimensões igual a 12 cm o valor o comprimento de flambagem será em uma 
direção, supondo x neste caso, de: 
m90,212,078,2ex  
E, conseqüentemente, o índice de esbeltez máximo será (nesta direção o lado do pilar será 
h = 12 cm, mantendo a nomenclatura como nos ábacos, sendo b a dimensão na direção da 
armadura): 
9084
12,0
90,246,3
12/bi
e
ymin,
e
x 

 
Trata-se, pois, de um pilar medianamente esbelto, e a outra dimensão (no caso b na direção da 
armadura) terá que ser pelo menos 30 cm, de modo que a área mínima de 360 cm2 da seção 
transversal do pilar seja respeitada. 
Assim b = 30 cm e h = 12 cm 
Dessa maneira, para a direção y resulta: 
m08,330,078,2ey  ; 905,3530,0
08,346,3
12/bi
e
xmin,
e
y 
 
 
Excentricidade acidental: 
As excentricidades acidentais, em cada direção, serão iguais a: 
 Direção x 
m00725,0
2
90,2
200
1eax 




 
m00725,0eax  (seção intermediária); m0145,0eax  (seção de extremidade) 
A excentricidade considerada não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: 
  m018,0)12,003,0015,0(h03,0015,0e mín,x1  
 Direção y 
m0077,0
2
08,3
200
1ea 




 
m0077,0eay  (seção intermediária); 
m0154,0eay  (seção de extremidade) 
A excentricidade considerada não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: 
  m024,0)30,003,0015,0(b03,0015,0e mín,y1  
Assim os valores a serem considerados serão m018,0e mínx,x1  e m024,0e mín,y1  . 
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 35 
Excentricidade de segunda ordem: 
Como o pilar é medianamente esbelto nas duas direções é preciso considerar o efeito de segunda 
ordem que pode ser dado pela expressão 24 (a menor dimensão do pilar é 12 cm., e a 
maior 30 cm): 
  h5,0
005,0
10
e
2
e
2 


 
 Direção x 
 
m028,0
12,05,0735,0
005,0
10
9,2e
2
2 
 
Em que (como a menor dimensão do pilar é 12 cm, o carregamento deve ser multiplicado pelo 
coeficiente adicional de n = 1,35 (Tabela 1)): 
735,0
4,1
2000030,012,0
2004,135,1
fbh
N
cd
dn 





 
 Direção y: 
 
m013,0
30,05,0735,0
005,0
10
08,3e
2
2 
 
 
Cálculo da armadura: 
Com as mesmas condições dos outros exemplos, para as situações de cálculo (Figura 24) tem-se: 
 
Figura 24. Esquema das excentricidades de projeto e cálculo para o exemplo 3. 
 Direção x 
Nessa direção d’/h = (2+0,5+0,5)/12 = 0,25, devendo ser empregado o ábaco 5 do texto sobre 
flexão composta, cujos valores de entrada são: 
735,0 
28,0735,0
12,0
028,0018,0
h
e
fhb
eN
cd
2
d 




 
Com esses valores de  e  resulta  = 1,17. 
A armadura é dada por: 
2
yd
cd
s cm84,1317,14,1500
15,1203012
f
f
hbA 


 
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 36 
 Direção y 
Nessa direção d’/h = (2+0,5+0,5)/30=0,10; pode-se então usar o ábaco 6 do texto sobre flexão 
composta (embora d’/h do ábaco seja de 0,20, maior que este, proporcionando uma armadura 
maior que a necessária na realidade), com os valores de entrada: 
735,0 
091,0735,0
30,0
024,0013,0
b
e
fhb
eN
cd
2
d 




 
Com esses valores de  e  resulta  = 0,25. 
Prevalece assim a situação anterior ( 2s cm84,13A  ), como esperado, podendo-se empregar 
12  12,5 mm (6  em cada face, resultando As = 15 cm2), que atende a: 
%40,0
f
f
15,0
yd
cd
min   %36,00036,0735,05004,1
15,12015,0min 

 
 %4,0min   
2
cmin,s cm44,13012100
40,0A
100
40,0A  
 
EXEMPLO 4 
Calcular o pilar do exemplo 3 (mesmos dados) com o processo da rigidez  aproximada. 
 
Esbeltez do pilar: 
Neste caso, por já ter sido resolvido o exemplo anterior, será feito apenas o cálculo na direção x. 
ex = 2,78+0,12 = 2,90 m 
9084
12,0
90,246,3
12/bi
e
ymin,
e
x 

 
 
Excentricidade acidental: 
m00725,0
2
90,2
200
1eax 




 
 
Excentricidade de segunda ordem: 
A excentricidade de segunda ordem é calculada a partir da expressão 29: 
10
hke5e25)k2(he10hk
e 11
2
111
22
1
2

 
0292,0
10
12,08375,0018,05018,025)8375,02(12,0018,01012,08375,0
e
222
2 


Com 8375,0
3840
841
3840
1k
22
1 

 
 
 
 
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 37 
Cálculo da armadura: 
O valor encontrado para a excentricidade de segunda ordem é praticamente o mesmo do exemplo 
5.3 com o processo do pilar padrão, e o valor da armadura é o já determinado, ou seja, 
12  12,5mm (As = 15 cm2), que atende a quantidade mínima. 
 
8.3. Cálculo de pilares centrais esbeltos 
Quando o índice de esbeltez  está contido no intervalo de 90 a 140 diz-se que o pilar é 
esbelto. Não havendo variação de seção transversal e nem de armadura, o pilar pode ser calculado 
com o método do pilar padrão, porém agora com a curvatura real. Assim na direção da menor 
inércia atuarão as excentricidades e2 e ea ou e2 e e1,min. Além destas excentricidades será 
necessário também considerar a excentricidade devida a fluência. Neste caso parece lógico 
considerar como mais desfavorável a situação segundo o índice de esbeltez máximo, e aqui será 
feita apenas esta consideração. 
 
EXEMPLO 5 
 Calcular a armadura de um pilar de seção quadrada de lado 20 cm, comprimento 
equivalente de 6 m (pé direito duplo) e força normal de 200 kN. Admite-se que a qualidade do 
concreto a ser usado e o tipo de impermeabilização da superfície, além de um controle rigoroso 
de execução e classe ambiental I, permitam um cobrimento de 10 mm. Adota-se fck = 30MPa e 
aço CA-50. Considerar como 120 kN o valor da força normal permanente. 
 
Esbeltez do pilar: 
A esbeltez do pilar é dada por: 
90104
20,0
0,646,3
12/bi
e
min
e 

 
Tratando-se, portanto, de um pilar esbelto e o método de cálculo a empregar é o da curvatura real 
com diagramas acoplados. O fato do ábaco ser para d’/h = 0,10 obriga a um cobrimento pequeno, 
e daí a necessidade do uso de um concreto de melhor qualidade e mais resistente (menos poroso) 
e que receba um tratamento de impermeabilização. 
 
Excentricidade acidental: 
Apesar de não haver momento de primeira ordem aplicado ao pilar, deve-se considerar a 
excentricidade acidental devida à falta de retilineidade e de prumo com as expressões 13 e 14: 






2
e 1a
 
min1 100
1




 
Sendo: 
 = 6,0 m (altura de um pavimento); 
1min = 1/300 para imperfeições locais; 
1máx = 1/200. 
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 38 
Assim para a seção intermediária tem-se: 
m015,0
2
0,6
200
1ea 




 
Para a seção de extremidade o desaprumo é o dobro deste valor: ea = 0,03 m 
Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: 
  m021,0)20,003,0015,0(b03,0015,0e mín,1  
 
Excentricidade suplementar: 
Como se trata de pilar esbelto é preciso considerar também o efeito da fluência cuja 
excentricidade é dada pela expressão 16: 
05,01718,2)015,00(1718,2e
N
M
e Nsg963
1202
NN
N
a
Sg
Sg
c
Sge
Sg






























 



 
Sendo: 
MSg = 0 (trata-se de pilar central e não há momento de carga permanente); 
NSg = 120 kN valor da força normal devida às ações permanentes; 
 = 2 (valor adotado para o coeficiente de fluência); 
MPa2607130560085,0f560085,0E ckc  ; 
kN963
6
10000.071.2610IE10N 2
4
2
e
cc
e 






. 
 
Efeito de segunda ordem: 
O efeito de segundo ordem já está incluído no ábaco a ser utilizado para determinar AS. 
 
Cálculo da armadura: 
Com as mesmas considerações do exemplo anterior e pilar com 20 cm de lado tem-se 
d’/b = (1+0,5+0,5)/20 = 0,1. Assim usa-se o ábaco da Figura 20, cujos valores de entrada são: 
33,0
4,1
3000020,020,0
2004,1
fbb
N
cd
d 




 
043,033,0
20,0
005,0021,0
b
e
fbb
eN 1
cd
2
1d
1 




 
30
2,0
6
b
e 

 
Com os valores de ,  e e/h resulta  = 0,2. 
 
 
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 39 
Assim, a armadura é dada por: 
2
yd
cd
s cm94,320,04,1500
15,1302020
f
fbbA 


 
A taxa de armadura é: 
%1001,0
2020
94,3


 
 
A armadura mínima é dada por: 
%40,0%24,00024,033,0
5004,1
15,13015,0
f
f
15,0
yd
cd
min 

 
%1%40,0min  
Dessa maneira pode-se usar ou 4 12,5 (5 cm2) ou 610 mm (4,8