lista de exercícios sobre ponto, planos e retas e conjuntos numéricos

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1a Lista de Geometria Anal´ıtica
Profa E´rica Resende Malaspina - e-mail: ermalaspina@gmail.com
1. Dados os intervalos A = [3, 8] e B =]5, 10], determine A ∪B e A ∩B.
Resp.: [3, 10], ]5, 8]
2. Considere os intervalos A = [−1, 6] e B =]4, 9]. Encontre A−B e B − A.
Resp.: [−1, 4] e [6, 9]
3. Dados os conjuntos A = {1, 3, 4}, B = {−2, 1} e C = {−1, 0, 2} encontre:
(a) A×B
(b) B × A
(c) A× C
(d) C × A
(e) B ×B
(f) A×B × C
4. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {−2, 0, 3} encontre:
(a) (A×B) ∪ (B × A)
(b) (A×B) ∩ (B × A)
5. Considere os conjuntos A = {x ∈ R/(x2 − 5)3 = 0} e B = {x ∈ N/4
3
< x < 20
3
}. Qual das
alternativas a seguir e´ verdadeira:
(a) A ⊂ B
(b) A = B
(c) A ∩B = ∅
(d) A ∩B = {5}
(e) A ∪B = A
6. Considere o intervalo [3, 7]. Qual e´ a abscissa do ponto me´dio do intervalo dado?
Resp.: 5
7. Sabendo-se que A ∪B = [3, 8] e que A−B = [3, 4[, determine o intervalo B.
Resp.: [4, 8]
8. Determine os valores de x ∈ R para que o ponto P (3x+ 6, 2x− 4) pertenc¸a ao 4o quadrante.
Resp.: x ∈]− 2, 2[
9. Para quais valores de x ∈ R o ponto P (x2 − 9, 5) pertence ao eixo das ordenadas?
Resp.: −3 e 3
10. Determine os valores reais de x para que o ponto P (3, x2 − 5x + 4) pertenc¸a ao eixo das
abscissas.
Resp.: 1 e 4
11. Dados os ve´rtices A(2, 1), B(5, 1) e C(2, 5) de um triaˆngulo, determine a medida dos lados
desse triaˆngulo e classifique-o em equila´tero, iso´sceles ou escaleno.
Resp.: 3, 4 e 5
12. Usando distaˆncia entre pontos, calcule a medida de uma diagonal de um quadrado cujos
ve´rtices sa˜o os pontos A(3, 2), B(3, 6), C(7, 6) e D(7, 2).
Resp.: 4
√
2
13. Se a distaˆncia entre P (x, 1) e Q(7, 5) e´ igual a 5 u.c., calcule a abscissa de P.
Resp.: 10 e 4
14. Usando distaˆncia entre pontos, mostre que os pontos A(2, 1), B(4, 3), C(2, 5) e D(0, 3) sa˜o os
ve´rtices de um quadrado.
15. Classifique quanto a seus lados se o triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(1, 1), B(−1,−1) e C(−√3,√3)
e´ equila´tero, iso´sceles ou escaleno.
16. Mostre que as diagonais do paralelogramo A(0, 0), B(1, 4), C(5, 4) e D(4, 0) se interceptam
ao meio.
17. Determine o ponto P (x, y), da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de A(0, 1) e
B(−2, 3)
Resp.: P
(−3
2
, 3
2
)
18. Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a), a ∈ R∗, determine P (x, y) de modo que o triaˆngulo MNP
seja equila´tero.
Resp.: P1
(
a−a√3
2
, a−a
√
3
2
)
e P2
(
a+a
√
3
2
, a+a
√
3
2
)
19. Calcule o comprimento da mediana AM do triaˆngulo ABC cujos ve´rtices sa˜o A(0, 0), B(3, 7)
e C(5,−1)
Resp.: 5
20. Se M(1, 1), N(0, 3) e P (−2, 2) sa˜o os pontos me´dios dos lados AB, BC e CA, respectivamente,
de um triaˆngulo ABC, determine as coordenadas de A, B e C.
Resp.: A(−1, 0), B(3, 2) e C(−3, 4)
21. Determine os ve´rtices B e C de um triaˆngulo equila´tero ABC, sabendo-se que o ponto me´dio
do lado AB e´ M(
√
3, 1) e A e´ a origem do sistema.
Resp.: B(2
√
3, 2) C1(0, 4) C2(2
√
3,−2)
22. Determine as coordenadas do baricnetro de um triaˆngulo de ve´rtices A(x1, y1), B(x2, y2) e
C(x3, y3).
2
23. Determine as coordenadas do baricentro de cada um dos triaˆngulos de ve´rtices:
(a) A(5, 7), B(1,−3) e C(−5, 1) Resp.: (1
3
, 5
3
)
(b) A(2,−1), B(6, 7) e C(−4,−3) Resp.: (4
3
, 1)
24. Prove que o ponto me´dio da hipotenusa do triaˆngulo retaˆngulo de ve´rtices A(0, 0), B(a, 0) e
C(0, b), a, b ∈ R, e´ equidistante dos treˆs ve´rtices.
3