LISTA DE EXERCÍCIOS Retas e Planos

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LISTA DE EXERCI´CIOS DE GEOMETRIA ANALI´TICA - 25/09/12
Prof. Fa´bio A. Matos
Assunto: Retas e Planos
Exerc´ıcio 1) Dados dois pontos A = (2,−3, 1) e B = (4,−2, 0), determine o ponto P tal que−→
AP =
−−→
PB.
Exerc´ıcio 2) Determinar o vetor −→v sabendo-se que (3, 7, 1) + 2−→v = (4,−2, 0)−−→v .
Exerc´ıcio 3) Determine os nu´meros a e b de modo que os vetores −→u = (4, 1, 3) e −→v = (6, a, b)
sejam paralelos.
Exerc´ıcio 4) Mostrar que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5) e D = (2, 1, 3) sa˜o
ve´rtices de um paralelogramo.
Exerc´ıcio 5) Ache a medida em radianos do aˆngulo entre −→u e −→v nos casos:
a) −→u = (1, 0, 1) e −→v = (−2, 10, 2) b) −→u = (3, 3, 0) e −→v = (2, 1,−2)
c) −→u = (−1, 0, 1) e −→v = (0, 1000, 0) d) −→u = (3000, 3000, 1000) e −→v = (−2000, 1000, 2000)
Sugesta˜o: na letra d)procure vetores com coordenadas mais simples tais que a medida do aˆngulo
formado seja a mesma.
Exerc´ıcio 6) Encontre m de modo que −→u ⊥ −→v nos casos:
a) −→u = (m, 0, 3) e −→v = (1,m, 3) b) −→u = (m,m, 4) e −→v = (4,m, 1) c) −→u = (m + 1, 1, 2) e−→v = (m− 1,−1,−2)
Exerc´ıcio 7) Encontre −→u tal que ||−→u || = √2, a medida em graus do aˆngulo entre −→u e (1,−1, 0)
seja 45o e −→u ⊥ (1, 1, 0).
Exerc´ıcio 8) A medida em radianos do aˆngulo entre −→u e −→v e´ pi
4
. Sabendo-se que ||−→u || = √5 e
||−→v || = 1, encontre a medida em radianos do aˆngulo entre −→u +−→v e −→u −−→v .
Exerc´ıcio 9) Dados os vetores −→u = (1, a,−2a− 1), −→v = (a, a− 1, 1) e −→w = (a,−1, 1), determine
a de modo que −→u · −→v = (−→u +−→v ) · −→w .
Exerc´ıcio 10) Determine o vetor −→v , sabendo-se que (3, 7, 1) + 2−→v = (6, 10, 4)−−→v .
Exerc´ıcio 11) Dados os pontos A = (1, 2, 3), B = (−6,−2, 3) e C = (1, 2, 1), determine o versor
do vetor 3
−−→
AB − 2−−→BC.
Lembre-se que o versor de um vetor −→v e´ um vetor unita´rio de mesmos sentido e
direc¸a˜o de −→v .
Exerc´ıcio 12) Calcule o per´ımetro do triaˆngulo de ve´rtices A = (0, 1, 2), B = (−1, 0,−1) e
C = (2,−1, 0).
1
Exerc´ıcio 13) Encontre m,n de forma que o ponto P = (0,m, n) seja equidistante dos pontos
A = (2,−3, 1) e B = (−2, 1,−1).
Exerc´ıcio 14) Considere o triaˆngulo de ve´rtices A = (−1,−2, 4), B = (−4,−2, 0) e C = (3,−2, 1).
Determine o aˆngulo interno ao ve´rtice B.
Exerc´ıcio 15) Sabendo-se que o aˆngulo entre os vetores −→u = (2, 1,−1) e −→v = (1,−1,m+ 2) e´ pi
3
,
determinar m.
Exerc´ıcio 16) Provar que os pontos A = (5, 1, 5), B = (4, 3, 2) e C = (−3,−2, 1) sa˜o ve´rtices de
um triaˆngulo retaˆngulo.
Exerc´ıcio 17) Determinar um vetor unita´rio ortogonal ao vetor −→v = (1,−1, 3).
Exerc´ıcio 18) Determinar a projec¸a˜o do vetor −→u = (1, 2,−3) na direc¸a˜o de −→v = (2, 1,−2).
Exerc´ıcio 19) Dados os vetores −→u = (2,−1, 1), −→v = (1,−1, 0) e −→w = (−1, 2, 2), calcular:
(a) −→w ×−→v (b) −→v × (−→w −−→v ) (c) (2−→u )× (3−→w )
(d) (−→u ×−→v )×−→w e −→u × (−→v ×−→w ) (e)2−→u × (−→v +−→w ) (f) (−→u + 2−→v )× (−→u − 2−→v ).
Exerc´ıcio 20) Determinar um vetor unita´rio simultaneamente ortogonal aos vetores−→v = (1, 1, 0) e −→u = (2,−1, 3). Nas mesmas condic¸o˜es, determinar um vetor de mo´dulo 3.
Exerc´ıcio 21) Qual o comprimento da projec¸a˜o de −→u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x?
Exerc´ıcio 22) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2−→a + −→b e −→b − −→a ,
sendo −→a = (3,−1,−2) e −→b = (1, 0,−3).
Exerc´ıcio 23) Calcular a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A = (1, 0, 1), B = (4, 2, 1) e C = (1, 2, 0).
Exerc´ıcio 24) Calcular a a´rea do paralelogramo que tem um ve´rtice no ponto A = (3, 2, 1) e uma
diagonal de extermidades B = (1, 1,−, 1) e C = (0, 1, 2).
Exerc´ıcio 25) A medida em radianos do aˆngulo entre −→u e −→v e´ pi
6
. Calcule ||−→u ×−→v || e ||1
3
−→u × 3
4
−→v ||
sabendo que ||−→u || = 1 e ||−→v || = 7.
Exerc´ıcio 26) Verificar se sa˜o coplanares os seguintes vetores:
(a) −→u = (3,−1, 2), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (−2, 3, 4)
(a) −→u = (2,−1, 0), −→v = (3, 1, 2) e −→w = (7,−1, 2)
Exerc´ıcio 27) Verificar se sa˜o coplanares os seguintes pontos:
(a) A = (1, 1, 1), B = (−2,−1,−3), C = (0, 2,−2) e D = (−1, 0,−2)
(b) A = (2, 1, 3), B = (3, 2, 4), C = (−1,−1,−1) e D = (0, 1,−1)
Exerc´ıcio 28) Sejam os vetores −→u = (1, 1, 0) e −→v = (2, 0, 1), −→w 1 = 3−→u − 2−→v , −→w 2 = −→u + 3−→v e−→w 3 = −→i +−→j − 2−→k . Determine a o volume do paralelep´ıpedo definido pelos vetores −→w 1,−→w 2 e −→w 3.
2
Exerc´ıcio 29) Calcule o volume do tetraedro ABCD, sendo A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0, ) C =
(0, 0, 1) e D = (4, 2, 7).
Exerc´ıcio 30) Verificar se os pontos P1 = (5,−5, 6) e P2 = (4,−1, 12) pertencem a` reta
r :
x− 3
−1 =
y + 1
2
=
z − 2
−2
Exerc´ıcio 31) Determinar o ponto da reta
r :

x = 2− α
y = 3 + α
z = 1− 2α, α ∈ R
que tem a primeira coordenada 4.
Exerc´ıcio 32) Mostrar que os pontos A = (−1, 4, 3), B = (2, 1, 3) e C = (4,−1, 7) sa˜o colineares.
Exerc´ıcio 33) Criar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:
(a) r :
{ x+ 1
3
=
z − 3
4
y = 1
(b) s :

x = 2α
y = −1
z = 2− α, α ∈ R
Exerc´ıcio 34) Determinar as equac¸o˜es das seguintes retas:
(a) que passa pelo ponto A = (1, 2, 4) e e´ paralela ao vetor (1, 0, 0).
(b) que passa por A = (2, 3, 4) e e´ ortogonal ao mesmo tempo aos vetores (1, 0, 0) e (0, 1, 0).
Exerc´ıcio 35) Obtenha equac¸o˜es parame´tricas para os treˆs eixos coordenados.
Exerc´ıcio 36) Escreva equac¸o˜es parame´tricas para a reta que passa pelo ponto A = (2, 0,−3) e e´
paralela a` reta r :
1− x
5
=
3y
4
=
z + 3
6
.
Exerc´ıcio 37) Verifique se r : X = (1, 1, 0) + α(1, 0,−1
2
) e s : X = (0, 1,
1
2
) + β(−2, 0, 1) sa˜o
iguais, onde α, β ∈ R.
Exerc´ıcio 38) Dados A = (0, 2, 1), r : X = (0, 2,−2) +α(1,−1, 2), ache os pontos de r que distam√
3 de A. Em seguida, diga se a distaˆncia do ponto A a` reta e´ maior, menor ou igual a
√
3, justificando
sus resposta.
Exerc´ıcio 39) Obtenha as equac¸o˜es parame´tricas do plano pi que passa pelo ponto A = (1, 1, 2) e
e´ paralelo ao plano pi1 : (1, 0, 0) + λ(1, 2,−1) + µ(2, 1, 0), λ, µ ∈ R.
Exerc´ıcio 40) Obtenha as equac¸o˜es gerais dos planos abaixo:
(a) pi passa por A = (1, 1, 0) e B = (1,−1,−1) e e´ paralelo ao vetor −→v = (2, 1, 0).
3
(b) pi passa por A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,−1) e e´ paralelo ao segmento CD onde C = (1, 2, 1) e
D = (0, 1, 0).
(c) pi passa pelos pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0).
Exerc´ıcio 41) Dadas as retas r e s, obtenha a equac¸a˜o geral do plano determinado por r e s nos
casos:
(a) r :
x− 1
2
=
y
2
= z e s : x− 1 = y = z
(b) r :
x− 1
2
=
y − 3
4
=
z
4
e s :
x
2
=
y
3
=
z − 4
4
Exerc´ıcio 42) Obtenha um vetor normal ao plano pi nos casos:
(a) pi passa por A = (1, 1, 1), B = 1, 0, 1 e C = (1, 2, 3).
(b) pi :

x = 1 + α
y = 2− α+ β
z = α− 2β, α, β ∈ R
(c) pi tem equac¸a˜o geral x− 2y + 4z = −1
Exerc´ıcio 43) Deˆ uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa pela origem e e´ perpendicular a` reta
que passa por A = (1, 1, 1) e B = (2, 1,−1).
Exerc´ıcio 44) Decomponha o vetor −→v = (−3, 4,−5) em soma de dois vetores, um deles ortogonal
e o outro paralelo ao plano pi :

x = 1− α
y = −2
z = α− β, α, β ∈ R
Exerc´ıcio 45) Deˆ uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa pela origem e e´ perpendicular a` reta
que passa por A = (1, 1, 1) e B = (2, 1,−1).
Exerc´ıcio 46) Decomponha o vetor −→v = (−3, 4,−5) em soma de dois vetores, um deles ortogonal
e o outro paralelo ao plano pi :

x = 1− α
y = −2
z = α− β, α, β ∈ R
Exerc´ıcio 47) Prove que o lugar geome´trico dos pontos equidistantes de A = (1,−1, 2) e
B = (4, 3, 1) e´ um plano. Mostre que este plano passa pelo ponto me´dio do segmento AB e e´
perpendicular ao segmento AB.
Exerc´ıcio 48) Determine valores de a e b para que os planos pi1 : ax + by + 4z − 1 = 0 e
pi2 : 3x− 5y − 2z + 5 = 0 sejam paralelos.
Exerc´ıcio 49) Determine a equac¸a˜o geral do plano:
(a) que conte´m os pontos A = (1,−2, 2) e B = (−3, 1,−2) e e´ perpendicular ao plano pi :
2x+ y − z + 8 = 0
(b) que conte´m o ponto A = (4, 1, 0) e e´ perpendicular aos planos pi1 : 2x − y − 4z − 6 = 0 e
pi2 : x+ y + 2z − 3 =0
4
Exerc´ıcio 40) Mostre que os planos pi1 : X = (0, 0, 0) + λ(−1,m, 1) + µ(2, 0, 1), λ, µ ∈ R e
pi2 : X = (1, 2, 3)α(m, 1, 0) + β(1, 0,m), α, β ∈ R sa˜o transversais para qualquer m ∈ B.
Exerc´ıcio 51) (a) Calcule m e n para que a reta r :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 4 esteja contida no plano
pi : nx+my − z − 2 = 0.
(b) Determine m para que as retas r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1,−1) + λ(1,m, 2m)
sejam coplanares. Estas retas sa˜o paralelas?
5