Função Composta

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Composição de Funções 
Existem muitas situações em que uma função depende de uma variável que, por sua vez, depende 
de outra, e assim por diante. Podemos dizer, por exemplo, que a concentração de monóxido de carbono 
na atmosfera, de uma determinada cidade, depende da quantidade de carros que trafega por ela, porém 
a quantidade de carros varia com o tempo. Consequentemente, a concentração de monóxido de carbono 
varia com o tempo. Nestas situações, compondo-se as funções de modo apropriado, podemos expressar 
a quantidade original como função da última variável. 
Na prática, combinar (compor) duas funções, para obter uma nova, é muito simples: suponha que 
( ) 1  y f u u
 e 
2( ) u g x x
. Como y é uma função de u, que é uma função de x, então y pode ser 
escrito como uma função de x. Assim, temos que:
2 2( ) ( ( )) ( ) 1.y f u f g x f x x    
 Vejamos outro 
exemplo: 
EXEMPLO 1 Um estudo das condições ambientais de uma comunidade indica que a taxa média 
diária de monóxido de carbono no ar será de 
( ) 0,5 1c p p 
 partes por milhão (ppm), quando a população 
for de p milhares. Estima-se que daqui a t anos, a população da comunidade será de 
2( ) 10 0,1 p t t
milhares. Expresse a taxa de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo. 
Solução 
Como a taxa de monóxido de carbono está relacionada a p através da 
equação 
( ) = 0,5 +1c p p
, e a variável p está relacionada à variável t pela equação
2( ) =10 0,1 ,p t t
 a 
função composta 
2 2( ( )) = 0,5(10+ 0,1 ) +1= 6+ 0,05c p t t t 
nos dá a taxa de monóxido de carbono no ar como função da 
variável t. 
 
O processo de combinar funções, para obter uma nova, é chamado de composição de funções e 
definido do seguinte modo: 
Definição: Sejam 
: A Bg 
 e 
 : Im Cf g 
. Definimos a composta 
de f com g, e denotamos por 
f g
 (lê-se f “bola” g), à função 
dada por 
     f g x f g x
. A função 
    h x f g x
 
é 
chamada função composta de f com g, aplicada em x. 
O esquema seguinte ilustra a definição: 
 
 
 
 
Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f. 
Consequentemente, o domínio de
f g
é o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal que g(x) está 
no domínio de f. Em outras palavras, para calcular 
     f g x f g x
é necessário que x esteja no 
domínio de g [para calcular g(x)] e que g(x) esteja no domínio de f [para que seja possível calcular 
  ].f g x
 
EXEMPLO 2 Seja 
( ) f x x
 para 
0x
 e 
2( ) 1 g x x
 para todo x real. Determine 
 f g
 e 
 g f
. 
Solução 
Temos que: 
       2 21 1    f g x f g x f x x
 
         
2
1 1     g f x g f x g x x x
. 
 
OBS.: 
1. No exemplo anterior você pode observar que 
f g g f
. Isso acontece na maioria das vezes 
e significa que a operação de composição entre funções não satisfaz a propriedade comutativa
 .f g g f
 Ou seja, a ordem na qual as funções são compostas pode fazer diferença no 
resultado final. 
2. A notação 
f g significa que a função g é aplicada em primeiro lugar e, em seguida, aplica-se 
à função f. 
 
EXEMPLO 3 Verifique se é possível calcular
,g f
sendo dadas as funções
  2f x x 
 e 
  .g x x
 
Solução 
O objetivo nosso é calcular 
     .g f x g f x
 
Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g. 
     Dom e Dom 0,f g  
 
Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de f e 
 f x
 deve estar no domínio de g, para que a função 
  g f x
 faça sentido. Para que possamos calcular 
,g f
devemos então ter a seguinte situação: 
 
 
 
 
Assim, temos que: 
 Domx f 
  x pode ser qualquer número real. 
     Dom 0,f x g  
  
  2 0f x x  
, que só é possível se x = 0. 
Portanto, podemos aplicar a função g em f (x), somente quando x = 0. 
Vejamos como se dá isso na prática. 
2 2( )( ) ( ( )) ( ) ( )g f x g f x g x x    
 
que está definida apenas para x = 0. 
Portanto, não podemos aplicar a função g, uma vez que não é possível extrair a raiz quadrada de um 
número negativo nos reais. Consequentemente, só é possível calcular 
g f
, para as funções dadas, 
quando x = 0. 
EXEMPLO 4 Considere as funções 
   2 1 e .f x x g x x  
 Determine o domínio da função 
composta
.f g
 
Solução 
O objetivo nosso é calcular 
     .f g x f g x
 
Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g. 
     Dom e Dom 0,f g  
 
Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio 
de g e 
 g x
 deve estar no domínio de f, para que a função 
  f g x
 faça sentido. Para que 
possamos calcular 
,f g
devemos então ter a seguinte situação: 
 
Assim, temos que: 
   Dom 0,x g  
  x pode ser qualquer número real maior ou igual a zero
 0 .x 
 
   Domg x f 
  
 g x x
 pode ser qualquer número real (no caso aqui, será um 
número real maior ou igual a zero, pela restrição de x feita anteriormente). 
Continuando, temos que: 
         
2
1 1.f g x f g x f x x x     
 
Se considerarmos apenas a igualdade 
   1f g x x 
 
 
 
 
 
para determinar o domínio da composta, poderíamos ser levados a concluir, erroneamente, que o 
domínio é o conjunto de todos os números reais. 
Contudo, vimos que x deve ser não negativo para pertencer ao domínio de g. Assim, o domínio da 
composta
f g
consiste de todos os números do intervalo 
 0,
 e não de todos os números reais. 
Observe que, quando não existe nenhuma outra restrição de domínio, além daquela relacionada à função 
que aplicamos em primeiro lugar, no processo de composição, o domínio da função composta será igual 
ao domínio da função que é aplicada em primeiro lugar. No caso aqui, a função g. 
EXEMPLO 5 Considere as funções 
   2
1
1 e .
1
f x x g x
x
  

 Determine o domínio da função 
composta
.g f
 
Solução 
O objetivo nosso é calcular 
     .g f x g f x
 
Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g. 
   Dom e Dom {1}f g  
 
Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de f e 
 f x
 deve estar no domínio de g, para que a função 
  g f x
 faça sentido. 
Assim, temos que: 
 Domx f 
  x pode ser qualquer número real 
   Dom {1}f x g  
  
  2 1f x x 
 pode ser qualquer número real diferente de 1 
  
  2 1 1 2f x x x     
 
Continuando o processo de composição, obtemos o seguinte: 
       
 
2
22
1 1
1 .
21 1
g f x g f x g x
xx
    
 
 
Agora, devemos observar que a restrição feita anteriormente 
 2x  
 para a função 
 f x
, é 
suficiente para garantir que a função obtida na composição faça sentido. Portanto, o domínio da função 
composta 
,f g
consiste de todos os números do conjunto 
, 2 2, 2 2, .          
     
 
Nesse exemplo, você pode observar que o domínio da função composta é diferente do domínio da função 
f, que é aplicada em primeiro lugar no processo de composição. Isso se deve ao fato de existir uma 
restrição de domínio relacionada à função g, que é aplicada por último. 
EXEMPLO 6 Sabendo que
   
2
1
e 2 6f x g x x
x
  
, determine o domínio, a imagem e a 
expressãoque representa 
  .f g x
 
Solução 
O objetivo nosso é calcular 
     .f g x f g x
 
 
 
 
 
Primeiramente, vamos calcular o domínio da função f e da função g. 
     Dom {0} e Dom 3,f g   
 
Para calcular a composta, em primeiro lugar é necessário observar que x deve estar no domínio de g e 
 g x
 deve estar no domínio de f, para que a função 
  f g x
 faça sentido. 
Assim, temos que: 
   Dom 3,x g  
  x pode ser qualquer número real maior ou igual a 3. 
   Dom {0}g x f  
  
  2 6 0 3g x x x    
 
Continuando o processo de composição, obtemos o seguinte: 
       
 
2
1 1
2 6 .
2 62 6
f g x f g x f x
xx
    

 
Se considerarmos apenas a igualdade 
  
1
2 6
f g x
x


 
para determinar o domínio da composta, poderíamos ser levados a concluir, erroneamente, que o 
domínio é o conjunto de todos os números reais diferentes de 3. 
Contudo, vimos que x pode ser qualquer número real maior ou igual a 3, para pertencer ao domínio de 
g, mas tem que ser diferente de 3, para 
 g x
 pertencer ao domínio de f. 
Assim, o domínio da composta,
,f g
consiste de todos os números reais do intervalo 
 3,
 e não de 
todos os números reais diferentes de 3. 
Para determinar a imagem da função 
 
1
2 6
u h x
x
 

 obtida, basta calcular a inversa dessa função e 
determinar o seu domínio. Para isso, basta isolar a variável independente, na equação que define a função 
h, e determinar o domínio da função obtida pelo processo de inversão. Ou seja, 
 
1 1 1 1
2 6 2 6 3
2 6 2
u h x x x x
x u u u
          

 
Se fôssemos considerar apenas essa função para calcular o domínio da inversa e, consequentemente, a 
imagem da função composta, poderíamos errar na nossa avaliação e concluir que: 
   1Im Dom {0}.h h  
 
Devemos lembrar que a função composta h só está definida para 
3.x 
 Assim, devemos pensar do 
seguinte modo: 
1 1
3 3 3 0 0
2 2
x u
u u
       
 
Portanto, 
   1 *Im Dom .h h  
 
 
 
 
 
No estudo do Cálculo Diferencial, trabalhamos mais com a “decomposição” de funções do que 
com o processo de compor funções. Por exemplo, considere a função 
2( ) ln( 1).h x x 
 
Para calcular o valor de h(x), para um dado valor de x, primeiramente calculamos o valor de 
2( 1)x 
 e, em seguida, calculamos o logaritmo neperiano do resultado. 
Observe que, essas duas operações são executadas pelas funções 
 2( ) 1 e lng x x f x x  
 
de modo que 
  2( ) ln( 1) ln( ( )) ( ( )) .h x x g x f g x f g x    
 
Ou seja, a função 
2( ) ln( 1)h x x 
 foi decomposta em duas funções mais simples. 
 
 
OBS.: 
Escrevendo 
( ) ( ( )),h x f g x
 iremos nos referir a g como a “função de dentro” e a f como a “função 
de fora” de maneira que, a “função de dentro” realiza a primeira operação e a “função de fora” 
realiza a segunda operação. 
 
 
EXEMPLO 7 Decomponha a função 
2( ) 9h x x 
 em funções mais simples. 
Solução 
Para calcular 
2 9,x 
 em primeiro lugar calculamos o valor de (x2 – 9) e, em seguida, a raiz quadrada 
do resultado. Assim, denotamos g(x) = x2 – 9 (como a função de dentro) e 
( )f x x
 (como a função 
de fora) de modo que: 
  2 2( ) 9 ( 9) ( ( )) .h x x f x f g x f g x     
 
 
 
OBS.: 
Importante observar que existem várias maneiras de se decompor uma função em funções 
mais simples. Nosso papel é escolher a maneira menos complicada de fazer isso. 
Por exemplo, poderíamos ter decomposto a função do Exemplo 7 do seguinte modo: 
Para calcular 
2 9,x 
 em primeiro lugar poderíamos ter calculado o valor de 
2 ,x
 em seguida, 
calculamos o valor de 
 2 9x 
 e, finalmente, a raiz quadrada do resultado. Assim, denotamos 
  2 ,v x x
 
  9g x x 
 e 
( )f x x
 de modo que: 
           2 2 2( ) 9 9 .h x x f x f g x f g v x f g v x      
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Dadas as funções f e g, determine a expressão que representa 
  f g x   e g f x
 e o domínio 
das funções compostas. 
(a) 
  2
1
( ) e 2
4 1
f x g x x
x
 

 (b) 
  2( ) e 4f x x g x x  
 
(c) 
 
1
( ) e
1
f x g x x
x
 

 
 
2. Encontre funções mais simples g e h tais que 
.f g h
 
(a) 
( ) 5f x x 
 (b) 
2( ) cosf x x
 
(c) 
1
( )
2 3
f x
x


 (d) 
2( ) 2cos( )f x x