38879754-EJulio-DDCosta-Betao-Armado

Prévia do material em texto

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
UNIVERSIDADE DE COIMBRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
BETÃO ARMADO I 
 
 
 
 
Módulo 1: Dimensionamento à Flexão de uma 
Viga Simplesmente Apoiada de acordo com o 
Eurocódigo 2 (Abril 2004) 
 
 
Eduardo N B S Júlio 
Daniel A S G Dias da Costa 
 
 
 
FCTUC 2007/2008 
 
1. BREVES CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
Com a iminente entrada em vigor dos eurocódigos de estruturas, considerou-se que os 
regulamentos a seguir nas aulas da disciplina de Betão Armado I do Mestrado Integrado 
em Engenharia Civil da FCTUC deveriam ser os Eurocódigos 0, 1 e 2, em lugar dos 
regulamentos nacionais, ainda em vigor, RSA e REBAP. 
 
Com este documento pretende-se fornecer aos alunos da disciplina, do ano lectivo 
2007/2008, os elementos relevantes a ter em conta no dimensionamento à flexão 
simples de vigas de betão armado, de acordo com o Eurocódigo 2 (versão Portuguesa, 
Abril 2004). 
 
O exemplo seleccionado foi adoptado dos textos de apoio à disciplina de Betão Armado I 
da Licenciatura em Engenharia Civil da FCTUC, do ano lectivo 1996/1997, da autoria de 
Eduardo Júlio e João Catarino. 
 
Os autores solicitam que lhes sejam comunicadas todas as imprecisões que, 
eventualmente, sejam detectadas. 
 
 
Eduardo Júlio e Daniel Dias da Costa 
Dimensionamento à Flexão 1 
 
Dimensionamento à Flexão 1
2. VIGA SIMPLESMENTE APOIADA 
 
Considere-se a viga simplesmente apoiada, representada na Fig. 1, localizada no 
interior da estrutura em que se insere, sujeita a uma acção permanente de 20 kN/m e a 
uma sobrecarga de utilização de 50 kN/m. 
Os materiais a considerar no dimensionamento são o betão C 20/25 e o aço S 400. 
 
 
Figura 1 
 
cálculo do vão efectivo 
5.3.2.2 – pg. 67 
1eff nl l a a= + + 2 (5.8) 
de acordo com a Figura 5.4 (a): 
 
0, 40 0,509,70 10,15
2 2eff
l m= + + = 
após o dimensionamento da altura da viga é necessária a verificação do pressuposto de 
que a altura da viga será superior a 0,50 m. 
 
combinação de acções 
2.4.3 (remete para o EC 0) 
de acordo com Anexo A1 do EC 0: 
, , ,1 ,1 , 0, ,
1
G j k j Q k Q i i k i
i
G Q Qγ γ γ
>
+ + Ψ∑ ∑ 
 
1,35Gγ = - efeito desfavorável 
 
 
Dimensionamento à Flexão 2
1,5Qγ = 
no caso em análise, tem-se: 
 1,35 20 1,5 50 102 /p k= × + × = N m 
 
cálculo de esforços 
2 2
,max
102 10,15 1313,5
8 8Sd
plM kNm×= = = 
 
pré-dimensionamento 
considerando, na expressão do momento reduzido, 2
Rd
Rd
cd
M
bd f
μ = , 
2b d= , Rd SdM M= e 0, 25econμ μ= = , tem-se: 3 0,125
Sd
cd
Md
f
= 
(nota: o valor de econμ deve ser determinado com dados actualizados do custo do betão, 
do aço, das cofragens e da mão-de-obra) 
 
Quadro 3.1 – pg. 34 
C 20/25 → fck = 20 N/mm2
 
Quadro 2.1N – pg. 28 
1,5cγ = 
 
3.1.6 
20 13,3
1,5cd
f MPa= = 
então, ( )1/31313,5 0,125 13300 0,92d m= × = 
 
secção transversal 
adopta-se h = 1,00 m e b = 0,50 m 
 
correcção do valor de MSd,max 
o peso volúmico do betão armado é 25 kN/m3, então o peso próprio da viga é: 
0,50 1,00 25 12,5 /pp kN m= × × = 
o que provoca um acréscimo no momento de cálculo, a meio vão, 
 
 
Dimensionamento à Flexão 3
 
2
,max
1,35 12,5 10,15 217,3
8Sd
M kNm× ×Δ = = 
sendo, então, o momento total: 
MSd,max = 1313,5 + 217,3 =1530,8 kNm 
 
estimativa da altura útil 
se se admitir que vai ser necessário agrupar varões e que o diâmetro escolhido será o 
φ25, o diâmetro equivalente do agrupamento será: 
 
8.9.1 (2) – pg. 162 
55n bn mφ φ= × ≤ m (8.14) 
2,5 2 3,54n cmφ = × = 
admitindo, ainda, que o diâmetro dos estribos será o φ8, então, o recobrimento (ao 
estribo), c, atendendo a que a viga é interior, logo da classe de exposição XC1 (ver 
Quadro 4.1 – pg. 54), será: 
 
4.4.1 – pg. 55 
minnom devc c c= + Δ (4.1) 
min min, min, , , ,max( ; ;10 )b dur dur dur st dur addc c c c c cγ= + Δ −Δ −Δ mm
mm
m
m
m
 (4.2) 
min max(35, 4;15;10) 35, 4c mm= = 
 
4.4.1.3 (1) – pg. 58 
10devc mΔ = 
8 35,4 10nomc m+ ≥ + 
37, 4nomc m≥ 
adopta-se então = 4,0 cm (ao estribo) nomc
o valor da altura útil será então, por defeito, 
d = 1,0 - 0,04 - 0,008 - 0,025 = 0,927 m 
 
determinação da armadura longitudinal 
2
1530,8 0,268
0,50 0,927 13300Sd
μ = =× × 
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se: 
μ = 0,268 e 0,0A A′ = vem ω = 0,321 
 
 
Dimensionamento à Flexão 4
213,30,321 0,50 0,927 56,9
348s
A cm= × × × = 
adopta-se 12 φ25 (As = 58,9 cm2) 
 
dispensa da verificação da segurança ao estado limite de deformação 
7.4.2 – pg. 144 
de acordo com (2), tem-se: 
3
0 10 0,45%ckfρ −= = 
4
0
58,9 10 1,27% 0,45%
0,5 0,927
sA
bd
ρ ρ
−×= = = > =× 
1K = (Quadro 7.4N pg. 146) 
0
0
111 1,5
12ck ck
l K f f
d
ρ ρ
ρ ρ ρ
⎡ ⎤′= + +⎢ ⎥′−⎣ ⎦
 (7.16b) 
0,45 1 01,0 11 1,5 20 20 13,4
1,27 0 12 0,45
l
d
⎡ ⎤= × + + =⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
este valor deve ser multiplicado por: 
( ), ,310 500s yk s req s provf A Aσ = (7.17) 
tem-se então: 
( )310 500 400 56,9 58,9 1, 29sσ = × = 
como o vão é superior a 7m , deve ainda multiplicar-se por 7/leff: 
7 7 10,15 0,effl = = 69 
tem-se então uma relação limite de: 
13,4 1,29 0,69 11,9l
d
= × × = 
sendo: 
10,15 10,9 11,9
0,927
l
d
= = < 
está-se dispensado da verificação ao Estado Limite de Deformação. 
 
armaduras mínima e máxima 
7.3.2 – pg. 137 
,min ,s s c ct eff ctA k kf Aσ = (7.1) 
 
 
Dimensionamento à Flexão 5
ctA é a área de betão traccionado imediatamente antes da formação da primeira fenda. 
A presença das armaduras desloca o eixo neutro na sua direcção, pelo que será 
conservativo considera-lo a meia altura. 
Act = 0,50 × 0,50 = 0,25 m2 
, 2, 2ct eff ctmf f M= = Pa (quadro 3.1 – pp. 34) 
O diâmetro deve ser corrigido em função das hipóteses de cálculo 
( ) ( )* , 2,9 2 c crs s ct eff k hf h dφ φ= − (7.6N) 
( ) ( )
0,4 0,525 2,2 2,9 26,0
2 1 0,927s
mmφ ×= =− 
interpolando a tensão no quadro 7.2N, para 0, 4kw mm= (quadro 7.1N), obtém-se 
σs = 220 MPa 
0, 4ck = 
0,65k = 
4 2
,min 0, 4 0,65 2, 2 0, 25 220 6,5 10 6,5s
2A m c−= × × × = × = m 
adicionalmente, 
 
de 9.2.1.1 (1) – pg. 171 tem-se: 
,min 0, 26 0,0013ctms t
yk
fA b d
f
= </ tb d (9.1N) 
4 2 4 2
,min
2, 20,26 0,5 0,927 6,6 10 0,0013 0,5 0,927 6,0 10
400s
A m m− −= × = × < × × = ×/ 
então, 
( ) 2 2,min max 6,5;6,6;6,0 6,6sA cm cm= = 
 
de 9.2.1.1(3) – pg. 171 vem: 
4 2
,max 0,04 0,5 1 200 10 200s
2A m c−= × × = × = m 
a armadura necessária para a flexão é superior à mínima e inferior à máxima 
regulamentares. 
 
distribuição da armadura na secção 
8.2 (1) – pg. 149 
a distância livre entre varões isolados deve ser superior ou igual ao diâmetro dos 
varões, à máxima dimensão do agregado acrescida de 5 mm e a 20 mm. 
 
 
 
Dimensionamento à Flexão 6
8.9.1 (3) – pg. 164 
a distância entre agrupamentos deve ser superior ou igual ao diâmetro equivalente. Não 
sendo, por isso, possível colocar os 12 φ25 numa só camada sem efectuar 
agrupamentos. Analise-se, então, a seguinte distribuição: 
 
2 4,8 7 2,5 6 50,0x cm× + × + × = 
3,82 3,54x cm cm⇒ = > 
logo esta é uma distribuição possível 
 
verificação da altura útil 
2,5 2,57 4,8 5 4,8 2,5
2 2
12
h d
⎛ ⎞ ⎛× + + × + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝− =
⎞⎟⎠ 
⇒ 100 - d = 7,09 cm ⇒ d = 92,9 cm 
como o valor estimado é ligeiramente inferior ao valor exacto, está-se do lado da 
segurança, pelo que o cálculo está correcto (se o valor de d desse inferior ao arbitrado, 
seria necessário verificar se a armadura adoptadaera suficiente e, caso não fosse, os 
cálculos teriam de ser repetidos) 
 
verificação da segurança ao estado limite de fendilhação 
7.3.3 – pg. 140 (quadro 7.3N) 
no caso em estudo não se coloca esta questão; a dificuldade é respeitar o espaçamento 
mínimo entre varões e não o máximo 
 
9.2.1.2(1) – pg. 172 
se a construção for monolítica, apesar de se ter assumido que os apoios da viga são 
rotulados, deve-se considerar nestes um momento negativo igual a 15% do momento 
máximo no vão e calcular a armadura correspondente. Deverá, no entanto, ser mantida 
a armadura mínima. 
2 20,15 58,9 8,8sA cm cm= × = 
adopta-se 3 φ20 (As = 9,42 cm2), a que corresponde uma altura útil de 
 
 
Dimensionamento à Flexão 7
d = 1,0 - 0,048 - 0,020/2 = 0,942 m 
como se pode concluir a armadura respeita os mínimos e máximos impostos pela 
regulamentação 
 
interrupção da armadura longitudinal 
9.2.1.4 (1) – pg. 173 
deve ser mantido até aos apoios das vigas pelo menos 25% da armadura de tracção no 
vão 
 
9.2.1.3 (2) – pg. 172 
para a armadura transversal calculada pelo procedimento preconizado em (6.2.1 – pg. 
96), 
( )cot cot 2 0la z θ α= − ≥ (9.2) 
o valor de z pode ser considerado igual a 0,9d (6.2.3 (1) – pg. 100); então tem-se: 
( )0,9 0,929 1 0 2 0, 42la m= × × − = 
os varões devem ser amarrados (a partir do ponto em que deixam de ser necessários) 
com um comprimento de amarração, lbd; 
 
8.4.3 – pg. 152 
, 4
sd
b rqd
bd
l
f
σφ= (8.3) 
 
8.4.2 (2) – pg. 151 
1 22, 25bd ctdf fηη= (8.2) 
 
3.1.6 (2) – pg. 39 
,0,05 1,5 1,0
1,5
ctk
ctd
C
f
f MPaγ= = = 
2, 25 1,0 1,0 1,0 2, 25bdf MPa= × × × = 
para avaliar a tensão nos varões a partir da zona onde é medido o comprimento da 
amarração, é preciso analisar o diagrama de momentos 
 
considerando que se efectua apenas uma interrupção de 4 φ25, vem 
As,req = As (8 φ25) = 39,3 cm2
0, 221s syd
cd
A f
bdf
ω = = tabelas Barros e Figueiras (2007)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→μRd = 0,196 
 
 
Dimensionamento à Flexão 8
MRd = μ b d2 fcd = 1125 kNm 
a equação de momentos é: 
2
603,29 118,88
2Sd
xM x= − 
então (apenas serão indicados os valores à esquerda do eixo de simetria), tem-se: 
MSd = MRd = 1125 kNm ⇒ x =2,46 m 
tem-se: 
As,prov = As (12 φ25) = 58,9 cm2
tem-se, então, que sdσ poderá ser aproximadamente obtido pela seguinte relação 
(admitindo variação linear da força 9.2.1.3 (3) – pg. 173): 
,
,
39,3348 232, 2
58,9
s req
sd yd
s pro
A
f MPa
A
σ ≈ = = 
,
0,025 232,2 0,65
4 2,25b rqd
l m= = 
o comprimento de amarração de cálculo pode então ser determinado 
 
8.4.4 (1) – pg. 153 
1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bl l lα α α α α= ≥ (8.4) 
1 1,0α = - varões rectos 
( 1min / 2, ,dc a c= )c
m cm
 (figura 8.3 – pg. 153) 
( )min 3,82 / 2;4,8;4,8 1,91dc c= = 
 
como ainda não se dimensionaram as cintas transversais pode assumir-se, pelo lado da 
segurança, que serão as mínimas. Assim 
3 1,0α = 
4 1,0α = - não existem varões transversais soldados 
5 1,0α = - ausência de compressão transversal no estado limite último ao longo de bdl
 
2 3 5 1,0 0,7α α α = ≥ (8.5) 
assim 
,min1,0 0,65bd bl l= × ≥ 
( ),min ,max 0,3 ;10 ;100b b rqdl l φ= mm
m mm
 (8.6) 
( ),min max 0,3 65;10 25;100 250bl m= × × = 
 
 
Dimensionamento à Flexão 9
 
logo: 
0, 42 0,65 1,39x m− − = 
 
armadura nos apoios 
9.2.1.4 (2) – pg. 173 
l
E E
aF V
z
= (9.3) 
o esforço pode habitualmente ser tomado na face do apoio e a altura útil também 
deveria ser corrigida. No entanto, por simplicidade e pelo lado da segurança 
EV
0,42603,29 303,05
0,929 0,9E
F k= =× N 
4 2303,05 8,71 10 8,71
348000s
2A m−= = × = cm é a área necessária para amarrar a armadura nos 
apoios 
 
8.4.3 – pg. 152 
, 4
sd
b rqd
bd
l
f
σφ= (8.3) 
As,req = 8,71 cm2
As,prov = As (8 φ25) = 39,3 cm2
tem-se, então que sdσ poderá ser aproximadamente obtido pela seguinte relação 
(admitindo variação linear da força 9.2.1.3 (3) – pg. 173): 
,
,
8,71348 77,1
39,3
s req
sd yd
s pro
A
f MPa
A
σ ≈ = = 
uma vez que se pretende amarrar no apoio varões agrupados (neste caso o central) 
deve-se considerar o diâmetro equivalente 
,
0,0354 77,1 0,30
4 2,25b rqd
l m= = 
 
9.2.1.4 (3) – pg. 174 
o comprimento de amarração é medido a partir da linha de contacto entre a viga e o 
apoio e a pressão transversal pode ser tida em conta. 
A reacção de apoio é o que induz uma pressão lateral de, no caso do apoio 
mais desfavorável, 
603, 29 kN
 
 
Dimensionamento à Flexão 10
603,29 2,41
0,5 0,5
p MPa= =× 
5 1,0 0,04pα = − (Quadro 8.2 – pg. 154) 
5 1,0 0,04 0,9pα = − = 
e assim 
,min0,9 0,30 0,27 0,25 0,27bd b bdl m l m= × = < = ⇒ =/ l 
 
8.9.2 (2) – pg. 163 
os varões dos agrupamentos devem ser amarrados individualmente e desfasados de 
uma distância igual a 1,3 vezes (no caso de agrupamentos de dois varões) o 
comprimento de amarração dos varões isolados; tem-se então: 
14,1+1,2×14,1 = 31,7 cm 
como este comprimento é contado desde a face interior do elemento de apoio, o espaço 
disponível é superior ao necessário: 
40 cm (largura do apoio) menos 3,8 cm (recobrimento mais estribo) = 36 cm; 
 
armadura de alma 
9.2.4 (1) – pg. 177 
a armadura de pele é necessária para agrupamentos 32n mmφ > . Também pode ser 
recomendável em vigas com uma altura total de 1,0 m ou mais, em que a armadura 
esteja concentrada apenas numa pequena porção da altura para controlar a fendilhação 
nas faces laterais. As disposições construtivas a respeitar encontram-se no Anexo J. 
 
J.1(2) – pg. 255 
, , min 0,01 ,s surf s surf ct extA A A< =/ 
na secção de momento máximo a posição do eixo neutro é dada por 
As,req = As (12 φ25) = 56,9 cm2
0,321s syd
cd
A f
bdf
ω = = tabelas Barros e Figueiras (2007)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→μRd = 0,268 e 0,397α = 
MRd = μRd b d2 fcd = 1538 kNm e 0,397 0,929 0,369x m= × = 
( ) ( ) ( ) 2, 1 0,369 0,5 1 0,369 0,04 0,5 0,04 2 0,06728ct extA m= − × − − − × − × = 
4 2 2
, min ,0,01 0,01 0,06728 6,7 10 6,7s surf ct extA A m
−= = × = × = cm 
a armadura deverá ser garantida em cada uma das direcções, paralela e ortogonal às 
armaduras de tracção da viga 
 
 
Dimensionamento à Flexão 11
da Figura J.1 tira-se que o valor do afastamento máximo entre os varões da armadura 
de alma é 150 mm 
o perímetro da secção transversal onde a armadura deverá ser distribuída é o seguinte 
(considerando φ10): 
( ) ( )2 1 0,369 0,04 0,5 0,04 2 1,602 mμ = × − − + − × = 
no total deverão ser (1,602 / 0,15) 1 11+ = varões longitudinais, pelo que a armadura 
poderá ser materializada por φ10 af.0,150, distribuída até uma altura máxima de 
. ( )1 0.369 0,65 m− ≈
 
J.1(4) – pg. 255 
É necessário verificar o recobrimento para as armaduras de pele. 
 
4.4.1 – pg. 55 
minnom devc c c= + Δ (4.1) 
min min, min, , , ,max( ; ;10 )b dur dur dur st dur addc c c c c cγ= + Δ −Δ −Δ mm
mm
m
mm
mm c
 (4.2) 
min max(10;15;10) 15,0c mm= = 
 
4.4.1.3 (1) – pg. 58 
10devc mΔ = 
15 10 25nomc mm≥ + = se as armaduras de pele encostarem nos estribos, o 
recobrimento real nominal é verificado será 40 10 10 20 25 nomc mm= − − = < = , pelo 
que pode justificar-se um ajuste da secção ou alteração da posição das armaduras. 
 
armadura transversal 
6.2.3 (3) – pg. 101 
( ),max 1 cot tanRd w cdV b z fν θ= θ+ (6.9) 
1 0,6 1 250
ckfν ⎛= −⎜⎝ ⎠
⎞⎟ (6.6N – pg. 100) 
tem-se, para estribos verticais, 
1
200,6 1 0,552
250
ν ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( ),max 0,5 0,9 0,929 0,552 13300 2 1534,6RdV k= × × × × = N
= ,max 603,29Sd kN=
 
como > V , não é necessário alterar as dimensões da 
secçãotransversal (é aconselhável fazer esta verificação logo que possível) 
,max 1534,6RdV kN
 
 
Dimensionamento à Flexão 12
calcule-se, em primeiro lugar, a zona da viga onde é suficiente colocar a armadura 
mínima (avaliação da capacidade resistente sem armadura de transverso) 
 
6.2.2 (1) – pg. 98 
( )1/3, , 100Rd c Rd c l ck wV C k f bρ⎡= ⎣ d⎤⎦ (6.2.a) 
, 0,18 0,18 1,5 0,12Rd c cC γ= = = 
200 2001 1 1,46
929
k
d
= + = + = ≤ 2,0 
458,9 10 0,013 0,02
0,5 0,929
sl
l
w
A
b d
ρ
−×= = = ≤× 
( )1/3 3, 0,12 1,46 100 0,013 20 500 929 10 241,1 Rd cV k−⎡ ⎤= × × × × × × × =⎣ ⎦ N
b d
 
sujeito a um mínimo de 
, minRd c wV ν= (6.2.b) 
3/2 1/2
min 0,035 ckk fν = (6.3N) 
3/2 1/2
min 0,035 1,46 20 0,276 ν = × × = 
pelo que 
3
, 0, 276 500 929 128, 2 10 128, 2 Rd cV N= × × = × = kN
N
m
 
pelo que 
, max(241,1;128,2) 241,1 Rd cV k= = 
a localização do ponto no diagrama de esforços transversos é 
603, 29 118,88 241,1 3,05SdV x kN x= − = ⇒ = 
para uniformizar as distâncias medidas à face do apoio, o comprimento será assumido 
de 3,30 m das extremidades dos apoios. 
603,29
603,29
241,1
241,1
2,85 2,80
3,303,30 4,00
1,
00 0,
65
V [kN]
 
 
 
Dimensionamento à Flexão 13
calcule-se agora o valor da armadura mínima nessa secção 
 
9.2.2 (5) – pg. 175 
Armaduras transversais mínimas 
para S 400 e C 20/25 tem-se: 
( ),min 0,08w ck ykf fρ = (9.5N) 
( ),min 0,08 20 400 0,00089443wρ = = 
( )sin 0,00089443w sw wA sbρ α= = 
4 2
min
0,00089443 0,5 1 4,47 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ = × × = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
determine-se agora qual o espaçamento longitudinal máximo regulamentar na zona em 
análise 
 
9.2.2 (6) – pg. 176 
( ),max 0,75 1 cotls d α= + 
,max 0,75 0,929 1 0,70ls m= × × = 
logo: 
então: ,max 0,70ls m=
determinação do espaçamento transversal máximo regulamentar na zona em análise 
 
9.2.2 (8) – pg. 176 
,max ,max0,75 0,75 0,929 0,70 0,6 0,60t ts d m m s= = × = ≤ ⇒ = m 
o espaçamento transversal máximo implica que dois ramos serão suficientes. 
para estribos φ8 de 2 ramos: 
E2rφ8 → As = 1,01 cm2
s ≤ 0,226 m 
adopta-se s = 20,0 cm 
 
6.2 (8) – pg. 97 
para elementos sujeitos a acções uniformemente distribuídas o esforço transverso pode 
ser apenas verificado a uma distância d do apoio 
pelo lado da segurança, apenas se analisa o apoio da esquerda a uma distância 
0, 4 2 0,929 1,13x m= + = 
603, 29 118,88 1,13 469 SdV k= − × = N 
 
 
Dimensionamento à Flexão 14
 
6.2.3 (3) – pg. 101 
, cotswRd s ywd
AV zf
s
θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (6.8) 
( ) 3, 0,9 0,929 348 10 1 469swRd s AV ks
⎛ ⎞= × × × × ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ N 
4 216,1 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ ≥ ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
para estribos φ8 de 3 ramos: 
s = 1,51/16,1 =0,094 m 
adopta-se E3rφ8af 0,075 m 
 
analise-se a possibilidade de aplicar uma transição de afastamento entre estribos de 
0,10 m 
4 215,1 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
, cotswRd s ywd
AV zf
s
θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (6.8) 
( )4 3, 15,10 10 0,9 0,929 348 10 1 439,35Rd sV k−= × × × × × ≥ N
m
 
a posição deste esforço pode ser encontrado a 
603, 29 118,88 439,35 1,38SdV x kN x= − = ⇔ = 
adopta-se então o seguinte escalonamento de armaduras: 
3,60
1,
00
3rφ8//0,075 3rφ8//0,10 2rφ8//0,20
12φ258φ25
1,55 1,55
1,75 1,75 1,75 1,75
3rφ8//0,10 3rφ8//0,075
8φ25
3φ20 3φ12
A
A' 3φ20
 
 
 
Dimensionamento à Flexão 15
φ8//0,075
3φ20
Corta A-A'
12φ25
0,50
1,
00
 
 
8.7.4.1 (3) – pg. 159 
nas zonas de amarração de varões, no caso de mais de 50% das armaduras estarem 
sobrepostas, deverá respeitar-se 8.7.4.1 (4) – pg. 159. 
 
 
EXERCÍCIO 2 
DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA CONTÍNUA SUJEITA A TORÇÃO 
Considere-se a viga contínua, representada na Fig. 2, localizada no interior de 
determinada estrutura e sujeita a uma sobrecarga de utilização de 13,33 kN/m. A 
sobrecarga referida apresenta uma excentricidade, relativamente ao centro de corte da 
secção transversal da viga, de 0,96 m. Além disso, deve ser considerada como actuando 
sempre simultaneamente nos dois troços da viga. 
Os apoios A e C não oferecem qualquer resistência à torção, enquanto o apoio B pode 
ser considerado como encastrado à torção. 
Os materiais a considerar no dimensionamento são o betão C 20/25 e o aço S 400. 
 
 
Figura 2 
 
 
 
 
 
 
Resolução
quantificação do peso próprio 
pp = 0,75×0,80×25 = 15 kN/m 
 
combinação de acções 
actuando a sobrecarga sempre simultaneamente nos dois troços da viga, não se tem de 
efectuar variações de sobrecarga e só há, consequentemente, uma combinação de 
acções a considerar; os esforços devem então ser calculados para a carga: 
p = 1,35×15+1,5×13,33 = 40,25 kN/m 
 
determinação de esforços 
momentos na estrutura base isostática 
 
 
aplicando o teorema dos 3 momentos, tem-se: 
( )
2 2181,125 6 3 181,125 6 3
3 32 6 6 6 181,125
6 6B B
M M k
⎛ ⎞× × × × × ×⎜ ⎟+ = + ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Nm 
considerando as equações da estática, vem: 
26181,125 6 40,25
2A
V− = − × ⇒ VA = 90,56 kN 
 
 
 
 
6.3 - Torção 
arbitra-se a posição do centro de gravidade dos varões da armadura longitudinal a 5 cm 
das faces: 
 
 
espessura da secção oca equivalente, t 
 
6.3.2 (1) – pg. 108 
At
u
= ≤ espessura real 
t ≥ 2c 
em que A é a área da secção, u é o perímetro da secção e c é a distância entre a face 
exterior da secção e o centro de gravidade das armaduras 
A = 0,75×0,80 = 0,6 m2
u = = 3,1 m ( )2 0,75 0,80+
,ef i
At
u
= = 0,19 m 
,2 0,05 0,10 0,19ef it m× = ≤ ≤ 
é adoptada uma espessura de 0, 10 m
 
secção crítica B
181,125
150,94
115,2
Sd
Sd
Sd
M kNm
V kN
T kNm
= −⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
 
 
6.3.2 (4) – pg. 109 
,max 2 sin coRd cd kT f A t sν θ= θ (6.30) 
considere-se que θ = 45º 
cálculo dos valores de ν e Ak
0,6 1
250
ckfν ⎛= −⎜⎝ ⎠
⎞⎟ (6.6N) 
para um betão C20/25 vem 
200,6 1 0,552
250
ν ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
considerando t = 0,10 m vem 
( )( ) 20,75 0,10 0,80 0,10 0, 455kA m= − − = 
então 
3
,max 2 0,552 13,3 10 0, 455 0,10 sin 45º cos 45ºRdT = × × × × × × × 
,max 334,04RdT k= Nm
Nm
 
TSd = 115,2 kNm < , verifica ,max 334,04RdT k=
 
6.2.3 (3) – pg. 101 
( ),max 1 cot tanRd w cdV b z fν θ= θ+ (6.9) 
1 0,6 1 250
ckfν ⎛ ⎞= −⎜⎝ ⎠⎟ (6.6N) 
tem-se, para estribos verticais, 
1
200,6 1 0,552
250
ν ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( ),max 0,75 0,9 0,75 0,552 13300 2RdV = × × × × 
,max 1858,34RdV = kN > 150,94 kN = VSd, verifica 
é necessário ainda efectuar a verificação 
 
6.3.2 (4) 
,max ,max
1Sd Sd
Rd Rd
T V
T V
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
≤ (6.29) 
tem-se 
115,2 150,94 0,426 1
334,04 1858,34
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≤ 
 
dimensionamento da armadura transversal 
6.3.2 (1) – pg. 108 
a armadura transversal de torção pode ser obtida a partir da expressão 6.26 – pg. 108, 
obtendo-se 
( )2 cRd k ywd swT A f A s otθ= 
32 0,455 348 10 1 115,2swRd
AT k
s
⎛ ⎞= × × × × ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ Nm 
4 23,64 10 /swA m m
s
−= × 
 
9.2.3 (3) – pg. 177 
Afastamento longitudinal das armaduras transversais 
( )2 0,75 0,8 0,3875
8 8
us m
+≤ = = 
0,75ws b m≤ = 
 
9.2.2 (6) – pg. 176 
(,max 0,75 1 cotls d )α= + (9.6N) 
,max 0,75 0,75 1 0,5625ls m= × × = 
logo: 
então: ,max min(0,3875;0,5625) 0,3875ls m= = m
d⎤⎦
 
Determinação da armadura transversal 
6.2.2 (1) – pg. 98 
Avaliação da capacidade resistente sem armadura de transverso 
( )1/3, , 100Rd c Rd c l ck wV C k f bρ⎡= ⎣ (6.2.a) 
, 0,18 0,18 1,5 0,12Rd c cC γ= = = 
200 2001 1 1,52
750
k
d
= + = + = ≤ 2,0 
0,02sll
w
A
b d
ρ = ≤ 
Torna-se necessárioa determinação da armadura longitudinal de flexão para que se 
possa continuar a avaliação do esforço transverso. 
MSd = -181,125 kNm → μSd = 0,0322 
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se: 
w = 0,033 → slA = 7,09×10-4 m2 
a esta armadura deverá ser adicionada a armadura longitudinal de torção que será 
seguidamente avaliada 
 
6.3.2 (3) – pg. 109 
cot
2
sl yd Sd
k k
A f T
u A
θ=∑ (6.28) 
3
115,2 11
2 0,455 348 10
sl
k
A
u
= × ×× ×
∑ 
4 23,64 10sl
k
A
m m
u
−= ×∑ 
pelo que a armadura longitudinal total na face inferior: 
27,09 3,64 0,65 9,46slA cm= + × = 
é agora possível a avaliação a armadura que suporta o esforço transverso 
ρ1 = 
49, 46 10 0,17%
0,75 0,75
−× =× 
( )1/3 3, 0,12 1,52 100 0,0017 20 750 750 10 154,3 Rd cV k−⎡ ⎤= × × × × × × × =⎣ ⎦ N
b d
 
sujeito a um mínimo de 
, minRd c wV ν= (6.2.b) 
3/2 1/2
min 0,035 ckk fν = (6.3N) 
3/2 1/2
min 0,035 1,52 20 0,293ν = × × = 
pelo que 
3
, 0, 293 750 750 10 164,8 kRd cV N
−= × × × = 
pelo que 
, max(154,3;164,8) 164,8 Rd cV k= = N 
 
como VSd = 150,94 kN < 164,8 kN = VRd,c 
só é necessária armadura mínima 
 
Armaduras mínimas 
9.2.2 (5) – pg. 175 
( ),min 0,08w ck ykf fρ = (9.5N) 
( ),min 0,08 20 400 0,00089443wρ = = 
( )sinw sw wA sbρ α= (9.4) 
,min
min
10,00089443
0,75 1
sw
w
A
s
ρ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ 
4 2
min
0,00089443 0,75 1 6,7 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ = × × = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
9.2.2 (8) – pg. 176 
,max 0,75 0,6 ts d= ≤ m
m
 (9.8N) 
,max 0,75 0,75 0,5625 0,6 ts m= × = ≤ 
o espaçamento transversal máximo implica a necessidade de ter mais de dois ramos. 
ramos laterais 
22 6,7 2 3,64 11,75 /
3
sA cm m
s
≥ × + × = 
E2rφ8 → As = 1,01 cm2
s ≤ 0,086 m 
adopta-se s = 7,5 cm 
 
ramo central 
21 6,7 2,23 /
3
sA cm m
s
≥ × = 
s = 7,5 cm → As ≥ 0,17 cm2 → φ6 
embora φ6 fosse suficiente para o ramo central, adopta-se igualmente φ8 
 
emendas da armadura de torção 
8.7 – pg. 156 
8.7.3 – pg. 157 
o comprimento de sobreposição pode ser avaliado pela expressão seguinte 
1 2 3 4 5 6 , 0,minbd b rqdl l lα α α α α α= ≥ (8.10) 
, 4
sd
b rqd
bd
l
f
σφ= (8.3) 
 
8.4.2 (2) – pg. 151 
1 22,25bd ctdf fηη= (8.2) 
 
3.1.6 (2) – pg. 39 
,0,05 1,5 1,0
1,5
ctk
ctd
C
f
f MPaγ= = = 
2, 25 1,0 1,0 1,0 2, 25bdf MPa= × × × = 
213,98 /s
req
A cm m
s
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
220,13 /s
prov
A cm m
s
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
tem-se, então, que sdσ poderá ser aproximadamente obtido pela seguinte relação: 
,
,
13,98348 242
20,13
s req
sd yd
s pro
A
f MPa
A
σ ≈ = = 
,
0,008 242 0,22
4 2,25b rqd
l m= = 
por simplicidade assume-se que os vários coeficientes 1 2 3 4 5 1,0α α α α α= = = = = . Verifica-
se se o comprimento disponível de sobreposição é suficiente. Caso o não seja, os 
coeficientes deverão ser avaliados. De acordo com o quadro 8.3, para percentagem de 
varões sobrepostos superior a 50%, 6 1,5α = 
1 1,5 0, 22 0,33bdl m= × × = 
( )0,min 6 ,max 0,3 ;15 ;200b rqdl lα φ> mm
m mm
 (8.11) 
( )0,min max 0,3 1,5 220;15 8;200 200l m= × × × = 
 
solução adoptada
φ8 af.0,075
 
 
dimensionamento da armadura 
longitudinal 
de acordo com o cálculo já efectuado atrás, 
4 23,64 10sl
k
A
m m
u
−= ×∑ 
 
9.2.3 (4) – pg. 177 
os varões devem ser dispostos de modo a que haja pelo menos um varão em cada canto 
e o espaçamento máximo entre eles seja 350 mm 
 
MSd = -181,125 kNm 
(momento flector na secção B) 
de acordo com os cálculos atrás realizados, 
slA = 7,09×10-4 m2
(armadura superior máxima devido a momento flector) 
 
MSd,max = 101,88 kNm 
(momento flector nas secções a 2,25 m das secções dos apoios laterais) 
2 2
101,88 0,018
0,75 0,75 13300
Sd
Sd
cd
M
bd f
μ = = =× × → ω = 0,018 
As = 0,018×0,75×0,75×13,3/348 
As = 3,87×10-4 m2
(armadura inferior máxima devido a momento flector) 
 
a percentagem de armadura inferior em apoios intermédios é a indicada em 
9.2.1.4 (1), isto é, deve-se manter no apoio pelo menos um quarto da armadura 
existente no vão. Então, na secção B, a armadura necessária em cada uma das quatro 
faces é: 
3,64x0,65+7,09=9,46 cm 2
3,64x0,70=2,55 cm 2
3,64x0,65+3,87/4=3,33 cm 2
3,64x0,70=2,55 cm 2
 
secção a 4,0 m do apoio A
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
=
kNm,T
kN,V
kNm,M
Sd
Sd
Sd
876
4470
2440
 
 
dimensionamento da armadura transversal 
6.3.2 (1) – pg. 108 
( )2Rd k ywd swT A f A s cotθ= (6.26) 
32 0,455 348 10 1 76,8swRd
AT k
s
⎛ ⎞= × × × × ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ Nm 
4 22,425 10 /swA m m
s
−= × 
sendo 
,max 0,3875ls = m
kN
 (já determinado para a secção B) 
4.3.2.3(1) 
, max(154,3;164,8) 164,8 Rd cV = = (já determinado para a secção B) 
como VSd = 70.44 kN < 164,8 kN = , ,Rd cV
só é necessária armadura mínima 
 
Armaduras transversais mínimas 
9.2.2 (8) – pg. 176 
,max 0,5625 ts m= 
o espaçamento transversal máximo implica a necessidade de ter mais de dois ramos. 
ramos laterais 
22 6,7 2 2,43 9,33 /
3
sA cm m
s
≥ × + × = 
E2rφ8 → Asw = 1,01 cm2
s ≤ 0,11 m 
adopta-se s = 10 cm 
 
ramo central 
21 6,7 2,23 /
3
sA cm m
s
≥ × = 
s = 10 cm → As ≥ 0,22 cm2 → φ8 (pela razão anteriormente referida de uniformização) 
 
s = 10,0 cm e E3rφ8, uma vez que respeita indicados para a secção B 
φ8 af.0,10
 
 
emendas da armadura de torção 
0,33bdl m= 
 
dimensionamento da armadura longitudinal 
2
90,56 40,25
2sd
xM x= − 
 
9.2.1.3 (2) – pg. 172 
para a armadura transversal calculada pelo procedimento preconizado em (6.2.1 – pg. 
96), 
( )cot cot 2 0la z θ α= − ≥ (9.2) 
o valor de z pode ser considerado igual a 0,9d (6.2.3 (1) – pg. 100); então tem-se: 
( )0,9 0,75 1 0 2 0,34la m= × × − = 
 
4,0 0,34 4,34x m= + = 
13,96sdM kNm= 
nesta secção torna-se desnecessária armadura superior de flexão. 
4,0 0,34 3,66x m= − = 
61,86sdM kNm= 
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se: 
2
61,86 0,011
0,75 0,75 13300
μ = =× × 
213,30,011 0,011 0,75 0,75 2,36
348s
A cmω = → = × × × = 
 
6.3.2 (3) – pg. 109 
115,2
6Sd
T x= 
para 4,0 76,8Sdx m T kNm= ⇒ = 
cot
2
sl yd Sd
k k
A f T
u A
θ=∑ (6.28) 
3
76,80 11
2 0,455 348 10
sl
k
A
u
= × ×× ×
∑ 
4 22, 43 10sl
k
A
m m
u
−= ×∑ 
a armadura necessária em cada uma das faces é: 
2,43x0,65=1,58 cm 2
2,43x0,70=1,70 cm 2
2,43x0,65+2,36=3,94 cm 2
2,43x0,70=1,70 cm 2
 
secção a 2,0 m do apoio A 
100,62
10,06
38,40
Sd
Sd
Sd
M kNm
V kN
T kNm
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
 
 
dimensionamento da armadura transversal 
6.3.2 (1) – pg. 108 
a armadura transversal de torção pode ser obtida a partir da expressão 6.26 – pg. 108, 
obtendo-se 
( )2 cRd k ywd swT A f A s otθ= 
32 0,455 348 10 1 38,4swRd
AT k
s
⎛ ⎞= × × × × ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ Nm 
4 21, 21 10 /swA m m
s
−= × 
 
9.2.3 (3) – pg. 177 e 9.2.2 (6) – pg. 176 
Afastamento longitudinal das armaduras transversais 
,max 0,3875ls = m
N
 (já determinado anteriormente) 
 
6.2.2 (1) – pg. 98 
Avaliação da capacidade resistente sem armadura de transverso 
, 164,8 Rd cV k= 
 
como VSd = 10,06 kN < 164,8 kN = VRd,c, 
só é necessária armadura mínima 
 
 
Armaduras mínimas 
9.2.2 (5) – pg. 175 
4 2
min
6,7 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
9.2.2 (8) – pg. 176 
,max 0,5625 ts m= 
o espaçamento transversal máximo implica a necessidade de ter mais de dois ramos. 
adoptando estribos de φ8 
ramos laterais 
22 6,7 2 1,21 6,89 /
3
sA cm m
s
≥ × + × = 
E2rφ8 → As = 1,01 cm2
s ≤ 0,147 m 
adopta-se s = 12,5 cmramo central 
21 6,7 2,23 /
3
sA cm m
s
≥ × = 
s = 12,5 cm → As ≥ 0,28 cm2 → φ6 
 
dimensionamento da armadura longitudinal 
2
90,56 40,25
2sd
xM x= − 
a armadura longitudinal de flexão já foi dispensada na secção a 4,0m do apoio A, a 
armadura inferior de flexão é a armadura máxima: 
4 23,87 10sA m
−= × 
a armadura longitudinal de torção é dada por 
 
6.3.2 (3) – pg. 109 
cot
2
sl yd Sd
k k
A f T
u A
θ=∑ (6.28) 
4 238,40 1 1,21 10 /
348000 2 0,455
sl
k
A m m
u
−×= = ×× × 
a armadura necessária em cada uma das faces é: 
1,21x0,65=0,79 cm 2
1,21x0,70=0,85 cm 2
1,21x0,65+3,87=4,65 cm 2
1,21x0,70=0,85 cm 2
 
 
secção do apoio A 
0
90,56
0
Sd
Sd
Sd
M kNm
V kN
T kNm
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
 
 
dimensionamento da armadura transversal 
6.2.2 (1) – pg. 98 
Avaliação da capacidade resistente sem armadura de transverso 
, 164,8 Rd cV k= N 
 
como VSd = 90,56 kN < 164,8 kN = VRd,c, 
só é necessária armadura mínima 
 
Armaduras mínimas 
9.2.2 (5) – pg. 175 
4 2
min
6,7 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
9.2.2 (8) – pg. 176 
,max 0,5625 ts m= 
 
o espaçamento transversal máximo implica a necessidade de ter mais de dois ramos. 
adoptando estribos de φ8 
ramos laterais 
26,7 /sA cm m
s
≥ 
 
E2rφ8 → As = 1,01 cm2
s ≤ 0,151 m 
adopta-se s = 15,0 cm 
 
dimensionamento da armadura longitudinal 
considerou-se a armadura da secção a 2,0m de A: 
1,21x0,65=0,79 cm 2
1,21x0,70=0,85 cm 2
1,21x0,65+3,87=4,65 cm 2
1,21x0,70=0,85 cm 2
 
 
Tem-se então: 
Secção A e secção a 2,0m de A: 
 
Secção a 4,0m de A: 
 
Secção B: 
 
 
amarrações 
9.2.1.3 – pg. 172 
os varões dimensionados devem ser amarrados com um comprimento de bdl
8.4.4 (1) – pg. 153 
1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bl l lα α α α α= ≥ (8.4) 
1 1,0α = - varões rectos 
3 1,0α = 
4 1,0α = - não existem varões transversais soldados 
5 1,0α = - ausência de compressão transversal no estado limite último ao longo de bdl
2 3 5 1,0 0,7α α α = ≥ (8.5) 
 
8.4.3 – pg. 152 
, 4
sd
b rqd
bd
l
f
σφ= (8.3) 
8.4.2 (2) – pg. 151 
1 22,25bd ctdf fηη= (8.2) 
3.1.6 (2) – pg. 39 
,0,05 1,5 1,0
1,5
ctk
ctd
C
f
f MPaγ= = = 
para condições de boa aderência 
2, 25 1,0 1,0 1,0 2,3bdf MPa= × × × = 
pelo que para armaduras de 12φ 
,
1, 2 348 45,4
4 4 2.3
yd
b rqd
bd
f
l c
f
φ= = = m 
para armaduras de 10φ 
1 348 37,8
4 4 2.3
yd
b
bd
f
l c
f
φ= = = m 
considerando más condições de aderência e armaduras de 12φ 
para condições de má aderência 1 0,7η = 
1,2 348 64,8
4 4 0,7 2.3
yd
b
bd
f
l c
f
φ= = =× m 
para armaduras de 10φ 
1 348 54
4 4 0,7 2.3
yd
b
bd
f
l c
f
φ= = =× m 
temos então para as diversas secções: 
secção a 4,0m do apoio A 
amarração dos 2 10φ das faces laterais 
As,req = 1,70 cm2
As,prov = 3,14 cm2
1,701 37,8 20,5
3,14bd
l c= × × = m
m
 
com um mínimo de 
,0,3 11,34
10 10
10
b rqdl c
cm
cm
φ
=⎧⎪ =⎨⎪⎩
amarração dos 6 12φ da face superior 
As,req = 1,58 cm2
As,prov = 9,93 cm2
1,581 64,8 10,3
9,93bd
l c= × × = m
m
m
 
com um mínimo de 
,0,3 19,4
10 12
10
b rqdl c
cm
cm
φ
=⎧⎪ =⎨⎪⎩
 
Será recomendável tomar 75bd bdl d l c< ⇒ =/
mas como o ponto a partir do qual já não é necessário armadura superior de flexão está 
mais à direita desta secção: 
2
90,56 40,25 0 4,5
2sd
xM x x= − = ⇒ = m 
4,50 0,34 4,16lx a m− = − = 
4,16 0,75 3, 41l bdx a l m− − = − = 
adopta-se 60 cm para comprimento de amarração dos varões desta secção. 
secção a 2,0m do apoio A 
amarração dos 2 10φ das faces laterais 
As,req = 0,85 cm2
As,prov = 2,36 cm2
0,851 54,0 19,45
2,36bd
l c= × × = m
m
 
com um mínimo de 
,0,3 16,2
10 10
10
b rqdl c
cm
cm
φ
=⎧⎪ =⎨⎪⎩
amarração dos 2 10φ da face superior 
As,req = 0,79 cm2
As,prov = 3,14 cm2
0,791 54,0 13,6
3,14bd
l c= × × = m
m
 
com um mínimo de 
,0,3 16,2
10 10
10
b rqdl c
cm
cm
φ
=⎧⎪ =⎨⎪⎩
adopta-se 20 cm para do varão desta secção. bdl
secção A 
9.2.1.4 (2) – pg. 173 
l
E E
aF V
z
= (9.3) 
0,3490,56 41,1
0,75E
F k= = N 
2
,
41,1 1,15
348000
E
s req
syd
FA c
f
= = = m 
2
, 3,83 (2 10 2 12)s provA cm φ φ= + 
1,1845,4 14,0
3,83bd
l c= × = m 
com um mínimo, na face superior, de 
0,3 0,3 54,0 16,2
10 12
10
bl c
cm
cm
φ
= × =⎧⎪ =⎨⎪⎩
m
m
 
e na face inferior, de 
0,3 0,3 45,4 13,6
10 12
10
bl c
cm
cm
φ
= × =⎧⎪ =⎨⎪⎩
 
todos os varões, desta secção, serão levados até à face da viga 
 
 
 
Esquema de armaduras da resolução pelo EC2 
EXERCÍCIO 3 
DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA CONTÍNUA 
Objectivos do estudo e conceitos apresentados: 
- Redistribuição de esforços 
- Estado limite último de flexão e esforço transverso 
- Forças de desvio 
- Armadura de suspensão 
- Apoios indirectos 
- Viga de secção variável 
Dados 
 
 
 
A viga contínua apresentada em corte longitudinal e em esquema estrutural está 
sujeita às acções concentradas e distribuídas apresentadas considerando-se que 
não existe possibilidade de as cargas actuarem separadamente ou com valores 
variáveis nos tramos. 
Os materiais são o betão C20/25 e o S400. O Ambiente é pouco agressivo 
(interior). 
Resolução 
Combinação de acções 
Considera-se que a única combinação de acções a considerar é a seguinte: 
( )1,35 1,5Qsd AP Sob Em toda a Estrutura= + 
Caso se permitisse a variação da sobrecarga nos diversos tramos, ao longo do 
vão, obtinham-se outras combinações que apenas alteravam os esforços em 
termos de envolvente mas que não acrescentava nada em termos dos objectivos 
do problema. 
 
 
 
 
Diagramas de esforços 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota : o esforço axial tem a convenção de sinais das tabelas de flexão composta. 
 
Pretende-se efectuar uma redistribuição de esforços que baixe o momento 
negativo sobre o apoio intermédio e o torne da ordem de grandeza do valor 
positivo. 
5.5 –pag. 69 
A redistribuição pode ser efectuada no caso de lajes e vigas contínuas solicitadas 
predominantemente à flexão em que a relação entre vãos adjacentes esteja entre 
0,5 e 2. 
Admitindo que os pilares dispensam a verificação da segurança em relação à 
encurvadura, vai-se proceder a uma redistribuição do momento negativo 
 sobre o apoio intermédio para um valor que “iguale” o valor do 
momento positivo máximo no tramo direito. 
( 305,72− )
Adicionalmente, a capacidade de rotação não precisa de ser verificada se: 
5.5 (4) –pag. 69 
1 2
uxk k
d
δ ≥ + (5.10a) 
1 0,44k = 
2
2
0,00141,25 0,6
cu
k ε
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
 
a extensão última 2cuε é obtida do quadro 3.1 – pg. 34 
3
2 3,5 10cuε −= × 
2
0,00141,25 0,6 1,25
0,0035
k ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
a posição do eixo neutro, no estado limite último, após a redistribuição é 
determinada seguidamente 
se 285sdM kNm= − e a altura útil é 0,66d m= 
2
285 0,164
0,30 0,66 13300Sd
μ = =× × 
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se: 
μ = 0,164 e 0,0A A′ = pelo que ω = 0,183 e 0,226x
d
α = = 
pelo que 
0,44 1,25 0,231 0,73δ ≥ + × = 
285 0,93 0,73
305,72
δ = = ≥ (não é necessário verificar a capacidade de rotação) 
Obtêm-se os seguintes diagramas de esforços após a redistribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadura longitudinal 
2
sd
sd
cd
M em flexão simples
bd f
μ = 
2
Sds
sd
cd
M em flexão composta
bd f
μ = 
Sds Sd Sd sM M N y= −e / 2 0,66 0,7 / 2 0,31sy d h m= − = − =
 
SdM [kNm] 225− 43 69,69 23 285− 284,06 
SdN [kN] 0 27,71− 0 36,65 0 0 
SdsM [kNm] - 51,6 - 11,6 - - 
μ 0,129 0,030 0,040 0,007 0,164 0,164 
x
d
 
0,172 0,055 0,066 0,0258 0,226 0,226 
ω 0,139 0,0305 0,041 0,007 0,183 0,183 
sA [cm2] 10,52 ,minsA< 3,10 ,minsA< 13,85 13,85 
∅ 2 12 3 20∅ + ∅
 
3 12∅ 3 12∅ 3 12∅ 2 12 4 20∅ + ∅
 
2 12 4 20∅ + ∅
 
 
 
armaduras mínima e máxima 
7.3.2 – pg. 137 
,min ,s s c ct eff ctA k kf Aσ = (7.1) 
ctA é a área de betão traccionado imediatamente antes da formação da primeira 
fenda. A presença das armaduras desloca o eixo neutro na sua direcção, pelo que 
será conservativo considera-lo a meia altura. 
Act = 0,30 × 0,35 = 0,105 cm2 
, 2, 2ct eff ctmf f M= = Pa (quadro 3.1 – pp. 34) 
O diâmetro deve ser corrigido em função das hipóteses de cálculo 
( ) ( )* , 2,9 2 c crs s ct eff k hf h dφ φ= − (7.6N) 
( ) ( )
0,4 0,3520 2, 2 2,9 21, 2
2 0,7 0,65s
mmφ ×= =− 
interpolando a tensão no quadro 7.2N, para 0,4kw mm= (quadro 7.1N), obtém-se 
σs = 236 MPa 
0,4ck = 
1,0k = 
4 2
,min 0, 4 1,0 2, 2 0,105 236 3,9 10 3,9s
2A m c−= × × × = × = m 
adicionalmente, 
de 9.2.1.1 (1) – pg. 171 tem-se: 
,min 0,26 0,0013ctms t
yk
f
tA b d b df
= </ (9.1N) 
4 2 4 2
,min
2, 20,26 0,3 0,65 2,8 10 0,0013 0,3 0,65 2,5 10
400s
A m m− −= × = × < × × = ×/ 
então, 
( ) 2 2,min max 3,9;2,8;2,5 6,6sA cm cm= = 
de 9.2.1.1(3) – pg. 171 vem: 
4 2
,max 0,04 0,3 0,7 84 10 84s
2A m c−= × × = × = m 
a armadura necessária para a flexão é superior à mínima e inferior à máxima 
regulamentares. 
 
Interrupção de Armaduras 
Consola 
1 76,Sd 5x m M kNm= ⇒ = − 
0,5 0,46h d= ≅ 
2
76,5 0,091
0,30 0,46 13300Sd
μ = =× × 
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se: 
μ = 0,091, 0,0A A′ = pelo que ω = 0,096 
4 2 213,30,096 0,30 0,46 5,06 10 5,06
348s
m c−= × × × = × = m ( )2 12 2 20∅ + ∅ A
 
 
 
Verificação da compressão máxima na biela de betão 
6.2.3 (3) – pg. 101 
( ),max 1 cot tanRd w cdV b z fν θ= θ+ (6.9) 
1 0,6 1 250
ckfν ⎛ ⎞= −⎜⎝ ⎠⎟ (6.6N – pg. 100) 
1
200,6 1 0,552
250
ν ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( ),max 0,3 0,9 0, 46 0,552 13300 2 455,9RdV k= × × × × = N
= ,max 112,5Sd kN
 
como > V,max 455,9RdV kN = , não é necessário alterar as dimensões 
da secção transversal 
 
9.2.1.3 (2) – pg. 172 
para a armadura transversal calculada pelo procedimento preconizado em (6.2.1 
– pg. 96), 
( )cot cot 2 0la z θ α= − ≥ (9.2) 
o valor de z pode ser considerado igual a 0,9d (6.2.3 (1) – pg. 100); então tem-
se: 
( )0,9 0, 46 1 0 2 0, 21la m= × × − = 
os varões devem ser amarrados (a partir do ponto em que deixam de ser 
necessários) com um comprimento de amarração, lbd; 
 
8.4.3 – pg. 152 
, 4
sd
b rqd
bd
l
f
σφ= (8.3) 
8.4.2 (2) – pg. 151 
1 22,25bd ctdf fηη= (8.2) 
3.1.6 (2) – pg. 39 
,0,05 1,5 1,0
1,5
ctk
ctd
C
f
f MPaγ= = = 
para condições de má aderência: 
2,25 0,7 1,0 1,0 1,58bdf MPa= × × × = 
para avaliar a tensão nos varões a partir da zona onde é medido o comprimento 
da amarração, é preciso analisar o diagrama de momentos 
As,req = 5,06 cm2
As,prov = 14,83 cm2
tem-se, então, que sdσ poderá ser obtido pela seguinte relação: 
,
,
5,06348 118,7
14,83
s req
sd yd
s pro
A
f MPa
A
σ ≈ = = 
,
0,020 118,7 0,38
4 1,58b rqd
l m= = 
 
o comprimento de amarração de cálculo pode então ser determinado 
8.4.4 (1) – pg. 153 
1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bl l lα α α α α= ≥ (8.4) 
1 1,0α = - varões rectos 
2 1,0α = - por simplicidade, enquanto não se verifica a constituição da secção 
transversal 
uma vez que as cintas transversais ainda não foram dimensionadas, pode 
assumir-se, pelo lado da segurança, que serão as mínimas. Assim: 
3 1,0α = 
4 1,0α = - não existem varões transversais soldados 
5 1,0α = - ausência de compressão transversal no estado limite último ao longo de 
2 3 5 1,0 0,7α α α = ≥ (8.5) 
logo 
,min1,0 0,38bd bl l= × ≥ 
( ),min ,max 0,3 ;10 ;100b b rqdl l φ= mm
m mm
 (8.6) 
( ),min max 0,3 380;10 20;100 200bl m= × × = 
então 
0,38bdl m= 
1 0,21 0,38 0,41x m= − − = 
 
Vão Quebrado 
0,7 0,66h m d= ≅ m
2
 
'2 12 2,26sA cm∅ ⇒ = e assume-se que ' 1,0AA = 
42,26 10 348000 0,030
0,3 0,66 13300
ω
−×= =× e 
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se: 
0,030 52,1 1,02 4,70RdM kNm x m x mμ = ⇒ = − ⇒ = ∨ = 
 
( ) ( )1,02 132,56 e 4,70 132, 40sd sdV x m kN V x m kN= = = = − 
Verificação da compressão máxima na biela de betão 
6.2.3 (3) – pg. 101 
( ),max 1 cot tanRd w cdV b z fν θ= θ+ (6.9) 
1 0,6 1 250
ckfν ⎛ ⎞= −⎜⎝ ⎠⎟ (6.6N – pg. 100) 
1
200,6 1 0,552
250
ν ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( ),max 0,3 0,9 0,66 0,552 13300 2 654,1RdV k= × × × × = N
= ,max 297,25Sd kN
 
como > V,max 654,1RdV kN = , não é necessário alterar as dimensões 
da secção transversal, que se encontra verificada para o vão quebrado e extremo 
direito. 
 
seguindo passos idênticos aos já efectuados para a consola 
( )cot cot 2 0la z θ α= − ≥ (9.2) 
( )0,9 0,66 1 0 2 0,30la m= × × − = 
 
As,req = 2,26 cm2
As,prov = 14,83 cm2
 
,
,
2, 26348 53,0
14,83
s req
sd yd
s pro
A
f MPa
A
σ ≈ = = 
,
0,020 53,0 0,17
4 1,58b rqd
l m= = 
,min1,0 0,17bd bl l= × ≥ 
( ),min ,max 0,3 ;10 ;100b b rqdl l φ= mm
m mm
 (8.6) 
( ),min max 0,3 170;10 20;100 200bl m= × × = 
pelo que 0,20bdl m=
 
1,02 0,30 0,20 1,52 1,55x m= + + = ≅ 
4.70 0,30 0,20 4,20x m= − − = 
 
Tramo externo direito 
Armadura negativa 
0,7 0,66h m d= ≅ m 
' 22 12 2,26sA cm∅ ⇒ = 
0,030ω = 
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se: 
0,029 50,4 0,88RdM kNm x mμ = ⇒ = − ⇒ = 
233,89sdV k= N 
 
seguindo os passos já efectuados para o vão quebrado 
0,30la m= 
0,20bdl m= 
0,88 0,30 0,20 1,38 1,40x m= + + = ≅ 
 
Armadura positiva 
0,7 0,66h m d= ≅ m 
22 12 2 20 8,54sA cm∅ + ∅ ⇒ = 
0,113ω = 
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se: 
0,107 186,0 2,14RdM kNm x mμ = ⇒ = ⇒ = 
 
seguindo os passos já efectuados para o vão quebrado 
0,30la m= 
as condições de aderência são consideradas boas pelo que é preciso corrigir o 
comprimento de amarração lbd
2,25 1,0 1,0 1,0 2,25bdf MPa= × × × = 
para avaliar a tensão nos varões a partir da zona onde é medido o comprimento 
da amarração, é preciso analisar o diagrama de momentos 
As,req = 8,54 cm2
As,prov = 14,83 cm2
tem-se, então, que sdσ poderá ser obtido pela seguinte relação: 
,
,
8,54348 200, 4
14,83
s req
sd yd
s pro
A
f MPa
A
σ ≈ = = 
,
0,020 200,4 0,45
4 2,25b rqd
l m= = 
,min1,0 0,45bd bl l= × ≥ 
( ),min ,max 0,3 ;10 ;100b b rqdl l φ= mm
m mm
 (8.6) 
( ),min max 0,3 450;10 20;100 200bl m= × × = 
então 
0,45bdl m= 
2,14 0,30 0,45 1,39 1,35x m= − − = ≅ 
 
Apoio direito 
202,25sdV k= N 
armadura nos apoios 
9.2.1.4 (2) – pg. 173 
l
E E
aF V
z
= (9.3) 
0,30202,25 102,15
0,9 0,66E
F k= =× N 
4 2102,15 2,9 10 2,9
348000s
2A m c−= = × = m é a área necessária para amarrar a armadura 
nos apoios 
 
As,req = 2,9 cm2
As,prov = 14,83 cm2
tem-se, então que sdσ poderá ser obtido pela seguinte relação: 
,
,
2,9348 68,1
14,83
s req
sd yd
s pro
A
f MPa
A
σ ≈ = = 
,
0,020 68,1 0,15
4 2,25b rqd
l m= = 
( ),min ,max 0,3 ;10 ;100b b rqdl l φ= mm
m mm
 (8.6) 
( ),min max 0,3 150;10 20;100 200bl m= × × = 
então 
, 0, 20b rqdl m= 
Planta
 
Dimensionamento ao Esforço Transverso 
Avaliação da capacidade resistente ao esforço transverso sem armadura 
transversal6.2.2 (1) – pg. 98 
( )1/3, , 100Rd c Rd c l ck wV C k f bρ⎡= ⎣ d⎤⎦ (6.2.a) 
, 0,18 0,18 1,5 0,12Rd c cC γ= = = 
200 2001 1 1,55
660
k
d
= + = + = ≤ 2,0 
43,39 10 0,0017 0,02
0,3 0,66
sl
l
w
A
b d
ρ
−×= = = ≤× 
( )1/3 3, 0,12 1,55 100 0,0017 20 300 660 10 55,4 Rd cV k−⎡ ⎤= × × × × × × × =⎣ ⎦ N
b d
 
sujeito a um mínimo de 
, minRd c wV ν= (6.2.b) 
3/2 1/2
min 0,035 ckk fν = (6.3N) 
3/2 1/2
min 0,035 1,55 20 0,302 ν = × × = 
pelo que 
3
, 0,302 300 660 59,8 10 59,8 Rd cV N= × × = × = kN
N
 
pelo que 
, max(55,4;59,8) 59,8 Rd cV k= = 
 
9.2.2 (5) – pg. 175 
Armaduras transversais mínimas 
para S 400 e C 20/25 tem-se: 
( ),min 0,08w ck ykf fρ = (9.5N) 
( ),min 0,08 20 400 0,00089443wρ = = 
( )sin 0,00089443w sw wA sbρ α= = 
4 2
min
0,00089443 0,3 1 2,68 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ = × × = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
determine-se agora qual o espaçamento longitudinal máximo regulamentar na 
zona em análise 
9.2.2 (6) – pg. 176 
( ),max 0,75 1 cotls d α= + 
,max 0,75 0,66 1 0,50ls m= × × = 
logo: 
então: ,max 0,50ls m=
determinação do espaçamento transversal máximo regulamentar na zona em 
análise 
 
9.2.2 (8) – pg. 176 
,max ,max0,75 0,75 0,66 0,50 0,6 0,50t ts d m m s= = × = ≤ ⇒ = m 
o espaçamento transversal máximo implica que dois ramos serão suficientes. 
para estribos φ8 de 2 ramos: 
E2rφ8 → As = 1,01 cm2
s ≤ 0,377 m 
adopta-se s = 35,0 cm 
 
6.2.3 (3) – pg. 101 
, cotswRd s ywd
AV zf
s
θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (6.8) 
Para uniformizar a colocação de estribos ao longo dos tramos da viga definem-se 
seguidamente tipos de armadura transversal escolhidos de forma a uniformizar a 
variação da armadura transversal ao longo da viga. 
 
E2rφ8af 0.30 m → As = 3,37 cm2/m 
( )4 3, 3,37 10 0,9 0,66 348 10 1 69,66Rd sV k−= × × × × × = N
N
 
 
E2rφ8af 0.20 m → As = 5,05 cm2/m 
( )4 3, 5,05 10 0,9 0,66 348 10 1 104,39Rd sV k−= × × × × × = 
 
E2rφ8af 0.15 m → As = 6,73 cm2/m 
( )4 3, 6,73 10 0,9 0,66 348 10 1 139,12Rd sV k−= × × × × × = N
N
N
N
 
 
E2rφ8af 0.125 m → As = 8,08 cm2/m 
( )4 3, 8,08 10 0,9 0,66 348 10 1 167,02Rd sV k−= × × × × × = 
 
E2rφ8af 0.10 m → As = 10,1 cm2/m 
( )4 3, 10,1 10 0,9 0,66 348 10 1 208,78Rd sV k−= × × × × × = 
 
E3rφ8af 0.125 m → As = 12,08 cm2/m 
( )4 3, 12,08 10 0,9 0,66 348 10 1 249,71Rd sV k−= × × × × × = 
 
a representação da localização da zona dos estribos pode ser encontrada na figura 
seguinte: 
116,32 kN
40,50 kN
208,78 kN
104,39 kN
104,39 kN
104,39 kN
249,71 kN
167,02 kN
69,66 kN
69,66 kN
139,12 kN
139,12 kN
2rφ8//0,15 2rφ8//0,20 2rφ8//0,30 2rφ8//0,10 2rφ8//0,125 2rφ8//0,20 2rφ8//0,10
167,02 kN
3rφ8//0,125 2rφ8//0,125 
na figura anterior, as zonas assinaladas com espessura maior correspondem a 
tomar o esforço transverso à face do apoio nos termos de 
 
Consola de secção variável 
( ) 236 405 [kNm]sdM x x x= − − 
6.2.1 (1) – pg. 96 
Para elementos com altura variável, deve ser tida em conta as componentes de 
esforço transverso da força de compressão, no caso de um banzo comprimido 
inclinado, e de tracção na armadura de tracção. 
 
6.2.1 (2) – pg. 96 
( )' 72 40,5 [sdV x x kN= + ] 
a contribuição das escoras comprimidas para a resistência ao esforço transverso 
pode ser avaliada por: 
( )ccd MV tgd α= 
 
( ) 0, 2tg α = 
0,26 0,2d x≅ + 
( )
2 236 40,5 7,2 8,10,2 [kN]
0,26 0,2 0,26 0,2ccd
x x x xV
x x
+ += =+ + 
pelo que o esforço transverso actuante de cálculo pode ser corrigido, isto é, 
decrescido de . Fica assim determinada a parcela ccdV 'sdV que deverá ser 
suportada pelas armaduras transversais. 
 
( )'sd sdV x V V= − ccd 
( )
27,2 8,1' 72 40,5 [
0,26 0,2sd x
x xV x
x
+= + − + ]kN 
o valor do transverso corrigido encontra-se representado a tracejado na figura 
anterior 
 
9.2.2 (5) – pg. 175 
Armaduras transversais mínimas 
4 2
min
2,68 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
determine-se agora qual o espaçamento longitudinal máximo regulamentar na 
zona em análise 
9.2.2 (6) – pg. 176 
( ),max 0,75 1 cotls d α= + 
,max 0,75 0,26 1 0,20ls m= × × = 
determinação do espaçamento transversal máximo regulamentar na zona em 
análise 
 
9.2.2 (8) – pg. 176 
,max ,max0,75 0,75 0,26 0,20 0,6 0,20t ts d m m s= = × = ≤ ⇒ = m 
o espaçamento transversal máximo implica que serão necessários 3 ramos. 
 
armadura transversal 
, cotswRd s ywd
AV zf
s
θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (6.8) 
( ) 23, 7, 2 8,10,9 0,26 0,2 348 10 1 72 40,5 0,26 0,2swRd s
A x xV x x
s x
+⎛ ⎞= × + × × × ≥ + −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦ +⎝ ⎠ kN 
pelo que a armadura transversal ao longo da consola terá de ser 
( )
( )
( )
2
2
4 2
23
7,2 8,172 40,5 2,6 1,46250,26 0,2 5,747 10 /
0,9 0,26 0,2 348 10 1,3
sw
x xx x xA x m m
s x x
−
++ − + +⎛ ⎞ +≥ ×⎜ ⎟ × + × ×⎡ ⎤⎝ ⎠ +⎣ ⎦
� 
se x=2,0 m 
4 25,63 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
E2rφ8 → As = 1,01 cm2
s ≤ 0,179 m 
adopta-se s = 15,0 cm para respeitar o espaçamento transversal 
 
se x=0,0 m 
4 24,97 10 /swA m m
s
−⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 
verifica-se que não haverá necessidade de proceder à variação do espaçamento 
dos estribos ao longo da consola uma vez que a variação da área necessária é 
reduzida. No entanto, na extremidade livre é preciso ter em atenção a necessidade 
de armadura de suspensão: 
9.2.5 – pg. 177 
Armadura de suspensão para fazer face ao apoio indirecto 
- Na extremidade da consola 
1,35 30 40,5sdF k= × = N 
 
 
240,5 1,16
348000s
A cm= = 
a armadura deverá ser distribuída numa faixa que poderá ser exterior ao volume 
de betão comum às duas vigas de acordo com 9.2.5 (2). Assim sendo, na viga 
principal esta distância deverá 
Planta
 
0,30 0,15
2
0,30 0,10
3
a m
b m
⎧ ≤ =⎪⎪⎨⎪ ≤ =⎪⎩
 
a armadura pode assim ser distribuída numa largura s
0,15 0,10 0,25s m= + = 
21,16 4,64 /
0,25
sA cm m
s
= = 
Armadura transversal total 
24,97 4,64 9,61 /sw
total
A cm m
s
⎛ ⎞ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
E3rφ8 → As = 1,508 cm2
s ≤ 0,157 m 
adopta-se s = 15,0 cm para respeitar o espaçamento transversal 
 
No tramo direito 
1,35 50 67,5sdF k= × = N 
267,5 1,94
348000s
A cm= = 
Planta
 
a armadura pode assim ser distribuída numa largura s
0,35 2 0,70s m= × = 
21,94 2,77 /
0,70
sA cm m
s
= = 
esta zona dispõe já de E2rφ8af 0.20 m → As = 5,05 cm2/m 
pelo que 
Armadura transversal total 
25,05 2,77 7,82 /sw
total
A cm m
s
⎛ ⎞ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
E2rφ8af 0,125 m → As = 8,08 cm2
 
Forças de desvio Artº 99 (REBAP) 
 
 
 
( )1
43 43 72,39
0,9 0,9 0,66
sdMF k
z d
= = = =× N
N
 
ou 
( )
4
2 348000 3,39 10 117,97syd sF f A k
−= = × × = 
( )1F - força de tracção (igual à compressão) 
( )2F - força máxima de tracção instalável 
 
 
Força de desvio na zona comprimida: 
233,272 sin 33,27 0,95
2 348000
s
d sd
syd
FF F A cm
f
α⎛ ⎞= = ⇒ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
 
 
Como a área desta armadura é pequena vai-se acrescentar , um de cada 
lado do que quebra. Normalmente devia-se somar localmente as áreas. 
2Est∅6
total
sw sw sdA A A
s s
⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ s 
De notar que se uma secção estiver sujeita a esforço transverso, torção, forças de 
desvio e de suspensão nessa zona da viga temos quatro contribuições para a 
armadura transversal. 
Esquema das armaduras de flexão e transversais 
 
4φ20+2φ12 4φ20+2φ12
4φ20+2φ12
4φ20+2φ124φ20+2φ12
4φ20+2φ12
4φ20+2φ12
4φ20+2φ12
4φ20+2φ12
4φ20+2φ12
2rφ8//0,15 2rφ8//0,20 2rφ8//0,30 2rφ8//0,10 2rφ8//0,125 2rφ8//0,20 2rφ8//0,103rφ8//0,125 2rφ8//0,1252rφ8//0,153rφ8//0,15
 
	BetaoArmadoI_EJulio&DDiasdaCosta_M1.pdfBetaoArmadoI_EJulio&DDiasdaCosta_M2.pdf
	EXERCÍCIO 2
	DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA CONTÍNUA SUJEITA A TORÇÃO
	BetaoArmadoI_EJulio&DDiasdaCosta_M3_draft.pdf
	EXERCÍCIO 3
	DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA CONTÍNUA