Aula Cálculo I - Aplicações da Derivada

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O que a Derivada nos diz sobre a função f ?
Funções crescentes e decrescentes
Definição: Consideremos f uma função definida em um intervalo aberto I e
tomemos dois pontos quaisquer, pertencentes a I.
a) f é crescente em I se quando
b) f é decrescente em I se quando 
   1 2 ,f x f x
1 2.x x
1 2.x x
   1 2 ,f x f x
1 2e ,x x
função crescente função decrescente
Derivada crescimento, decrescimento ?
Função crescente derivada positiva 
(o coeficiente angular da reta tangente 
ao gráfico da função é positivo)
Função decrescente derivada negativa 
(o coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico da função é negativo)
1
1
1
1
( ) ( )
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x



Função constante derivada nula
(o coeficiente angular da reta tangente 
ao gráfico da função é igual a zero)
Teste para Funções Crescentes e Decrescentes
Considere f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b).
Se f (x) possui derivada positiva para todo x  (a,b) , então f é
crescente em (a,b).
Se f(x) possui derivada negativa para todo x  (a,b), então f é
decrescente em (a,b).
Se f(x) possui derivada igual a zero para todo x  (a,b), então f é 
constante em (a,b).
Ex.1 Verifique se f (x) = x2 – 2x é crescente ou decrescente em x = 0.
Ex. 2 Determine os intervalos nos quais as funções dadas crescem e os
intervalos onde elas decrescem:
 
32
8
3
x
f x x a)
b) f (x) = ln (x + 5)
f ’(x) > 0 se x > 5 
c) f (x) = exp(x)
f ’(x) < 0,  x
OBS. A análise sobre o crescimento e decrescimento de uma função
f é sempre feita em um intervalo aberto, ou seja, não consideramos
as extremidades no intervalo onde a função cresce ou decresce.
Extremos de uma Função
Extremos Absolutos
Definição. Dizemos que uma função f tem máximo absoluto se
e para todos os valores de x no domínio de f. O 
número é denominado de valor máximo de f em D. De modo análogo, 
dizemos que uma função f tem mínimo absoluto se 
e para todos os valores de x no domínio de f. Nesse caso, o 
número é denominado de valor mínimo de f em D. 
 0f x
 0x D f    0f x f x
 0f x
 0f x  0x D f
   0f x f x
 0f x
 no intervalo fechado o maior valor que
a função assume é 1 e o menor valor que a
função assume é -1.
Nesse caso, dizemos que:
“a função f(x) assume valor máximo (absoluto) 
igual a 1 e valor mínimo (absoluto) igual a -1.”
π π
,
2 2
 
 
 
 no intervalo fechado o maior
valor que a função assume é 1 e o
menor valor que a função assume é 0.
Nesse caso, dizemos que:
“a função g(x) assume valor máximo 
(absoluto) igual a 1 e valor mínimo 
(absoluto) igual a 0.”
π π
,
2 2
 
  
OBS.
1. No caso de a função assume o valor mínimo 0 duas vezes, 
ou seja, em e em . Isso significa que é possível um extremo 
absoluto ocorrer em dois ou mais pontos de um intervalo.
  cos ,g x x
π
2
x  
π
2
x 
2. Funções definidas pela mesma regra podem ter extremos diferentes,
dependendo do domínio da função. Para ver esse fato, considere a função
definida em vários domínios diferentes.  cosg x x
Teorema: Se uma função f for contínua em um intervalo fechado
[a,b], ela sempre terá um mínimo e um máximo absoluto nesse
intervalo. Mais ainda, os extremos absolutos vão estar no interior de
(a,b) ou nas extremidades deste.
 máximo absoluto em [-1, 3]
f não é contínua neste intervalo
2
1
( 1)
1 3
y
x
x


  
Extremos Locais ou Relativos
f (x) = 3x4 – 12 x2
2,5 2x  
Definição. Uma função contínua f tem 
um máximo local (ou máximo relativo) 
em x0 , se existir um intervalo aberto 
(a, b) (no domínio de f ), contendo x0, tal 
que para todo x  (a,b).
   0f x f x
Definição. Uma função contínua f tem 
um mínimo local (ou mínimo relativo) 
em x0 , se existir um intervalo aberto 
(a, b) (no domínio de f ), contendo x0, tal 
que para todo x  (a,b).
   0f x f x
Como encontrar os extremos locais de uma função? 
Nos pontos de máximo ou de mínimo local de uma função f, a reta tangente
é horizontal (desde que ela exista) e, portanto, tem coeficiente angular igual
a zero. Além disso, pode existir um extremo local da função em um ponto
mesmo quando não existe.
0 ,x x  0'f x
OBS: Se uma função contínua f tiver um máximo ou um mínimo local em
e existir, então 
0 ,x x  0'f x  0' 0.f x 
Exemplos:
01. ( ) sen ,
2
f x x x

 
0'( ) cos 0
2
f x
 
  
 
2
02. ( ) 4 3, 2y x x x x   
'( ) 2 4
'(2) 0
y x x
y
 

OBS: Não vale a recíproca, ou seja, se ou não existe, não significa 
que x0 seja um ponto de máximo ou mínimo local de f.
0'( ) 0f x 
Exemplos: 
f (x) = x3
Definição: Um valor é denominado um número crítico da 
função f se ou não existe.
 0x D f
 0' 0f x   0'f x
OBS: Quando dizemos que x0 é um número crítico de uma função 
estamos nos referindo à abscissa do ponto crítico
 ,y f x
  0 0, .x f x
Geometricamente, em um número crítico onde , a reta tangente 
ao gráfico de f em é horizontal.
0x  0' 0f x 
0x
Em um número crítico onde não esteja definida, não existe uma
reta tangente horizontal em . Nesse caso, existe uma reta tangente vertical
ou não existe reta tangente alguma.
0x  0'f x
0x
Ex. Determine, se existir, os números críticos das funções:
  3f x x x    2g x x  
1
1
z x
x


( ) tx t e
 Se uma função f for contínua no intervalo fechado [a,b] e se f(x0) for 
um valor extremo (máximo ou mínimo) em [a,b], então ou x0 é um 
número crítico ou é uma das extremidades do intervalo.
Portanto, para encontrar os extremos de uma função contínua f definida 
num intervalo fechado [a,b] devemos:
 encontrar os números críticos de f no intervalo aberto (a,b);
 calcular o valor da função nos números críticos
 calcular o valor da função nas extremidades do intervalo, ie, f(a) e f(b);
 comparar os valores: o maior de todos será o máximo absoluto e o 
menor deles, o mínimo absoluto. 
Extremos em intervalos fechados
Ex 1: Sabendo que f (x) = x3 – 27x, determine os extremos absolutos de f no
intervalo fechado [–3,5].
Solução
   2 2' 3 27 3 9 '( ) 0 3f x x x f x x        
f (3) = 54 (ponto crítico)
f (3) = 54 (extremidade)
f (5) = 10 (extremidade)
 Procurar números críticos em (–3,5):
Mas x = –3 é extremidade. Portanto, o único número crítico em (–3,5) é x = 3.
 Calcular o valor de f (x) em x = 3 e nas extremidades:
Portanto, o valor máximo absoluto de f em [3,5]
ocorre em x =  3 e é igual a 54, enquanto que o valor
mínimo absoluto ocorre em x = 3 e é igual a  54.
Ex 2: Determine os extremos absolutos de f no intervalo fechado [1,5], se
Solução
23( ) ( 2)f x x 
 Procurar números críticos em (1,5):
2
3
1
3
2
( ) ( 2) '( ) 0,
3( 2)
f x x f x x
x
     

'( ) 2 e 2 (1,5).f x x   
Portanto, 2 é o único número crítico de f.
 Calcular o valor de f (x) em x = 2 e nas extremidades:
f (2) = 0 (ponto crítico)
f (1) = 1 (extremidade)
f (5) = (extremidade)3 9
Portanto, o valor máximo absoluto de f
em [1,5] ocorre em x = 5 e é igual a ,
enquanto que o valor mínimo absoluto
ocorre em x = 2 e é igual a 0.
3 9
Critérios para estudar anatureza dos números críticos
Teste da Derivada Primeira: Seja f uma função diferenciável em um
intervalo aberto (a,b) e considere x0  (a,b) um número crítico de f. Então:
a) f tem um máximo local em x0, se f ’(x0) > 0
para x < x0 e f ’(x0) < 0 para x > x0 , ou seja, se a
função estiver passando de um estado de
crescimento para um estado de decrescimento.
b) f tem um mínimo local em x0, se f ’(x0) < 0
para x < x0 e f ’(x0) > 0 para x > x0 , ou seja, se
a função estiver passando de um estado de
decrescimento para um estado de crescimento.
c) Se não mudar de sinal em x0 (ou seja, se 
em qualquer vizinhança de x0, o sinal de 
f’(x) for o mesmo), então f não tem máximo 
nem mínimo local em x0. 
Ex 1. Determine os números 
críticos e os máximos e mínimos 
locais da função f(x) = x3 – x (se 
existirem).
Ponto de máximo local: (0,57; 0,38)
Ponto de mínimo local: (0,57; 0,38)
Ex 2. Determine os números 
críticos e os máximos e mínimos 
locais da função f(x) = 3x3 – 4 (se 
existirem).
Não existe ponto de máximo local nem 
ponto de mínimo local.
Ex 3. Determine os números críticos 
e os máximos e mínimos locais da 
função f(x) = |x2 + 8x + 12| (se 
existirem).
Ponto de máximo local: (4, 4)
Pontos de mínimo local: (6, 0); (2, 0) 
Derivadas de ordem superior (notação)
(derivada de primeira ordem de f em relação à x)'( )
df
f x
dx

2
2
''( )
d df d f
f x
dx dx dx
 
  
 
2 3
2 3
'''( )
d d f d f
f x
dx dx dx
 
  
 (derivada de segunda ordem de f em relação à x)
(derivada de terceira ordem de f em relação à x)
3 4
3 4
( )iv
d d f d f
f x
dx dx dx
 
  
 
1
1
( )
n n
n
n n
d d d f
f x
dx dx dx


 
  
 (derivada de quarta ordem de f em relação à x)
(derivada de ordem n de f em relação à x)
23
Ex:
3 2( ) 3 4 6f x x x x   
1. Encontre a derivada de todas ordens da função
( ) 5sen 10cosg x x x x  
2. Encontre g’’’(x) se 
3. Encontre f (n) (x) se 
2( )
x
f x e
24
Interpretações da segunda derivada:
1. Física: aceleração instantânea
Ex 1: Uma partícula move-se ao longo de uma reta com a seguinte
equação de movimento: , onde s cm é a distância
orientada da partícula até a origem em t segundos. Determine t, s e v
(velocidade) quando a aceleração a for nula.
2 4
( )
2 1
t t
s t
t
 

Ex 2. Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a
lei do movimento , onde s é a distância (m) da
partícula ao ponto inicial em t segundos. Determine a velocidade e a
aceleração da partícula quando t = 3 segundos.
2( 1) ln( 1)s t t  
25
Definição: Seja f uma função derivável em um intervalo aberto ]a,b[.
Dizemos que:
 f é côncava para cima em ]a,b[ se a função derivada f ’(x) for
crescente em ]a,b[, ou seja, se f ”(x) > 0 para todo x em ]a,b[.
 f é côncava para baixo em ]a,b[ se a função derivada f ’(x) for
decrescente em ]a,b[, ou seja, se f ”(x) < 0 para todo x em ]a,b[.
2. Gráfica: Concavidade do gráfico da função
"( ) 0f x "( ) 0f x 
26
Ex 1. Encontre os extremos locais da função .  3 22 3 12 7f x x x x   
máximo local f (–2) = 13
mínimo local f (1) = –14 
Teste da Derivada Segunda: Seja f uma função diferenciável no intervalo
]a,b[, tal que existe a derivada segunda de f em Se é um
número crítico de f, então:
a)  f tem um máximo local em x0.
b)  f tem um mínimo local em x0.
c)  f pode ter um mínimo local, um máximo local ou
nenhum dos dois.
 , .a b  0 ,x a b
 0'' 0f x 
 0'' 0f x 
 0'' 0f x 
 
3
26 3
2
x
f x x x  Ex 2. Encontre os extremos locais da função .
 
23
' 6 6 0 2
2
x
f x x x     
"( ) 3 6 "(2) 0f x x f   
'( ) 0, 2 é sempre crescente.f x x f   
27
Teste da primeira derivada:
   ' 1 40 0 ' 0 se 0.f f x x     
 
1 5
' 0 ' 0 se 0 1.
2 4
f f x x
 
       
 
Portanto, f tem um máximo local em
x = 0 e seu valor é f (0) = 0. 28
Ex 3. Encontre os extremos locais da função .
  5 44 5f x x x 
   4 3 3' 20 20 20 1 0 0 ou 1.f x x x x x x x       
  3 2'' 80 60 "(0) 0 e "(1) 20.f x x x f f    
 '' 1 20 0f   
 '' 0 0f 
em x = 1 temos um mínimo local.
 o teste da derivada segunda falha.
Definição: Um ponto (x0, f (x0)) será um ponto de inflexão do
gráfico de uma função contínua f, se existir uma única reta tangente
ao gráfico de f nesse ponto e um intervalo aberto (a,b) contendo x0,
tal que, para todo , tem-se:
( , )x a b
0 0) "( ) 0 se e "( ) 0 se oui f x x x f x x x   0 0) "( ) 0 se e "( ) 0 se .ii f x x x f x x x   
Assim, um ponto de inflexão é um
ponto do gráfico de uma função onde
existe uma única reta tangente nesse
ponto e onde a concavidade do
gráfico muda.
Pontos de Inflexão 
3
2
, 0
( )
2 , 0
x x
f x
x x x
 
 
 
Como determinar os pontos de inflexão? 
Candidatos: pontos x0 tais que f ”(x0) = 0 ou f ”(x0) não existe.
Para verificar se os candidatos são, de fato, pontos de inflexão, é
necessário verificar se existe uma única reta tangente ao gráfico de f
pasando pelo ponto (x0, f(x0)) e se f ”(x) muda de sinal em uma
vizinhança de x0 .
Ex. Encontre os pontos de inflexão de em
  2cosf x x x  0,2 .  '' 2cos 0 sef x x 
3
e .
2 2
x x
 
 
candidatos
3
e
2 2
x x
 
 
Portanto, são
pontos de inflexão do gráfico de f.
  2cos , 0 2f x x x x    
'( ) 1 2senf x x 
"( ) 2cosf x x
" 2cos 2 0
4 4
f
    
     
      " 2cos 1 0f        " 2 2cos 2 1 0f    
Proposição: Suponha que f ”(x) e f ’’’(x) existam para todo x  (a, b) e 
considere x0  (a, b). Se então (x0, f(x0)) é um 
ponto de inflexão do gráfico de f. 
0 0"( ) 0 e '''( ) 0f x f x 
Ex 1. Encontre os pontos de inflexão da função
Solução
Derivando a função duas vezes e igualando a segunda derivada à zero,
obtemos:
 
5 4 3
2 1
20 6 6
x x x
f x x    
 
 
4 3 2
3 2
3 2
5 4
' 2
20 6 2
20 12 2
'' 2 2 2
20 6 2
x x x
f x x
x x x
f x x x x
   
        
        2 2'' 0 2 2 2 1 0
2 e 1
f x x x x x x
x x
        
    
candidatos a ponto de inflexão
  3 2'' 2 2f x x x x    2'''( ) 3 4 1f x x x   
candidatos: 
2, 1x x   
'''( 2) 3 0
'''( 1) 2 0
'''(1) 6 0
f
f
f
  

    
  
Logo, o gráfico de f tem ponto de 
inflexão em 2 e em 1.x x   
Ex 2. Encontre os pontos de inflexão da função  
5
33 .f x x
 
5 2
1
233 3
5
' 3 5 5 '( )
3
f x x x x f x x

       
Solução
     
2 1
1
3 3
3
2 10 10
'' 5 '' 0 e '' 0
3 3 3
f x x x f x x f
x
 
       
 
 
3
3
10
0 '' 0
3
10
0 '' 0
3
x f x
x
x f x
x
   
   
Portanto, a concavidade de f muda
em x = 0 e, portanto, (0,0) é um
ponto de inflexão do gráfico de f.
OBS.:
1. Em um ponto de inflexão, o
gráfico não pode ser
interrompido. Ou seja, a
função é contínua em um
ponto de inflexão.
2.Nem todos os pontos onde a
derivada segunda se anula são
pontos de inflexão.
4 2( ) "( ) 12
"(0) 0, mas "( ) 0 .
f x x f x x
f f x x
  
   
Ex:
3. Vimos que um ponto é um ponto de inflexão da 
função f se, em houver inversão na concavidade do gráfico de 
f. Em outras palavras, é crescente de um lado de edecrescente do outro lado, e vice-versa. Assim, os pontos de inflexão 
de f ocorrem onde a derivada tiver um máximo ou um mínimo 
relativo.
  0 0,P x f x
0 ,x x
 'f x 0 ,x x
 'f x
Assíntotas
Uma assíntota é uma reta para a qual o gráfico de uma função tende, 
em determinadas situações.
assíntota horizontal assíntotas horizontal
e vertical
assíntota oblíqua
Definição 1: A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma
função f, se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
( ) lim ( )
x a
i f x

 
( ) lim ( )
x a
ii f x

 
( ) lim ( )
x a
iii f x

 
( ) lim ( )
x a
iv f x

 
Ex 1. A reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de 2
1
( )
( 2)
f x
x


2
2
1
lim
( 2)x x
 

2
2
1
lim
( 2)x x
 

Ex 2. A reta x = 3 é uma
assíntota vertical do gráfico de
y = ln (x + 3).
3
lim ln( 3)
x
x

  
Ex 1. As retas y = 1 e y = –1 são assíntotas horizontais do gráfico de 
 
2
:
2
x
f x
x


2
lim 1
2x
x
x 
 
2
lim 1;
2x
x
x 


Definição 2: A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico
de uma função f, se pelo menos uma das seguintes afirmações
for verdadeira:
 ( ) lim
x
i f x b
 
 ( ) lim
x
ii f x b
 

Ex 3. A reta y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de .
2( ) xf x x e
2lim x
x
x e


2lim x
x
x e

   
assíntota horizontal 
quando x .
Ex 2. A reta y = 2 é assíntota horizontal 
do gráfico de 
1
( ) 2 .f x
x
 
1
lim 2 2
x x
 
  
 
2
lim ?
xx
x
e

Regra de L’Hopital
 Se f e g são funções diferenciáveis em um intervalo aberto I,
contendo a, tal que
 Se f e g são funções diferenciáveis tais que( ) 0
lim
( ) 0x
f x
g x

( )
lim
( )x
f x
g x


ou
 
 
0
lim
0x a
f x
g x

ou
 
 
lim
x a
f x
g x



( ) '( )
lim lim
( ) '( )x x
f x f x
g x g x 

 
 
 
 
'
lim lim
'x a x a
f x f x
g x g x 

Exemplos: 0
1
2 ) lim
lnx
a
x x
2
1) lim
xx
x
e 1
1
2 ) lim
lnx
b
x x
1
2 ) lim
lnx
c
x x
A.V.
A.V.
A.H.
A.H.
2
3 2
7
3 ) lim
x
x x
a
x x
 

2
3 20
7
3 ) lim
x
x x
b
x x
 

2
3 21
7
3 ) lim
x
x x
c
x x
 
SoftwareMathematica
Software
WinPlot
assíntota
0
sen
1) lim 1
x
x
x

0
1
2) lim ln
x
x
a
a
x


Limites fundamentais
Outros exemplos para uso da regra de L’Hopital:
1
3) lim 1
x
x
e
x 
 
  
 
a = 3
20
1 1
4) lim
2
x
x
e x
x
 

CUIDADOS:
2
lim
2x
x
x 
sen cos
lim lim
1 cos sen x x
x x
x x   
  

2)
1. Nem sempre a regra resolve o problema
Ex:
sen sen 0 0
lim 0
1 cos 1 cos 1 ( 1) 2x
x
x

       
Construção do Gráfico
1) ( ) xf x xe
2
2
2) ( )
4
x
f x
x


2/3 5/33) ( ) 5f x x x 
47
Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I
contendo o número c. Se f (c) for um extremo relativo de f em I e se c
for o único número em I no qual f tem um extremo relativo, então f (c)
será um extremo absoluto de f em I. Além disso:
(i) Se f (c) for um valor máximo relativo de f em I, então f (c) será um
valor máximo absoluto de f em I;
(ii) Se f (c) for um valor mínimo relativo de f em I, então f (c) será um
valor mínimo absoluto de f em I.
Problemas de Otimização 
Exemplo 1. Se uma lata fechada com um volume fixo deve ter a forma
de um cilindro circular reto, encontre a razão entre a altura e o raio da
base para que a quantidade de material usado na sua fabricação seja a
menor possível.
Resolução de Problemas
Exemplo 2. Uma caixa fechada com base quadrada deve ter o volume
de 2.000 cm3. O material da tampa e da base deve custar R$ 3,00 por
m2 e o material para os lados custa R$ 1,50 por m2. Encontre as
dimensões da caixa que garantam o custo mínimo para sua fabricação.
Exemplo 4. Em medicina frequentemente é aceito que a reação R a
uma dose x de uma droga é dada por uma equação da forma
, onde A e B são constantes positivas. A sensibilidade
de alguém a uma dose x é definida por . Para que valor de x a
sensibilidade à droga é máxima?
2 ( )R Ax B x 
dR
dxExemplo 3. Encontre um ponto sobre a parábola mais próximode (1,4).
2 2y x
Diferenciais
Definição: Se f é uma função diferenciável em um intervalo aberto I,
contendo a, então a diferencial de f em a, denotada por df(a), será dada por
, onde x é um incremento arbitrário de x na vizinhança
de a, ou seja, .
( ) '( )df a f a x 
x x a  
Obs.: Definimos a diferencial de x como sendo dx = x e a
diferencial de f, em um ponto x qualquer, é então denotada por
df (x) = f’(x) dx .
Exemplos:
5 2 41) ( ) 3 9 ( ) (5 6 )f x x x df x x x dx     
7 72) ( ) ( ) 7t tg t e dg t e dt    
2
2 3
1 2
3) sen tg (cos sec )y dy d           
dx
( ) ( )y f a x f a   
0 0
( ) ( )
'( ) lim lim
x x
f a x f a y
f a
x x   
  
 
 
'( ) se 0, ou seja,
y
f a x
x

   

Seja
0 '( )x y f a x     
df(a)
Como interpretar a diferencial?
( )df a y  
Ex 1. Seja y = x2 – 1 e x um incremento de x. Se x varia de 2 para
2,01 determine os valores de y e dy.
Solução
( ) ( )y f x x f x   
Neste caso, x = 2 e x = 0,01. Portanto,
(2 0,01) (2) (2,01) (2) 3,0401 3 0,0401.y f f f f        
Por outro lado, dy = 2x dx, onde x = 2 e dx = 0,01. Portanto, 
4 0,01 0,04.dy   
40,0401 0,04 0,0001 10 .y dy       
52
Ex 2. Seja y = ex e x um incremento de x. Se x varia de 2 para 2,01
determine os valores de y e dy.
Solução
(2 0,01) (2) (2,01) (2) 7,4633 7,3891 0,0742.y f f f f        
2 0,01 0,07389.dy e  
40,0742 0,07389 0,0003 3 10 .y dy        
53
Ex 2. A área de um círculo de raio r é dada por A(r) =  r2. Se a
medida do raio do círculo é de r = 5 cm com um erro possível de no
máximo 0,01 cm, use diferenciais para estimar o erro resultante no
cálculo da área do círculo.
Solução
r = 5 (raio medido)
Se o erro na medida do valor de r for denotado por dr = r, então: 
–0,01 ≤ dr = r ≤ 0,01 (erro possível)
O erro correspondente no cálculo do valor de A é A, que pode ser
aproximado pela diferencial:
A  dA = A’(r) dr = 2r dr
Para r = 5 e A’(r) = 2r temos que A’(5) = 2..5 = 31,4.
Portanto, o erro no cálculo da área é:
dA = 31,4 dr = 31,4 (0,01)  0,31 cm2 54
OBS.: O erro relativo nos dá uma ideia melhor acerca do erro cometido no
exemplo 2. O erro relativo é calculado dividindo-se o erro pela área total
2
2
2
A dA rdr dr
A A rr
 
  

0,01
0,002 0,2% 0,004 0,4%
5
dr dA
r A

       
Ex 3. A lei de atração gravitacional de Newton afirma que a força F de
atração de duas partículas de massas m1 e m2 é dada por
F = G m1 m2 / s
2, onde G é uma constante e s é a distância entre as
partículas. Se s = 20 cm, use diferenciais para aproximar a variação de
s que aumente F em 10%.
Solução
55
1 2 1 2
2 3
2
( )
G m m G m m
F s dF ds
s s
   
2
1 2
3
1 2
2
2
dF G m m s ds
ds
F s G m m s
    
0,1 2 0,05 5%
ds ds
s s
       
Logo, para aumentar a força em 10% é necessáriodiminuir 5% a
distância entre as partículas, independente da distância em que
estejam.
56
f (x)
0 '( )x y f a x     
equação da reta tangente – aproximação linear
Assim, quando os valores de x
estão suficientemente próximos
de a, os valores de
podem ser utilizados como
aproximações dos valores da
função f.
    'y f a f a x a  
Outra interpretação da diferencial:
57
( ) ( ) '( ) ( )f a x f a f a x a    ( ) ( ) '( ) ( )f x f a f a x a   
Ex 1. Encontre a aproximação linear da função no ponto . ( )f x x(2, 2)
 
1
'
2
f x
x
 
Solução
      
1
2 ' 2 2 2 2
2 2
y f f x y x      
Portanto, y = 0,3536x + 0,7071 (aproximação pela reta tangente).
reta tangente
x 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8
1,0954 1,1832 1,2649 1,3416 1,4142 1,4832 1,5492 1,6125 1,6733
y = 0,3536x + 
0,7071
1,1317 1,2023 1,273 1,3436 1,4143 1,485 1,5556 1,6263 1,6969
( )f x x
58
ALERTA!! A aproximação linear de uma função f depende do ponto
de tangência, ou seja, pontos diferentes sobre o gráfico de f geram
aproximações lineares diferentes.
Ex 2. Encontre a aproximação linear da função f (x) = x3 + 2 x, 
próximo de x = 0.
Solução
f (0) = 0 e f ’(x) = 3 x2 + 2  f ’(0) = 2.
Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de 
f, no ponto (0,0), é dada por:
      0 ' 0 0 0 2 2
0, ( ) 2 .
y f f x x x
x f x x
     
  
59
Ex 3. Calcule um valor aproximado de .
Solução
50
( ) , 49.f x x a 
Aproximação linear: ( ) ( ) '( ) , ondef x f a f a dx dx x a   
1 1
'( ) '(49)
142
f x f
x
  
1
( ) 7 ( 49) 3,5
14 14
x
f x x     
50
(50) 3,5 7,071429
14
f   
Pela calculadora: 7,071069 60
Ex 4. Calcule um valor aproximado de .
Solução
sen 28
( ) sen , .
6
f x x a

 
Aproximação linear: ( ) ( ) '( ) , ondef x f a f a dx dx x a   
3
'( ) cos '
6 2
f x x f
 
   
 
1 3 3 1 3
( ) ( )
2 2 6 2 2 12
f x x x
 
      
7 3 7 1 3 3 7 1 1
0,46977
45 2 45 2 12 2 45 6 2
f
      
          
   
Pela calculadora: 0,46947
28 28
180
7
45
x rad
x


  
 
61