apostila calculo 1

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Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul 
DCEEng – Departamento de Ciências Exatas e Engenharias 
Disciplina do NCEng – Núcleo Comum das Engenharias 
 
Componente Curricular: Cálculo I 
Prof(a): Inêz Zagula Jung – sexta Feira 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
O que é Cálculo? 
É a ferramenta matemática usada para analisar movimentos e 
variações. Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis 
agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. O Cálculo foi “inventado” 
inicialmente para atender às necessidades matemáticas (basicamente mecânicas) dos cientistas dos 
séculos XVI e XVII principalmente Isaac Newton e G. Leibniz. 
Inicialmente o Cálculo Diferencial lidou com o problema de calcular taxas de variação. Ele 
permitiu que as pessoas definissem os coeficientes angulares de curvas, calculassem grandezas como a 
velocidade e a aceleração de corpos em movimento e determinassem os ângulos a que seus canhões 
deveriam ser disparados para obter o maior alcance. Além disso, com a ajuda do cálculo foi possível 
prever quando planetas estariam mais próximos ou mais distantes entre si, etc. 
 
 
 
 
Problemas clássicos: 
 Determinação da equação da reta tangente a uma curva em um ponto; 
 Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e do volume de um 
sólido; 
 Determinação de valor máximo e mínimo; 
 Determinação da velocidade e aceleração de um corpo em cada instante ao longo de um 
intervalo. 
Inez
Carimbo
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculos de área.... 
 
3 
 
 
Vamos analisar uma situação 
Em uma indústria, um funcionário recém-contratado produz menos que um operário experiente. A 
função que descreve o número de peças produzidas diariamente por um trabalhador da metalúrgica 
MetalCamp é: 
𝑝(𝑡) = 180 − 110.22−0,5𝑡 
Em que t é o tempo de experiência no serviço, em semanas. 
a) Quantas peças esse funcionário consegue produzir inicialmente? 
b) Qual a quantidade de peças que ele consegue produzir no final do primeiro mês de trabalho? 
c) O que acontecerá ao longo do tempo? Existe um limite para sua produção? 
d) Represente graficamente a situação. 
 
4 
 
Atividade: Analisando comportamento de funções 
1. Dada a função 
3x
4
)x(f

 
Estabeleça alguns valores para x e calcule os pares ordenados para a função dada. 
X 
f(x) 
 
Preencha a tabela com os valores próximos de x = 3, pela direita e pela esquerda. 
X 3,2 3,1 3,01 3,001 3,0001 
f(x) 
 
X 2,8 2,9 2,99 2,999 2,9999 
f(x) 
 
Represente graficamente a função 
 
 
Observe o gráfico de f(x). O que acontece com os valores de y quando 
a) os valores de x se aproximam de 3 pela direita (  3x )? 
_____________________________________________________________________________ 
 
b) os valores de x se aproximam de 3 pela esquerda (  3x )? 
_____________________________________________________________________________ 
c) Comente o que é possível observar da função quando x se aproxima de 3 ( 3x  ). 
___________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
 
admin
admin
admin
5 
 
2. Dada a função 






1xse4x
1xse1x2
)x(f 
Preencha a tabela com os valores próximos de x = 1, pela direita e pela esquerda. 
x 1,2 1,1 1,01 1,001 1,0001 
f(x) 
 
x 0,8 0,9 0,99 0,999 0,9999 
f(x) 
 
Represente graficamente a função 
 
Observe o gráfico de f(x). O que acontece com os valores de y quando 
a) os valores de x se aproximam de 1 pela direita (  1x )? 
_____________________________________________________________________________ 
 
b) os valores de x se aproximam de 1 pela esquerda (  1x )? 
_____________________________________________________________________________ 
 
c) Comente o que é possível observar da função quando x se aproxima de 1 ( 1x  ). 
___________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
6 
 
3. Dada a função 






1xse1x
1xsex
)x(f
2
 
Preencha a tabela com os valores próximos de x = 1, pela direita e pela esquerda. 
x 1,2 1,1 1,01 1,001 1,0001 
f(x) 
 
x 0,8 0,9 0,99 0,999 0,9999 
f(x) 
 
Represente graficamente a função 
 
 
Observe o gráfico de f(x). O que acontece com os valores de y quando 
a) os valores de x se aproximam de 1 pela direita (  1x )? 
_____________________________________________________________________________ 
b) os valores de x se aproximam de 1 pela esquerda (  1x )? 
_____________________________________________________________________________ 
c) Comente o que é possível observar da função quando x se aproxima de 1 ( 1x  ). 
___________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
7 
 
 
Observe o gráfico, analise e descreva o que ocorre com a função quando x → 1. 
 
 
 
 
 
Observe o gráfico, analise e descreva o que ocorre com a função quando: 
x → b 
 
 
𝑥 → b 
 
x → c 
 
x → d 
 
x → e 
 
 
Analise o limite da função quando: 
x → b 
x → c 
x → d 
x → e 
 
 
 
8 
 
Exercícios complementares: 
Observe os gráficos de cada uma das funções e determine os limites pedidos, se existirem: 
...............................................lim)
3


ya
x
 
...............................................lim)
3


ya
x
 
...............................................lim)
3


ya
x
 
 
b) ....................................................lim
2


y
x
 
 
c) 
x
ylim ...................................................... 
 
................lim)
5

x
ya 2) 
 
............lim)
2


yb
x
......... 
 


yc
x 3
lim) ......................... Por quê? 
 
3) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 Intuitivamente, encontre se existir: 
a) ....................................)(lim
2


xf
x
 
 
b) ....................................)(lim
2


xf
x
 
 
c) ....................................)(lim
2


xf
x
 
d) ...............)(lim 

xf
x
 
 
 e) ....................................)(lim 

xf
x
 
 
1) 
3
1


x
y 
9 
 
4) Seja a função y = x2 definida pelo gráfico: Observe o gráfico e calcule, se existir: 
a) ...............lim 

y
x
 
 
 
b) ................lim 

y
x
 
 
c) ................lim
2


y
x
 
5) O gráfico de f(x) = 1
1
1
2

x
 é dado no gráfico, use-o para calcular os limites indicados (se existir). 
 a) _______)(lim
1


xf
x
 
 
 
 
 
b) _______)(lim 

xf
x
 
6) Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas: 


)(lim
0
xf
x
 

)(lim
0
xf
x
 2)(lim 

xf
x
 2)(lim 

xf
x
 
 
 
 
 
 
Respostas: 1) a) + infinito a) – infinito a) não existe b) 1 
 c) 0 
2) a) 3 b) 0 c) Não existe pois 1)(lim2)(lim
33

 
xfxf
xx
 
3) a) 3 b)  c) Não existe d)  e) 3 4) a)  
b) 0 c) ¼ 
5) a) 3/2 b) 1 
6) Fazer um gráfico com assíntota horizontal 2 e assíntota vertical 0. Gráfico abaixo. 
 
10 
 
Santa Rosa 2º Semestre/2016 
2) Identifique qual das figuras abaixo pode representar o gráfico de uma função g(x) tal que satisfaz 
simultanemente os 4 itens num único gráfico: (somente um gráfico está correto) 
(i)   1xglim
x


 (ii)   1lim
x


xg (iii)   

xglim
1x
 (iv)   

xglim
1x
 
Questões da prova férias de Ijui/julho2016 
1) Através do gráfico, determine o limite (se existir) de f(x) quando x tende ao valor indicado abaixo. 
 
)(lim
3
xf
x 
= 
)(lim
3
xf
x 
= 
Existe )(lim
3
xf
x
 ? Por quê? 
 
)(lim
8
xf
x
= 
2) O gráfico de f(x) = 3
4
2
2

x
 é esboçado abaixo, use-o para calcular os limites indicados. 
_______)(lim
2


xf
x
 
Justifique o porquê da resposta acima. 
 
 
 
 
_______)(lim 

xf
x
 
11 
 
LIMITES E CONTINUIDADE 
Definição 
 Dada uma função y = f (x), a teoria dos limites estuda a que valor tende y, a medida em que x 
tender a um determinado valor x0. Se x  x0 tanto pela direita como pela esquerda e y tender a um 
mesmo valor L então dizemos que   Lxflim
0xx


 
1) Considere as funções representadas abaixo e analise em cada uma seu limite, ou explique porque 
eles não existem. 
)(lim
3
xf
x
 )(lim
3
xf
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Observe-se, agora, a função Montante de capital de R$ 1.000,00 a 
5% ao mês de juros simples, supondo que os juros não são 
calculados por fração de período. Então, o montante permanece 
igual por um mês para depois saltar bruscamente para um valor 
maior e novamente permanecer igual por um mês. 
A função é M = 1.000 + 50n, onde n é o tempo em meses, e seu 
gráfico pode ser visto na figura ao lado. 
O que acontece com os valores de M quando n tem valores 
próximos de 3? 
A pergunta não tem uma resposta única. Se n está próximo de 3, mas é menor que 3, M é 1.100. 
Se n está próximo de 3, mas é maior que 3, M é 1.150. Nesse caso, diz-se que não existe o limite de M 
quando n tende a 3 ou, simbolicamente: não existe M
n 3
lim

 
Nos exemplos abaixo, o valor de f 
em x, não tem nada a ver com o 
limite de x. 
12 
 
TEOREMAS SOBRE LIMITES 
Suponha que L)x(flim
ax


 e M)x(glim
ax


e c uma constante. 
T1. cclim
ax

 
T5. )x(g)x(flim
ax


 = ML)x(glim)x(flim
axax


 
T2. axlim
ax

 
 T6. )x(g)x(flim
ax


 = ML)x(glim)x(flim
axax


 
T3. )x(fclim
ax


 = Lc)x(flimc
ax


 
T7. 
)x(g
)x(f
lim
ax
 = 
M
L
)x(glim
)x(flim
ax
ax 

 
T4. bma)bmx(lim
ax

 
T8.  c
ax
)x(glim

 =   cc
ax
M)x(glim 

 
 
DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 Quando x tende a xo, sendo xo um número real qualquer, basta na função substituir o x ao qual 
ele tende e realizar os cálculos. 
Exemplos. Determine se o limite existe. 
a) 
 4
3
lim
2 xx
 
 
 
b) 


 12
43
lim
1 x
x
x
 
 
 
 
AS “INDETERMINAÇÕES” 1 
Em diversos Exemplos sobre o cálculo de limites nos defrontamos com situações desse tipo e 
"escapamos" delas através de manipulações algébricas. Não podemos esquecer que o limite do quociente 
é o quociente dos limites somente quando os limites do numerador e do denominador existem, sendo 
o do denominador diferente de zero. 
Uma expressão da forma 
0
0
é denominada uma "indeterminação". Essa denominação advém do 
fato que se um limite é dessa forma, a priori, não sabemos qual é o resultado... Pode ser qualquer um... 
Casos de indeterminações: - ; . 0; 
0
0
; 


; 00, 1 ; 0 
Vejamos alguns Exemplos: 
a) 
0
0
 1
x
x
lim
0x


 2
x
x2
lim
0x


 0
x
x
lim
2
0x


 
 
1http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ 
javascript:;
javascript:;
13 
 
x
1
lim
x
x
lim
0x20x 

 
que não existe, pois 
 x
1
lim
0x
 e 
 x
1
lim
0x 
b)


 
1
x
x
lim
x


 2
x
x2
lim
x


 0
x
x
lim
3x


 
 
Cálculo de limite envolvendo indeterminações 
No caso de indeterminações usamos alguns artifícios como: fatorar a função fracionária e 
simplificar; dividir os polinômios, etc. para retirá-los e daí então concluirmos sobre a existência ou não 
do limite. 
Dicas na determinação do limite de uma função: 
 
Se a função for algébrica ou fracionária, basta substituir o x pelo valor ao qual ele tende e efetuar. 
 
Nos casos de indeterminação, usamos os seguintes artifícios: 
1. Fatorar a função fracionária e simplificar; 
2. Dividir numerador pelo denominador, considerando o polinômio de maior grau. 
3. OU fatoração: # )3)(3(92  xxx Diferença de dois quadrados perfeitos. 
# Báskara: ))((2 raizxraizxacbxax  
# Briot-Ruffini: ))()((23 raizxraizxraizxadcxbxax  
 
 
Exemplos/Exercícios. Determine, caso exista, os limites abaixo: CADERNO 
1. 
x
xx
x 2
lim
3
0


 2. 
1x
3xx2
lim
2
1x 


 3. 
2xx
2x
lim
22x 


 
 
 
4) 
2
4
lim
2
2 

 x
x
x
 5) 
4472
12124
lim
23
234
2 

 xxx
xxxx
x
 6) 
34
23
lim
4
3
1 

 xx
xx
x
 
 
 
7) 
x
x
x
24
lim
0


 8) 
3
21
lim
3 

 x
x
x
 
 
 
javascript:;
14 
 
 
9) Exercício resolvido 
Seja a função f definida por: f(x) = 










13
1
1
232
xse
xse
x
xx
 Calcule )(lim
1
xf
x
. 
Solução: 
 Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a “a”, interessa o comportamento da função 
quando x se aproxima de “a” e não ocorre com a função quando 
x = “a”, temos : 
 
1)2(lim
1
)2)(1(
lim
1
23
lim)(lim
11
2
11








x
x
xx
x
xx
xf
xxxx
 
 
Operações envolvendo  : 
 No estudo dos limites devemos considerar as operações envolvendo , que não são válidas para cálculos 
algébricos. (obs: c é um número real) 
Adição e subtração Multiplicação Divisão Potência 
c +  =  
c -  = - 
 + =  
- -  = -  
- =indeterminação 
 - c =  
c .  =  
c . (-) = - 
 .  =  
 . (-) = - 
 . 0=indeterminação 
/c =  
-/c = -  
c /  = 0 
c / 0 =  
0/0 = indeterminação 
/ =indeterminação 
c 















c1c
0coc1
0c1c0
c1c
 
0c= 0 c  0 
0= 0 
 =  
c0=1 c  0 
00= indeterminação 
0= indeterminação 
1 = indeterminação 
 
 
 
admin
admin
15 
 
LIMITES UNILATERAIS 
 Ao considerarmos )x(flim
ax
 estamos interessados nos valores de x em um intervalo aberto contendo a, 
mas não no próprio a; isto é, em valores de x próximos de a e maiores ou menores que a. 
 
Limite à direita e a esquerda, respectivamente. 
 
Contudo algumas funções exibem diferentes comportamentos em cada um dos lados de um ponto a, e 
neste caso é necessário distinguir se x está próximo de a do lado esquerdo ou do lado direito de a, para fins de 
examinar o comportamento do limite. 
 
Definição 01: Seja uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um número L é o limite à 
direita da função f quando x tende para a, e escrevemos .)(lim Lxf
ax


 
 
Definição 02: Seja uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número L é o limite à 
esquerda da função f quando x tende para a, e escrevemos .)(lim Lxf
ax


 
 
 
Exemplos: Determine os limites unilaterais caso eles existam 
 
a)  










0xse1
0xse0
0xse1
xf 11lim11lim
00

  xx
e . 
 
 
 
 
 
16 
 
Quando x se aproxima de 0 do lado direito, os valores de 𝒇(𝒙) tendem a 1, e quando x tende a 0 pela esquerda 
os valores de 𝒇(𝒙) aproximam-se de -1. 
 
b)    4xxf 
04xlim
4x


 


4lim
4
x
x
 
 
b)   






1,2
1,4
2
2
xx
xx
xh 32lim34lim 2
1
2
1

 
xex
xx
 
 
 
 
 
Como podemos observar o limite pela esquerda e pela direita são iguais, dizemos que o limite bilateral  xflim
0x
existe, ou seja podemos estabelecer a seguinte relação: 
O limite bilateral de uma função existe em um ponto a se e somente se existirem os limites laterais 
naquele ponto e tiverem o mesmo valor: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒔𝒆 𝒆 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒆 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) 
 
 
Exemplo:1) Dada a função )(xf , determinar se possível os limites bilaterais, ou seja 
)(lim)(lim),(lim
333
xfexfxf
xxx  
 
 






3,1
3,3
xx
xx
xf 
 
2) Dada a função )31()(  xxf , determinar se possível, )(lim)(lim),(lim
333
xfexfxf
xxx  
 
 
 
 
admin
admin
17 
 
3) Dada 






1xsex5
1xsex3
)x(f determine )x(flim
1x
. 
 
 
LIMITES INFINITOS 
 Seja f uma função definida em todo número no intervalo aberto I contendo um valor a, exceto, 
possivelmente, no próprio a. Quando x se aproxima de a, f(x) cresce ou decresce ilimitadamente, o que 
pode ser escrito como     


xflimouxflim
axax
. Nestes casos diremos que temos “limites 
infinitos”. 
Exemplos 
a) Analisemos a situação 
x
1
lim
0x
 
x  0− f (x) x  0+ f (x) 
-1 1 
- 0,1 0,1 
- 0,001 0,001 
- 0,0001 0,0001 
____
x
1
lim
0x

 
e ____
x
1
lim
0x


 então ____
x
1
lim
0x

 
Observações 
 Uma reta x = xo é chamada de assíntota vertical do gráfico de uma função f(x) se f(x) tende para ± ∞ 
quando x tende a xo. No exemplo acima x = 0 é uma assíntota vertical. 
 
 O símbolo ∞ não é um número, ele é utilizado para representar números muito grandes, ou pequenos 
quando precedido do sinal negativo. 
 
 Nas situações onde 

)x(flim
0xx
diremos que a função não possui limite, ou seja, ∄ )x(flim
0xx
. 
b) Determine o
 22 2
5
lim
 xx
 
 
 
 
 
 
Graficamente →
 
admin
18 
 
 
c) Determine o 
1
32
lim
1 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
LIMITES NO INFINITO 
 
 Seja f uma função definida em todo número no intervalo   , . O limite de f(x), quando x 
cresce ou decresce ilimitadamente, é L e pode ser escrito como:     LxflimouLxflim
xx


 
Exemplos 
1) 
12
3
lim
 xx
 
2) 
5
2
lim
x
x 
 
3) 
xxx 6
4
lim
2 
 
4) 
12
3
lim
 xx
 
5) 13lim 

x
x
 
6) Observe os gráficos da f(x) representados abaixo e determine, caso exista, os limites indicados 
 
a) 

)x(flim
x
 b) 

)x(flim
x
 
c) 

)x(flim
2x
 d) 

)x(flim
2x
 
c) Existe o limite da f(x) quando x tende a 2? Justifique. 
19 
 
 
 a) 

)x(flim
x
 b) 

)x(flim
x
 
 
 
 
 
 
 
a) 

)x(flim
x
 b) 

)x(flim
x
 
 
c) 

)x(flim
3x
 d) 

)x(flim
3x
 
d) Existe o limite da f(x) quando x tende a 3? Justifique. 
 
 
 
Discussão de mais problemas: 
Exemplos 
Encontre os limites indicados abaixo: Graficamente podemos observar a tendência do limite 
 
a) 
1 x
x
lim
x
 = 


 causa indeterminação, simplificando 
temos. 
 








x
x
x
lim
x 1
1
= 


1
1
1
 = 1, ou seja, a medida 
em que x tende ao infinito, f(x) se aproxima de 
1 e temos então uma assíntota horizontal. 
 
Definição: Uma reta 𝑦 = 𝐿 é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se 𝑓(𝑥) → 𝐿, quando 
𝑥 → +∞ ou 𝑥 → −∞. 
·2,5 
20 
 
b)





 52
3
lim
x
x
x
 indeterminado, logo 
2
1
x
5
2
x
3
1
)
x
5
2(x
)
x
3
1(x
5x2
3x
lim
x










 
 
 
 
 
Exemplos acima, utilizando o método prático para resolver ).(lim xf
x 
: 
1) 
14
52
lim
3
2


 x
xx
x
 
 
 2) 
52
34
lim
2


 x
x
x
 
 
 
3) 
52
3
lim


 x
x
x
 
 
 
4) 15²³lim 

xxx
x
 
 
 
5) 
52
33
lim


 x
x
x
 
 
 
6) 
12
54
lim
2
2


 x
xx
x
 
 
 
 
 
Um método rápido para encontrar limites de funções racionais quando 𝑥 → +∞ 𝑜𝑢 𝑥 → −∞: 
O comportamento final de uma função racional coincide com o comportamento final do quociente do termo 
de maior grau do numerador dividido pelo termo de maior grau do denominador. 
admin
21 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - LIMITES 
Exercícios 01 
(a) Calcule os limites a seguir. 
1) 
3x
9x
lim
2
3x 


 2) 
x3x
x6
lim
20x 
 3) 
25x
5x
lim
25x 


 
     
15
54
lim.78lim.612lim.573lim.4
3
3
2
2
25 


 x
x
xxxx
xxxx
 
492
1683
lim.10
32
94
lim.9
7
49
lim.8
2
2
4
2
2
3
2
7 





 xx
xx
x
x
x
x
xxx
 
 
Respostas (a): 
1) 6 2) -2 3) -1/10 4) 8 5) 7 6) 0 7) ½ 8) 14 9) 6 10) 16/7 
(b) Calcule os limites 
1) )15(lim
23
1


xxx
x
 R: 8 2) )342(lim
23
1


xxx
x
 R: 4 
3) 526:)1224(lim 23
2


Rxxx
x
 4) 10:
5
45
lim
2
2
2




R
x
xx
x
 
5) 3:
2
107
lim
2
2




R
x
xx
x
 6) 4:
3
32
lim
2
3




R
x
xx
x
 
7) 3/1:
12
34
lim
5
3
1




R
xx
xx
x
 8) 12:
6
36
lim
2
6
R
x
x
x 


 
9) 80:
2
32
lim
5
2
R
x
x
x 


 10) 2:
27543610
27188
lim
234
234
3
R
xxxx
xxx
x 


 
11) 0:
42
2
lim
2
R
x
x
x 


 12) 4:
2
4
lim
4
R
x
x
x 


 
13) 4:
42
lim
0
R
x
x
x 
 
Exercícios 02 
A) Calcule os seguintes limites: 
1) 
2
1
lim
xx 
 2) 
2
1
lim
xx 
 3) 
8
1
lim
 xx
 4) 
53
1
lim
 xx
 
5) 
2
12
lim


 x
x
x
 6) 
1
lim
2
2


 x
xx
x
 
Respostas: 1) 0 2) 0 3) 0 4) 0 5) 2 6) 1 
 
22 
 
B) Calcule os limites 
a) 2:
52
34
lim R
x
x
x 


 b) 0:
14
52
lim
3
2
R
x
xx
x 


 
c) 4:
9
4
lim
2
2
R
x
x
x 
 d) 



:
1
32
lim
2
R
x
xx
x
não existe limite 
C) Calcule os limites caso existam. 
a) 
6
124
lim
2
6 

 x
xx
x
 b) 
6
124
lim
6 

 x
x
x
 
Respostas: a) existe, 8 b) não existe limite 
D) Calcule os limites 
1) 
4x
3
lim
x 
 2) 
3
2
lim
x
x 
 3) 
6xx
3x
lim
2x 
 4) 
1xx 5
3
lim

 
5) 13xxlim
2
x


 6) 
1x
x
lim
2
x 
 7) 
2
3
lim
2  xx
 
Respostas: 1) 0 2)  Não existe 3) 0 4) 0 5)  Não existe 6)  Não existe 7)  Não existe 
(E) Calcule os limites laterais solicitados. 
 
1) 









114
12
123
)(
xx
xse
xsex
xf )(lim
1
xf
x 
 )(lim
1
xf
x 
 )(lim
1
xf
x
 
 
2) 









21
20
21
)(
2
xx
xse
xsex
xf )(lim
2
xf
x 
 )(lim
2
xf
x 
 )(lim
2
xf
x
 
 
3) 









276
21
2132
)(
2
2
xxx
xse
xsexx
xf )(lim
2
xf
x 
 )(lim
2
xf
x 
 )(lim
2
xf
x
 
 
 
4) 






3,73
3,1
)(
xx
xx
xf calcule: 
23 
 
a) )(lim
3
xf
x 
 b) )(lim
3
xf
x 
 c) )(lim
3
xf
x
 
 
 d) )(lim
5
xf
x 
 e) )(lim
5
xf
x 
 f) )(lim
5
xf
x
 
 
 
5) Esboçar o gráfico da função f(x) (questão 4) 
 
Respostas: 
1) 1 e 5 não existe limite 2) 1 e -3 não existe limite 
 
3) 1 e 1 existe limite. 
 
4) a) 2 b) 2 c) 2 d) 8 e) 8 5) 8 
 
5) Ao lado 
(e) Limites – Exercícios de aplicações gerais. 
1) Se o número de artigos y manufaturados por dia, x dias após o início da produção é dado por: 
)1(200 1,0 xey  . Qual o número de artigos manufaturados por dia, quando a indústria atingir o número 
máximo de dias de produção? R: 200 artigos 
2) O número de empresas de uma indústria particular é dado pela equação: 
t
tN 75,0)5,0(6)(  
Onde t é o número de anos desde que a indústria começou. Quantas empresas existirão quando a indústria atingir 
seu tempo máximo? R: 6 empresas 
3) Os custos de produção (em milhões de dólares) de uma companhia são descritos pela função: 
xexC 02,070100)(  onde x é o número de unidades de produção. Determine o custo máximo de produção 
que esta companhia poderá atingir? R: 100 milhões de dólares. 
4) Suponha que a função L = x2 - 5x - 115000 represente o lucrode uma empresa (L é dado em milhões de dólares 
e x em unidades). Determine o valor relativo ao lucro à medida que o número de unidades vendidas se aproxima 
de 600. R: $242.000,00 milhões de dólares. 
 
 
Resolução de Exercícios – Lista 01 adicional de limites página 32 
 
24 
 
LIMITES FUNDAMENTAIS – são casos particulares de indeterminações do tipo 1e
0
0
. 
 
1º Limite Fundamental. “Se x é um arco em radianos e sen(x) é a medida do seno desse arco; então 
quando o arco x tender a zero, o limite da divisão do valor de seno de x pela medida do arco x será igual 
a 1” 
1
x
)x(sen
lim
0x


 
Analisemos os valores de 
x
)x(sen
a medida que o valor de x se aproxima de zero pela esquerda e 
pela direita, ou seja vamos verificar que 
 
1
x
)x(sen
lim
0x


 1
x
)x(sen
lim
0x


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o valor do quociente 
x
)x(sen
se aproximará do 
valor 1, ou seja, 1
x
)x(sen
lim
0x


. 
 
Exemplos 
 
1) Determine o valor de 
x
xsen
x 3
)4(
lim
0
 
 
 
 
 
 
2) Determine o valor de 
x
xsen
x 3
)(2
lim
0
 
x 
x
)x(sen
 
-1 
-0,1 
-0,001 
-0,0001 
-0,00001 
 
x 
x
)x(sen
 
1 
0,1 
0,001 
0,0001 
0,00001 
 
25 
 
3) Determine o valor de 
x
xtg
x 5
)(2
lim
0
 
 
 
 
 
2º Limite Fundamental 
e
x
1
1lim
x
x








 ou e)x1(lim x
1
0x


 
onde ...71828,2e número de Euler 
Analisemos os valores de 
x
x
1
1 





 à medida que o valor de x “tende” a ser muito grande, ou 
seja, x . Graficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisemos agora os valores de x
1
)x1(  à medida que o valor de x “tende” a zero, tanto pela 
esquerda como pela direita. 
x
1
)x1(lim
0x


 x
1
)x1(lim
0x

 
Graficamente 
 
 
 
 
 
 
 
x x
x
1
1 





 
2 
10 
300 
1000 
10000 
100000 
 
 
 
Logo 
x
x x
1
1lim 







= 
x x
1
)x1(  
-0,1 
-0,01 
-0,001 
-0,0001 
-0,00001 
 
x x
1
)x1(  
0,1 
0,01 
0,001 
0,0001 
0,00001 
 
26 
 
Logo podemos afirmar que o 

x
1
)x1(lim
0x
 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Determine o valor do 
x
x x
3
1
1lim 







 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o valor do 
x
x x








4
1lim 
 
 
 
 
 
 
 
3) Encontre o valor do xx
x
1
)21(lim
0


. 
 
 
 
 
 
 
27 
 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 
Na linguagem quotidiana dizemos que o tempo é contínuo, uma vez que ele decorre de maneira 
interrupta. O tempo não salta, digamos, de 2 horas para 2 horas e 1 minuto da tarde, deixando um lapso 
de 1 minuto. Se a altitude inicial e 300 metros, o objeto passa por todas as altitudes entre 300 metros e 0 
metro antes de atingir o solo. Em matemática usamos a expressão contínua em um sentido semelhante. 
Dizemos que uma função é contínua em x = a, se (grosso modo) o gráfico da função não tem 
quebras (ou pulos) quando ele passa pelo ponto (a, f(a)). Isto é, f(x) é contínua em x = a, se pudermos 
desenhar o gráfico através do ponto (a, f(a)) sem tirar nosso lápis do papel. Observe a figura ao lado. 
Continuidade de função em um número 
Definição: Dizemos que a função f é contínua no número “a” se e somente se as seguintes condições 
forem satisfeitas 
(i) f(a) existe (ii)  xflim
ax
 existe (iii)  xflim
ax
= f(a) 
Se uma ou mais de uma dessas 
condições não forem verificadas em 
“a”, a função f será descontínua em 
“a”. 
Exemplos 
Analise a continuidade no ponto 
indicado e represente graficamente 
nas proximidades do ponto. 
a)   42  xxf em x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
admin
28 
 
b)  






1xse2
1xse1x
xf em x = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
c)  
1
12



x
x
xf
 
em x = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)  






22
24
xsex
xsex
xf
 
em x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
e)  






03
032
xsex
xsex
xf
 
em x = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas Aplicações 
 
A figura ao lado é um gráfico da voltagem versus tempo para um 
cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe 
de trabalho no tempo t=t0. A voltagem caiu para zero quando a 
linha foi cortada. 
A figura abaixo é um gráfico de unidades de 
estoque versus tempo para uma companhia 
reabastecer com y1 unidades quando o estoque cai 
para y0 unidades. 
As descontinuidades ocorrem nos momentos em 
que acontece o reabastecimento. 
 
 Tempos de reabastecimento 
 
 
 
 
 
30 
 
CONTINUIDADE DE FUNÇÃO EM UM INTERVALO DADO 
Definição 
1) Se f for contínua em cada ponto do intervalo aberto (a,b), então diz-se que f é contínua em (a,b). 
 
2) Se f for contínua no intervalo (a, b) e também for contínua à direita em a e à esquerda em b, diremos 
que f é contínua em[a, b]. 
 (a) Contínua no intervalo (a, b) 
 (b) Contínua à direita em a(x tente a a+) 
 (c) Contínua à esquerda em b (x tente a b−) 
Uma função é contínua nos pontos extremos de um intervalo, se o valor no ponto extremo for igual ao 
limite lateral adequado naquele ponto. 
Exemplos 
1) A função cujo gráfico é apresentado ao lado é contínua no ponto extremo à direita do intervalo [a,b] 
porque )b(f)x(flim
bx


 , mas não é contínua no ponto 
extremo à esquerda porque )a(f)x(flim
ax


 
Assim, f não é contínua então no intervalo [a, b], 
mas pode-se dizer, que neste caso, 
é contínua no intervalo (a, b]. 
2) A função 
1
4



x
x
y é contínua no intervalo [-2, 5]? 
Justifique. 
 
 
 
3) Analise a função representada abaixo e verifique se ela é contínua nos intervalos dados 
 
 
a) [-1, ∞) 
b) (-∞, ∞) 
c) (3, ∞) 
d) [-1, 3] 
 
31 
 
4) Nos exercícios de 1-4 diga se a função traçada é contínua em [-1, 3]. Se não, onde ela deixa de ser 
contínua? 
 
 
Resolução de Exercícios – Lista 02 
Exercícios complementares poderão ser obtidos no material de apoio do Portal e na Bibliografia 
Básica e Complementar expressa no Plano de Ensino, disponível na Biblioteca. 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
Parte I 
1) Calcule os limites a seguir, caso existam. 
a) lim
𝑥→3
 𝑥2 − 𝑥 − 7 
b) lim
𝑥→0
𝑥+1
4−𝑥
 
c) lim
𝑥→0
𝑥3−𝑥+8
2𝑥+1
 
d) lim
𝑡→2
𝑡2−5
2𝑡3+6
 
R: a) -1 b) ¼ c) 8 d) -1/22 
 
2) Calcule os limites laterais pela tendência. 
 
a) lim
𝑥→3−
𝑥2−9
𝑥−3
 b) lim
𝑥→0+
𝑥2−3
𝑥2+2
 
 
R: a) 6 b) -3/2 
 
3) Calcule o limite das funções abaixo, caso exista. 
 
a) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥)onde, 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
−𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
. 
 
b) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)onde, 𝑓(𝑥) = {
4 − 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
2+𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > 1
. 
 
c) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥)onde, 𝑓(𝑥) = {
−1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
1, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
. 
 
R: a)∄ lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) b) 3 c) )∄ lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) 
32 
 
 
Parte II 
Calcule os limites, caso existam. 
1) 
52x
34x
lim
x 


 
2) 
14x
5x2x
lim
3
2
x 


 
3)
54x
43x
lim
2
2
x 


 
 
4) 
9x
4x
lim
2
2
x 
 
5) x
x


3lim 
6) x1xlim 2
x


 
 
7)
23x
x
lim
2
x 
 
8)
2xx
4x4x
lim
2
2
2x 


 
 
9) 
xx
xx
x 44
12
lim
2
2
1 


 
10)
4x
6xx
lim
2
2
2x 


 
 
Respostas 
1) 2 2) 0 3)  , ou seja, ∄ 𝑙𝑖𝑚ite 4) 4 5) -  , ou seja, ∄ 𝑙𝑖𝑚ite 
6) 0 7)  , ou seja, ∄ 𝑙𝑖𝑚ite 8) 0 9)  , ou seja, ∄ 𝑙𝑖𝑚ite 10) 5/4 
 
Cálculo I – Lista 2 
A) Calcule os limites fundamentais abaixo. 
1) 
x
x x2
1
1lim 







 
2) 
x2
)x3(tg
lim
0x
 
3) x
1
)x61(lim
0x


 
4) 
x3
x x
1
1lim








 
5) 
x3
)x5(sen
lim
0x
 
 
B) Analise se as funções são contínuas nos pontos indicados. 
1) 
2x
1
)x(f  em x = 1 
admin33 
 
2) 
9x
1
y
2 
 em x = 3 
3) 3xem
3xsex9
3xsex5
)x(f 





 
4) 1xem
1xsex
1xsex2
)x(f
2






 
 
 
C) Determine os pontos de descontinuidade da função abaixo e os intervalos onde elas são contínuas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D) Nos problemas a seguir: (a) trace o esboço do gráfico das funções dadas; (b) use a definição de 
continuidade e diga se a função é contínua em a. 
1. f(x) = 3
39
35






a
xsex
xsex
 2. f(x) = 0a
0xse1
0xse0
0xse1









 
 
3. f(x) = 1a
1xsex3
1xsex3






 4. f(x) = 1a
1xsex
1xsex2
2







 
 
2
23
23
)()82
228
2
)()7
1
12
14
132
)()62
24
24
24
)()5
2
22
2
































a
xsex
xsex
xfa
xsex
xsex
xf
a
xsex
xse
xsex
xfa
xsex
xse
xsex
xf
 
 
 
 
 
 
 
admin
admin
34 
 
E) Observe o gráfico abaixo e responda: 
 
a) Determine se f(x) é contínua em A, B, C, D. 
b) Explique, caso não seja contínua, qual (quais) condições são 
violadas. 
 
 
 
F) Determine se é Verdadeiro ou Falso. Justifique sua escolha. 
a) ( ) a função que representa o número de habitantes de uma cidade em função do tempo é 
contínua em todos os pontos; 
b) ( ) a função que representa a altura de uma pessoa em função do tempo é contínua em todos os 
seus pontos. 
 
 
Respostas 
A) 1) 2
1
e 2) 3/2 3) 6e 4) 3e 5) 
3
5
 
B) contínuas 1) e 4) Descontínuas 2) e 3) 
C) Descontínua em: x = -5; x = -3; x = -2; x = 1; x = 3 e x = 5 
Contínua em: [-6, -5], (-5, -3), (-3, -2], (-2, 1), (1, 3), [3, 5] e (5, 7] 
D) Respostas abaixo. 
E) a) contínua somente em A 
 b) nos pontos B e D o valor da função no ponto difere do limite. No ponto C o limite não existe. 
F) a) F (quando nasce uma criança a função dá um pulo de uma unidade instantaneamente, não existe 
meio habitante); b)V (nos crescemos diariamente uma quantidade infinitamente pequena. Nossa altura 
não dá pulos) 
Resposta da (D) 1) Desc 2) Desc 3) Desc 4) Con 5) Desc 6) Desc 7) Con 8) Desc gráficos abaixo 
Gabarito Gráficos: 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
2. DERIVADAS 
 
Origem do conceito de derivada de uma função 
 O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica 
iniciada na Antiguidade. Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas 
cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas 
algébricos e estudar analiticamente funções. Foi enquanto se dedicava ao estudo 
de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito 
clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva 
num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar 
um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta 
dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o "Problema da 
Tangente". 
 
Interpretação geométrica da derivada 
 
A reta tangente. 
 
Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto. 
 
 
Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P. 
Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: 
 
 
Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: 
 
Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da circunferência (fig. 4). 
Elas “cortam”, “penetram” as curvas. 
37 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 
 
Seja y = f(x) a função cujo gráfico está representado pela curva da figura e da qual se quer determinar a inclinação 
no ponto P (x0, y0). 
 
 
Localizando o triângulo retângulo na figura 
podemos concluir que : 
x
y
tg


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A medida que a reta secante torna-se 
tangente em P(x0,y0) = ponto genérico, 
x tende a zero, ou seja, 0x , então 
teremos o mt (coeficiente angular) da reta 
tangente que será dado por: 
 
x
y
tg


 = 
x
xfxf

 )()( 0 e, 
 
 
 0xxx  isolando xxx  0 
trocando em )(xf = )( 0 xxf  
chegamos : 
 
)(
)()(
lim 0
00
0
xf
x
xfxxf
x
y
m
x
t








= derivada da função 
 
 
Assim, se este limite existir, chama-se derivada da função 
 
x
xfxxf
xf
x 



)(
lim)(
0
 . 
 
A derivada de uma função determina o coeficiente angular de uma reta tangente a uma curva em um 
ponto qualquer desta curva, e com isso sabemos se a função é crescente ou decrescente neste ponto. 
 
 
Notações: 
dx
dy
xfy  )( ou 
dt
dy
tf )(' 
 
 
admin
admin
38 
 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DERIVADA 
 
Seja f uma função derivável no intervalo aberto I. Para cada xo pertencente a I existe e é único o limite 
 
 
   
x
xfxxf
xf oo
x
o



 0
lim'
 
 
Portanto, podemos definir uma função RI:'f  que associa a cada Ixo  a derivada de f no ponto xo. 
Esta função é chamada função derivada de f ou, simplesmente, derivada de f. 
 
OBS: Duas interpretações da derivada: 
 
A derivada f´ de uma função pode ser interpretada ou como uma função cujo valor em x é a inclinação da reta 
tangente ao gráfico de 𝒚 = 𝒇(𝒙) em x, ou, alternativamente, como uma função cujo valor em x é a taxa 
instantânea da variação de y em relação a x no ponto x. 
Habitualmente a derivada de f é representada por f ’ ou 
dx
df
 
ou Df. 
A lei de f’(x) pode ser determinada a partir da lei f(x), aplicando-se a definição de derivada de uma função, 
num ponto genérico Ix :
 
 
 
   
x
xfxxf
limx'f
0x 


 
 
 A partir da definição da derivada, originam-se as regras (teoremas) de derivação que determinam da 
mesma forma o coeficiente angular da reta tangente a um ponto de uma curva, ou seja, o crescimento ou 
decrescimento da curva em qualquer ponto desta. 
 
Exercícios: 
1) A partir da definição encontre a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥². 
2) A partir da definição encontre a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2 
 
39 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Sejam  xuu e  xvv  funções deriváveis. 
1) Derivada de uma constante: 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐] = 0 
 
Exemplo: 
a) 𝑦(𝑥) = 5 
 
2) Regra da potência: 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥𝑛] = 𝑛𝑥𝑛−1 
Exemplo: 
a) 𝑦(𝑥) = 𝑥5 
b) 𝑦(𝑥) = 𝑥0 
c) 𝑦(𝑥) = 𝑥12 
 
3) Se u(x) é diferenciavel e c é um número qualquer: 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐 ∙ 𝑢(𝑥)] = 𝑐 ∙
𝑑
𝑑𝑥
[𝑢(𝑥)] 
Exemplo: 
a) 𝑦(𝑥) = 4𝑥8 
b) 𝑦(𝑥) = −𝑥11 
𝑐) 𝑦(𝑥) =
𝑥
3
 
 
4) Derivada da soma e da diferença: 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑢(𝑥)] ±
𝑑
𝑑𝑥
[𝑣(𝑥)] 
Exemplo: 
𝑎) 𝑦 = 𝑥4 + 𝑥2 
b) 𝑦 = 6𝑥11 − 9 
c) 𝑦 = 3𝑥8 − 2𝑥5 + 6𝑥 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
admin
 
 
Exercícios: 
Calcular a derivada de 
a) 3y 
b) 54xy  
c) 
2
4
3
2
31
2 xx
x
xy  
d) 168 24  xxy 
e) 3
5
2 53  xxy 
f) )3( 23  xxy 
g) 13²2  xxy 
h) 454
3
1 3  xxy 
i) xx
x
y  4
2
3
 
j) 52
1
5
2
2
3
 x
xxx
x
y 
Lista : 
1- Derivar as funções abaixo: 
a) 7)x(f  
b) 2x)x(f 5  
c) 23)x(f  
d) 
3
2
²x)x(f  
e) 5³x2)x(f  
f) 75.0x)x(f 8  
g) 
2
3
x
4
9
y 4  
h) 5²x5)x(f  
i) 25x2)x(f 6  
j) 
x5
2
x
5
1
xy 10  
k) 
3
2
x9y 8  
l) 1x
9
1
³x
7
3
x3x4y 69  
m) 
9
1
x
2
xy
6
5  
n) 2x
3
4
²x4³xxy 4  
o) x
3
x
2
³x
y
5
 
p) 
332 x
2
x
x7
x
1
y  
q) 5x²x³x)x(f r) 8x
5
4
³x5)x(f 5  
s) x
3
1
x
3
2
x2)x(f 45  
t) 5.4x³x
5
4
x
5
2
)x(f 5  
 
u) 4 xy  
Respostas 
a) 0 
b) 45x 
c) 0 
d) x2 
e) ²6x 
f) 78x 
g) ³9x 
h) x10 
i) 512x 
j) 
2
9
x5
2
5
1
x10  
k) 772x 
l) 
9
1
²
7
9
1836 58  xxx 
m) 74 x12x5  
n) 
3
4
8²3³4  xxx 
41 
 
o) 
x2
1
3
x5
2
²x3 4
 
p) 
3
3
3
2
12
xx
x   
q) 12²3  xx 
r) 44²15 xx  
s) 
3
1
³
3
8
10 4  xx 
t) 1²
5
12
2 4  xx 
 
u) 
4 34
1
x
 
 
 
5) Regra do Produto: A função vu  é derivável e 
 
    )x('v)x(u)x(v)x('ux'vu 
 
ou   'vuv'u'vu  
 
 
6) Regra do quociente: A função 
v
u
 
é derivável e 
  
 
  0xvse
)x(v
)x('v)x(u)x(v)x('u
x'
v
u
2








 
ou 
 
0vse
v
'vuv'u
'
v
u
2








 
 
Exemplos 
Encontre a derivada de cada uma das funções 
a)     1223  xxxf 
b) 
12
23



x
x
y 
c)
12
53
2
2



x
x
y 
d) ²))(1³2()( 4 xxxxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Lista: 
 
Derivar as funções abaixo: 
a) )1x6)(x4²x3(y  
b) ²)x1²)(x1(y  
c) )x2x)(4²x(y 4 
d) 4 xy  
e) 
²xx2
15
y

 
f) 
1x
x4
y

 
g) 
2x
x10
y

 
j) 
x3
x2
y


 
k) 
x1
x1
y


 
l) 
³x1
²x
y

 
m) 
1²x
3
y

 
n) 
2nx5y  
o) )5²x)(1²x3(y  
p) 
5x
5x
y


 
q) 
1²x
3²x3
y


 
r) 
1²x4
²x3
y

 
s) 
2x
1
y  
t) 
x
2
y

 
u) 10
x5
6
x3
4
y
1003
 
Respostas 
a) 442²54  xx b) ³4x 
c) 4²3³3212 5  xxx d) 
4 34
1
x
 
e) 
 222
3015
xx
x


 f) 
 21
4


x
 
g) 
 22
20
x
 
i) j) 
)²3(
5
x
 
k) 
)²1(
2
x
 l) 
³)²1(
24
x
xx


 
m) 
)²1²(
6


x
x
 n) 
1)2(5  nxn 
o) xx 28³12  p) 
)²5(
10
x
 
q) 0 r) 
)²1²4(
6
x
x
 
s) 
32  x t) 22 x 
u)
1014 1204   xx 
 
 
43 
 
RETA TANGENTE 
A derivada de uma função f no ponto xo é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f 
no ponto de abscissa xo. 
 
Quando queremos obter a equação de uma reta passando por P(xo,yo) 
e com coeficiente angular m, utilizamos a relação da Geometria 
Analítica, que determina a equação de uma reta: 
 oo xxmyy 
 ou 
 ooo xx)x('f)x(fy 
 
Exemplo 
1) Qual é a equação da reta tangente à curva x3xy 2  no seu ponto de abscissa 4? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Observe a função f(x), representada abaixo. Analise o sinal da derivada nos valores indicados. 
Compare estes resultados com o comportamento da função. 
 
a) x = -1 
 
 
b) x = 0 
 
 
c) x = 1 
 
 
d) x = 2 
 
 
e) x = 3 
 
 
 
 
44 
 
Lista: 
Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto xo. Represente graficamente 
cada situação. 
a)   3x,1xxf o  
b)   1x,x2xxf o
2  
c)   1x,
x
1
xf o  
d)   4x,xxf o  
Respostas: a) 1xy  ; b) 1y  ; c) 2xy  ; d) 1xy 4
1  
REGRA DA CADEIA: 
 
Utilizada quando trabalhamos com funções compostas, como por exemplo 10069 )1xx()x(v  . 
Para determinar a derivada de uma função composta de forma mais simples, usamos o teorema da 
regra da Cadeia. 
 
Teorema: Seja    n)x(uxv  , funções diferenciáveis, então: 
 
    )x('u)x(unx'v 1n   ou   'uun'v 1n   
Exemplos 
Calcular a derivada de: 
a) f(x) = (3x - 1)2 
 
b)  1003 2xy  
 
c) 1xx2y 2  
 
d) 3
2x
3x2
y

 
 
e)  3 22 2x2xy  
 
 
f) 23)1²(  xxy 
 
 
g) 
35 )1(
4


xx
y 
 
h) 13).1()(  xxxf 
 
 
45 
 
Lista 
 
Derivar as funções abaixo usando a regra da cadeia: 
a) )³7x2(y  
b) 4)4x9(3y  
c) 3
2
)2t9(y  
d) 3 x4³x3y  
e) 2
1
²)x25(y

 
f) )²1x5)³(3x(y  
g) 2
1
)4x4²x(5y  
h) 1x3²xy  
i) 1²x²xy  
j) 5
1
3
2
)1²x(xy  
k) 
4
4x3
1x2
y 







 
l) 4
1³x2
1²x
y


 
m) 
)³1x2(
)1x(
y
4


 
 
 
Respostas 
a) )²72(6 x 
b) )³49(108 x 
c) 
3
1
)29(
6
t
 
d) 
3 )²4³3(3
4²9
xx
x


 
e) 
2
3
²)25( x
x

 
f) )33x25)(1x5)²(3x(  
g) 
44²
)2(5


xx
x
 
h) 
13²2
32


xx
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) 
1²
2³3


x
xx
 
j) 
5 4
3
3
5
)1²(5
²2
3
)1²(2




x
xx
x
x
 
k) 
5)43(
)³12(20


x
x
 
l) 
















)²1³2(
²3
1³2
1²
2
1 44
3
x
xxx
x
x
 
m) 
4)1x2(
)³1x)(5x(2


 
 
 
Derivadas das Funções Elementares 
 
FUNÇÃO EXEPONENCIAL: 
 
Se )()( xuaxf  então 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑢(𝑥). 𝑙𝑛𝑎. 𝑢′(𝑥) 
 
Em particular se 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑢(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑢(𝑥)𝑢′(𝑥) 
 
Exemplos 
Calcular a derivada das seguintes funções: 
 
a) x22y  
b) x2ey  
c) xey  
d) 
x
1
2
1
y 





 
e) 
2xe32y  
f) 
xe
2
y  
g) e2e2e2y xx
2
 
 
h) )(xf 12
2  xxe 
 
i) )(xf 1
1


x
x
e 
 
 
 
47 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 
Seja 1a0quetalRa  e 
y = loga u(x) então 
aln).x(u
)x('u
'y  
Para o caso de 
y = ln u(x) temos: 
)x(u
)x('u
'y  
 
Exemplos 
Calcular a derivada das funções abaixo: 
a)  1xlogy 2  
b) 2xlogy
3
 
c)  2xlny  
d)  x2lny  
e)  x2lnx5y  
f)  x2lnx5y  
g) f(x) = ln (2x+1) 
h) f(x) = 2x + 3lnx 
i) )63ln()( 2  xxxf 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: 
Sejam u = u(x) e v = v(x) funções diferenciáveis, então: 
 
 u seny  então,  u cos'uy  
 u cosy  então,  u sen-u'y  
 u tgy  então,  u sec'uy
2 
 u cotgy  então,  u cossec'uy
2 
 u secy  então,    u tgu sec'uy  
 u cossecy  então,    u cotgu cossec'uy  
 
48 
 
Exemplos 
Calcular a derivada das funções abaixo: 
a) )x(seny 2 
b) )x(seny 2 
c)  x2cos3y  
d)   x3tgy 
e)    x2secx2gcoty  
f)  xy seccos 
g) 
)cos(1
)(
x
xsen
y

 
h) 
senx
x
xf
32
)(  
i) xxxf cos.2)( 3 
 
 
 
 
Lista: 
 
1) Derivar as funções trigonométricas abaixo: 
a) )x2(seny  
b) )x3cos(y  
c) )x2cos(x2y  
d) )x3(seny  
e) )x2cos(y  
f) )x(sen³.xy  
g) )x(sen).5²x(y  
h) 
x
)x(sen
y  
i) ³)x1(seny  
j) )x(seny 5 
k) )x53(sen².xy  
l) )x(seny 5 
m) ³)x4(sen7y 6 
n) )2²x(seny 3  
o) 
)xcos(21
)x(sen
y

 
p) 
)xcos(2
)x(sen2
y


 
q) )1x3cos(y  
r) )x4(tg9²)x3(sen6y  
s) )1x(tg5y 6  
 
 
 
49 
 
 
2) Derivar as funções exponenciais e logarítmicas abaixo: 
a) xey  
b) ²)xln(y  
c) )x3ln(y  
d) )1x4ln(y  
e) )x6²x(logy 10  
f) xe.xy  
g) x3y  
h) )x3(sen2y  
i) ²x2ey  
j) 2x62y  
k) )x3²(seney  
l) ²x2e.2y  
Respostas 
1) 
a) )2cos(2 x 
b) )3(3 xsen 
c) )2(22 xsen 
d) )3cos(3 x 
e) )2(2  xsen 
f) )cos(³.)(².3 xxxsenx  
g) )cos().5²()(.2 xxxsenx  
h) 
²
)()cos(.
x
xsenxx 
 
i) ³)1cos(².3 xx  
j) )cos().(5 4 xxsen 
k) )53cos(².5)53(.2 xxxsenx  
l) )cos(.5 54 xx 
m) ³)4cos(³).4(².504 5 xxsenx 
n) 
3
3
)²2²(3
))2²(cos(.2


x
xx
 
o) 
))²cos(21(
2)cos(
x
x


 
p) 
))²cos(2(
1))cos()((2
x
xxsen


 
q) )13(3  xsen 
r) )4²(sec36²)3cos(.36 xxx  
s) )1²(sec).1(30 5  xxtg 
 
 
 
 2) 
a) y = xe b) y = 
x
2
 
c) y = 
x
1
 d) y = 
14
4
x
 
e) y = 
)10ln().6²(
62
xx
x


 f) y = xx exe . 
g) y = )3ln(.3x h) y = )2ln(.2).3cos(3 )3( xsenx 
i) y = ²2.4 xex j) y = )2ln(.2.6 26 x 
k) y = )3²().3cos().3(6 xsenexxsen l) y = ²2.8 xex  
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
 
 Se y é uma função de x definida pela equação y = 3x2 + 5x + 1, então y é definida explicitamente em 
termos de x e podemos escrever y = f(x) onde f(x) = 3x2 + 5x + 1. 
 Entretanto, nem todasas funções estão definidas explicitamente. Por exemplo, a equação: 
x6 – 2x = 3y 6 + y5 – y2, não pode ser resolvida para y explicitamente como uma função de x. Neste caso dizemos 
que y é definida implicitamente pela equação dada. Podemos encontrar a derivada de y em relação a x, pelo 
processo denominado diferenciação implícita. 
 
Exemplos: 
1) Use a diferenciação implícita para achar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 se 5𝑦² + 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 𝑥² 
Vamos diferenciar ambos os lados da equação: 
𝑑
𝑑𝑥
[5𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑦)] =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥² 
 
5
𝑑
𝑑𝑥
[𝑦2] +
𝑑
𝑑𝑥
[𝑠𝑒𝑛(𝑦)] =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥² 
 
5 (2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) + (cos 𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 2𝑥 
 
10𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ cos 𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 
 
Resolvendo para 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 temos: 
(10𝑦 + cos 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥
(10𝑦 + cos 𝑦)
 
 
 
Exemplos 
1) Derive as seguintes funções implicitamente 
a) 2x3y + 3xy3 =5 b) 
y2x
y2x
x2


 c) 2)cos(²
2  xxyy 
 
Lista: 
 
1) Derive implicitamente as seguintes funções: 
a) 10yx8 22  b) xy2x4 33  
c) 0y4xyx5 22  d) 16yxyx2 3  
e)   1yysenx 22  f)  ytgxy  
 
51 
 
2) Calcule a inclinação da reta tangente à circunferência 25yx 22  no ponto  4,3 . Qual é a inclinação no 
ponto  4,3  ? 
 
Respostas 
1) a) 
y
x8
dx
dy 
 b) 
2
2
y6
1x12
dx
dy 
 c) 
 
 y8x
yx10
dx
dy



 
 
d) 
 
 xyy6x
yxy4
dx
dy
2

 e) 
 
   yseny4ycos
ysenx4
dx
dy


 f) 
 ysecx
y
dx
dy
2

 
 
2) 
4
3
e
4
3
 
 
 
DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR 
A segunda derivada de uma função f(x) fornece informações sobre a derivada primeira, ou seja, é a 
taxa de variação da taxa de variação, no caso de um movimento, a derivada primeira define a velocidade e a 
derivada segunda define a aceleração. Para a análise do comportamento gráfico de uma função, a derivada 
de segunda ordem fornece informações sobre a concavidade de f(x). 
De um modo geral, se uma função é derivável, então a derivada 'f é novamente derivável, e a segunda 
derivada de f é representada por ''f e assim por diante. 
 xD
dx
dy
)x(y)x(f  , são representações da derivada primeira 
 2x2
2
D
dx
yd
)x(y)x(f  , são representações da derivada segunda 
 3x3
3
D
dx
yd
)x(y)x(f  ,são representações da derivada terceira ... 
 
 Se 𝑠 = 𝑠(𝑡) for a função posição de um objeto que se move em uma reta, então a velocidade é a taxa de 
variação do espaço dada por 
𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
 
e, a taxa de variação da velocidade é a aceleração dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
( ) '( ) ''( )
 
a t v t s t
dv d s
dt dt
 
 
52 
 
Exemplos: 
1) Determine a derivada segunda das funções abaixo: 
𝑎) 𝑓(𝑥) = 3𝑥³ + 2𝑥² − 5𝑥 + 4 c) 𝑓(𝑥) = √𝑥² + 1 b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine as derivadas de todas as ordens da função polinomial 
𝑓(𝑥) = 3𝑥5 − 2𝑥4 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8 
 
 
 
 
 
 
3) Seja 𝑠 = 2𝑡 + 3𝑡², para 𝑡 > 0, a equação do movimento de uma partícula P, com s em metros e t em 
segundos. Determine a velocidade e a aceleração da partícula quando t = 5 segundos. 
 
 
 
 
 
 
 
Lista: 
1. Seja a equação do movimento 
2t
2
tS  com S em metros e t em segundos. Encontre os valores da 
velocidade e da aceleração quando s
2
1
t  ;. 
2. Determine a derivada 2ª das funções dadas: 
a)  7xxy 22  b) )x2(senxy 2 c) 
3x2
)x2x(
y
2


 
respostas: 1) v=33m/s a = -192m2/s 2) a) y’’=12x^2+14 b) y’’ = 2sen(2x) + 8xcos(2x) – 4x2 sen(2x) 
c) y’’ = (2x2 - 6x - 6)/(2x-3)2 
53 
 
3. APLICAÇÕES DA DERIVADA 
 
A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 
 
Velocidade instantânea 
 Definição: Definimos a velocidade média de uma partícula no movimento retilíneo como sendo o 
quociente da variação da distância pela variação do tempo. 
 
Exemplo 
1. Uma partícula move-se sobre uma linha reta com a equação do movimento: tt3)t(S 2  , calcular a 
velocidade da partícula no instante em que t = 2 segundos. 
Solução: S´(t)= 6t + 1 
S´(2) = 13m/s 
 
 
Taxa da variação instantânea em geral 
 As considerações a respeito da taxa de variação da distância em relação ao tempo poderão ser 
generalizadas e assim serão aplicáveis para quaisquer quantidades variáveis de qualquer espécie. Por 
exemplo, a taxa de crescimento de bactérias, a taxa de variação de uma reação química. Em economia, a 
receita marginal, o custo marginal e o lucro marginal, são taxas de variação. 
Exemplos 
1) Se R(x) for o rendimento total recebido das vendas de x aparelhos de televisão e 
20
x
x600)x(R
3
 , 
determine: 
a) a função taxa de variação do rendimento ou o rendimento marginal; 
b) a taxa de variação do rendimento quando x = 20; 
Solução: a) 
20
x3
600)x(R
2
 ; b) 540
20
)20(3
600)20(R
2
 
 
2) Uma bola é lançada verticalmente para cima, desde o solo. A equação do movimento é t20t5)t(S 2  
(S em m e t em seg.), determine: 
a) a velocidade instantânea em t=1seg; 
b) a velocidade instantânea em t=3seg; 
c) o instante em que a bola começa retornar ao solo. 
Solução: a) s/m102010)1´(S  ; b) s/m102030)3´(S  ; 
 
c) seg2t0)t´(S  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
 
Função crescente e decrescente 
1. Uma função f(x) é crescente quando 0(x)'f  ; 
2. Uma função f(x) é decrescente quando 0(x)'f  ; 
3. Pontos críticos: valores de x para os quais 0(x)'f  ou não existe (podem ser ponto de máximo, de mínimo 
ou de inflexão). 
 
 
Testes para máximos e mínimos locais 
a) Teste da primeira derivada 
1. Se (x)'f passa de + para -, f (x) passa por um máximo; 
2. Se (x)'f passa de - para +, f(x) passa por um mínimo; 
3. Se (x)'f não muda de sinal, f(x) não passa por máximo nem por mínimo, pode ser um ponto de inflexão. 
 
 
b) Teste da segunda derivada: 
1. Se )(x''f 0 <0, f(x) passa por um máximo; 
2. Se )(x''f 0 >0, f(x) passa por um mínimo; 
3. Se )(x''f 0 = 0, o teste falha. 
Obs.: x0 é o ponto crítico determinado pela derivada 
primeira. 
 
 
 
 
Ponto de inflexão 
É o(s) ponto(s) onde a curva muda de concavidade. Uma curva y 
= f(x) tem um ponto de inflexão quando: 
 (x)''f = 0 ou não existe 
 (x)''f troca de sinal quando f(x) passa por x0. 
Se (x)''f >0 a concavidade é voltada para cima 
Se (x)''f <0 a concavidade é voltada para baixo 
 
 
 
 
Inflexão 
55 
 
Exemplos 
1) Quando uma droga é injetada em um músculo, a concentração da droga nas veias tem uma curva tempo-
concentração como aparece no gráfico (adaptado de GOLDSTEIN, 2000) a seguir. 
 
Quando t = 0 não há nenhuma droga nas veias, quando injetada no músculo, a droga começa a se 
difundir na corrente sanguínea. A concentração aumenta e atinge o seu máximo em aproximadamente 2 
horas. Depois desse instante começa a ser removida do sangue pelos processos metabólicos do organismo. A 
concentração da droga se reduz a um nível tão pequeno que para todos os objetivos práticos ela é zero. 
 
 
2) Estudar a variação de cada função identificando ponto de máximo e mínimo. 
a) Seja dada a função 10x3x4)x(f 2  , vamos estudar o sinal da (x)'f . Temos que 3--8x(x)'f 
. Observamos que (x)'f é uma função do 1º grau decrescente, que intercepta o eixo x no ponto 
8
3
x 
, então temos a seguinte representação: 
 
 
 
 
 
 
Observando a representação acima podemos afirmar que: 
f é estritamente crescente em: 






8
3
, ;f é estritamente decrescente em: 





 ,
8
3
 
8
3
x  é o valor onde obtemos o ponto de máximo absoluto da função dada . 
Representando a função 10x3x4)x(f 2  podemos constatar as afirmações acima 
 
 
b) Seja dada a função 10x3x)x(f 3  . Temos que 3-3x(x)'f 2 . Para 0(x)'f  tem-se que 
1xou1x  . A (x)'f é uma parábola de concavidade para cima (a >0 ) que intercepta o eixo x nos 
pontos –1 e 1. Representando,podemos observar que: 
 
 
 
+ - 
56 
 
 
f’(x) 
 
 
 
 
 
Representando a função 10x3x)x(f 3  podemos constatar as afirmações acima 
 
 
c) Seja a função 10x6x
2
5
3
x
)x(f 2
3
 . Temos que 6x5x)x(f 2  é uma função quadrática de 
concavidade voltada para cima. Os pontos críticos obtidos de 06x5x2  são x = 2 ou x = 3 . Temos 
então: 
 
 
 
 
 
 
Representando a função 
10x6x
2
5
3
x
)x(f 2
3
 podemos constatar as afirmações acima 
 
 
 
 
 
 
 
1 
+ + _ 
 -1 
1) f é estritamente crescente em: 
2) f é estritamente decrescente em: 
3) x = 2 é ponto de máximo local ; Pmáx(2, -5.3) 
4) x = 3 é ponto de mínimo local ; Pmín(3, -5.5) 
+ + _ 
2 3 
1) f é estritamente crescente em :     ,11,  
2) f é estritamente decrescente em :  1,1 
3) x = -1 é ponto de máximo local ; Pmáx(-1, 12) 
4) x = 1 é ponto de mínimo local; Pmín(1, 8) 
5) x = 0 é ponto de inflexão ; I(0, 10) 
 
57 
 
LISTA: 
1) Dadas as funções abaixo determine: 
a) Os pontos críticos  f’(x) = 0; 
b) Os intervalos onde a função cresce e decresce  Olhar mudança de sinais da primeira derivada; 
c) Os pontos de máximo e mínimo locais  teste da primeira derivada; 
d) O ponto de inflexão  f’’(x) = 0; 
e) Esboce o gráfico da função mostrando se existir, todos os pontos extremos relativos (valores de 
máximo, mínimo e de inflexão. 
(Calcule as raízes da função para ter melhor noção de onde a curva corta o eixo x) 
 
A - f(x) = x3 + 6x2 + 9x B - f(x) = x3 – 12x C - f(x) = 29
3
1 3  xx D - f(x) = 53
3
1 23  xxx 
A- a) Pontos críticos x = - 3 e x = -1; 
b)Cresce para x < -3 ou x > - 1 decresce: -3 < x < -1 
c) Máximo Local f(- 3) = 0 Pmáx(-3, 0) Mínimo Local f( -1) = - 4 Pmín(-1, - 4) d)Ponto de inflexão ( -2, -2) 
(raízes x = -3 e x = 0) 
 
B - a) Pontos críticos x = - 2 e x = 2; 
b)Cresce para x < -2 ou x > 2 decresce: -2 < x < 2 
c) Máximo Local f(- 2) = 16 Pmáx(-2, 16) Mínimo Local f( 2) = -16 P mín(2,-16) d) Ponto de inflexão (0, 0) 
(raízes x = -3,5 e x = 0 e x = 3,5) 
 
C - a) Pontos críticos x = - 3 e x = 3; 
b)Cresce para -3< x < 3 decresce: x < -3 ou x >3 
c) Mínimo Local f(- 3) = -20 Pmáx(-3, -20) Máximo Local f( 3) = 16 Pmáx(3, 16) d) Ponto de inflexão ( 0, -2) 
(raízes x = -5,3 e x = 0,2 e x = 5,1) 
 
D - a) Pontos críticos x = - 1 e x = 3; 
b) Cresce para x < -1 ou x > 3 decresce: -1 < x < 3 
c) Máximo Local f(- 1) = 20/3 Pmáx (-1, 6,7) Mínimo Local f( 3) = -4 Pmín(3, - 4) d)Ponto de inflexão (1, 1,3) 
(raízes x = -2,6 e x = 1,3 e x = 4,3) 
 
Gráficos: 
A) 
 
58 
 
B) 
C) 
D) 
 
 
59 
 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
Os métodos aprendidos para encontrar valores extremos têm aplicações práticas em muitas áreas do 
cotidiano. Um homem de negócios quer minimizar custos e maximizar lucros. Um viajante quer minimizar o 
tempo de transporte. Agora vamos resolver problemas tais como maximizar áreas, volumes e lucros, e 
minimizar distâncias, tempo e custos. Na solução de tais problemas práticos o maior desafio está 
frequentemente em converter o problema em um problema de otimização matemática, estabelecendo a 
função que deve ser maximizada ou minimizada. 
 
Exemplos 
a) Quer-se construir um cercado retangular aproveitando-se uma parede já existente. Se existe material 
suficiente para se construir 80 metros de cerca, quais as dimensões do cercado para se ter a maior área 
cercada possível? 
Solução: O cercado terá duas dimensões iguais a x >0 e y >0 , conforme mostra o desenho : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O cercado terá a maior área possível se tiver dimensões iguais a 20m e a 40 m . 
 
b) Quer-se construir uma trave de um campo de futebol enterrando-se cada lado a uma profundidade de 1 
metro. Para isso dispõe-se de 10 metros de madeira numa peça só. Como deverá ser cortada a peça de madeira 
para que se tenha a maior área possível sob a trave? 
 
 
Solução: Sejam x >0 a medida de dois pedaços de madeira e, y > 0 o outro pedaço, como mostra o desenho. 
Temos então que 2x + y = 10 e assim y = 10 - 2x . A área da trave será : 
 A = (x-1).y . 
Portanto A(x)= (x-1).(10-2x) = 10x-2x²-10+2x = -2x² +12x-10 . Logo A ‘(x) = -4x+12 e assim 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A madeira deverá ser cortada em três pedaços: dois iguais a 3m e um igual a 4m . 
 
Temos então que: 2x+y=80 e assim y = 80-2x e 
A =x.y Logo: A(x) = (80-2x).x = 80x-2x² , x > 0 
A’ (x) = 80-4x 
80-4x=0  x = 20 
 
x = 20 é ponto de máximo e y = 80 -2.20 = 40 
x= 3 é ponto de máximo absoluto, 
 
logo o valor de y = 10-2.3 = 4 
60 
 
c) Quer-se construir uma piscina infantil de base quadrada e que encerre um volume de 32m3. O preço do m² 
da base equivale a 2 salários mínimos, enquanto que o preço do m² das faces laterais equivale a 16 salários 
mínimos. Quais as dimensões da piscina para que se tenha preço mínimo? 
 
Solução: Sejam x >0 a medida do lado do quadrado da 
base e, y > 0 a altura. O volume deve ser 32 m³ então 
temos que x ². y = 32 e daí, y = 32/x ². Note que a área 
total da piscina é a soma da área da base [x²] e mais a área 
de 4 retângulos de área [x.y], assim a função da área total 
é AT = x2 + 4xy e a função do custo é 
C = 2(x²) + 16(4xy) salários mínimos. 
Temos 
2
3
2
2 20484
x
2048
-4x(x)' C e 
2048
2)(
x
x
x
xxC

 . 
 'C é uma fração cujo o denominador é positivo, então, basta apenas estudar o sinal da derivada C’ no 
do numerador,   20484' 3  xxC . 
Calculando temos que C’(x)=0 implica x= 8 
 
 
 
 
 
Resposta: Para que o custo da piscina seja mínimo, o lado da base deverá ser 8m e a profundidade de meio 
metro 
 
Lista 
 
1) Considere a quantidade de produção vegetal como função da quantidade de sementes x colocadas na cova, 
dada pela equação 23 x12x)x(f  (kg/ha), analise os intervalos onde a função é crescente ou decrescente 
e calcule: 
a) a taxa de variação da produção em x = 6 e em x = 10 e justifique seus significados, 
b) a quantidade x de sementes por cova para uma produção máxima, 
c) a produção máxima, 
d) Represente graficamente para valores reais. 
 
2) De uma longa folha retangular de metal de 75cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas 
perpendicularmente à folha. Quantos cm devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha 
capacidade máxima? 
 
3) Um terreno retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do rio. Se o 
custo do material for de R$ 12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$ 8,00 por metro linear nos 
dois extremos, ache o terreno de maior área possível que possa ser cercado com R$ 3.600,00 de material. 
 
x = 8 é ponto de mínimo absoluto, logo 
2
1
8
32
y
2
 
61 
 
Respostas 
1) f´(x) = - 3x2+24x 
f´(6) = 36 taxa positiva indica crescimento da produção 
f´(10) = -60 taxa negativa indica decrescimento da produção 
- 3x2+24x = 0 
x1 = 0 e x2 = 8 
a produção é crescente até 8 sementes por cova 
produção máxima é f(8) = 256kg/ha 
2) 18,75 cm 
3) dimensões 150 x 112,5 metros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
4. Diferencial e anti-diferencial: Técnicas de integração 
 
ANTI-DIFERENCIAL OU INTEGRAL 
 Chama-se antidiferenciação ou integração a operação inversa da diferenciação, ou seja: Dada 
 
 
 
integração 
 
 
y = f(x)  dy = f  (x) dx 
 
 
diferenciação 
 
 Seja f(x) uma função contínua num certo intervalo [a, b]. A primitiva da função f é uma função F(x), tal 
que: F’(x) = f(x) 
 
 
Exemplos 
 
1) x3 é primitiva de 3x2? 2) x3 + 2 é primitiva de 3x2? 
 sim, porque a derivada de x3 é 3x2 sim, porque a derivada de x3 + 2 é 3x2 
 
 
3) x3 + 100 é primitiva de 3x2? 4) x4 é primitiva de 4x?sim, porque a derivada de x3 + 100 é 3x2 não, porque a derivada de x4 é 4x3 
 
 
 
 Se F(x) é primitiva de f(x) indicamos:  dxf(x))x(F . Mas como F(x) + c também é primitiva da f(x) 
então podemos indicar: 
 
  cF(x)dxf(x) 
 
O símbolo (operador)  denota a operação de antidiferenciação (Integral). 
 
O processo de encontrar antiderivadas é denominado antiderivação, antidiferenciação ou INTEGRAÇÃO, assim 
se 
𝑑
𝑑𝑥
[𝐹(𝑥)] = 𝑓(𝑥) 
 
Para enfatizar esse processor de integração, reescrevemos usando a notação de integral: 
 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
onde C deve ser interpretada como uma constante arbitrária. 
 
 
63 
 
OBS: 
 A expressão ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 é denominada integral indefinida 
 Indefinida por que o resultado da antidiferenciação é uma função “genérica”. 
 o sinal ∫ é denominado sinal de integral 
 A constante C é uma constante de integração, por exemplo, y = ²2 xdxx  + C, conforme o 
gráfico abaixo. 
 
 
 
 
TEOREMAS DE INTEGRAÇÃO 
 
1.  


1nC
1n
x
dxx
1n
n 
 
Exemplos: 
a)  dxx
2
 
b)  dxx
3
 
c)  3x
dx
= 
d) dxx = 
e) dxx 5 = 
 
2.   dxf(x)adxf(x)a 
 
Exemplos: 
a)  dxx
23 
 
b)  dxx
3
 
64 
 
c)  dxx2
5
= 
 
d)  dxx
32 = 
 
3.   cxdx 
 
Exemplos: 
a)  dx3 
b)  dx2
1
 
 
c)  dx5 
 
 
 
4.    (x)dxf(x)dxf(x)]dxf(x)[f 2121 
 
Exemplos: 
a) dxxx  )343(
2 = 
 
 
 
 
b) dx
x
1x


 = 
 
 
 
 
c) dx
x
4x5x
2
23


 = 
 
 
 
 
 
d )  dxxx 2 = 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
5)Determine f(x) resolvendo o problema a valores iniciais, onde 143)( 2  xxxf f(2) = 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
A - Calcule as Integrais Elementares 
1.  dxx
2 2.  dxx
3 3.  dxx
3 
4.  dx
x
1
2
 5.   dx5)(3x 6.   dx)
x
1
xx( 33 
7.  dxx 8.  dx
x
2
 9. dx
xx
)
11
(
33
 
10.   dxx )52( 11. 
 2x9
dx
 12)   dx)3x2( 
13.   dx)x2x(
2 14   dx)1xx(
23 15.   dx)1x5x3(
3 
Respostas integrais elementares: 
Cx
x
C
x
C
xx
ouC
x
C
x
C
x


 5
2
3
)5
1
)4
5
2
5
2
)3
4
)2
3
)1
22543
 
C
x
xCxCxxouCxCx
xxx

2
3 23
34
2
1
2
3
)94)8
3
2
3
2
)72
4
3
4
)6
Cx
xx
Cx
xx
Cx
x
CxxC
x
Cxx


2
5
4
3
)15
34
)14
3
)133)12
9
1
)115)10
24
34
2
3
22
 
B - Ache a Função Custo correspondente ao custo marginal 4
x20
1
dx
dC
 com custo de $750 para x = 0. 
 
C - Ache a equação da função f(x) cujo gráfico passa pelo ponto P(4, 2) e possui derivada f’(x)= 10x6  . 
 
 
 
 
D) Determine f(x) resolvendo o problema a valores iniciais. 
1) 12)(  xxf f(1) = 3 
2) 143)( 2  xxxf f(2) = 9 
3) 
2
1
1)(
x
xf  f(1) = 2 
 
Respostas: 1) f(x) = x2 + x + 1 2) f(x) = x3 + 2x2 – x - 5 3) f(x) = x – 1/x + 2 
66 
 
 
Lista 1- Anti-diferencial 
 
 Determine a primitiva das seguintes questões 
a)  dx3x
3 
b)   dxxx 
c)  dxx
1
2
 
d)   dx5)(3x 
e)   dx)x
1
xx( 33 
f)  dxxx
1
43
 
g) 
 2x9
dx
 
h)   dxx3cos 
i)   dx3xsen 
j)  dxe
2x 
k)  dx2e
2x 
l)   dxe2
2x 
m)  dxx
1
 
n)   dxxsec
2 
o)     dxxtgxsec 
 
Respostas 
a) c
4
x3 4
 
b) c
5
xx2 2
 
c) c
x
1


 
d) cx5
2
x3 2
 
e) cx2xx
4
3
4
x 3
4
 
f) c
x9
4
4 9


 
g) c
x9
1
 
h)   cxsen3  
i)   cx3cos
3
1
 
j) ce
2
1 2x  
k) ce x2  
l) ce
2
1
x2 x2  
m)   cxln  
n)   cxtg  
o)   cxsec  
 
 
67 
 
Integração por substituição de variável 
 
  cx))(g(G(x)]dxgf(g(x))[ 
Exemplo. Calcular   dx3xx2
2 
Seja g(x) = x2 + 3, realizamos a substituição g(x) = u, ou seja: 
3xu 2  e portanto teremos dxx2du logo 
 dx2x3x
2 
 
 
Como 3xu 2  , então c
3
)3x(2
dx3xx2
32
2 

 
Exemplos: 
a) dxx 
2)12( 
 
b)   dxxx
3
2 232  
 
c) 
 32 2x
xdx
 
 
d)   dxx212 4  
e) dx4x5x10 2  
f)   dx1x 4  
g) dx
)3x2x(
1x
22 

 
h) dx
3x4x
2x
2 

 
 
 
 
68 
 
INTEGRAL DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
   cedue
uu  
 cedue uu   caln
a
dua
u
u 
 
Exemplos 
 
 dx5
x3
 u = 3x du = 3dx , logo  dx
x35 
 
Exemplos: 
a)  dxe
x2 
b)  dxe
x5
 
c) 
 dxe x2 
d) 
 dxe x52 
e)   dxxe
x )( 3 
f) dx
2
ee xx


 
g)  dxxe
x ²
 
h)  dxxe
x ²5
 
 
INTEGRAL DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
  c|u|lnduu
1
 
 
Exemplo 
  x23
dx
 u = 3 – 2x du = -2dx, logo 
 x
dx
23
 
 
 
Exemplos: 
a)  x
dx
 
b) 
4
dx
x
 
c)  1²
4
x
xdx
 
d) 
3
3 1
dx
x
 
e)   )2(
³4
4x
dxx
 
 
69 
 
 
INTEGRAL DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Comecemos com uma pequena tabela de Integrais Trigonométricas ... 
 
 
 ●      Cusenduucos ●        Cuseccosduugcot.useccos 
 
 ●      Cucosduusen ●       CucoslnCuseclnduutg  
 
 ●      Cutgduusec
2
 ●      Cusenlnduugcot 
 
 ●        Cusecduutg.usec ●        Cutguseclnduusec 
 
 ●      Cugcotduuseccos
2
 ●        Cugcotuseccoslnduuseccos 
 
 
 
Exemplos 
 
1) dx
x
)xcos(ln
 u = ln(x) dxx
1
du  
dx
x
)xcos(ln
 = c)x(lnsendu)ucos(  
 
2)  dx)x3(tg u = 3x du = 3dx 
  c|x3cos|ln
3
1
du)u(tg
3
1
dx)x3(tg   
 
3)  )x2(cos
dx
2
 u = 2x du = 2dx 
    cx2tg2
1
duusec
2
1
ucos
du
2
1
)x2(cos
dx 2
22
 
 
Exemplos: 
 
a)   dxxcos2 = b)   dxxsenx3
32
 
c)   dxx2sen d)   dxxcosx
2
 
e)  dxxtg )4( f)  





dx
2
x
sec2 
g)     dxx3tgx3sec 
70 
 
Lista Integral Indefinida 
Integrais imediatas (elementares) e por substituição: 
 Às vezes é difícil perceber qual é a primitiva da função a ser integrada. O método da substituição diz 
que podemos substituir alguma parte da função a ser integrada por uma nova variável a fim de facilitar o 
encontro dessa primitiva. 
 
 
 
 
 
 
dxxx
x
dxsenx
dxxxsen
dx
x
senx
dxxxsen
dxxdx
x
x
dxexdxxxx
dx
x
x
dx
x
x
dx
xx
x
dzz
dttdxx
dxxdx
xx
dtttdxx
x




























)21(8)20
)cos5(
)19cos.)18
cos
)17)()16
)14cos()14
ln
)13
)12)32(539)11
)1(
)10
1
2
)9
)34(
)2(
)813)7
)58()623()5
13)4
31
)3
349)2)34()1
2
3
4
4
2
2
23
8
2
322
32
4
3
2
23
2
4
 
Respostas: 1) 2x2 + 3x + C 2) 3t3 -2t2 + 3t + C 3) C
xx

 3
2
1
2
 4) C
x


9
)13( 3
 
5) Cx  3)23(
9
2
 6) Ct 3 4)58(
32
3
 7) C
z


15
)13( 5
 8) C
xx



22 )34(4
1
 
9) Cx  |1|ln 2 10) C
x



22 )1(4
1
 11) (x2 + 3x + 5)9 + C 12) Ce x 2
4
4
1
 13) C
x

3
)(ln 3
 
14) C
xsen


4
)14(
 16) Cx 

)cos(
2
1 2 17) C
x

3cos3
1
 18) C
xsen

5
)(5
 
19) C
x



2)cos5(2
1
 20) C
x



3
)21(4 32
 
 
 
 
 
71 
 
Lista 2: Integração por substituição de variável 
 
Resolver as integrais por substituição de variáveis 
a.   dxx4x3
2 
b. 


dx
4x3x
)x2x(
3 23
2
 
c. 
 

 4
3
1 x
dx
 
d.   3)4x(
dx
 
e. 
 )x1(x
dx
 
f.  dxx
x3ln2g. 
 dxex
2x4 
h.   x
x
e1
dxe
 
i.  dx)x3(sen 
j.  1x3
dx
 
k. dx)e(sene xx 
l. dx
5
x
sen 




 
m.  dx)x4(tg 
n. dx
)x(cos
x
22 
o. dx
x2
1
x2 





 
 
 
Respostas 
a. c)x4( 32  
b. c)4x3x(
2
1 3 223  
c. cxoucx  44/1 )1(.4)1.(4 
d. c
)4x(2
1
2


 
e. 2ln1+ x +c 
f. c)]x3[ln(
3
1 3  
g. ce
2
1 2x4 
  
h. ln1 + ex + c 
i. c
3
)x3cos(.1


 
j. c
3
1x3ln


 
k. c)ecos( x  
l. c
5
x
cos5 





 
m. c
4
x4cosln


 
n. c
2
)x(tg 2
 
o. cx2
3
)x2( 3
 
72 
 
Exercícios II 
 Integrais elementares e Integrais por substituição de variáveis 
Calcule as integrais 
1) dxxx 
232 )1(2 2) senxdxx .cos
3 3) dxxx )532( 2  4) dxx
x
x







2
4
3
2
 
5) xudxxsen
x

1
 6) dx
x
x

 54
3
2
 7) dx
x
x
  43
2
 8) dxx  )14(sec
2
 
 
9) dxxx  )21(
2 10) xdxxsen 3cos3 11) dxxxx
5/42 )37)(72(  
 
12) )1(
)1(
x
x
x
eudx
e
e


 13) gxudxxgx cotseccoscot
2  14) dxxsenx  cos)1(
9
 
 
15) xu
xx
dx
ln;
ln
 16) dxe
x

5 17) )3cos1(
)3cos1(
3
xudx
x
xsen


 18) dxe
x

2
 
 
19) dxxx 
32 )2( 20)  dxx)8cos( 21)  dxxtgx 44sec 22) dxxx 127
2 
 
23) dx
x
x

13
2
 24) dx
x
x
  32 )14(
 25)  xdxe
senx cos 26) dxex x
322 
 27) dxx
xsen
 2
)/5(
 
 
28) dxxx )(sec
322
 29)  xe
dx
 30) dxxxsen 3cos3
5
 31) dxxsenx  424cos 
32) dxxtgx 22sec
3
 33) dx
x
e x
 
 
Respostas 
1) 
 
C
x


24
1
242
 2) C
x


4
cos4
 3) Cx
xx
 5
2
3
3
2 23
 4) c
x
x
x 
4
2
3
||ln2
2
 
5) Cx  cos2 6) Cx  54
4
3 2 7) Cx  )4ln(
3
1 3 8) Cxtg  )14(
4
1
 
9) 
 
C
x


6
21 2
3
2
 10) Cxsen 2
3
)3(
9
2
 11)   Cxx  5
9
2 37
9
5
 12) Ce x  |1|ln 
13) Cxg  2cot
2
1
 14) Csenx  10)1(
10
1
 15) Cx |ln|ln 16) Ce x 
 5
5
1
 
17) Cx  |)3cos1(|ln
3
1
 18) Ce x 2
2
1
 19) C
x



8
)2( 42
 20) Cxsen )8(
8
1
 
21) Cx )4sec(
4
1
 22) 2/32 )127(
21
1
x 23) Cx 1
3
2 3 24) Cx 
 22 )14(
16
1
 
25) Ce senx  26) Ce x 
  32
6
1
 27) C
x
)cos(
5
1
5 28) Cxtg )(
3
1 3 29) Ce x   
30) Cxsen 36
18
1 31) Cxsen  2/3)42(
6
1
 32)   Cx 2sec
6
1 3 33) Ce x 2 
73 
 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
 O processo de integração por partes é indicado quando o integrando possui um produto do tipo: 
 função potência x função logarítmica; 
 função potência x função trigonométrica; 
 função potência x função exponencial. 
 E todas as outras decorrentes da combinação entre estas funções. 
 
Tomando como ponto de partida a Derivação pela Regra do Produto temos ... 
 'uvv'u)uv(
dx
d
 (Regra do Produto) 
 
  



dx'uvvdx'u)uv(
dx
d
 (Integrando ambos os lados) 
 
  dx'vudx'uvuv (Reescrevendo a expressão) 
 
   dvuduvuv (Escrevendo na forma diferencial) 
 
  duvuvdvu Integração por Partes com u e v funções diferenciáveis de x. 
 
 
A integral por partes pode ser aplicada sucessivas vezes para um mesmo exercício. Quando um dos 
fatores, for potência procura-se diminuir o expoente desta potência. 
 
Dica: Ao aplicarmos esta técnica devemos separar o integrando em duas partes, u e dv, levando em conta 
duas situações: 
1º- A parte escolhida como dv deve ser facilmente integrável; 
2º -  vdu deve ser mais simples do que udv ; 
 
Exemplo 
1)  dxex
x
 u = x dv = exdx 
 du = dx v = ex 
 
  dxexedxex
xxx
 cexedxex xxx  
 
 
 
 
74 
 
Exercícios 
 
a)  dx)x2(xsen b)  dx)x(sene
x
 c)  dx)xln(x 
 
Lista: Integração por partes 
 
Resolver as seguintes integrais por partes 
 
a.  dx)x(senx 
b.  dx)xln( 
c.  dxex
x
 
d.  dxex
x2
 
e.  dx)x(cosx 
f.  dxex
x32
 
g.  dx)x5(senx 
h.  dxex
x23
 
i.  dx)x3(cosx 
j. 
 dxex x 
k.  dxx
)x(ln
 
l. 
 dxx)xln( 3 
m.   dxxcose
x
 
n.   dx)x3(sene
x2
 
 
Respostas 
a. -xcos(x) + sen(x) + c 
b. xln(x) – x + c 
c. xex – ex + c 
d. x2ex – 2xex + 2ex + c 
e. xsen(x) + cos(x) + c 
f. c)
27
2
9
x2
3
x
(e
2
x3  
g. c)x5(sen
25
1
)x5cos(
5
x


 
h. c)
8
3
4
x3
4
x3
2
x
(e
23
x2  
i. c)x3cos(
9
1
)x3(sen
3
x
 
j. c
e
1x
x


 
k. cx4)xln(x2  
l. c
x4
1
x2
)xln(
22
 
m. c)]x(sen)x[cos(
2
ex
 
n. c
13
)x3cos(e3)x3(sene2 x2x2


 
 
 
75 
 
 
 TEOREMA FUNDAMENTAL DO 
CÁLCULO: INTEGRAL DEFINIDA 
 
Integral definida 
 
Teorema fundamental do cálculo: Seja f contínua 
em [a, b] tal que existe uma função F(x) com 
dx)x(f)x(F  , então: 
 
 )a(F)b(Fdx)x(f
b
a
 
 
Exemplo: 
3
1
3
0
3
1
3
x
dxx
1
0
31
0
2  
 
 
Lista: Integral definida 
Grupo 01 
Calcule as integrais definidas 
(Observar as integrações se são elementares ou 
por substituição) 
OBS: O valor ao lado é a resposta. 
1) 
2
1
5dx=5 
2) dxx
2
1
38 =30 
3) dxe x

1
0
34 =  31
3
4  e 
4) dxx
4
1
3 = 14 
5)  10
5
0
2 1
2
1   edte
t 
6) 2ln
6
3
1 
 dxx 
 
7) 
dt
t 
1
1 3)2(
4
= 16/9 
8) 
dtt 
3
2
4)25(
 = 1/5 
9) 
dxxx )7(
3
0
3 
= 15/4 
10) 
dx
xx
x )
5
12
(
2
4
2
2


= 
 
76 
 
APLICAÇÕES DE INTEGRAIS 
Área de uma região plana 
 
A) Se f é uma função contínua em um intervalo [a, b] e se f(x)  0  x  [a, b] então a área da região limitada 
pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x= b é dada por: 
 
 
 
 
 
b
a
dx)x(fA 
 
 
 
Exemplo 
Calcular a área da região limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = 0 e x = 2. 
 
 
.a.u
3
8
dxxA
2
0
2   
 
 
 
B) Se f é uma função contínua em um intervalo [a, b] e se f(x)  0  x  [a, b] então a área da região limitada 
pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x= b é dada por: 
 
 
b
a
dx)x(fA ou 
b
a
dxxfA )( Módulo 
 
Exemplo 
Calcular a área determinada pela função y = -x2, eixo x, x = 0 e x = 2. 
 
 
2
0
2 .a.u
3
8
dxxA 
Exercícios 
 
 Determine a área formada pela função x3 -2x2 -5x + 6 , o eixo x, x ]3,2[ 
resposta: 21,08 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
C) ÁREA DE REGIÃO ENTRE CURVAS 
Sejam f e g duas funções contínuas em [a, b], tal que f(x)  g(x),  x  [a, b] então a área da região limitada 
pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e as retas x =a e x= b é dada por: 
  
b
a
dx)]x(g)x(f[A 
 independente de f e g serem positivas ou não. De fato, temos três 
possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1o caso: ],[),()(0)(,0)( baxxgxfexgxf  
Neste caso,   
b
a
b
a
dxxgdxxfA )()(  
b
a
dxxgxf )]()([ 
 
 
 
 
 
 
 
 
2o caso: ],[0)(,0)( baxxgexf  
Neste caso, 





  
b
a
b
a
dxxgdxxfA )()(  
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(  
b
a
dxxgxf )]()([ 
 
 
 
 
3o caso: ],[),()(0)(,0)( baxxgxfexgxf  
Neste caso, 





  
b
a
b
a
dxxfdxxgA )]()([