Aula Cálculo I - Derivadas

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Derivadas
Definição: Sejam , f contínua em x0. 
Definimos a derivada de f em x0 e indicamos por como sendo 
o limite
se este limite existir. Se o limite não existir (por ser infinito ou pelo 
fato dos limites laterais serem diferentes), dizemos que não existe a 
derivada de f em x0 ou que f não é diferenciável em x0. 
0: ( , ) e ( , )f a b x a b  
0'( )f x
 
0
0
0
0
( ) ( )
' lim
x x
f x f x
f x
x x



  0 00
0
( ) ( )
' lim
x
f x x f x
f x
x 
  


Formulação equivalente: 
Notações:
0
0 0'( ); ( );
x x
df df
f x x
dx dx 1
Interpretação Geométrica: inclinação da reta tangente ao gráfico de f
no ponto (x0, f (x0)). 
Reta tangente?
Como definir uma reta tangente ao
gráfico de f , passando pelo ponto
P ?
2
Coeficiente angular da secante:
0 0
sec
0 0
0 0
sec
( ) ( ) 
 
ou
( ) ( ) 
 
y y f x f xy
m
x x x x x
f x x f xy
m
x x
 
  
  
  
 
 
Assim, o coeficiente angular da 
reta tangente será
0
0
0
0 0
0
( ) ( )
lim lim
ou
( ) ( )
lim
t S
Q P x x
t
x
f x f x
m m
x x
f x x f x
m
x
 
 

 

  


0'( )tm f x  3
Portanto, a derivada de uma função f em x0 é numericamente igual ao
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f nesse ponto. Neste
caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f em (x0,y0) pode ser dada por
  0 0 0'y y f x x x  
Equação da reta tangente ao gráfico de f 
no ponto (x0, f (x0)).
EXEMPLO 1. Encontre a equação da reta tangente à parábola
f (x) = x2 no ponto P(2,4) e trace o gráfico da mesma sobre a parábola.
Solução:
y = 4x – 4
4
EXEMPLO 2. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que x = 2 e trace o gráfico da mesma sobre
a curva.
( )g x x
2 2
4 2
y x 
Solução:
5
EXEMPLO 5. Encontre, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de
f (x) = |x|, no ponto P(0,0) e trace o gráfico da mesma sobre a curva.
Solução:
0 0
0
0 0
0
lim lim 1 1
( ) (0)
'(0) lim
00
lim lim 1 1
x x
tg
x
x x
x
f x f x
m f
xx
x
 
 
 

 

  
   
      

'(0)f  6
Observação: Uma consequência imediata da interpretação geométrica da
derivada é que uma função só é derivável (ou diferenciável) em um ponto
de seu domínio se existir uma única reta tangente ao seu gráfico por este
ponto, ou seja, o gráfico da função neste ponto não apresenta
comportamento pontiagudo. Portanto, se uma função f for diferenciável em
x = a, então, ao dar um zoom próximo do ponto (a, f (a)), observamos que o
gráfico fica cada vez mais parecido com uma reta, nas proximidades desse
ponto.
7
Teorema: Se existir a derivada , então a função f é contínua em x0. 0'f x
Demonstração:
Se existe então existe o limite 0' ,f x
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( ).
x x
f x f x
f x
x x



Nosso objetivo é mostrar que
   
0
0lim .
x x
f x f x


 
0
lim
x x
f x


 0'f x
0
8
 
0
0 0lim ( ) ( ) ( )
x x
f x f x f x

     
0 0
0 0lim ( ) ( ) lim
x x x x
f x f x f x
 
  
0
0
0 0
0
( ) ( )
lim ( ) ( )
x x
f x f x
x x f x
x x
 
    
 0 0
0
0 0
0
( ) ( )
lim lim ( ) ( )
x x x x
f x f x
x x f x
x x 
 
   
 0 0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

 
Observação: A recíproca do Teorema nem sempre é verdadeira, ou seja, o fato de 
f ser contínua em x0 não implica que ela seja diferenciável em x0. 
Conclusão:
0 0
0 0
'( ) é contínua em
é descontínua em '( )
f x f x
f x f x
 
  
Teorema
9
A derivada nos Extremos de um Intervalo fechado: Considere uma
função f (x) definida em um intervalo fechado [a, b]. Nos extremos não é
possível calcular a derivada de f, pois os limites não estão definidos nestes
pontos. Assim, para lidar com uma situação dessa natureza, definimos as
derivadas à direita e à esquerda, que são denotadas,
respectivamente, por e definidas por:
   ' 'e ,f a f b 
 '
0
( ) ( )
lim
x
f a x f a
f a
x

 
  


 '
0
( ) ( )
lim
x
f b x f b
f b
x

 
  


e
Com isso, pode-se demonstrar que,
se uma função for diferenciável à
direita ou à esquerda, então ela será
contínua à direita ou à esquerda,
respectivamente. Ou seja,
   lim e
x a
f x f a

    lim .
x b
f x f b


10
EXEMPLO 6. A função é contínua no intervalo [0,25].
É diferenciável nos extremos do intervalo, ou seja, em x = 0 e x = 25?
( )f x x
Solução:
Nos extremos só podemos falar em derivadas à direita ou à esquerda. Assim, temos:
'
0 0 0
'
0 1
(0) lim lim lim
0
(0)
x x x
x x
f
x x x
f
     


    

 
 
 
 
 
'
25 25
25 25
'
25 5
(25) lim lim
25 25
5 5 1 1
lim lim
25 1055
1
(25)
10
x x
x x
x x
f
x x
x x
x xx
f
 
 

 
 

 
  
 
 
 
 
  
11
Interpretação Física: taxa de variação instantânea de f no ponto x0 .
Ideia – velocidade instantânea
Velocidade média: espaço percorrido / tempo gasto sv
t



A velocidade média no intervalo de tempo 
de t = 2 seg a t = 4 seg é dada por 
30 20
5 m/s
4 2
s
v
t
 
  
 
Como calcular a velocidade instantânea, 
por exemplo, em t = 2? 12
t = 2 seg a t = 6 seg
t = 2 seg a t = 4 seg
t = 2 seg a t = 3 seg
20
5 m/s
4
s m
v
t s

  

10
5 m/s
2
s m
v
t s

  

5 
5 m/s
1 
s m
v
t s

  

Continuando este processo indefinidamente, concluiremos que a velocidade, 
quando t = 2, é 5 m/s. Portanto, a velocidade instantânea ( t = 2 s) é dada por:
 0
(2) lim 5 m/s
t
s
v
t 

 

13
Se o movimento for qualquer:
4 1
1 4
4 1
( ) ( )
[ , ]
s t s t
VM t t
t t



3 1
1 3
3 1
( ) ( )
[ , ]
s t s t
VM t t
t t



2 1
1 2
2 1
( ) ( )
[ , ]
s t s t
VM t t
t t



1
1
1 1 1
1 1 1
0
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim '( ) ( )
t t t
t t
s t s t s t t s t ds ds
v t s t t
t t t dt dt   
   
     
 
velocidade instantânea
14
Regras de Derivação
    (constante) ' 0f x k f x  
    ' 1f x x f x  
    1 ' , 0n nf x x f x nx n    
 
0
( ) ( )
' lim
x
f x x f x
f x
x 
 


Derivada como função
15
2( ) ;f x x
1
( ) ;f x
x

( ) ;f x x( )f x x
( ) xf x a ( ) lnxf x a a 
( ) xf x e ( ) xf x e 
16
 ( ) sen ' cosf x x f x x  
 ( ) cos ' sen f x x f x x   ( ) 2 ;xf x ( ) 10xf x 
            ' ' 'f x g x h x f x g x h x    
3 1( ) cosf x x x
x
  
17
 
 
 
   
       
 
2
' '
 onde 0 '
g x g x h x g x h x
f x h x f x
h x h x
  
   
  
                ' ' 'f x g x h x f x g x h x g x h x              ' 'f x k g x f x k g x  ) ( ) 2 sen ;a f x x
2
3
5
) ( )
t
tb g t t e
t
 
) ( ) tg ;a   
4 42
) ( )
x
x x
c u x
e


) ( ) cossec ;b y t t
EX. 1: Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráficode
f (x) = 2x, no ponto P(0,1) e trace seus gráficos sobre a curva.
Solução:
(ln 2) 1
1
ln 2
t
n
y x
x
y
 
  
tn 1
n
t
m
m
 
18
EXEMPLO 4. Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
f (x) = tg x, no ponto P(0,0) e trace seus gráficos sobre a curva.
Solução:
t
n
y x
y x

 
tn
19
Derivada de Funções Compostas: Regra da Cadeia
Se f e g são funções diferenciáveis (existe a derivada de f e de g) e
é a função composta definida por , então
F é diferenciável e F’(x) é dada pelo produto
F f g     F x f g x
          ' ' ' 'F x f g x f g x g x  
Podemos escrever também:
( ) ( )
'( ) '( ) '( ) ou
u g x f u
dF df du
F x f u u x
dx du dx
 
   
20
EXEMPLOS: Calcule a derivada das seguintes funções:
 
34( ) 2f x x x 
( ) 3 2 4f x x 
3
2( )
x
f x e

  3( ) sen 5f x x
( ) senhf x x
21
( ) coshf x x( ) secf x x( ) cotg f x x
3
5
( )
( 2 )
f x
x x


Taxas Relacionadas
1. No decorrer de uma experiência em laboratório, derrama-se um
líquido sobre uma superfície plana de vidro e verifica-se que o líquido
derramado recobre uma região circular. Se o raio da região recoberta
pelo líquido aumenta a uma taxa constante de 1,5 cm/s, qual será a taxa
de crescimento, em relação ao tempo, da área ocupada pelo líquido
quando o raio for igual a 5 cm?
2. Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a
altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa
de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base, em relação ao tempo,
quando a altura do monte é de 4 m?
22
3. Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de
2 m/s. Um holofote localizado no chão a 20 m do caminho focaliza o
homem. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a 15
m do ponto do caminho mais próximo do holofote?
4. Um circuito elétrico simples contendo uma resistência de R (),
uma indutância L (H) e sem condensadores, tem a força eletromotriz
interrompida quando a corrente é I0 A. A corrente se extingue de forma
que em t s ela é dada por . Mostre que a taxa de
variação da corrente, em relação ao tempo, é proporcional à corrente
em cada instante.
0 exp
R
i I t
L
 
  
 
23
Derivada de Funções Implícitas
Se y depende explicitamente de x, dizemos que é uma função explícita. 
Exemplos: y = 2x + 1 ou y = 3 sen x
Nem sempre é possível explicitar y na equação e, nesses casos,
dizemos que y é uma função implícita de x.
Exemplos:
2 2 2 21. 4 ( ) 4 e ( ) 4x y f x x g x x       
Como derivar?
Considere y = y(x) e 
use a regra da cadeia
2. 2x4 + 3y3 = 5xy2
24
2 3
2
5 8
'( )
9 10
y x
y x
y xy


3 2y x '(1) 3y 
25
3. Determine uma reta que seja tangente à elipse x2 + 2y2 = 9 no
ponto (1,2).
9
4 4
x
y   
'( )
2
x
y x
y


Derivada de Funções Inversas
log
1 1
ln 1
lnln
y
y
a
y
y
da dx
y x a x
dx dx
dy dy dy
a a
dx dx dx x aa a
    
     
ln 1
log
ln lna
e
e
a a
 OBS:
1 1
( ) log log
lna a
df
f x x e
dx x a x
    
1
( ) ln '( )f x x f x
x
   
1. ( ) log
a
f x x
26
Ex 1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y(x), dada 
implicitamente pela equação , no ponto (2, e).
3 3
8 8 2
'( ) '(2) 0,734
1 3 1 3
xy e
y x y
y e
 
     
   0,734( 2)y e x  3 2ln 4 3 0y y x   
27
0,734 1,25y x  
Ex 2. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 2) ( ) ln 10a g x x 
2
) ( ) log(cos )b h t t
) ( ) logc y x x x
28
2
'( )
10
x
g x
x


tg
'( )
ln 2
t
h t   1'( ) log
ln10
y x x 
Derivada das Funções Trigonométricas Inversas
) ( ) arcsen a f x x
1
'( )
cos
y x
y
 
2 2 2 2 2cos sen 1 cos 1 sen 1y y y y x      
2
1
'( )
1
y x
x
 

29
arcsen y x sen y x 
(cos ) '( ) 1
d
dx
y y x  
2 2 2cos 1 cos 1y x y x     
) ( ) arctg b f x x2 2 2sec 1 tg 1y y x   
2
1
'( )
1
f x
x
 

30
arctg y x tg y x 
2(sec ) '( ) 1
d
dx
y y x  2
1
'( )
sec
y x
y
 
31
2
1
( ) arccos '( )
1
f x x f x
x
   

2
1
( ) arcsec '( )
1
f x x f x
x x
  

2
1
( ) arccossec '( )
1
f x x f x
x x
   

2
1
( ) arccotg '( )
1
f x x f x
x
   

Exercícios