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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 1 U.A. 2: JURO SIMPLES Todos os direitos autorais reservados à MARCIA REBELLO DA SILVA OBJETIVOS: Ao final desta unidade, você será capaz de: 1- Entender o conceito de taxas proporcionais; taxas equivalentes; taxas nominais; e taxas efetivas. 2- Calcular taxa proporcional; taxa equivalente; taxa nominal ; e taxa efetiva. 3- Compreender os conceitos de Valores: Nominal; Atual; e Futuro de um Compromisso Financeiro. 4- Calcular os Valores: Nominal; Atual; e Futuro de um Compromisso Financeiro. 5- Interpretar e resolver os exercícios propostos na Unidade de Aprendizagem 2. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 2 1- CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXA DE JUROS 1.1- Taxas Proporcionais. Duas taxas são proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos. Ex. 1: Verificar se a taxa de 20% a.a. e a taxa de 10% a.s. são proporcionais no regime de capitalização simples. Solução: (1) � (20%) ÷ (10%) (ano) (sem) (1) � (20%) x (sem) = (2) (sem) => quociente entre as taxas (ano) (10%) (ano) (2) � (sem) = 2 (sem) => quociente entre os períodos (ano) (ano) Como: (1) = (2) ⇒ que as taxas são proporcionais. Resposta: As taxas são proporcionais. 1.2- Taxas Equivalentes Duas taxas são ditas equivalentes se aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo período de tempo, ambas as taxas produzirem o mesmo montante, ou o mesmo juro. NOTA: � No Regime de Capitalização Simples as Taxas Proporcionais são igualmente Equivalentes, e vice-versa. Ex. 2: Verificar se a taxa de juros de 20% a.a. e a taxa de juros de 10% a.s. são equivalentes no regime de capitalização simples. Solução 1: .J = (P) (i) (n). (1) P = $ 1 i = 20% a.a. n = 1 ano UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 3 (2) P = $1 i = 10% a.s. n = 1 ano = 2 sem Então: (1) ⇒ J = ($ 1) (0,20/ano) (1 ano) = $ 0,20 (2) ⇒ J = ($ 1) (0,10/sem) (2 sem) = $ 0,20 Como: (1) = (2) ⇒ são equivalentes Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. (1) P = $1 i = 20% a.a. n = 1 ano (2) P = $1 i = 10% a.s. n = 1 ano = 2 sem Então: (1) ⇒ S = $ 1 [1 + (0,20/ano) (1 ano)] = $ 1,20 (2) ⇒ S = $ 1 [1 + (0,10/sem) (2 sem)] = $ 1,20 Como: (1) = (2) ⇒ são equivalentes Resposta: As taxas são equivalentes. Observação: � Essas duas taxas também foram proporcionais no exemplo anterior, então, podemos concluir que quando duas taxas são proporcionais em regime de capitalização simples elas também são equivalentes, ou vice-versa. Ex. 3: Verificar em regime de capitalização simples se as taxas 10% a.m. e 30% a.q. se são: a) proporcionais, e b) equivalentes. Solução: a) Quociente entre as taxas: (10%) ÷ (30%) (mês) (quad) Quociente entre as taxas: (10%) x (quad) = 1 quad. (mês) (30%) 3 meses Quociente entre respectivos períodos: 1 quad. 4 meses Como: 1 quad. ≠ 1 quad. 3 meses 4 meses UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 4 Então, as duas taxas não são proporcionais Resposta: As duas taxas não são proporcionais b) Solução 1: .J = P (i) (n)]. Prazo = 1 ano = 12 meses i = 10% a.m. J1 = (P) (0,1) (12) = 1,2 P Prazo = 1 ano = 3 quad. i = 30% a.q. J2 = (P) (0,3) (3) = 0,9 P Como os juros são diferentes, então, não são equivalentes Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. Prazo = 1 ano = 12 meses i = 10% a.m. S1 = (P) [1 +(0,1) (12)] = 2,2 P Prazo = 1 ano = 3 quad. i = 30% a.q. S2 = (P) [1 +(0,3) (3)] = 1,9 P Como os juros são diferentes, então, não são equivalentes Resposta: As duas taxas não são equivalentes � Essas duas taxas item (a) não foram proporcionais, então, não serão equivalentes como vimos no item (b). 1.3- Taxa Nominal e Taxa Efetiva. A taxa nominal é a taxa de juros contratada numa operação financeira; e a taxa efetiva é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Nem sempre a taxa nominal é igual a taxa efetiva. Isto acontece pelo fato de existirem taxas, comissões, obrigações ou impostos que oneram os pagamentos dos juros ou comprometem os rendimentos. Diferentes critérios para o cálculo dos juros também fazem diferir a taxa nominal da taxa efetiva, por exemplo: juros calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas ou juros cobrados antecipadamente. Estes e outros artifícios usados às vezes conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem menores ou maiores conforme a conveniência, fazem com que tanto de capitalização simples quanto no regime de capitalização composto as taxas efetivas e nominais difiram. Ex. 4: Uma imobiliária está vendendo terrenos à vista por $ 45.000; e a prazo, vende os mesmos terrenos por $ 13.000 de entrada e um pagamento de $ 36.000, um semestre após a compra. Qual foi a taxa de juros simples efetiva quadrimestral cobrada no financiamento a prazo? Preço à Vista = $ 45.000 Entrada = $ 13.000 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 5 Prestação= $ 36.000 (1 sem. após compra) iefet. = ? (a.q.) Solução: Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista Preço a Prazo = Entrada + Prestações Preço à Vista = Preço com Desconto Valor Financiado = $ 45.000,00 − $ 13.000,00 = Pefet = $ 32.000,00 Solução 1: .S = P + J. .J = P (i) (n)]. 36.000 − 32.000 = 32.000,00 (i) (6)(1/4) (4.000) (4) = i (32.000) (6) i = 0,0833 = 8,33% Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. 36.000 = 32.000 [1 + (i) (6/4)] 36.000 − 1 = (i) (6/4) 32.000 (1,125) − 1 = (i) (6/4) $ 32.000 $ 36.000 6 meses 0 $ 45.000 $ 13.000 $ 36.000 6 meses 0 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 6 (0,125) (4/6) = i i = 0,0833 = 8,33% Resposta: 8,33% Ex. 5: Aplicou-se $ 33.700 pelo prazo de quatro anos a uma taxa de juros simples de 42% a.s. em uma poupança. Calcular a rentabilidade efetiva mensal da aplicação se foi pago uma alíquota de 20% de Imposto de Renda no resgate. P = $ 33.700 n = 4 anos i = 42% a.s. IR = 20% iefet. = ? (a.m.) Solução: .J = P (i) (n)]. Jnom = ($ 33.700) (0,42/sem) (4 anos) (2 sem/1 ano) Jnom = $ 113.232 IR = (alíq. IR) (J) IR = (0,20) ($ 113.232) IR = $ 22.646,40 Jef = Jnom − IR Jef = $ 113.232 – $ 22.646,40 Jef = $ 90.585,60 .J = P (i) (n)]. Jef = (P) (i efet.) (n) $ 90.585,60 = ($ 33.700) (iefet.) (4 anos) (12 meses/1 ano) ($ 90.585,60) (1 ano) = iefet. ($ 33.700) (4 anos) (12 meses) iefet. = 0,056 a.m. = 5,6% a.m. Resposta: 0,056 ou 5,6% Ex. 6: Um equipamento à vista custa $ 102.000; ou a prazo, sendo que a prazo terá um acréscimo de 25% sobreo preço a vista. Se o pagamento a prazo for uma entrada $ 35.000 e mais um pagamento dois meses após a compra, qual será a taxa efetiva anual de juros simples que está sendo cobrada no financiamento? Preço à Vista = $ 102.000 Entrada = $ 35.000 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 7 Preço a Prazo = 1,25 do Preço à Vista = ($ 102.000) (1,25) = $ 127.500 Prestação = $ 127.500 − $ 35.000 = $ 92.500 (2 meses após compra) iefet. = ? (a.a.) Solução: Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista Preço a Prazo = Entrada + Prestações Preço à Vista = Preço com Desconto Valor Financiado = $ 102.000 − $ 35.000 Valor Financiado = Pefet. = $ 67.000 Solução 1: .J = P (i) (n)]. 92.500 − 67.000 = 67.000 (i) (2) (1/12) (25.500) (12) = i (67.000) (2) i = 2,2836 = 228,36% Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. $ 67.000 $ 92.500 2 meses 0 $ 102.000 $ 35.000 $ 92.500 2 meses 0 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 8 92.500 = 67.000 [1 + (i) (2) (1/12)] (92.500) − 1 = (i) (2) (1/12)] (67.000) (0,3806) (12/2) = i i = 2,2836 = 228,36% Resposta: 228,36% Ex. 7: Um tomador de empréstimo pagou por um empréstimo de $ 81.000 de cinco bimestres uma taxa de 1,5% a.m. de juros simples. Se os juros foram pagos antecipadamente, qual foi taxa efetiva anual cobrada no empréstimo? Pnom. = $ 81.000 n = 5 bim. inom. = 1,5% a.m. ief.et. = ? (a.a.) Solução: .J = P (i) (n)]. Jnom = ($ 81.000) (0,015/mês) (5 bim) (2 meses/1 bim) Jnom = $ 12.150 Pefet. = $ 81.000 − $ 12.150 Pefet. = $ 68.850 Solução 1: .S = P [1 + (i) (n)]. Sefet = (Pefet) [1 + (iefet.) (n)] $ 81.000 = ($ 68.850) [1 + (iefet.) (5 bim) (1 ano/6 bim)] $ 81.000 – 1 = (iefet.) (5 bim) (1 ano/6 bim) $ 68.850 [$ 81.000 – 1] x (6 bim) = iefet. $ 68.850 (5 bim) (1 ano) iefet. = 0,2118 a.a = 21,18% a.a. $ 81.000 J = $ 12.150 $ 81.000 meses 10 0 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 9 Solução 2: .J = P (i) (n)]. Jefet = (Pefet) (iefet.) (n) 12.150 = 68.850 (iefet.) (5/6) (12.150) (6) = (iefet.) (68.850) (5) iefet. = 0,2118 a.a ou 21,18% a.a. Resposta: 0,2118 ou 21,18% Ex. 8: Em uma determinada casa comercial são concedidos descontos de 10% no preço das mercadorias para vendas à vista. Esta mesma casa cobra 24% de juros simples para as vendas com prazo de pagamento de dois meses. Calcular: (a) Taxa nominal mensal; (b) Taxa efetiva anual. (a) Solução: Taxa Nominal = . (24%). (2 meses) Taxa Nominal = 12% a.m. Resposta: 12% (b) Solução: Taxa Efetiva: Preço = X Preço à Vista = X – 0,1X = 0,9 X .J = P (i) (n)]. Jnom = X (0,24/2m) (2 m) = 0,24 X .S = P + J. S = X + 0,24 X = 1,24 X Solução 1: $ 68.850 $ 81.000 meses 10 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 10 Jefet = (Pefet) (iefet) (n) 1,24 X − 0,9 X = (0,9 X) (iefet) (2/12) (0,34 X) (12) = iefet (0,9 X) (2) ief = 2,2668 = 226,68% Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. Sefet = (Pefet) [1 + (iefet.) (n)] 1,24 X = 0,9 X [1 + (iefet.) (2/12)] 1,24 X = 1 + (iefet.) (2/12) 0,9 X 1,3778 − 1 = (iefet.) (2/12) (0,3778) (12/2) = iefet. iefet. = 2,2668 = 226,68% Resposta: 226,68% Ex. 9: Bianca investiu $ 25.500 pelo prazo de três semestres e dois meses a uma taxa de juros simples de 15% a.t. Se Bianca teve que pagar Imposto de Renda e a rentabilidade efetiva do investimento foi 4,25% a.m, de quanto foi a alíquota do IR? P = $ 25.500 n = 3 sem. e 2 m. = (3) (6) + 2 = 20 m. i = 15% a.t. iefet. = 4,25% a.m. Alíq. de IR = X = ? Solução: .J = P (i) (n)]. J = (25.500) (0,05) (20) = 25.500 IR = (alíq. IR) (J) IR = (X) (25.500) = 25.500 X Jef = Jnom. − IR Jef = 25.500 – 25.500 X .J = P (i) (n)]. Jefet = (Pefet) (iefet.) (n) 25.500 – 25.500 X = (25.500) (0,0425) (20) 25.500 – 25.500 X = 21.675 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 11 25.500 – 21.675 = X 25.500 X = 0,15 = 15% Resposta: 0,15 ou 15% Ex. 10: As Lojas BBF estão vendendo televisores por $ 1.300 à vista. A prazo, vende os mesmos televisores por $ 1.700, com $ 500 de entrada e o saldo três trimestres após a compra. Qual foi a taxa de juros simples efetiva anual cobrada na venda a prazo pelas Lojas? Preço à Vista = $ 1.300 Preço a Prazo = $ 1.700 Entrada = $ 500 iefet. = ? (a.a.) Solução: Preço a Prazo = Entrada + Prestações 1.700 = 500 + Prestação Prestação = $ 1.200 (3 trimestres após compra) Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista Preço à Vista = Preço com Desconto Valor Financiado = 1.300 − 5.000 = $ 800 Valor Financiado = Pefet. = $ 800 $ 800 $ 1.200 3 trim. 0 $ 1.300 $ 500 $ 1.200 3 trim. 0 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 12 Solução 1: .J = P (i) (n)]. 1.200 − 800 = 800 (i) (3) (1/4) 400 = 800 (i) (3) (1/4) (400) (4) = i (800) (3) i = 66,67% Solução 2: .S = P [1 + (i) (n)]. 1.200 = 800 [1 + (i) (3/4)] [1.200 − 1] x (4) = i 800 (3) i = 66,67% Resposta: 0,6667 ou 66,67% 2- VALORES: NOMINAL; ATUAL; E FUTURO DE UM COMPROMISSO FINANCEIRO 2.1- Valor Nominal Corresponde o valor recebido por um compromisso na data de vencimento, isto é, o valor que assume esse compromisso em sua data de vencimento. O valor nominal é igual ao montante. 2.2- Valor Atual Corresponde ao valor que um compromisso tem em uma data anterior a data de seu vencimento. 2.3- Valor Futuro É o valor do compromisso em qualquer data posterior a que está sendo considerada no momento. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 13 Notas: 1- Quando a data posterior for data de vencimento do compromisso financeiro, então, teremos o valor nominal do compromisso financeiro. 2- O valor Futuro só será igual ao montante quando a data futura for a data de vencimento do compromisso financeiro. Ex. 11: Se o valor nominal de uma Letra de Câmbio for $ 8.700, qual será o seu valor atual onze trimestres antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros simples de 1,7% a.m? N = S = $ 8.700 n = 11 trim. i = 1,7% a.m. V = ? Solução: .S = N = V [1 + (i) (n)]. 8.700 = V [1 + (0,017) (11) (3)] 8.700 = V (1 + 0,5610) P V = ? S = N = $ 8.700 0 Data Venc. Data Atual i = 1,7% a.m n = 11 trim. Trim. P V N = S 0 Data Vencim. Data Atual Fator = (1 + i n) Taxa de juros simples UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA14 8.700 = V (1,5610) 8.700 = V 1,5610 V = $ 5.573,35 Resposta: $ 5.573,35 Ex. 12: Um varejista fez um empréstimo de $ 45.000 pelo prazo de nove semestres e dois meses a uma taxa de juros simples de 12% a.t. Se ele pagou $125.000 antes da data de vencimento, e se a taxa de juros simples corrente do mercado foi 3,75% a.m, então, quanto tempo antes do vencimento o varejista quitou a dívida? P = $ 45.000 i1 = 12% a.t n1 = (9) (6) + 2 = 56 V = $ 125.000 i2 = 3,75% a.m n2 = ? Solução: 1) Traçar o Diagrama de Tempo 2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: .S = N = V [1 + (i) (n)]. N = S = P [1 + (i1) (n1)] S = N = 45.000 [1 + (0,12) (56) (1/3)] S = N = (45.000) (1 + 2,24) S = N = (45.000) (3,24) S = N = $ 145.800 P = $ 45.000 $ 125.000 S = N 0 Data Venc. Data Atual i2 = 3,75% a.m n1 = 56 meses i1 = 12% a.t. n2 = ? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 15 3) Calcular o Prazo de Antecipação: N = V [1 +(i2) (n2)] 145.800 = 125.000 [1 + (0,0375) (n2)] [145.800 − 1] (1/0,0375) = n2 125.000 n2 = 4,44 meses Resposta: 4,44 meses Ex 13: Uma firma pegou um empréstimo de $ 54.000 por dez meses a uma taxa de juros simples de 9% at. Se a dívida foi quitada quatro meses antes da data do vencimento a uma taxa de juros simples de 21% a.s., quanto foi pago de juros? P = $ 54.000 i1 = 9% a.t. n1 = 10 meses. i2 = 21% a.s. n2 = 4 meses. J = ? Solução: 1) Traçar o Diagrama de Tempo: 2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: .S = N = V [1 + (i) (n)]. N = S = P [1 +(i) (n)] N = (54.000) [1 + (0,09) (10) (1/3)] N = (54.000) (1 + 0,30) N = (54.000) (1,30) N = $ 70.200 P = $ 54.000 V S = N 0 Data Venc. Data Atual i2 = 21% a.s n1 = 10 meses i1 = 9% a.t. n2 = 4 meses J = ? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 16 3) Calcular o Valor Atual a partir do Valor Nominal: 70.200,00 = V [1 + (0,21) (4) (1/6)] 70.200,00 = V (1 + 0,14) 70.200,00 = V (1,14) V = $ 61.578,95 4) Calcular os Juros pago: J = 61.578,95 − 54.000 J = $ 7.578,95 Resposta: $ 7.578,95 Ex. 14: Foi pego emprestado uma determinada quantia a uma taxa de juros simples de 1,8% a.m. Sabendo-se que foi pago $ 23.900; meio ano antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros simples corrente de mercado era 40% a.a., qual foi o prazo inicial, se os juros previstos montavam em $ 12.000? P = ? i1 = 1,8% a.m. n1 = ? V = $ 23.900 i2 = 40% a.a. n2 = 0,5 ano J = $ 12.000 Solução: 1) Traçar o Diagrama de Tempo: P $ 23.900 S = N 0 Data de Venc. Data Atual i2 = 40% a.a n1 = ? n2 = 0,5 ano J = $ 12.000 i1 = 1,8% a.m UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 17 2) Calcular o Valor Nominal a partir do Valor Atual: N = S = V [1 + (i2) (n2)] N = 23.900 [1 + (0,40) (0,5)] N = (23.900) (1,20) N = $ 28.680 3) Calcular o Capital: S = N = P + J 28.680 = P + 12.000 P = $ 16.680 4) Calcular o Prazo Inicial: Solução 1: .J = P (i) (n)]. J = (P) (i1) (n1) 12.000 = (16.680) (0,018) (n1) n1 = 40,0 meses Solução 2: .S = N = P [1 + (i) (n)]. 28.680 = 16.680 [1 + (0,018) (n1)] n = 40,0 meses Resposta: 40 meses Ex. 15: Hugo aplicou $ 33.000 à taxa de juros simples de 5% a.b, pelo prazo de cinco quadrimestres. Um semestre antes da data de vencimento, Hugo propôs a transferência da aplicação a um primo. Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros simples de mercado for de 3% a.m., na ocasião da transferência? P = $ 33.000 i1 = 5% a.b. n1 = 5 quad. V = ? i2 = 3% a.m. n2 = 1 sem. Solução: 1) Traçar o Diagrama de Tempo: 2) Calcular o Valor Nominal a partir do Capital: .S = N = P [1 + (i) (n)]. N = P [1 +(i1) (n1)] N = 33.000 [1 + (0,05) (5) (2)] UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 18 N = (33.000) (1,50) N = $ 49.500 3) Achar o Valor Descontado a Partir do Valor Nominal: .S = N = V [1 + (i) (n)]. N = V [1 +(i2) (n2)] 49.500 = V [1 + (0,03) (1) (6)] 49.500 = V (1,18) V = $ 41.949,15 Resposta: $ 41.949,15 Ex. 16: No dia 10 de julho, um devedor assina uma nota promissória de $ 1.000 devida em cinco meses com juros simples de 14% a.a. Cinqüenta e três dias antes da data de vencimento, o portador da nota vendeu a mesma a um banco que desconta notas a taxa de juros simples de 15% a.a. Achar o lucro: a) obtido na venda; e b) que o banco obterá? P = $ 1.000 i1 = 14% a.a. n1 = 5 meses. i2 = 15% a.a. n2 = 53 dias. Lucro na Venda = ? Lucro que o banco obterá = ? Solução: 1) Traçar o Diagrama de Tempo 2) Calcular o Valor da Dívida na Data de Vencimento: .S = N = P [1 + (i) (n)]. N = S = P [1 +(i1) (n1)] P = $ 33.000 V = ? S = N 0 Data de Venc. Data Atual i2 = 3% a.m. n1 = 5 quadr. i1 = 5% a.b. n2 = 1 sem. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 19 N = S = ($ 1.000) [1+ (0,14/ano) (5 meses) (1 ano/12 meses)] N = S = ($ 1.000) (1,0583) S = $ 1.058,30 3) Achar o Valor Descontado a Partir do Valor Nominal: .S = N = V [1 + (i) (n)]. N = V [1 +(i2) (n2)] 1.058,30 = V [1+ ( 0,15) (53) (1/360)] V = $ 1.035,42 LEMBRETE: � Na prática o ano é comercial. (1 ano = 360 dias) e um mês é 30 dias a) Lucro Obtido na Venda = ? Lucro Obtido na Venda = $ 1.035,42 − $ 1.000 Lucro Obtido na Venda = $ 35,42 Resposta: $ 35,42 b) Lucro que o banco obterá = ? Lucro que o banco obterá = 1.058,30 − 1.035,42 Lucro que o banco obterá = $ 22,88 Resposta: $ 22,88 P = $ 1.000 S = N 0 Data de Venc. Data Atual i2 = 15% a.a. n1 = 5 meses i1 = 14% a.a n2 = 53 dias Lucro que o banco obterá = ? Lucro na venda = ? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 20 Ex. 17: Um varejista pegou por dois anos e meio a uma taxa de juros simples uma determinada quantia. Sabendo-se que ela pagou $ 7.700; nove meses antes do vencimento, que nesta época a taxa de juros simples corrente de mercado era 30% a.s, e que ele pagou de juros $ 3.712,50, qual foi a taxa de juros ao mês inicialmente cobrada? P = ? i1 = ? (a.m.) n1 = 2,5 anos V = $ 7.700 i2 = 30% a.s. n2 = 9 meses J (pago) = $ 3.712,50 Solução: 1) Traçar o Diagrama de Tempo 2) Calcular o Capital a partir dos Juros pago: 7.700 = P + 3.712,50 P = $ 3.987,50 3) Calcular o Valor Nominal a partir do Valor Atual: N = S = V [1 +(i2) (n2)] N = 7.700 [1 + (0,30) (9) (1/6)] N = $ 11.165 4) Calcular a Taxa de Juros inicial: Solução 1: J = (P) (i1) (n1) 11.165,50 − 3.987,50 = (3.987,50) (i1) (2,5) (12) 7.178,00 = i1 (3.987,50) (2,5) (12) i1 = 6% P $ 7.700S = N 0 Data Atual i2 = 30% a.s n1 = 2,5 anos i1 = ? n2 = 9 meses J = $ 3.712,50 Data de Vencimento UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 21 Solução 2: N = P [1 + (i1) (n1)] 11.165,50 = 3.987,50 [1 + (i1) (2,5) (12)] 11.165,50 − 1 = (i1) (2,5) (12) 3.987,50 i1 = 6% Resposta: 0,06 ou 6%. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 22 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.2 FORMULÁRIO S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 1 + i n Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 1 − i n S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) i i A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) i i A = R A = R (1 + i) i i Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 In−1 I0 Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) O uso do formulário abaixo é útil: (1) Para resolver os exercícios propostos, (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será anexado as mesmas e (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 23 Lembrete: 1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal seria usar a memória da calculadora. 1) Foi aplicado $ 27.000 pelo prazo de três anos e meio a uma taxa de juros simples de 4% a.m. em um fundo de investimento. Calcular a rentabilidade efetiva ao trimestre da aplicação se foi pago uma alíquota de 15% de Imposto de Renda. 2) Uma loja está vendendo bicicletas por $ 1.500 à vista; mas em duas vezes, (um pagamento na compra e o outro pagamento dois meses após a compra) terá que pagar a mais 25% sobre o preço a vista. Qual é a taxa efetiva anual de juros simples que está sendo cobrada se o primeiro pagamento 30% do segundo pagamento? 3) A Casa de Materiais de Construção Summer estão concedendo descontos de 20% no preço para pagamentos à vista; e para pagamentos a prazo (em dois pagamentos); um pagamento na entrada no valor de 10% do preço e o segundo pagamento 25% superior ao preço; dois bimestres após a compra. Calcular a taxa efetiva de juros simples ao semestre cobrada pela Casa. 4) Foi investido $ 45.000 pelo prazo de quinze meses a uma taxa de juros simples de 12% a.t. Se foi pago Imposto de Renda e se a rentabilidade efetiva do investimento foi 3% a.m, de quanto foi a alíquota do IR? 5) Uma imobiliária está vendendo terrenos à vista por $ 45.000 e a prazo, vende os mesmos terrenos por $ 49.000, sendo que $ 13.000 de entrada e o saldo um semestre após a compra. Qual foi a taxa de juros simples efetiva mensal cobrada na venda a prazo? 6) De quanto são os descontos no preço à vista concedidos por uma loja de eletrodomésticos; se esta mesma loja cobra 50% de juros simples para vendas com prazo de pagamento um ano e a taxa efetiva de juros simples é 15% a.m?. 7) Em determinada casa comercial são concedidos descontos de 15% no preço das mercadorias para vendas à vista. Esta mesma casa cobra 30% de juros simples para as vendas com prazo de pagamento de um trimestre. Quais são as taxas mensais nominal e efetiva? 8) Qual seria o preço à vista de um carro; se a prazo custa $ 37.700, sendo que tem que dar uma certa quantia de entrada; pagar uma prestação de $ 31.200 seis meses após a compra; e a taxa efetiva de juros simples que está sendo cobrada na venda a prazo é 120% a.a? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 24 9) Uma dívida de $ 85.000 foi quitada setenta dias antes da data de vencimento a uma certa taxa de juros simples. Se o valor pago foi $ 75.000; quanto foi a taxa de juros simples mensal desta operação? 10) Um varejista pegou emprestado uma certa quantia a uma taxa de juros simples de 48% a.s. Sabendo-se que o varejista pagou $ 35.700; sete meses antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros simples corrente de mercado era 9% a.t., qual foi o prazo inicial, se os juros previstos montavam em $ 31.000? 11) Um casal pegou emprestado a quantia de $ 33.000 pelo prazo de cinco meses e vinte dias a uma taxa de juros simples de 4,5% a.m. Quarenta dias antes do vencimento ela quitou a dívida pagando $ 37.600. Calcular a taxa de juros mensal corrente do mercado? 12) Foi pego emprestado uma certa quantia pelo prazo de dois anos e oito meses a uma taxa de juros simples de 30% a.s. Sabendo-se que foi pago $ 55.400; nove meses antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros simples corrente de mercado era 6,5% a.m, quanto foi pago de juros? 13) João pegou emprestado uma determinada quantia a uma taxa de juros simples por quatro semestres. Sabendo-se que ele pagou $ 15.400; três trimestres antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros simples corrente de mercado era 60% a.a, qual foi a taxa de juros mensal inicialmente cobrada no empréstimo se ele pagou de juros de juros $ 7.425? 14) Ana emprestou $ 25.000 para Bia para ser pago em três semestres e meio. A taxa de juros simples ajustada foi de 12% a.t. Quanto poderia aceitar Ana, se cinco meses antes do vencimento da dívida; Bia desejasse quitá-la, a uma taxa de juros simples de 21% a.s? 15) Pegou-se uma determinada quantia por quatro trimestres a uma taxa de juros simples. Sabendo-se que ela pagou $ 18.000; meio ano antes do vencimento e que nesta época a taxa de juros simples corrente de mercado era 42% a.s, qual foi o taxa de juros cobrada na ocasião do empréstimo, se os juros previstos montavam em $ 12.500? SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.2 1) P = $ 27.000 n = 3,5 anos i = 4% a.m. Alíquota de IR = 15% ief.= ? (a.t.) Solução: J = P (i) (n) J = (27.000) (0,04) (3,5) (12) = $ 45.360 IR = (0,15) (45.360) = $ 6.804 Jef = 45.360 – 6.804 = $ 38.556 38.556 = (27.000) (ief.) (3,5) (4) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 25 ief. = 10,20% Resposta: 10,20% 2) Preço à vista = $ 1.500 ief = ? (a.a.) Solução: Preço a prazo = (1.500) (1,25) = $ 1.875 2º pagam. = X 1º pagam. = 0,3 X Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista Preço a Prazo = Entrada + Prestações 1.875 = 0,3 X + X 1.875,00 = 1,3 X X = $ 1.442,31 (2º pagam.) (0,3) (1.442,31) = $ 432,69 (1º pagam.) Valor Financiado = Pefet. = 1.500 − 432,69 = $ 1.067,31S = J + P .J = P (i) (n)]. $ 1.067,31 $ 1.442,31 2 meses 0 $ 1.500 $ 432,69 $ 1.442,31 2 meses 0 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 26 1.442,31 − 1.067,31 = (1.067,31) (ief) (2) (1/12) (375) (12) = ief (1.067,31) (2) ief = 2,1081 = 210,81% Resposta: 210,81% 3) Solução: Preço Vista = P − 0,2 P = 0,80 P E (1º pagam.) = 0,1 P 2º pagam. = P + 0,25 P = 1,25 P Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista Preço a Prazo = Entrada + Prestações .S = P [1 + (i) (n)]. 1,25 P = (0,80 − 0,1) P [1 + (ief) (2) (1/3) 1,25 P − 1 = (ief) (2) (1/3) 0,70 P 0,7857 = (ief) (2) (1/3) ief = 1,1786 = 117,86% Resposta: 117,86% 4) P = $ 45.000 prazo = 15 meses i = 12% a.t. Aliquota de IR = X = ? ief = 3% a.m. Solução: .J = P (i) (n)]. J = (45.000) (0,12) (15) (1/3) = $ 27.000 IR = (X) (27.000) = 27.000 X 0,8 P 1,25 P 2 Bim. 0 0,1 P UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 27 27.000 – 27.000 X = (45.000) (0,03) (15) 27.000 – 27.000 X = 20.250 27.000 – 20.250 = 27.000 X 6.750 = 27.000 X X = 0,25 = 25% Resposta: 25% 5) Preço à vista = $ 45.000 Preço a prazo = 49.000 Entrada = $ 13.000 Saldo => 1 semestre após a compra ief = ? (a.m.) Solução: J = (P) (i) (n) S = P + J Valor Financiado = 45.000 − 13.000 = $ 32.000 Saldo = 49.000 − 13.000 = $ 36.000 J = 36.000 − 32.000 = 32.000 (ief) (6) ief = 2,08% Resposta: 2,08% 6) Preço = P Desconto = X = ? 50% juros simples – pagam/ 1 ano ief = 15% a.m. Solução: .S = P [1 + (i) (n)] Desconto no Preço = X P Preço à Vista = P − X P Preço a Prazo = P + 0,5 P = 1,5 P 1,50 P = (P − X P) [1+ (0,15) (1) (12)] 1,50 P = (1 − X) P (1 + 1,8) 1,50 = (1 − X) (2,8) P − X P 1,5 P 1 ano. 0 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 28 2,8 X = 2,8 − 1,50 = 1,3 X = 46,43% Resposta: 46,43% 7) Solução: Taxa Nominal: (30%) = . (30%) . = 10% a.m. 1trim. (3 meses) Taxa Efetiva: Preço = X Preço à Vista = X – 0,15 X = 0,85 X Preço a Prazo = X + 0,30 X = 1,30 X J = (P) (i) (n) 1,3 X − 0,85 X = (0,85 X) (ief) (1) (3) . 0,45 X = ief (0,85 X) (3) ief. = 0,1765 = 17,65% Resposta: 10% e 17,65% 8) Preço à vista = P = ? E = ? Saldo = $ 31.200 (6 meses após compra) ief = 120% a.a. Solução: P $ 31.200 6 meses 0 $ 6.500 0,85 X 1,3 X 1 trim. 0 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 29 Preço a prazo = E + Prestação 37.700 = E + 31.200 E = $ 6.500 .S = P [1 + (i) (n)] 31.200 = (P − 6.500) [1 + (1,20) (6) (1/12)] 31.200 = (P − 6.500) (1,6) 31.200 = (P − 6.500) 1,6 19.500 = P − 6.500 P = $ 26.000 Resposta: $ 26.000 9) S = N = $ 85.000 V = $ 75.000 n = 70 dias i = ? Solução: .S = P [1 + (i) (n)] S = N = V [1 + (i) (n) (1/30)] 85.000 = 75.000 [1 + (i) (70) (1/30)] [(85.000/75.00) − 1] (30/70) = i i = 5,71% Resposta: 5,71% 10) P i1 = 48% a.s. n1 = ? V = $ 35.700 n2 = 7 meses i2 = 9% a.t. J = $ 31.000 (previstos) Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. S = N = V [1 + (i2) (n2)] N = 35.700 [1 + (0,09) (7) (1/3)] = $ 43.197 .S = P + J P = 43.197 – 31.000 = $ 12.197 .J = (P) (i) (n). J = (P) (i1) (n1) 31.000 = (12.197) (0,48) (n1) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 30 n1 = 5,3 sem Resposta: 5,3 sem 11) P = $ 33.000 i1 = 4,5% a.m. n1 = 5 m. e 20 d. = 170 d. V = $ 37.600 i2 = ? (a.m.) n2 = 40 d. Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. S = N = P [1 + (i1) (n1)] N = 33.000 [1 + (0,045) (170) (1/30)] N = 33.000 (1 + 0,2550) N = (33.000) (12550) = $ 41.415,00 S = N = V [1 + (i2) (n2)] 41.415 = 37.600 [1 + (i2) (40) (1/30)] 41.415 − 1 = (i2) (40) (1/30) 37.600 (0,1015) (30) = i2 40 i2 = 0,0761 = 7,61% Resposta: 0,0761 ou 7,61% 12) P n1 = 2 anos e 8 meses = 32 meses i1 = 30% a.s. V = $ 55.400 n2 = 9 meses i2 = 6,5% a.m. J = ? (pagou) Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. S = N = V [1 + (i2) (n2)] N = 55.400 [1 + (0,065) (9)] = $ 87.809 S = N = P [1 + (i1) (n1)] 87.809 = P [1 + (0,30) (32) (1/6)] 87.809 = P (2,60)] = $ 33.772,69 J = 55.400 − 33.772,69 J = $ 21.627,31 Resposta: $ 21.627,31 13) P n1 = 4 sem. i1 = ? (a.m.) V = $ 55.400 n2 = 3 trim. i2 = 60% a.a. J = $ 7.245 (pagou) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 31 Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. S = N = V [1 + (i2) (n2)] N = 15.400 [1 + (0,60) (3) (1/4)] = $ 22.330 Juros (pagou) = V − P 7.425 = 15.400 − P P = $ 7.975 .S = P [1 + (i) (n)]. S = N = P [1 + (i1) (n1)] 22.330 = 7.975,00 [1 + (i1) (4) (6)] [22.330 − 1] (1/4) (1/6) = i1 7.975 i1 = 7,50% a.m. Ou .J = (P) (i) (n). 22.330 − 7.975 = 7.975 (i1) (4) (6) 14.355 = (7.975) (i1) (4) (6) i1 = 7,50% a.m. Resposta: 7,50% 14) P = $ 25.000 n1 = 3,5 sem. i1 = 12% a.t. V = ? n2 = 5 meses i2 = 21% a.s. Solução: S = 25.000 [1 + (0,12) (3,5) (2)] = $ 46.000 46.000 = V [1 + (0,21) (5) (1/6)] 46.000 = V (1 + 0,175) 46.000 = V (1,175) V = $ 39.148,94 Resposta: $ 39.148,94 15) P n1 = 4 trim. i1 = ? V = $ 18.000 n2 = 0,5 ano i2 = 42% a.s. J = $ 12.500 (inicialm/) Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 32 S = N = V [1 + (i2) (n2)] N = 18.000 [1 + (0,42) (0,5) (2)] = $ 25.560 .S = N = P + J P = 25.560 – 12.500 = $ 13.060 .J = (P) (i) (n). J = (P) (i1) (n1) 12.500 = 13.060 (i1) (4) i1 = 23,93% a.t. Resposta: 23,93% a.t. QUESTÕES DE AVALIAÇÕES ANTERIORES 1) Uma loja de eletrodomésticos está vendendo geladeiras à vista por $ 1.350 e a prazo, vende as mesmas geladeiras por $ 1.700, sendo que $ 300 de entrada e o saldo um trimestre após a compra. Qual foi a taxa de juros simples efetiva mensal cobrada na venda a prazo? (2014/II) Preço à vista = $ 1.350 Preço a prazo = $ 1.700 Entrada = $ 300 Saldo => 1 trimestre após a compra ief = ? (a.m.) Solução: Valor Financiado = 1.350 − 300 = $ 1.050 = Pefet Saldo = 1.700 − 300 = $ 1.400 $ 1.050 3 meses 0 $ 1.400 $ 1.350 $ 300 Saldo 3 meses UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 33 J = 1.400 − 1.050 = 350 J = (P) (i) (n) 350 = 1.050 (ief) (3) ief = 11,11% Resposta: 11,11% 2) Um empresário pegou por três anos uma determinada quantia a uma taxa de juros simples de 3% a.m. Sabendo-se que ele pagou $ 15.200 dez meses antes do vencimento, e que nesta época a taxa de juros simples corrente de mercado era 19,8% a.s, quanto queo empresário pegou emprestado? (AP1: 2014/1) P = ? i1 = 3% a.m. n1 = 3 anos V = $ 15.200 i2 = 19,8% a.s. n2 = 10 meses Solução: N = S = V [1 +(i) (n)] N = S = V [1 +(i2) (n2)] N = 15.200 [1 + (0,198) (10) (1/6)] = $ 20.216 N = S = P [1 +(i1) (n1)] 20.216 = P [1 + (0,03) (3) (12)] P = $ 9.719,23 Resposta: $ 9.719,23 3) Luana fez um empréstimo de $ 17.600 pelo prazo de dois anos e meio a uma taxa de juros simples de 5% a.m. Se ela pagou a dívida nove meses antes do vencimento, e se a taxa de juros simples corrente do mercado foi 13,5% a.t, então, quanto Luana pagou? (AD1: 2014/I) P = $ 17.600 i1 = 5% a.m. n1 = 2,5 anos V = ? i2 = 13,5% a.t. n2 = 9 meses Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. N = 17.600 [1 + (0,05) (2,5) (12)] = $ 44.000 44.000 = V [1 + (0,135) (9) (1/3)] V = 44.000 . 1 + (0,135) (9) (1/3) V = $ 31.316,73 Resposta: $ 31.316,73 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 2: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 34 4) Em determinada loja são concedidos descontos de 20% no preço das mercadorias para vendas à vista. Esta mesma casa cobra 40% de juros simples para as vendas com prazo de pagamento de quatro meses. Calcular a taxa efetiva mensal cobrada. (AP3: 2014/I) Solução: Preço = X Preço à Vista = X – 0,20 X = 0,80 X Preço a Prazo = X + 0,40 X = 1,40 X J = (P) (i) (n) 1,4 X − 0,80 X = (0,80 X) (ief) (1) (4) . 0,60 = ief (0,80) (4) ief. = 0,1875 ou 18,75% Resposta: 0,1875 ou 18,75% 5) Um tomador de empréstimo pagou por um empréstimo de $ 135.000 de vinte meses uma taxa de 9% a.t. de juros simples. Se os juros foram pagos antecipadamente, qual foi taxa de juros simples efetiva quadrimestral cobrada no empréstimo? (AD1: 2014/I) Pnom. = $ 135.000 n = 20 meses. inom. = 9% a.t. . ief. = ? (a.q.) Solução: .J = P (i) (n)]. Jnom = ($ 135.000) (0,09/trim) (20 meses) (1 trim/3 meses) Jnom = $ 81.000 Pefet. = $ 135.000 − $ 81.000 Pefet. = $ 54.000 .J = P (i) (n)]. Jefet = (Pefet) (iefet.) (n) 81.000 = (54.000) (iefet.) (20 meses) (1 quad/4 meses) iefet. = . (81.000) (4) . (54.000) (20) ief. = 30% Resposta: 30%
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