Exreviso integradora 2015 2 CVV

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Disciplina: Cálculo de Várias Variáveis
 
 Professora: Maria Fernanda Donnard Carneiro
Revisão para Integradora (AF) 
Durante um estudo sobre a proliferação de uma doença contagiosa, um grupo de pesquisadores do Ministério da Saúde constatou que para uma região retangular e (x, y dados em km), o número de pessoas infectadas por quilômetro quadrado , isto é, a densidade de pessoas infectadas, era dada por pessoas/km². Determine, para a região R, a quantidade total de pessoas infectadas.
Uma lâmina metálica precisa ser utilizada na fabricação de instrumentos de corte. Para tanto, é preciso que se conheça a sua massa m. Sabendo-se que esta lâmina é um triângulo de vértices (0,0), (2,1), (0,3) cuja densidade de massa é , determine a sua massa. R: 6,0 g.
Um joalheiro precisa fabricar um pingente maciço de ouro, no formato de um tetraedro, ou seja, uma pirâmide de base triangular, para um cliente muito exigente. Para isso, ele constrói um protótipo, conforme a figura abaixo (todas as unidades estão em cm). Sabendo-se que o pingente real deve ter um volume 24 vezes maior do que o do protótipo, determine o volume do pingente real.
Considere que um engenheiro civil precise determinar a massa de uma certa placa metálica para utilização em uma estrutura. Essa placa tem a forma de um semicírculo de raio igual a 4 m. Sabendo-se que a densidade de massa por área em um ponto P(x,y) da placa é (medida em kg/m²), determine a massa da placa.
De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se P newtons por metros quadrados for a pressão, V metros cúbicos for o volume e T graus celsius for a temperatura, teremos PV = kT, sendo k uma cosntante de porporcionalidade. Use essa lei geral dos gases, com k = 10, para encontrar a taxa segundo a qual a temperatura está variando no instante em que o volume do gás é 120 m³ e o gás está sob uma pressão de 8 N/m², se o volume está aumentando a uma taxa de 2 m³/s e a pressão está decrescendo a uma taxa de 0,1 N/m². 
Uma chapa metálica retangular é utilizada para fechar a saida de uma máquina que se encontra no interior de uma câmara frigorífica. A temperatura em qualquer ponto interior (x,y) dessa chapa, é dada por . Sobre essa situação, são feitas as seguintes afirmações:
No ponto (2,1) a temperatura é de -2 °C
No ponto a temperatura é mínima
A temperatura na placa não assume um valor máximo.
Classifique cada afirmativa acima como verdadeira ou falsa.
Uma equação da superfície de uma montanha é , onde a distância é medida em metros, o sentido positivo do eixo x aponta na direção oeste e o sentido positivo do eixo y aponta na direção sul. Um alpinista está no ponto P(10, 10 , 200).
Qual a direção de subida mais íngreme, a partir de P?
Quando se move na direção norte, o alpinista está descendo ou subindo?
Em que direção o alpinista deve se mover, para não enfrentar subidas nem descidas?
Um galpão para estocagem de alimentos tem base retangular e formato como mostrado abaixo. Considerando que todas as medidas são dadas em metros, e sabendo que em cada m³ é possível guardar 100 kg de alimentos, determine a capacidade total desse galpão. 
O volume ocupado por um objeto de decoração metálico, é dado pela integral , sendo R uma região R no primeiro quadrante, fora do círculo de raio igual a 2 e dentro da curva cardióide . Considerando-se todas as medidas dadas em metros, determine esse volume.
R: 8/3 m
10) A temperatura em graus Celsius, em um ponto (x, y, z) do espaço é determinada por . Se um pequeno inseto, a partir do ponto P(1, -2, 0), voa na direção do vetor , determine a taxa de variação da temperatura por ele percebida nesse trajeto.
R: Redução de 3ºC.
11) Tanques para armazenamento de combustível são instalados no subsolo de postos de combustível. Recentemente, um posto da BR realizou a susbsitução de tanques antigos (com capacidade para 20.000 m³), por tanques mais modernos, com menor área superficial (sem considerar a tampa) possível. Sabendo-se que um protótipo desse novo tanque tem formato de paralelepípedo, com capacidade máxima para 4 m³, determine as dimensões do tanque real, sabendo-se que a escala utilizada é de 1 m : 10.000 m.
R: 20.000 m x 20.000 m x 10.000 m
12) Um celeiro, com fundo retangular de vértices (1,2), (1,4), (3,2) e (3,4) (medidas em metros), é utilizado para estocar cereais. Sabendo-se que o telhado desse celeiro pode ser descrito pela função , determine a capacidade total, em m³, desse celeiro.
R: 112 m³
13) A temperatura em uma placa de metal é dada em cada ponto (x,y) pot graus Celsius. Uma formiga passeia pela placa percorrendo um caminho de modo que a sua posição após t segundos é dada por e . Determinea taxa de variação da temperatura, em relação ao tempo, no caminho da formiga após 5 segundos.
R: 
14) Um funcionário do setor de planejamento de uma distribuidora verifica que as lojas dos três clientes mais importantes da distribuidora estão localizadas nos pontos A(1,5), B(0,0) e C(8,0), onde os valores estão em km. Em que pontoW(x,y) deve ser nstalado um depósito para que a soma dos quadrados das ditâncias do ponto W aos pontos A, B e C seja mínima?
R: .
15) 
Um celeiro para estocagem de grãos tem a forma de uma cilindro circular reto variável. Soja é lançada no celeiro a uma taxa de m³/min. Suponha que o celeiro esteja aumentando de tal forma que se mantenha cilindrico, com raio crescendo a uma taxa de de 0,3 cm/min. No momento em que o raio do cilindro é 3m e o volume de soja dentro do celeiro é de , determine a rapidez com que a superfície de soja no celeiro está se elevando.
Dado: volume do cilindro 
16) Suponha que no instante t = 0s, um asteróide entre na atmosfera terrestre em movimento acelerado não uniforme. Sabendo-se que 30 s depois a sua aceleração é de 10m/s² e está aumentando a uma taxa de 1,5m/s³; enquanto a sua massa vale 2000 kg e está diminuindo a uma taxa de 15 kg/s, devido ao atrito com o ar, determine a força resultante sobre o asteróide, em t = 30s .
17) A passagem de um fluido da tubulação A para uma tubulação B, de diâmetro diferente, é dada pela expressão
 cm³/s onde c é uma constante positiva, x é o diâmetro da tubulação A em cm, y a pressão na na tubulação B em mmHg e z a pressão na tubulação A em mmHg. Sabendo-se que o diâmetro da tubulação A é , que as pressões nas tubulaçoes B e A são, respectivamente, 120mmHg e 30 mmHg, determine a taxa de variação do fluxo do fluido com a pressão na tubulação A, supondo que a pressão em B e o diâmetro da tubulação A permaneçam constantes.