arquivo (16)

Prévia do material em texto

Aritmética Digital
Sistemas Digitais
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
DANYELLE GARCIA GUEDES
ALAN DE OLIVEIRA SANTANA
AUTORIA
Danyelle Garcia Guedes
Sou Mestranda pela Universidade Federal de Campina Grande em 
Ciência e Engenharia de Materiais, Especialista pela Faculdade Campos 
Elíseos em Docência do Ensino Superior e Bacharel pela Universidade 
Federal de Campina Grande em Ciência e Engenharia de Materiais. Atuo 
como membro e pesquisadora, no Laboratório de Desenvolvimento de 
Biomateriais do Nordeste (Certbio), na pesquisa e no desenvolvimento 
de dispositivos biossensores e biomateriais, bem como no Laboratório 
de Tecnologia de Materiais da UFCG no desenvolvimento de materiais 
cerâmicos e nanofibras. Atualmente, sou membro do Laboratório de 
Materiais Cerâmicos e Avançados. Sou apaixonada pelo que faço e adoro 
transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas 
profissões. Por isso, fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu 
elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você 
nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
Alan de Oliveira Santana
Sou Mestre em Sistemas da Computação pela Universidade 
Federal do Rio Grande do Norte (2017). Possuo graduação em Ciência 
da Computação pela Universidade do Estado do Rio Grande do Norte, 
Natal, RN (2016). Tenho experiência na área de Ciência da Computação, 
com ênfase em Ciência da Computação, atuando, principalmente, 
nos seguintes temas: Tutores virtuais, Chatbots e Jogos educativos. 
Apaixonado pelo que faço, fui convidado pela Editora Telesapiens a 
integrar seu elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder 
ajudar você nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
OBJETIVO:
para o início do 
desenvolvimento de 
uma nova compe-
tência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando forem 
necessários obser-
vações ou comple-
mentações para o 
seu conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundamen-
to do seu conheci-
mento;
REFLITA:
se houver a neces-
sidade de chamar a 
atenção sobre algo 
a ser refletido ou dis-
cutido sobre;
ACESSE: 
se for preciso aces-
sar um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das últi-
mas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de au-
toaprendizagem for 
aplicada;
TESTANDO:
quando o desen-
volvimento de uma 
competência for 
concluído e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Adição e Subtração de Números Binário ......................................... 10
Aritmética Binária Parte I............................................................................................................ 10
Subtração Binária ......................................................................................................... 14
Multiplicação e Divisão de Números Binários ................................ 18
Aritmética Binária Parte II .......................................................................................................... 18
Multiplicação Binária ................................................................................................. 18
Divisão Binária ................................................................................................................22
Aritmética Hexadecimal ........................................................................... 25
Operações Hexadecimais .........................................................................................................25
Adição Hexadecimal ..................................................................................................25
Subtração Hexadecimal ..........................................................................................28
Multiplicação e Divisão Hexadecimal ...........................................................29
Modelagem de Componentes Combinacionais ............................. 33
Circuitos Combinacionais ..........................................................................................................33
Somadores ....................................................................................................................... 36
Comparadores ............................................................................................................... 38
Decodificadores ........................................................................................................... 39
Codificador ....................................................................................................................... 40
Multiplexadores ............................................................................................................. 41
7
UNIDADE
04
Sistemas Digitais
8
INTRODUÇÃO
O processamento das informações que são implementadas 
nos sistemas digitais se desenvolve por meio da aplicação de diversas 
operações lógicas e aritméticas. Como já visualizado ao longo de nosso 
estudo até aqui, os dados digitais são formatados em sistemas numéricos 
compatíveis com os sistemas digitais. Para a manipulação dos dados 
nesse formato, se faz necessário conhecer como se desenvolvem as 
operações que são programadas nos circuitos digitais. Ao longo desta 
unidade, você aprenderá a realizar cálculos fundamentais com os dados 
dos sistemas digitais. Esse conhecimento é primordial para os profissionais 
que pretendem desenvolver projetos com circuitos, pois, a partir desse 
conhecimento básico, ele pode desenvolver sistemas cada vez mais 
complexos para as mais diversas aplicações. Entendeu? Ao longo desta 
unidade letiva, você vai mergulhar neste universo!
Sistemas Digitais
9
OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 4 - Aritmética Digital. Nosso 
objetivo é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes competências 
profissionais até o término desta etapa de estudos:
1. Adicionar e subtrair números binários, aplicando essas operações 
nas várias situações-problemas em um sistema digital.
2. Efetuar operações de multiplicação e divisão de números binários, 
aplicando-as em diversas situações-problemas em sistemas 
digitais.
3. Realizar as quatro operações aritméticas básicas no sistema 
hexadecimal.
4. Modelar componentes combinacionais compostos, envolvendo: 
operadores aritméticos, multiplexadores, somadores, subtratores, 
comparadores, codificadores, decodificadores, ULAs e suas 
aplicações práticas.
Sistemas Digitais
10
Adição e Subtração de Números Binário 
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender 
como funciona o desenvolvimento de operações de adição 
e subtração com sinais digitais. Isso será fundamental 
para o exercício de sua profissão. E então, motivado para 
desenvolver esta competência? Vamos lá, avante!
Aritmética Binária Parte I
A aritmética binária compreende um fenômeno primordial para todos 
os computadores digitais e todos os demais tipos de sistemas digitais. O 
conhecimento dos fundamentos da adição, subtração, multiplicação e 
divisão com números binários é essencial para o entendimento de como 
operam os sistemas digitais. Além disso, esse conhecimento é primodial 
também para os profissionais que desejam um dia projetar sistemas desse 
segmento.
Figura 1 – Universo de números binários
Fonte: Pixabay 
Sistemas Digitais
11
Ao longo desta seção, serão apresentados os fundamentos da 
adição e da subtração binária.Adição binária
A adição é a operação mais importante dos sistemas digitais 
(TOCCI, 2007). No que tange a adição com números binários, ela se dá de 
maneira semelhante ao mecanismo que se estabelece para implementar 
adições com números decimais. Na verdade, pode-se até afirmar que, 
com números binários, esse processo é ainda mais simples. 
Na adição de um número decimal, tem-se que são organizados, 
como apresentado a seguir, os dois números a serem somados um ao 
outro, através dos quais é efetuada, inicialmente, a operação de adição 
dos dígitos menos significativos. Isto é, os que estão na ponta direita do 
número. Em seguida, implementa-se a soma dos números que estão na 
posição posterior até que sejam somados os dígitos mais significativos. 
Vale considerar ainda, que, no caso dos números decimais, quando 
a soma dos dígitos é maior que 9, ou seja, resultam em um valor com duas 
casas decimais, é gerado um carry, isto é, um número que vai para a soma 
dos valores que estão na próxima posição.
EXEMPLO
Observe a soma dos números decimais 121 + 199. Nesse caso, 
observe que, ao somar inicialmente os dígitos menos significativos 
(1+9=10), obtém-se um número com mais de uma casa decimal. Assim, o 
primeiro número desse resultado é o carry, ele vai para a soma dos dígitos 
da posição seguinte. Assim, fica (1+2+9=12). Da mesma forma, surge um 
carry, o qual é atribuído a soma dos dígitos da posição seguinte, o que 
resulta em (1+1+1=3). O resultado final da operação é, então, 320.
Esse mecanismo de desenvolvimento é utilizado de forma 
semelhante para a adição de números binários. Porém, nesse caso, 
algumas regrinhas específicas devem ser respeitadas.
Sistemas Digitais
12
Em termos gerais, pode-se identificar quatro regras básicas para a 
adição entre dígitos binários:
0+0=0 - Soma de 0 com transporte (carry) de 0.
0+1=1 - Soma de 1 com transporte (carry) de 0.
1+0=0 - Soma de 1 com transporte (carry) de 0.
1+1=10 - Soma de 0 com transporte (carry) de 1.
Perceba que há diferença entre os três primeiros binários somados 
e o último no resultado, em que para os três primeiros são resultantes 
apenas bits únicos, mas, no último caso, resultam dois binários (10). 
Quando os números binários são adicionados, a última condição 
cria uma soma de 0 em uma determinada coluna; e um transporte de um 
para a próxima coluna à esquerda. 
Quando há um transporte de um, tem-se a situação em que três 
bits estão sendo adicionados (um bit em cada um dos dois números e um 
bit de transporte). 
Não é necessário considerar a adição de mais de dois números 
binários de uma vez, tendo em vista que, na realidade, dos sistemas 
digitais, os circuitos desenvolvem as operações de adição com apenas 
dois números por vez.
Dessa maneira, quando há a necessidade de serem somados mais 
de dois números binários, inicialmente somam-se os dois primeiros e, 
com o resultado desta soma, desenvolve-se a soma com o outro número, 
até que finalize todos os números da operação. 
Sob uma primeira perspectiva, pode-se imaginar esse fato como 
uma desvantagem da operação. No entanto, os sistemas digitais operam 
em apenas alguns nanossegundos. Então, realizar as operações dessa 
forma não interferem no desempenho do sistema.
Sistemas Digitais
13
Observe agora o desenvolvimento de algumas operações de 
adição com números binários:
 • Para a soma do binários 112 e 102:
Inicialmente, tem-se a soma de (dígitos menos significativos) 1+0=1 
e, em seguida, tem-se a soma de 1+1=10 (dígitos mais significativos).
 • Para a soma do binários 0112 e 1102:
Nesse caso, inicialmente tem-se a soma de (dígitos menos 
significativos) 1+0=1, em seguida tem-se a soma de 1+1=10 (dígitos mais 
significativos), que é uma soma de 0 com transporte (carry) de 1, e, por fim, 
tem-se a soma de 1+0+1=10.
 • Para a soma do binários 10012 e 11112:
Nesse caso, inicialmente, tem-se a soma de (dígitos menos 
significativos) 1+1=10, que é uma soma de 0 com transporte (carry) de 1; em 
seguida, tem-se a soma de 1+0+1=10, que é uma soma de 0 com transporte 
(carry) de 1; novamente, tem-se a soma de 1+0+1=10, que é uma soma de 
0 com transporte (carry) de 1, e, por fim, tem-se a soma de 1+1+1=11 (dígitos 
mais significativos).
 • Para a soma de binários 112 e 112:
Sistemas Digitais
14
Nesse caso, inicialmente, tem-se a soma de (dígitos menos 
significativos) 1+1=10, soma de 0 com transporte (carry) de 1; em seguida, 
tem-se a soma de 1+1+1=11 (dígitos mais significativos).
 • Para a soma do binários 1112 e 112:
Nesse caso, inicialmente, tem-se a soma de (dígitos menos 
significativos) 1+1=10, seguido da soma de 1+1+1=11, e em seguida a soma 
de 1 tem-se a soma de 1+0+1=10 (dígitos mais significativos).
Subtração Binária
Assim como no caso das operações de adição, as operações de 
subtração, com números binários, são desenvolvidas semelhante às 
operações com números decimais.
Em termos gerais, tem-se que há quatro situações básicas possíveis 
que ocorrem quando se implementam operações de subtração entre bits 
em qualquer que sejam as posições que estejam localizados no número 
binário.
Observe a seguir essas situações. As quatro regras básicas para 
subtrair bits são as seguintes:
a. 0−0=0
b. 1−1=0
c. 1−0=1
d. 0−1=? Nesse caso é necessário pedir emprestado do 1, assim: 
10−1=1.
Observe que, durante as operações de subtração, por vezes, se 
faz necessário pedir emprestado uma quantidade da próxima coluna à 
esquerda para conseguir efetuar uma operação.
Sistemas Digitais
15
Um empréstimo é necessário em binário apenas quando tentamos 
subtrair 1 de um 0. Nesse caso, quando 1 é emprestado da próxima coluna, 
à esquerda, um 10 é criado na coluna que está sendo subtraída.
Assim, tem-se que o caso D apresentado, representa a necessidade 
que a operação apresentou de que uma quantidade fosse tomada 
emprestada da coluna à esquerda para a implementação da subtração 
1 de 0.
Observe a subtração implementada a seguir, em que é realizada a 
operação de subtração de 0112 de 1012:
Analisando passo a passo como a operação foi desenvolvida, 
observe que, iniciando pela coluna mais à direita:1-1=0. 
Em seguida, na coluna do meio, foi feita a seguinte operação: 
0-1=? Nessa operação, visualizou-se a necessidade de pegar um dígito 1 
emprestado da próxima coluna, o que resultou em 10-1=0.
Na coluna em que o 1 foi pego emprestado, ficou em seu lugar o 0. 
A operação realizada, então, nesse caso, foi: 0-0=0.
Observe a imagem a seguir que apresenta esquematicamente essa 
operação.
Figura 2 –Operação de subtração de 0112 de 1012
Fonte: Elaborado pelos autores adaptado de Tocci (2007).
Sistemas Digitais
16
Observe agora o desenvolvimento de algumas operações de 
adição com números binários:
 • Para a subtração dos binários 112 e 102:
Inicialmente, tem-se a subtração de (dígitos menos significativos) 
1-0=1 e, em seguida, tem-se a soma de 1-1=0 (dígitos mais significativos).
 • Para a subtração dos binários 1112 e 1102:
Nesse caso, inicialmente, tem-se a subtração de (dígitos menos 
significativos) 1-0=1, em seguida, tem-se a subtração de 1-1=0 (dígitos do 
meio), e, por fim, tem-se a subtração de 1-1=0.
 • Para a subtração dos binários 10012 e 01112:
Nesse caso, inicialmente, tem-se a subtração de (dígitos menos 
significativos) 1-1=0; em seguida, tem-se a subtração de 0-1=10-1= 1, pois 
pega emprestado da próxima coluna. Em seguida, tem-se novamente 
0-1=10-1=1, 1+0+1=10, já que pega emprestado da próxima coluna. E por 
fim, 0-0=0 (dígitos mais significativos).
 • Para a subtração dos binários 112 e 112:
Nesse caso, inicialmente, tem-se a subtração de (dígitos menos 
significativos) 1-1=0; em seguida, tem-se a subtração de 1-1=0 (dígitos mais 
significativos).
Sistemas Digitais
17
 • Para a subtração dos binários 1112 e 112:
Nesse caso, inicialmente, tem-se a subtração de (dígitos menos 
significativos) 1-1=0; em seguida, tem-se a subtraçãode 1-1=0 (dígito do 
meio) e, por fim, no mais significativo, tem-se 1-0=1.
RESUMINDO:
E então, gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido 
que a adição é a operação mais importante dos sistemas 
digitais. A adição com números binários se dá de maneira 
semelhante ao mecanismo que se estabelece para 
implementar adições com números decimais. A operação 
de soma e subtração com binários ocorre a partir das 
operações com os dígitos mais à direita até os dígitos 
mais à esquerda, ou seja, vai do menos significativo ao 
mais significativo. Em termos gerais, pode-se identificar 
quatro regras básicas para a adição entre dígitos binários: 
0+0=0 Soma de 0 com transporte (carry) de 0. 0+1=1 Soma 
de 1 com transporte (carry) de 0. 1+0=0 Soma de 1 com 
transporte (carry) de 0. 1+1=10 Soma de 0 com transporte 
(carry) de 1. Tem-se, então, que há quatro situações 
básicas possíveis que ocorrem quando se implementam 
operações de subtração entre bits em qualquer que sejam 
as posições que estejam localizados no número binário. As 
quatro regras básicas para subtrair bits são as seguintes: 
0−0=0; 1−1=0; 1−0=1; 0−1=? Nesse caso, é necessário pedir 
emprestado do 1, assim: 10−1=1.
Sistemas Digitais
18
Multiplicação e Divisão de Números 
Binários
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender 
como funcionam as operações de multiplicação e divisão 
de números binários. Isso será fundamental para o exercício 
de sua profissão. E então, motivado para desenvolver esta 
competência? Vamos lá, avante!.
Aritmética Binária Parte II
Continuando o que foi iniciado no capítulo anterior, ao longo deste 
capítulo serão apresentados como se desenvolvem as operações de 
multiplicação e divisão com números binários.
Multiplicação Binária
As operações de multiplicação entre números binários são 
desenvolvidas também de forma similar às multiplicações de números 
decimais. Nesse caso, o processo pode ser classificado como mais simples. 
Ele envolve a formação de produtos parciais, deslocando cada produto 
parcial sucessivo deixado em um lugar e, em seguida, adicionando todos 
os produtos parciais.
A multiplicação de números binários envolve apenas produtos 
entre os dígitos 1 e 0. As regras básicas para se implementar o produto 
entre números binários são:
0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1
Sistemas Digitais
19
Observe o exemplo do produto entre os binários 10012 e 10112:
Observe que o desenvolvimento da multiplicação se deu por meio 
da multiplicação individual entre cada bit do multiplicador por todo o 
número binário do multiplicando e, para cada operação, foram gerados 
produtos parciais. 
Inicialmente, foi implementada a multiplicação entre 1 e 1001, ou 
seja, entre o primeiro bit menos significativo e o multiplicando:
Em seguida, foi feita novamente a multiplicação entre 1 e 1001, mas, 
no caso referente ao segundo bit, após o menos significativo:
Seguido da multiplicação entre 0 e 1001:
Sistemas Digitais
20
E, por fim, novamente entre 1 e 1001, que, nesse caso, era respectivo 
ao bit mais significativo do multiplicador.
Perceba que a partir do segundo bit do multiplicador, o resultado 
das operações dos produtos parciais respectivos foram sendo deslocados 
para a esquerda, assim como é feito em produtos com números decimais.
Ao final do desenvolvimento de todos os produtos parciais.
Assim, no final, foi implementada a soma entre os produtos parciais, 
respeitando-se os espaços vazios, assim, obteve-se a seguinte operação:
Perceba que, a partir do segundo bit do multiplicador, o resultado 
das operações de produtos parciais respectivos foram sendo deslocados 
para a esquerda, assim como é feito em produtos com números decimais.
Ao final do desenvolvimento de todos os produtos parciais.
Observe agora mais alguns exemplos de multiplicação com 
números binários:
 • Para o produto entre os binários 112 e 102:
Inicialmente, implementou-se o produto entre 0 e 11 e, em seguida, 
o produto entre 1 e 11. Ao final, somaram-se os resultados dos produtos 
parciais.
Sistemas Digitais
21
 • Para o produto entre os binários 1112 e 1102:
Nesse caso, inicialmente, implementou-se o produto entre 0 e 
111, depois entre 1 e 111 e, em seguida, o produto entre 1 e 111. Ao final, 
somaram-se os resultados dos produtos parciais.
 • Para o produto entre os 10012 e 01112:
Nesse caso, inicialmente, implementou-se o produto entre 1 e 1101, 
depois entre 1 e 1101, novamente entre 1 e 1101 e, em seguida, o produto 
entre 0 e 1101. Ao final, somaram-se os resultados dos produtos parciais.
 • Para o produto entre os binários 112 e 112:
Implementou-se o produto entre 1 e 11 e, em seguida, o produto 
entre 1 e 11. Ao final, somaram-se os resultados dos produtos parciais.
 • Para o produto entre os binários 1112 e 112:
Implementou-se o produto entre 1 e 111 e, em seguida, o produto 
entre 1 e 111. Ao final, somaram-se os resultados dos produtos parciais.
Sistemas Digitais
22
É importante observar que, como nos sistemas digitais, normalmente, 
as operações de somas são feitas com dois números por vez, mesmo 
na operação de multiplicação, quando a soma dos produtos é realizada, 
essas são feitas nas máquinas digitais pela soma de dois números por vez. 
Assim, mesmo que se expresse como uma soma de uma só operação, 
é interessante lembrar que a soma é feita entre o primeiro e o segundo 
resultado do produto e depois é que são feitas as somas desse resultado 
com o resultado seguinte, assim sucessivamente até acabar todos os 
números.
Divisão Binária
O desenvolvimento de operações de divisão com números binários 
é também semelhante às operações desenvolvidas com números 
decimais. 
Nesse caso, os cálculos são mais simples, pois são operados 
apenas zeros e “uns”.
Nesse caso, o número binário que será dividido é denominado de 
dividendo e o outro número é chamado de divisor. 
Os problemas de divisão binária podem ser resolvidos, usando 
a divisão longa, que é um método útil para ensinar o processo a você 
mesmo ou escrever um programa de computador simples.
No processo de divisão longa, o dividendo é dividido pelo divisor e 
a resposta é o quociente. Então, é comparado o divisor com o primeiro 
dígito do dividendo. Caso o divisor seja um número maior, deve-se 
continuar adicionando dígitos ao dividendo até que o divisor seja o número 
menor. O primeiro dígito do quociente é escrito acima do último dígito 
do dividendo que estava sendo comparado. Deve-se, então, multiplicar e 
subtrair os valores para encontrar o valor do resto e, em seguida, repetir 
todo o processo, se necessário, para os demais dígitos.
Sistemas Digitais
23
Observe a seguir como deve ser construída a expressão de divisão 
entre dois números binários. Considere a divisão entre 10010112:112
Observe que a primeira etapa da divisão implementada se 
baseou na comparação de o divisor 112 com o primeiro dígito do 
dividendo 10010112. Como o divisor é maior que o dividendo, foi colocado 0 
como quociente e, em seguida, foi diminuído o segundo bit do dividendo. 
Esse processo foi repetido por todos os demais bits até que o 
dividendo se tornou maior que o divisor. 
Quando o divisor (112) estava menor do que o novo dividendo 
(1002), foi multiplicado por 1 e foi escrito o produto como o subtraendo e 
implementada a operação de subtração entre o subtraendo do minuendo 
para a obtenção do resto.
O próximo número de bits foi baixado do dividendo e o processo foi 
executado novamente.
Todo o processo foi desenvolvido até que todo o dividendo fosse 
dividido.
Por fim, obtivesse o resultado como quociente 11002 e resto 1. 
Observe agora alguns exemplos de divisão com números binários:
 • Para a divisão entre os binários 1102 e 112:
Sistemas Digitais
24
 • Para a divisão entre os binários 1102 e102:
Como mencionado anteriormente, a operação aritmética de adição 
com números binários compreende a mais importante operação aritmética 
no contexto dos sistemas digitais. Isso se dá pelo fato de que, por meio 
dessa operação fundamental, é que os computadores e demais sistemas 
digitais desenvolvem as operações de subtração, multiplicação e divisão.
RESUMINDO:
E então, gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido 
que as operações de multiplicação entre números 
binários são desenvolvidas também de forma similar às 
multiplicações de números decimais. O desenvolvimento 
da multiplicação se deu por meio da multiplicação individual 
entre cada bit do multiplicador por todo o número binário 
do multiplicando e, para cada operação, foram gerados 
produtos parciais. Ao final do desenvolvimento de todos 
os produtos parciais. O desenvolvimento de operações de 
divisão com números binários é também semelhante às 
operações desenvolvidas com números decimais. Nesse 
caso, o número binário que será dividido é denominado 
de dividendo e o outro número é chamado de divisor. 
No processo de divisão longa, o  dividendo  é dividido 
pelo divisor e a resposta é o quociente. Então, é comparado 
o divisor com o primeiro dígito do dividendo. Caso o divisor 
seja um número maior, deve-se continuar adicionando 
dígitos ao dividendo até que o divisor seja o número menor. 
O primeiro dígito do quociente é escrito acima do último 
dígito do dividendo que estava sendo comparado.  Deve-
se, assim, multiplicar e subtrair os valores para encontrar 
o valor do resto e, em seguida, repetir todo o processo se 
necessário for para os demais dígitos.
Sistemas Digitais
25
Aritmética Hexadecimal
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo você será capaz de entender 
como funciona a aritmética hexadecimal. Isto será 
fundamental para o exercício de sua profissão. E então? 
Motivado para desenvolver esta competência? Então 
vamos lá. Avante!.
Operações Hexadecimais
Da mesma forma, como no caso dos números binários, a aritmética 
para números do sistema hexadecimal é essencial para toda computação 
digital.
De acordo com Tocci (2019), as operações com números 
hexadecimais são amplamente aplicadas no processo de programação em 
linguagem de máquina e para a especificação de endereços de memória 
em computadores, ou seja, são vastamente utilizados, principalmente, 
em dispositivos microprocessadores e microcontroladores, bem como 
na programação mais básica e fundamental das unidades centrais de 
processamento dos dispositivos digitais.
Geralmente, nesses segmentos apresentados, os números 
hexadecimais são normalmente submetidos a operações de adição e 
subtração. Para compreender os sistemas digitais, devemos conhecer os 
fundamentos da adição e subtração hexadecimal. 
Adição Hexadecimal
Em nosso cotidiano, as operações aritméticas com números 
decimais são amplamente utilizadas. 
Como já estudado, no desenvolvimento de operações de adição 
de números decimais, tem-se que há 10 dígitos na contagem, que vão de 
0 a 9, e quando você chega a 10, carrega um “1” para a próxima coluna, 
Sistemas Digitais
26
o chamado carry. Esse mesmo processo serve também para a adição de 
números hexadecimais.
Aplicando, pois, o mesmo conceito, mas mudando a base de 10 para 
16, será obtido o método adequado para adicionar números hexadecimais.
Lembre-se que os números hexadecimais se caracterizam por: 
 • Usar 10 dígitos e 6 letras, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
 • Onde as letras representam números começando em 10. A = 10, B 
= 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
No caso do sistema de numeração hexadecimal, existem 16 dígitos 
na contagem, que vão de 0 a F. Nesse esquema, quando o valor 16 é 
alcançado, carrega-se um “1” para a próxima coluna. O número após F, ou 
decimal 15, é 10 em hexadecimal, ou 16 em decimal.
Na operação de adição hexadecimal, serão implementadas as 
seguintes etapas:
1. Realiza-se a operação de adição de uma coluna de cada vez.
2. Converte-se em decimal (base 10) e implementa-se a soma dos 
números. Se o resultado da etapa dois for 16 ou maior, subtraia o 
resultado de 16 e leve 1 para a próxima coluna.
 • Caso o resultado da etapa dois seja menor que 16, deve-se 
converter o número em hexadecimal. 
 • Caso o resultado da etapa dois seja menor que 16, deve-se 
converter o número em hexadecimal.
Observe o caso a seguir em que se realiza a adição entre:
I. 2116+1616
Sistemas Digitais
27
Nesse caso, tem-se que na primeira coluna da direita é desenvolvida 
a seguinte operação:
Já para a coluna da esquerda, tem-se desenvolvida a seguinte 
operação:
II. DF16+AD16
Nesse caso, tem-se que, na primeira coluna da direita, é 
desenvolvida a seguinte operação:
Já para a coluna da esquerda, tem-se desenvolvida a seguinte 
operação:
Um outro meio de se implementar as operações de adição 
hexadecimal é por meio do método de análise direto da tabela que será 
apresentado a seguir.
Sistemas Digitais
28
Figura 3 – Tabela de números hexadecimais
Fonte: Tutorialspoint (2021).
Nessa situação, a adição de componentes hexadecimais se dá pela 
análise dos pontos apresentados na tabela. O ponto na área de ‘soma’ em 
que essas duas colunas se cruzam é a soma de dois números. 
Observe a demonstração a seguir:
A16+516 = ?
Em tal caso, deve-se localizar, na tabela, o valor A na coluna x e, 
posteriormente, o valor 5 na coluna y. O ponto que intercepta essas duas 
colunas na área da soma é o valor correspondente à soma desses dois 
números. Assim: A16+516 = F16, pela tabela.
Subtração Hexadecimal
A subtração de números hexadecimais segue as mesmas regras 
que a subtração de números em qualquer outro sistema numérico.  A 
única diferença se concentra no número que é emprestado.
Sistemas Digitais
29
Assim, executando-se a operação durante a conversão entre valores 
hexadecimais e decimais pode-se desenvolver a operação de subtração. 
No caso do sistema hexadecimal, toma-se emprestado um grupo 
de 16. Isso ocorre devido ao fato de que a coluna da qual está sendo 
emprestado é 16 vezes maior do que a coluna de empréstimo (o mesmo 
motivo que o 1 emprestado em decimal representa 10).
Se faz necessário, estar atento ás transformações das letras de A 
a F.
Subtraindo 4A616-1B316
Multiplicação e Divisão Hexadecimal
As operações de multiplicação e divisão com números hexadecimais 
não são tão importantes como as operações de adição e subtração, no entanto, 
a título complementar, será introduzido os princípios dessas operações.
O processo de multiplicação é feito da mesma forma como para 
números decimais, ou seja, se dá pelo desenvolvimento da multiplicação 
individual entre cada elemento hexadecimal do multiplicador por todo o 
número binário do multiplicando e, para cada operação, foram gerados 
produtos parciais que são somados ao final.
Porém, na multiplicação de números hexadecimais, se o produto for 
menor que a raiz do hexadecimal, ou seja, se for 16, então, o consideramos 
como o resultado. Caso contrário, divide-se pela raiz do hexadecimal, ou 
seja, 16, e tomamos o resto como o bit menos significativo. O quociente é 
considerado transportado no próximo dígito significativo. 
A multiplicação hexadecimal pode ser complicada devido as 
necessárias conversões entre hexadecimais e decimais ao realizar as 
operações, uma vez que os numerais tendem a ser maiores. Assim, 
ter em mãos uma tabuada hexadecimal de multiplicação pode ser útil. 
Sistemas Digitais
30
Caso contrário, a conversão manual entre decimal e hexadecimal será 
necessária para cada etapa. 
Observe a tabela de multiplicação hexadecimal a seguir:
Figura 4 – Tabela de multiplicação de números hexadecimais
Fonte: Calculator (2021)
Observe o detalhado exemplo de multiplicação apresentado a 
seguir:Sistemas Digitais
31
Nessa situação, tem-se o desenvolvimento do seguinte passo a 
passo:
3XA=1E; onde 1 é transportado para F. 3XF=2D, +1=2E. CXA=78; onde 
7 é transportado para F. CXF=B4, +7=BB.
No caso da divisão, o processo é semelhante à divisão longa 
implementada com números decimais, a diferença está na multiplicação 
e subtração que se desenvolvem com hexadecimais. Nesse caso, pode-
se também converter os valores em decimal e realizar uma divisão longa 
em decimal e, em seguida, converter de volta quando concluído. 
Na divisão de números hexadecimais, da mesma forma, pode ser 
realizada seguindo as regras de divisão de números decimais, mas o 
dígito máximo permitido será F, que é igual a 15 em decimal.
Para a divisão entre os hexadecimais FACE16 e 1216
12/
Observe que foram desenvolvidas as seguintes operações, 
respectivamente: 12XD=EA; 
 • FA-EA=10. 
 • 12XE=10. 
 • 10C-FC=10. 
 • 12XF=10E.
Seguindo o mesmo raciocínio de todas as operações aqui 
apresentadas, é possível desenvolver todos os tipos de cálculos com 
os números hexadecimais que se estiver trabalhando. Não esqueça de 
praticar.
Sistemas Digitais
32
RESUMINDO:
E então, gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, vamos 
resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido que as 
operações com números hexadecimais são amplamente 
aplicadas no processo de programação em linguagem de 
máquina e para a especificação de endereços de memória 
em computadores. Da mesma forma, como no caso dos 
números binários, a aritmética para números do sistema 
hexadecimal é essencial para toda computação digital. 
Realiza-se a operação de adição de uma coluna por vez. 
Converte-se em decimal (base 10) e implementa-se a soma 
dos números. Se o resultado da etapa dois for 16 ou maior, 
subtraia o resultado de 16 e leve 1 para a próxima coluna. 
Caso o resultado da etapa dois seja menor que 16, deve-se 
converter o número em hexadecimal. Caso o resultado da 
etapa dois seja menor que 16, deve-se converter o número 
em hexadecimal. A subtração de números hexadecimais 
segue as mesmas regras que a subtração de números 
em qualquer outro sistema numérico. A única diferença se 
concentra no número que é emprestado. O processo de 
multiplicação se dá pelo desenvolvimento da multiplicação 
individual entre cada elemento hexadecimal do 
multiplicador por todo o número binário do multiplicando 
e, para cada operação, foram gerados produtos parciais 
que são somados ao final. No caso da divisão, o processo 
é semelhante à divisão longa implementada com números 
decimais, a diferença está na multiplicação e subtração que 
se desenvolvem com hexadecimais. Nesse caso, pode-se 
também converter os valores em decimal e realizar uma 
divisão longa em decimal e, em seguida, converter de volta 
quando concluído. 
Sistemas Digitais
33
Modelagem de Componentes 
Combinacionais
OBJETIVO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender 
como funciona a modelagem de componentes 
combinacionais compostos: operadores aritméticos, 
multiplexadores, somadores, subtratores, comparadores, 
codificadores, decodificadores, ULA’s. Isso será fundamental 
para o exercício de sua profissão. E então, motivado para 
desenvolver essa competência? Vamos lá, avante!.
Circuitos Combinacionais
Os circuitos lógicos combinacionais e os circuitos sequenciais são 
os circuitos que compõem os sistemas digitais. Neste capítulo, serão 
introduzidos os circuitos combinacionais.
Compreende-se que um circuito combinacional é um tipo de 
circuito formado por conjuntos de portas lógicas, por meio das quais 
são implementadas operações lógicas aos dados que são inseridos nas 
entradas do sistema. Ou seja, os circuitos combinacionais são um método 
de projeto para desenvolvimento de sistemas digitais, por intermédio de 
combinações entre portas lógicas como blocos de construção.
Vale ressaltar que os circuitos lógicos combinacionais são 
caracterizados como combinacionais, pois, em qualquer instante de 
tempo, eles podem emitir níveis lógicos de saída que dependem somente 
das combinações estabelecidas entre os níveis lógicos presentes nas 
entradas do sistema.
É importante identificar que esse tipo de circuito não apresenta 
características de memória; assim, os seus valores de saída dependem 
somente dos valores de entrada atuais.
Sistemas Digitais
34
Por outro lado, é necessário destacar ainda que as principais 
ferramentas necessárias para a construção de circuitos combinacionais 
compreendem projeto de tabelas-verdade, o conhecimento de álgebra 
booleana e a implementação das portas lógicas. 
Em geral, para se projetar um circuito lógico combinacional 
determina-se uma tabela-verdade a partir de uma declaração verbal ou 
escrita, que um cliente fornece para o designer. Em seguida, por meio 
de uma expressão booleana, obtém-se a descrição do comportamento 
do circuito exigido, conforme expresso pela tabela-verdade. A expressão 
boolena pode ser convertida em uma mistura arbitrária de operações 
(AND, OR e NOT) para tornar o circuito mais simples de ser implementado.
O circuito apresentado no exemplo a seguir foi construído a partir 
das informações apresentadas na tabela verdade, a qual apresenta duas 
entradas, A e B, e uma saída, x. Veja que o circuito só produz a saída 1 
quando as entradas são A=0 e B=1.
Figura 5 – Exemplo de construção de circuito combinacional a partir da tabela verdade e 
obtenção da expressão booleana característica
A B X
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 0
A
B
A
X = AB
Fonte: TOCCI, (2019).
Assim, tem-se que, nos circuitos combinacionais, são desenvolvidas 
operações Booleanas no processamento da informação. É possível, 
então, representar um circuito combinacional esquematicamente como 
demonstrado a seguir. 
Perceba que, a partir das combinações que forem determinadas 
para os valores de entrada, são obtidas informações e valores diferentes 
de saída.
Sistemas Digitais
35
Figura 6 – Diagrama genérico para circuito lógico combinacional
Circuito 
combinacional
Entradas: x Saídas: F(x)
Fonte: Elaborado pelos autores (2021).
Uma saída produzida a partir de um circuito lógico combinacional 
depende apenas das entradas de corrente, ou seja, as portas que se 
interconectam e formam o circuito combinacional produzem uma saída a 
qualquer momento e esta é função apenas da entrada naquele momento. 
Dessa formas, o surgimento da entrada é seguido quase que 
imediatamente pelo surgimento da saída (atrasos podem acontecer e 
estes se dão por obstáculos à propagação do sinal pela porta).
EXEMPLO
No exemplo de circuito combinacional apresentado na imagem a 
seguir, pode-se observar partir de uma combinação de portas lógicas do 
tipo NOT, AND e OR.
Figura 7 - exemplo de circuito combinacional
A
B
Z
Fonte: TOCCI (2019).
Sistemas Digitais
36
Observe que, a partir das diversas entradas, são desenvolvidas 
operações de inversão, adição e comparação e apenas uma saída final é 
resultante, a qual é representada por Z.
É possível elencar algumas importantes propriedades dos circuitos 
combinacionais, observe que:
 • As saídas desses circuitos são dependentes apenas das suas 
entradas mais recentes.
 • Eles compreendem circuitos que se processam em altas 
velocidades.
 • São facilmente projetados.
 • Nesses circuitos, não se visualiza feedback entre entrada e saída.
 • São circuitos que se executam de forma independente do tempo.
 • Seus blocos de construção são as portas lógicas.
 • O processamento das informações se dá por operações aritméticas 
e booleanas.
 • Não armazenam nenhum estado.
 • Não exigem acionamento.
 • Não têm elemento de memória.
Especificadamente, existem diversos tipos fundamentais de circuitos 
combinacionais chamados de operadores aritméticos, multiplexadores, 
somadores, subtratores, comparadores, codificadores, decodificadores,ULA’s. 
Somadores
O circuito somador é um tipo de circuito que implementa operações 
aritméticas de adição.
Em termos gerais, um circuito somador soma dois elementos de 
dados binários, geram uma soma e um carry de saída, assim como é 
apresentado na imagem a seguir.
Sistemas Digitais
37
Figura 8 – Estrutura do circuito combinacional somador
Fonte: FLOYD (2007).
O meio-somador é o circuito lógico que executa operações de 
soma com dois dígitos de entrada e produz dois dígitos de saída, sendo 
um carry e um bit de soma.
Figura 9 – Estrutura do circuito combinacional meio-somador
Fonte: FLOYD (2007).
Sistemas Digitais
38
O somador completo, por sua vez, é um circuito lógico que admite 
duas entradas de bits e também um carry de entrada, gerando uma saída 
de soma e um carry de saída.
Figura 10 – Estrutura do circuito combinacional somador completo
 
Fonte: FLOYD (2007).
Tem-se que, por meio da associação de dois ou mais somadores-
completos, podem ser construídos somadores binários paralelos, os quais 
são utilizados para a soma de dois ou mais números binários. Para a soma 
de dois binários, 1 bit, demanda-se de um somador-completo para cada 
bit do número. Já para números de dois bits, é preciso dois somadores; 
usados quatro somadores, e assim por diante. 
Desse modo, é importante salientar que a operação de subtração 
também é desempenhada por um circuito lógico, esse processo, no 
entanto, é normalmente realizado por meio de um somador.
Comparadores
O circuito combinacional comparador executa a função lógica de 
comparação. Nesse caso, essa função se fundamenta na comparação das 
magnitudes dos números binários que estão sendo processados, Dessa 
forma, é possível estabelecer uma relação comparativa entre ambos os 
elementos. 
Em síntese, entende-se que um circuito comparador avalia se dois 
valores de entradas são iguais.
Sistemas Digitais
39
Decodificadores
Os decodificados compreendem circuitos combinacionais que 
buscam o acionamento de um entre os seus diversos componentes de 
entrada.
Em geral, um decodificador detecta se há uma combinação 
específica de bits nos dados que compõem a sua entrada e indica a 
presença desse bit, por meio dos seus níveis de saída. Assim, associado 
a cada combinação de em suas variáveis de entradas, escolhe-se apenas 
uma das suas saídas.
De acordo com o autor Floy (2007), a decodificação pode ser 
entendida como uma instrução do computador:
Uma instrução “diz” ao computador qual operação realizar. 
As instruções são códigos de máquina (1s e 0s) e, para 
o computador executar uma instrução, a instrução tem 
que ser decodificada. A decodificação de instrução é um 
dos passos da instrução pipelining, que são os seguintes: 
A instrução é lida na memória (busca da instrução), 
a instrução é decodificada, o(s) operando(s) é(são) 
lido(s) na memória (busca do operando), a instrução é 
executada e o resultado é escrito de volta na memória. 
Basicamente, o pipelining permite que o processamento 
da próxima instrução seja iniciado antes que o da atual seja 
completado. (FLOYD, 2007, p. 332)
Os decodificadores apresentam n linhas de entrada para manipular 
n bits e de uma a linhas de saída para indicar a presença de uma ou 
mais combinações de n bits. Esse circuito é determinado como decodificar 
n:m (n por m), que possui n entradas e m saídas, para m ≤ .
Sistemas Digitais
40
Observe, na imagem a seguir, a representação de um decodificador 
4:16.
Figura 11 – Estrutura do circuito combinacional decodifidor 4:16
Fonte: FLOYD, (2007).
Por exemplo: se caso existir um decodificador de 6:64 (no caso lê-
se decodificar de 6 por 64), assim, cada uma das 64 saídas possui um 
endereço diferente. Para ativar uma dessas 64 saídas, é preciso apenas 6 
variáveis de entrada, por isso 6:64. 
Codificador
Os codificadores são circuitos lógicos que implementam a função 
inversa à observada no decodificador. Assim, a função desse circuito 
admite um nível ativo em uma de suas entradas, representando um dígito 
e converte este valor em uma saída codificada.
O processo de conversão de símbolos familiares ou números para 
um formatocodificado é denominado de codificação.
Sistemas Digitais
41
Figura 12 – Estrutura do circuito combinacional codificador de decimal para BCD
Fonte: FLOYD (2007).
Uma aplicação bastante comum dos circuitos lógicos combinacionais 
comparadores são os teclados de computadores. No caso, os dez dígitos 
decimais no teclado de um computador precisam ser codificados para 
que possam ser processados pelo circuito lógico.
Multiplexadores
Um multiplexador, ou simplesmente MUX, consiste em uma chave 
digital que possui entradas de dados, n entradas de seleção ou controle 
e uma única saída. 
O MUX direciona os dados de uma das 2n entradas de dados para 
sua única saída. Identifica-se um multiplexador pela notação multiplexador 
:1 (pronuncia-se “ para 1”). 
As linhas de entrada selecionadas controlam qual entrada de dados 
é conectada à saída. Assim, um multiplexador atua como uma chave 
digital programável.
Sistemas Digitais
42
Observe, na imagem a seguir, a representação de um MUX genérico.
Figura 13 – Estrutura do circuito combinacional MUX genérico
Fonte: FLOYD(2007).
De acordo com Floyd (2007), esse circuito viabiliza que as 
informações digitais de diversas fontes sejam encaminhadas para uma 
única linha para serem transmitidas nessa linha para um destino comum. 
Além disso, também são conhecidos como seletores de dados.
RESUMINDO:
E então, gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você realmente 
entendeu o tema de estudo deste capítulo, vamos resumir tudo 
o que vimos. Você deve ter aprendido que os circuitos lógicos 
combinacionais e os circuitos sequenciais são os circuitos que 
compõem os sistemas digitais. Um circuito combinacional é 
um tipo de circuito formado por conjuntos de portas lógicas, 
por meio das quais são implementadas operações lógicas 
aos dados que são inseridos nas entradas do sistema. 
Especificamente, existem diversos tipos fundamentais de 
circuitos combinacionais chamados de operadores aritméticos, 
multiplexadores, somadores, subtratores, comparadores, 
codificadores, decodificadores, ULA’s. 
Sistemas Digitais
43
REFERÊNCIAS
BOYLESTAD, R. L.; NASHELSKY, L. Dispositivos eletrônicos e teoria 
de circuitos. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 1984.
FERDJALLAH, M.  Introduction to Digital Systems: Modeling, 
Synthesis, and Simulation Using VHDL. [s. l.] John Wiley& Sons, 2011.
FLOYD, T. Sistemas digitais: fundamentos e aplicações. São Paulo: 
Bookman Editora, 2007.
GOUVEA, M. O que são componentes ativos, passivos e 
eletromecânicos. 2020. Disponível em: https://produza.ind.br/tecnologia/
componentes-passivos/. Acesso em: 20 set. de 2021.
IDOETA, I.V.; CAPUANO, F.G. Elementos de eletrônica digital. São 
Paulo: Saraiva Educação SA, 1993.
JONHSON, S. What is digital code? 2021. Disponível em:https://
www.techwalla.com/articles/how-to-type-a-triangle-character-on-the-
pc-keyboard. Acesso em: 20 set. de 2021.
KAMAL, R. Digital Systems: Principles and Design. India: Pearson 
Education, 2009.
RIORDAN, M. Transistors. 2021. Disponível em: https://www.
britannica.com/technology/transistor. Acesso em: 20 set. de 2021.
SILVA, L.M.C. Sistemas de Numeração. 2021. Disponível em: https://
docs.ufpr.br/~marianakleina/Material2.pdf. Acesso em: 20 set. de 2021.
TANENBAUM, A. S.; ZUCCHI, W. L.  Organização estruturada de 
computadores. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013.
TOCCI, R. J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas Digitais; 
princípios e aplicações. São Paulo: Editora Pearson, 2019.
Sistemas Digitais
https://produza.ind.br/tecnologia/componentes-passivos/
https://produza.ind.br/tecnologia/componentes-passivos/
	Adição e Subtração de Números Binário 
	Aritmética Binária Parte I
	Subtração Binária
	Multiplicação e Divisão de Números BináriosAritmética Binária Parte II
	Multiplicação Binária
	Divisão Binária
	Aritmética Hexadecimal
	Operações Hexadecimais
	Adição Hexadecimal
	Subtração Hexadecimal
	Multiplicação e Divisão Hexadecimal
	Modelagem de Componentes Combinacionais
	Circuitos Combinacionais
	Somadores
	Comparadores
	Decodificadores
	Codificador
	Multiplexadores