Prova 01 de Algebra Linear.

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo - CCA
Primeira prova de A´lgebra Linear
Alegre, 10 de abril de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique todas as respostas!
1. (2,0 pontos) Sejam
A =

1 2 0 −1
1 0 2 −1
1 2 2 −1
3 4 4 −3
 , X =

x
y
z
t
 , B =

2
2
4
8
 , χ¯ =

−2
1
1
−2

(a) Verifique que χ¯ e´ uma soluc¸a˜o do sistema AX = B.
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema AX = B.
(c) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema homogeˆneo associado AX = 0.
2. (2,0 pontos)
(a) Enuncie o teorema que relaciona o posto de uma matriz com suas soluc¸o˜es.
(b) Dada as matrizes A e B abaixo, o sistema linear AX = B tem soluc¸a˜o para toda
matriz B3×1?
A =
1 2 −1 −12 −1 1 3
4 3 −1 1
 , B =
ab
c

(c) Em geral, se Am×n tem posto menor que m, indique como determinar Bm×1 tal que
AX = B na˜o tenha soluc¸a˜o.
3. (4,0 pontos) Responda Falso ou Verdadeiro e justifique sua resposta:
(a) Se x1 e x2 sa˜o soluc¸o˜es do sistema linear homogeˆneo Ax = 0 enta˜o cx1 + x2 tambe´m
e´ soluc¸a˜o de Ax = 0 para qualquer c ∈ R.
(b) Se A e´ uma matriz tal que A2 = 0, enta˜o A = 0
(c) Se A2 = −2A4, enta˜o (In +A2) . (In − 2A2) = In.
(d) Se B = AAt, enta˜o Bt = B.
(e) Sejam A, M e N matrizes quadradas n × n tais que A 6= 0 e AM = AN . Se existe
uma matriz B, tal que BA = In enta˜o M = N .
4. (2,0 pontos) Dado o sistema linear: 3x + 5y + 12z − w = −3x + y + 4z − w = −62y + 2z + w = 5
(a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema achando a matriz amplianda linha reduzida a` forma
escada.
(b) Acrescente a equac¸a˜o 2z+kw = 9 a este sistema e encontre uma valor de k que torne
o sistema sem soluc¸a˜o.
Boa prova!