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Aula 6 Modelos de Variáveis Aleatórias Objetivo: Conhecer e compreender os principais modelos de variáveis aleatórias discretas e contínuas para posterior uso na Inferência Estatística. Nesta aula exporemos os conceitos e os principais modelos de variáveis aleatórias discretas e contínuas, que desempenham um papel fundamental na Inferência Es- tatística. Há muitos outros modelos de probabilidade, mas nos ateremos apenas àqueles que desempenharão um papel fundamental na parte inferencial. 1 A Distribuição Binomial Seja a realização de n ensaios experimentais independentes, cada um tendo a mesma probabilidade p de sucesso e q = 1� p de fracasso. Seja X a variável aleatória que conta o número de sucessos nas n realizações. A variável aleatória X é dita ter distribuição Binomial com parâmetros n e p, denotado por X � B(n; p), e sua função de probabilidade é dada por P (X = k) = � n k � pkqn�k, k = 0; 1; 2; 3; :::; n. onde � n k � = n! k! (n� k)! e n! = 1:2:3:::n. Vejamos com um exemplo a justi cativa da fórmula acima. Exemplo 1 Seja uma prova com 5 questões, com cada questão tendo 4 alternativas de respostas, onde somente uma é a correta. Determine a probabilidade de um aluno acertar exatamente três questões chutando. Solução: Como a probabilidade do aluno acertar cada questão é igual a 1 4 podemos interpretar que cada questão é um ensaio experimental onde sucesso ocorre se o aluno acerta a dada questão e fracasso ocorre, caso contrário. Como temos 5 questões, temos a realização de 5 ensaios e desejamos contar o número de acertos do aluno. No presente problema desejamos X = 3 onde X representa o número de acertos do aluno. Chamando S de sucesso e F de fracasso, então temos (X = 3) = (FFSSS) [ (FSFSS) [ (FSSFS) [ (SFSSF ) [ (FSSSF ) [ (SSSFF ) [ (SSFSF ) [ (SSFFS) [ (SFFSS) [ (SFSFS) 1 Assim P (X = 3) = P (FFSSS) + P (FSFSS) + P (FSSFS) + P (SFSSF ) + P (FSSSF ) + P (SSSFF ) + P (SSFSF ) + P (SSFFS) + P (SFFSS) + P (SFSFS) Mas, por exemplo, P (SSSFF ) = (0; 25)(0; 25)(0; 25)(0; 75)(0; 75) = (0; 25)3(0; 75)2 = 0; 08789 pois os ensaios são independentes. Além disso, não importa a ordem com que houve três sucessos e dois fracassos, a probabilidade é sempre (0; 25)3(0; 75)2. Assim, temos P (X = 3) = 10� (0; 25)3(0; 75)2. Esse resultado é equivalente à função P (X = k) = � 5 k � (0; 25)k (0; 75)5�k , k = 0; 1; 2; 3; 4; 5. quando k = 3, pois P (X = 3) = � 5 3 � (0; 25)3 (0; 75)5�3 = 5! 3!2! (0; 25)3 (0; 75)2 = 5:4:3:2:1 3:2:1:2:1 (0; 25)3 (0; 75)2 = 10� (0; 25)3 (0; 75)2 = 0; 08789, que é o resultado anteriormente obtido pela descrição das diversas possibilidades de se obter 3 sucessos e 2 fracassos. Se desejássemos obter a probabilidade para outros valores de X, teríamos: P (X = 0) = � 5 0 � (0; 25)0 (0; 75)5�0 = 5! 0!5! (0; 25)0 (0; 75)5 �= 0; 237 P (X = 1) = � 5 1 � (0; 25)1 (0; 75)5�1 = 5! 1!4! (0; 25)1 (0; 75)4 �= 0; 396 P (X = 2) = � 5 2 � (0; 25)2 (0; 75)5�2 = 5! 2!3! (0; 25)2 (0; 75)3 �= 0; 264 P (X = 3) = � 5 3 � (0; 25)3 (0; 75)5�3 = 5! 3!2! (0; 25)3 (0; 75)2 �= 0; 088 P (X = 4) = � 5 4 � (0; 25)4 (0; 75)5�4 = 5! 4!1! (0; 25)4 (0; 75)1 �= 0; 015 P (X = 5) = � 5 5 � (0; 25)5 (0; 75)5�5 = 5! 5!0! (0; 25)5 (0; 75)0 �= 0; 001 Assim, temos o seguinte histograma para a variável aleatória X: 2 Observação: Se X � B(n; p), então a média de sucessos (chamada de Esper- ança Matemática) é E(X) = np, a variância do número de sucessos é V ar(X) = npq e o desvio-padrão do número de sucessos nas n realizações é DP (X) = p npq. Observe que o resultado da esperança da Binomial faz sentido, pois se temos, por exemplo, uma probabilidade de 0,25 de sucesso em cada experimento, então se realizarmos 20 experimentos esperaríamos uma média de 1 4 � 20 = 5 sucessos. Exemplo 2 Um certo sistema eletrônico contém 10 componentes. Suponha que a probabilidade de falha de qualquer componente individual seja de 20% e que eles falhem independentemente uns dos outros. Seja X a variável aleatória que denota o número de componentes que falham no sistema. Pede-se: (a) O modelo de probabilidade da variável aleatória X, justi cando. (b) A esperança e a variância do número de componentes que falham no sistema. (c) Dado que pelo menos um dos componentes falhou, qual a probabilidade de que pelo menos dois falharam? Solução: (a) Como a probabilidade de falha (sucesso) é sempre constante e igual a 20% e como temos 10 ensaios independentes, temos que X, denotando o número de componentes que falham no sistema, tem distribuição Binomial com n = 10 e p = 0; 2, isto é, X � B(10; 0; 2). Assim P (X = k) = � 10 k � (0; 2)k (0; 8)10�k , k = 0; 1; 2; :::; 10. (b) E(X) = np = 10� 0; 2 = 2. V ar(X) = npq = 10� 0; 2� 0; 8 = 1; 6. DP (X) = p npq = p 1; 6 �= 1; 2649. 3 (c) Desejamos P (X � 2jX � 1) = P ((X � 2) \ (X � 1)) P (X � 1) = P (X � 2) P (X � 1) = 1� P (X < 2) 1� P (X < 1) Mas P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1) = � 10 0 � (0; 2)0 (0; 8)10 + � 10 1 � (0; 2)1 (0; 8)9 = (0; 8)10 + 10� 0; 2� (0; 8)9 �= 0; 3758 P (X < 1) = P (X = 0) = � 10 0 � (0; 2)0 (0; 8)10 = (0; 8)10 �= 0; 1074 Assim P (X � 2jX � 1) = 1� P (X < 2) 1� P (X < 1) = 1� 0; 3758 1� 0; 1074 = 0; 6242 0; 8926 = 0; 6993 P (X � 2jX � 1) = 69; 93%. 2 A Distribuição Normal Padrão Diz-se que uma variável aleatória Z tem distribuição normal (ou Gaussiana) padrão com média zero e variância 1, denotado por Z � N (0; 1), se a função de densidade de probabilidade de Z é dada por fZ(z) = 1p 2� e� z2 2 , �1 < z <1. Sua forma é de um sino simétrico em torno de 0 como na gura abaixo: 4 Assim, pode-se mostrar que se Z � N (0; 1), então E(Z) = 0 e V ar(Z) = 1. As distribuições normais serão usadas para modelar dados cujos histogramas sejam aproximadamente simétricos. De na �(z) = P (Z � z) = Z z �1 fZ(u)du = Z z �1 1p 2� e� u2 2 du a chamada função de distribuição da variável aleatória Z. Como �(z) não pode ser obtida analiticamente, o valor de �(z) é dado por integração numérica e seus valores são tabelados (veja a tabela anexada). Vejamos como obter as probabilidades. Observe que a variável Z vai de �3; 49 a 3; 49 na tabela, sendo a primeira co- luna referente à parte inteira até a primeira casa decimal de z e as outras colunas referentes à segunda casa decimal de z. Vemos já com isso, que, embora Z esteja de nida em toda a reta real, a probabilidade é praticamente nula de um resultado experimental modelado pela normal padrão sair do intervalo [�3; 49; 3; 49]. Isto se dá porque sua função de densidade de probabilidade tem decaimento exponencial no quadrado de z. Observe também que, como Z é variável aleatória contínua, temos �(z) = P (Z � z) = P (Z < z), ou seja, podemos intercambiar os sinais de < ou �, já que a probabilidade num ponto é nula. Vejamos então alguns exemplos abaixo: Exemplo 3 Seja Z � N (0; 1). Calcule: (a) P (Z � �1; 36) (b) P (Z � 0; 38) (c) P (0; 31 � Z < 2; 72) (d) P (�1; 32 � Z � 0; 3) Solução: A tabela nos oferece �(z) = P (Z � z) = R z�1 fZ(u)du, ou seja, a área abaixo da curva à esquerda de z. Para os valores que nos interessam temos: 5 : z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 -3.4 0:0003 0:0003 0:0003 0:0003 0:0003 0:0003 0:0003 0:0003 0:0003 0:0002 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... -1.3 0:0968 0:0951 0:0934 0:0918 0:0901 0:0885 0:0869 0:0853 0:0838 0:0823 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0.3 0:6179 0:6217 0:6255 0:6293 0:6331 0:6368 0:6406 0:6443 0:6480 0:6517 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2.7 0:9965 0:9966 0:9967 0:9968 0:99690:9970 0:9971 0:9972 0:9973 0:9974 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3.4 0:9997 0:9997 0:9997 0:9997 0:9997 0:9997 0:9997 0:9997 0:9997 0:9998 (a) P (Z � �1; 36) = 0:0869 = 8; 69% (obtido pelo cruzamento da linha �1; 3 com a coluna 0; 06). (b) P (Z � 0; 38) = 1� P (Z � 0; 38) = 1� 0:6480 = 0; 352 = 35; 2%. (c) P (0; 31 � Z < 2; 72) = P (Z � 2; 72) � P (Z � 0; 31) = 0:9967 � 0:6217 = 0; 375 = 37; 5%. (d) P (�1; 32 � Z � 0; 3) = P (Z � 0; 3) � P (Z � �1; 32) = 0:6179 � 0:0934 = 0; 5245 = 52; 45%. Mais importante, na verdade, é a distribuição Normal com média � e variância �2, pois ela de ne uma uma classe de in nitas curvas que podem se ajustar a dados aproximadamente simétricos com média amostral �Xn e variância amostral S2, se o ajuste for validado. Vamos a ela então! 3 A Distribuição Normal com média � e variância �2 Diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição normal (ou Gaussiana) com média � e variância �2, denotado por X � N (�; �2), se a função de densidade de probabilidade de X é dada por fX(x) = 1 � p 2� e� (x��)2 2�2 , �1 < x <1. Vemos que aqui também a forma da função de densidade deX é um sino simétrico em torno da média �, conforme o grá co abaixo: 6 Como toda distribuição simétrica, a média, a mediana e moda da dis- tribuição Normal são iguais, e pode-se mostrar que a área abaixo da curva normal é unitária. Além disso, pode-se mostrar que se X � N (�; �2), então E(X) = � V ar(X) = �2 DP (X) = �. De nindo a função de distribuição da variável aleatória X, como �X(x) = P (X � x) = Z x �1 fX(u)du = Z x �1 1 � p 2� e� (u��)2 2�2 du temos também aqui o fato de que �X(x) não pode ser obtida analiticamente. No entanto, pode-se mostrar que se X � N (�; �2), então Z = X � � � � N (0; 1), o que nos permite utilizar a tabela da Normal Padrão para os cálculos de probabilidade de Normais com média � e variância �2. Vejamos com exemplos como fazer isso. 7 Exemplo 4 Sabe-se por estudos, que os escores de QI são normalmente distribuí- dos, com uma média de 100 e um desvio-padrão de 15. Determine a probabilidade de que uma pessoa selecionada aleatoriamente tenha uma pontuação de QI inferior a 115. Solução: Seja X a variável aleatória que denota o QI de uma pessoa. Então sabemos que X � N (�; �2) onde � = 100 e � = 15. Assim, temos X � N (100; 225). Sabemos também que Z = X � � � = X � 100 15 � N (0; 1). Desejamos P (X < 115), ou seja, a área à esquerda de 115 sob a curva 1 15 p 2� e� (x�100)2 450 . Mas P (X < 115) = P (X � 100 < 115� 100) = P � X � 100 15 < 115� 100 15 � = P � Z < 115� 100 15 � = P (Z < 1) Assim P (X < 115) = P (Z < 1) = 0; 8413, obtido através da normal-padrão. Temos assim a seguinte estrutura equivalente: 8 Exemplo 5 As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são normalmente distribuídas, com média de R$ 100:000 e desvio padrão de R$ 12:000. Uma conta é escolhida aleatoriamente. Determine a probabilidade de ela estar entre R$ 80:000 e R$ 115:000. Solução: Seja X a variável aleatória que denota o valor da conta. Então sabemos que X � N (�; �2) onde � = 100:000 e � = 12:000. Assim, temos X � N (100:000; (12:000)2). Sabemos também que Z = X � � � = X � 100:000 12:000 � N (0; 1). Desejamos P (80:000 � X � 115:000). Mas P (80:000 � X � 115:000) = P (80:000� 100:000 � X � 100:000 � 115:000� 100:000) = P � 80:000� 100:000 12:000 � X � 100:000 12:000 � 115:000� 100:000 12:000 � = P (�1; 67 � Z � 1; 25) = P (Z � 1; 25)� P (Z � �1; 67) = 0; 8944� 0; 0475 = 0; 8469 Assim P (80:000 � X � 115:000) = 84; 69%. 9 Observação 1: Se X � N (�; �2) então P (�� � � X � �+ �) = P (�� � � � � X � � � �+ � � �) = P (�� � X � � � �) = P ��� � � X � � � � � � � = P (�1 � Z � 1) = P (Z � 1)� P (Z � �1) = 0; 8413� 0; 1587 P (�� � � X � �+ �) = 0; 6826 = 68; 26%: Da mesma forma, temos P (�� 2� � X � �+ 2�) = P (�� 2� � � � X � � � �+ 2� � �) = P (�2� � X � � � 2�) = P ��2� � � X � � � � 2� � � = P (�2 � Z � 2) = P (Z � 2)� P (Z � �2) = 0; 9772� 0; 0228 P (�� 2� � X � �+ 2�) = 0; 9544 = 95; 44%: e nalmente P (�� 3� � X � �+ 3�) = P (�� 3� � � � X � � � �+ 3� � �) = P (�3� � X � � � 3�) = P ��3� � � X � � � � 3� � � = P (�3 � Z � 3) = P (Z � 3)� P (Z � �3) = 0; 9987� 0; 0013 P (�� 3� � X � �+ 3�) = 0; 9974 = 99; 74%: Assim temos a seguinte representação: 10 Observação 2: Se Xi � N (�; �2) para i = 1; 2; :::; n são variáveis aleatórias independentes e se Sn = X1 +X2 + :::+Xn, então Sn � N (n�; n�2). Observação 3: Se Xi � N (�; �2) para i = 1; 2; :::; n são variáveis aleatórias independentes e se �Xn = X1 +X2 + :::+Xn n , então �Xn � N (�; � 2 n ). Exemplo 6 As durações de gravidez têm distribuição aproximadamente normal com média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias. (a) Selecionada aleatoriamente uma mulher grávida, determine a probabilidade de que a duração de sua gravidez seja inferior a 260 dias. (b) Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente são submetidas a uma dieta es- pecial a partir do dia em que engravidam, determine a probabilidade de os prazos de duração de suas gravidezes terem média inferior a 260 dias (admitindo-se que a dieta não produza efeito). (c) Se as 25 mulheres têm realmente média inferior a 260 dias, há razão de preocupação para os médicos de pré-natal? Justi que adequadamente. Solução: (a) Seja X a v.a. que denota a duração (em dias) de gravidez de uma dada mulher. Então sabemos que X � N (268; 225). Sabemos também que Z = X � � � = X � 268 15 � N (0; 1). 11 Desejamos P (X < 260) = P � X � 268 15 < 260� 268 15 � = P (Z < �0; 53) = 0; 2981 Assim P (X < 260) = 29; 81%. (b) Seja Xi a v.a. que denota a duração (em dias) de gravidez da i-ésima mulher (i = 1; 2; :::25). Então sabemos que Xi � N (268; 225). Sabemos também que �Xn � N (�; � 2 n ). Mas � = 268 e �2 n = 225 25 = 9. Assim �X25 � N (268; 9). Sabemos também que Z = �X25 � 268 3 � N (0; 1). Desejamos P � �X25 < 260 � = P � �X25 � 268 3 < 260� 268 3 � = P (Z < �2; 67) = 0; 0038 P � �X25 < 260 � = 0; 38%. (c) Pelo item (b), sob a hipótese de que a dieta não tem efeito, temos uma chance ín ma de 0; 38% de obtermos uma média de tempos de gravidezes abaixo de 260, portanto um evento raro. Como isso de fato ocorreu, temos evidência de que na verdade a dieta alterou o tempo de gravidez das mulheres, fazendo-o diminuir, o que é preocupante do ponto de vista médico, já que abaixo de 260 dias a dieta estaria induzindo a partos prematuros. Exemplo 7 O peso de uma determinada fruta é uma variável aleatória com dis- tribuição normal com média de 200 gramas e desvio-padrão de 50 gramas. Determine a probabilidade de um lote contendo 100 unidades dessa fruta pesar mais que 21 kg. Solução: Seja Xi a v.a. que denota o peso (em gramas) da i-ésima fruta do lote, i = 1; 2; :::; 100. Sabemos que Xi � N (200; 502). Sabemos também que o peso total do lote é dado pela variável aleatória S100 = X1 +X2 + :::+X100 � N (100�; 100�2), com � = 200 e �2 = 502. Assim S100 � N (20:000; 5002) 12 Assim Z = S100 � 20:000 500 � N (0; 1). Desejamos P (S100 > 21:000) = P � S100 � 20:000 500 > 21:000� 20:000 500 � = P (Z > 2) = 1� P (Z � 2) = 1� 0; 9772 = 0; 0228 P (S100 > 21:000) = 2; 28%. 4 Teorema Central do Limite Vimos anteriormente que seXi � N (�; �2) para i = 1; 2; :::; n são variáveis aleatórias independentes e se �Xn = X1 +X2 + :::+Xn n , então �Xn � N (�; � 2 n ). No entanto, independentemente da distribuição das variáveis Xi, se estas forem independentes e identicamentedistribuídas com média � e variância �2, teremos sempre que E � �Xn � = � e V ar � �Xn � = �2 n . Com isso, observamos que, quando n cresce, a variabilidade da variável aleatória �Xn decresce, tendendo a zero, conforme n tende a in nito. Isso signi ca que quanto maior o número de elementos da amostra, menor será a variabilidade dos valores da média amostral, indicando uma alta concentração dos valores das médias, obtidas de várias amostras. Qual a consequência a se esperar disso? Nossa intuição nos diria que se zéssemos um histograma de vários valores de médias amostrais, este histograma tenderia a ter uma forma simétrica e cada vez mais leptocúrtico conforme o tamanho da amostra crescesse. E é isso de fato o que nos informa o Teorema Central do Limite abaixo. Teorema 1 (Teorema Central do Limite) SejaX1; X2; :::; Xn uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média � e va- riância �2. De na as variáveis aleatórias Sn = X1 +X2 + :::+Xn Xn = X1 +X2 + :::+Xn n então pode-se mostrar que, para n su cientemente grande, qualquer que seja a dis- tribuição de probabilidade dos Xi, temos 13 Sn � N (n�; n�2) e �Xn � N (�; �2n ). Consequentemente, temos Sn � n� � p n � N (0; 1) e Xn � � �p n � N (0; 1). A questão que se coloca é: o que é n su cientemente grande? Se a dis- tribuição das variáveis aleatórias já for aproximadamente simétrica, então até para amostras de tamanho pequeno o Teorema Central do Limite já garantirá uma ótima aproximação da distribuição real da soma das variáveis e da média das variáveis. No entanto, no pior cenário, considera-se n � 30, como su cientemente grande para valer o Teorema Central do Limite. Exemplo 8 A média de altura dos alunos da UFRJ é 1; 75 m com desvio-padrão de 0; 1 m. Se uma amostra aleatória de 40 estudantes da UFRJ for selecionada, qual é a probabilidade de que a média de altura na amostra seja superior a 1; 78 m? 14 Solução: Seja Xi a v.a. que denota o altura (em cm) do i-ésimo aluno da amostra, i = 1; 2; :::; 40. Sabemos que � = E (Xi) = 175 e � = 10. Embora não saibamos qual a distribuição das alturas, como o tamanho da amostra é grande (n = 40), podemos nos valer do Teorema Central do Limite para a rmar que �X40 � N (�; � 2 40 ). Assim �X40 � N (175; 100 40 ) e Z = X40 � 175 10p 40 � N (0; 1). Desejamos P � �X40 > 178 � �= P 0BB@X40 � 17510p 40 > 178� 175 10p 40 1CCA = P (Z > 1; 90) P � �X40 > 178 � �= 1� P (Z � 1; 90) = 1� 0; 9713 = 0; 0287 P � �X40 > 178 � �= 2; 87%. 4.1 Aproximação Normal à Binomial SejaX � B(n; p). Assim, pode-se provar, pelo Teorema Central do Limite, que, para n su cientemente grande, X pode ser aproximada por uma distribuição normal, com X � N (np; npq). ou, equivalentemente, X � npp npq � N (0; 1). Suponha X � B(n; 1 4 ). Então para n = 5, 20 e 50, temos as seguintes aproxi- mações da curva Normal à Binomial: 15 Observe pelo grá co acima, que para aproximar a probabilidade de X = k na Bi- nomial é necessário integrar a curva Normal no intervalo � k � 1 2 ; k + 1 2 � , denominado de correção de continuidade. Vejamos como fazer isso a partir de um exemplo. Exemplo 9 Um par de dados é lançado 180 vezes por hora (aproximadamente). (a) Qual a probabilidade aproximada de que 25 ou mais lançamentos tenham tido soma 7 na primeira hora? (b) Qual a probabilidade aproximada de que entre 700 e 750 lançamentos tenham tido soma 7 durante 24 horas? Solução: (a) Seja X a variável aleatória que conta o número de vezes em que houve soma 7 na primeira hora. Como há 180 realizações na primeira hora e como a probabilidade de soma 7 em um par de dados é 1 6 , temos que a distribuição exata de X é Binomial com n = 180 e p = 1 6 . Assim P (X = k) = � 180 k �� 1 6 �k � 5 6 �180�k , k = 0; 1; 2; 3; :::; 180. Como n é grande, temos que X � N (np; npq). Mas np = 180 � 1 6 = 30 e npq = 180� 1 6 � 5 6 = 25. Assim X � N (30; 25) Com isso, temos Z = X � 30 5 � N (0; 1). Desejamos P (X � 25) = 1� P (X < 25) = 1� 24X k=0 � 180 k �� 1 6 �k � 5 6 �180�k , 16 cálculo esse ingrato de ser feito. Pela aproximação da Normal com a correção de continuidade, temos P (X � 24; 5) = P � X � 30 5 � 24; 5� 30 5 � = P (Z � �1; 1) = 1� P (Z � �1; 1) = 1� 0; 1357 = 0; 8643 P (X � 25) �= 86; 43%. (b) Seja Y a variável aleatória que conta o número de vezes em que houve soma 7 durante 24 horas. Como há 4:320 (180 � 24) realizações em 24 horas e como a probabilidade de soma 7 em um par de dados é 1 6 , temos que a distribuição exata de X é Binomial com n = 4:320 e p = 1 6 . Assim P (Y = k) = � 4:320 k �� 1 6 �k � 5 6 �4:320�k , k = 0; 1; 2; 3; :::; 4:320. Como n é grande temos que Y � N (np; npq). Mas np = 4:320 � 1 6 = 720 e npq = 4:320� 1 6 � 5 6 = 600. Assim Y � N (720; 600) Com isso, temos Z = Y � 720p 600 � N (0; 1). Desejamos P (700 � Y � 750) = 750X k=700 � 4:320 k �� 1 6 �k � 5 6 �4:320�k , cálculo esse extremamente ingrato de ser feito. Pela aproximação da Normal com a correção de continuidade, temos P (699; 5 � Y � 750; 5) = P � 699; 5� 720p 600 � Y � 720p 600 � 750; 5� 720p 600 � = P (�0; 84 � Z � 1; 24) = P (Z � 1; 24)� P (Z � �0; 84) = 0; 8925� 0:2005 = 0; 692 P (700 � Y � 750) �= 69; 2%. Exercício 1 Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a expe- riência tem mostrado que esse processo de fabricação produz 5% de peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? 17 Exercício 2 Um homem dispara 12 tiros independentes num alvo. Se a probabili- dade de acerto do atirador é de 90%, qual a probabilidade de que o alvo seja atingido pelo menos duas vezes, sabendo-se que o mesmo foi atingido pelo menos uma vez? Exercício 3 Uma moeda viciada onde a probabilidade de cara é 0,6 é lançada nove vezes. Calcule a probabilidade de ocorrer um número par de caras. Exercício 4 O comprimento X de um determinado peixe adulto capturado na Baía de Monterey é uma variável aleatória normal com média de 30 polegadas e desvio- padrão de 2 polegadas. (a) Se uma pessoa pega um desses peixes, qual a probabilidade de que ele tenha no mínimo 31 polegadas de comprimento? (b) De que ele não tenha mais do que 32 polegadas de comprimento? (c) De que ele tenha comprimento entre 24 e 28 polegadas? Exercício 5 Um elevador pode suportar uma carga de 10 pessoas ou um peso total de 1750 libras. Assumindo que apenas homens tomam o elevador e que seus pesos são normalmente distribuídos com média 165 libras e desvio-padrão de 10 libras, qual a probabilidade de que o peso limite seja excedido para um grupo de 10 homens escolhidos aleatoriamente? Exercício 6 Numa população, os conteúdos de glicose no sangue de pessoas nor- mais têm distribuição normal com média 120mg/100ml e desvio padrão de 8mg/100ml. (a) Dentre as pessoas normais que apresentam conteúdos de glicose entre 90mg/ 100ml e 110mg/100ml, qual a porcentagem de pessoas com mais de 100mg/100ml de glicose no sangue? (b) Se uma amostra de cem pessoas normais for observada, qual a probabilidade de que o conteúdo de médio de glicose nessa amostra seja superior a 121,4mg/100ml? Exercício 7 Segundo um levantamento entre os usuários da internet, 75% são a favor de que o governo regulamente o lixo eletrônico. Se 200 internautas forem selecionados aleatoriamente, determine a probabilidade aproximada de que menos de 140 sejam a favor da regulação governamental. Expresse a resposta exata da probabilidade pedida. 18