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DES-EP-UFRJ – EEA414 CONCRETO ARMADO II – EC1 – Profa. Cláudia Eboli P1a – 2015/2 
 
Dados gerais: aço CA-50 ; bw = 20 cm; h = 70 cm; d = h – 10 cm; d’ = 5 cm; cnom = 2,5cm; φt = 8 mm 
 
1. Para a seção T com mesa superior, avaliar os momentos de fissuração, positivo e negativo, e as 
respectivas taxas de armadura mínima de tração na flexão. 
Dados: fck = 33 MPa ; bf = 55 cm; hf = 10 cm 
1.1. Md,mín positivo 
1.2. Md,min negativo 
 
2. Para a seção T com mesa superior da questão anterior, dados os valores de cálculo dos momentos nas 
seções mais solicitadas de duas vigas, pede-se, para cada uma delas: dimensionar a áreas das armaduras 
longitudinais; representar a configuração deformada no ELU, indicando o domínio, tipo de ruptura e 
esquema resistente previsto. Escolher a bitola das barras (φ ≤ 20 mm) e esquematizar a distribuição das 
armaduras nas seções. 
Dados: fck = 33 MPa ; bf = 55 cm; hf = 10 cm 
2.1. Momento positivo MSd+ = 650 kNm 
2.2. Momento negativo MSd− = 530 kNm 
 
3. Para a seção retangular em concreto fck = 63 MPa, considerando o concreto com bloco de tensões, 
dimensionar a seção com armadura simples e representar as respectivas configurações deformadas para: 
3.1. Momento positivo correspondente à configuração limite do critério de ductilidade (kx = 0,35); 
3.2. Momento positivo correspondente à configuração limite entre os domínios 2 e 3. 
 
 
 
 
 
 
1. Armaduras mínimas de tração na flexão 
Ac = bw * h + (bf-bw) *hf = 0.175 m2 Qs = bw * h * h/2 + (bf-bw) *hf * hf/2 = 0.05075 m3 
Ysup = Qs/Ac = 0.29 m Yinf = h – Ysup = 0.41 m 
Ic = bw * h3/12 + bw * h *( Ysup - h/2)2 + (bf-bw) *hf3 /12 + (bf-bw) (Ysup - hf/2 )2 = 0.008266 m4 
fctm = 0,30 fck2/3 = 3,086 MPa; fctk, sup = 1,3 fctm = 4,012 MPa 
Md,min = 0.8 W0 fctk,sup 
 
1.1. W0 = Winf = Ic/Yinf = 0.020160569 m3 Md,min pos = 64.7kNm 
Modelo: L.N. na mesa(S.R.) e As’=0 (Rsd’=0) 
kmd = Md/ bf d2 fcd = 0.014 kx = 0.021 kz = 0.992 Rcd = Md/z = Rsd = 108,75 kN 
 Asinf = As = 2.50 cm2 = 0.143% Ac Logo ρ min = 0.15% e Asmin = 2,63 cm2 
 
1.2. W0 = Wsup = Ic/Ysup 0.028502874 m3 Md,min neg = 91.5 kNm 
Modelo: SR e As’=0 (Rsd’=0) 
 kmd = Md/ bw d2 fcd = 0.054 kx = 0.082 kz = 0.967 Rcd = Md/z = Rsd = 157,6 kN 
 Assup= As = 3.63 cm2 = 0.207% Ac Logo ρ min = 0.21% e Asmin = 3,63 cm2 
 
 
 2.1. Momento positivo MSd+ = 650 kNm 
 
Modelo: L.N. na mesa e As’=0 (Rsd’=0) 
kmd = MSd/ bf d2 fcd = 0.139 kx = 0.225 x = 0.135 m 0.8 x = 0.108 m > hf (modelo abandonado) 
 
Novo Modelo: L.N. na alma As’=0 (Rsd’=0) 
Rcdf = 0.85 fcd (bf-bw) hf = 701 kN MRdf = Rcdf (d – hf/2) = 385.7 kNm 
MRdw = MSd – MRdf = 264.3 kNm kmd = MRdw/ bw d2 fcd = 0.156 kx = 0.255 kz = 0.898 Rcdw = 491 kN 
Rsd = Rcdf + Rcdw = 1192 kN As = Rsd/fyd = 27.75 cm2 ; Asmin = 2.63 c < Asinf = 3 x 3 x 3,142 cm2 
3 barras de 20 em 1 camada: ah = [25,0 – 2 (2,5+ 0,8) – 3x 2,0 ]/2 = 3,7 cm 
As’ =0 Assup = 2 porta estribos φ ≥ 8 mm 
Domínio 2 – ELU por alongamento excessivo de As: εsd = 10 o/oo εcd = 10 o/oo * kx/(1-kx) = 3.424 o/oo 
 
 
 
 2 p.e. φ > 8 
 
3 x 3 φ 20 
 
2.2. Momento negativo MSd− = 530 kNm 
 
Modelo: SR e As’=0 (Rsd’=0) 
kmd = MSd/ bw d2 fcd = 0.312 > kmd,lim = 0.251 (modelo abandonado) 
 
Novo Modelo: SR e As > 0 (Rsd’>0) 
kmd = 0.251 kx = 0.450 kz = 0.820 
Domínio 3 – ELU por esmagamento do concreto, mas com As no escoamento 
εsd = 3.5 o/oo εcd = 3.5 o/oo * (1-kx)/kx = 4.278 o/oo εsd’ = 3.5 o/oo * (kx – d’/d)/kx = 2.852 o/oo > εyd’ 
MRdc = kmd bw d2 fcd = 425.8 kNm Rcd = MRdc/kz d = 866 kN 
MRds = MSd – MRdc = 104 kNm Rsd’ = MRds / d-d’ = 189 kN 
As’ = Rsd’/σsd’ = 4.36 cm2 < Asinf = 2 x 3.142 cm2 
Rsd = Rcd + Rsd’ = 1055 kN 
As = Rsd/fyd = 24.26 cm2 ; Asmin = 3.63 cm2 < Assup =(3 +3+2)x 3.142 cm2 
Domínio 3 – ELU por esmagamento do concreto, mas com As no escoamento 
εcd = 3.5 o/oo εsd = 3.5 o/oo * (1-kx)/kx = 4.278 o/oo 
 
 
 
 
3. αc = 0.795 λ = 0.768 εcu = 2.786 o/oo e Kz = 1 – 0,50 λ kx kmd = αc λ kx kz 
3.1. Kx = 0.35; kz = 0.866; kmd = 0.185; MRd = 598.8 kNm; Rcd = 1153 kN; As = 26.50 cm2 
Domínio 3 – ELU por esmagamento do concreto, mas com As no escoamento 
εcd = εcu = 2.786 o/oo εsd = εcu * (1-kx)/kx = 5.174 o/oo 
 
 
3.2. Domínio 2-3 – ELU por esmagamento do concreto simultaneamente com alongamento excessivo de As 
εcd = εcu = 2.786 o/oo εsd = εsu = 10 o/oo 
 Kx = εcu/ (εcu + εsu) = 0.218 ; kz = 0.916; kmd = 0.122; MRd = 394.6 kNm ; Rcd = 718 kN; As = 16.50 cm2 
 
 
 
Rsd 
Rcd 
Rsd’ 
z 
d-d’ 
εsd 
εsd' 
εcd 
2 φ 
 
8 φ 20