DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM VIGAS CONCRETO ARMADO

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08/03/2021
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DIMENSIONAMENTO DA 
ARMADURA DE FLEXÃO EM 
VIGAS CONCRETO ARMADO
Estruturas de Concreto Armado I
Ma. Débora Vilas Bôas
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
Posição da linha neutra no limite entre 
o domínio 2 e o domínio 3
����23 = 0,259 ∗∗∗∗ ����
����23 = 0,260 ∗∗∗∗ ����
Quando a posição da linha neutra ultrapassar 0,259*d os materiais da
seção de concreto armado terão uma deformação de acordo com o
domínio 3.
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
Posição da linha neutra no limite entre o 
domínio 3 e o domínio 4
�34 = 0,628 ∗ �, ���� �� − 50 (0,630 *d)
�34 = 0,585 ∗ �, ���� �� − 60 (0,590 *d)
Quando a posição da linha neutra ultrapassar 0,628*d para elementos
com aço CA-50 e 0,585*d para elementos com aço CA-60, os materiais
da seção de concreto armado terão uma deformação de acordo com o
domínio 4.
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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES
Posição da linha neutra no limite entre o 
domínio 3 e o domínio 4
Hipóteses de Cálculo
As seções transversais permanecem planas após a deformação da
peça e a deformação de qualquer faixa é proporcional à sua
distância à linha neutra;
• Ocorre aderência perfeita entre o concreto e o aço. Ou seja, a
deformação do aço em qualquer ponto da peça é igual à
deformação do concreto em seu entorno;
• Uma vez que o ELU de uma peça de concreto armado ocorre no
estádio III, podemos admitir que o concreto na região tracionada já
está fissurado e, portanto, a resistência do concreto à tração é nula;
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Hipóteses de Cálculo
Hipóteses de Cálculo
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Hipóteses de Cálculo
Hipóteses de Cálculo
É fato que a estrutura em FLEXÃO SIMPLES (ARMADURA SIMPLES)
deve ser projetada nos domínios 2 ou 3, e não podem ser no domínio
4.
A norma apresenta limites de ductilidade, afirmando que quanto
menor for a relação x/d, maior será a ductilidade.
d(altura útil) e x (linha neutra)
Os limites da NBR 6118/2014 são (domínio 03):
x/d ≤ 0,45 para concretos fck ≤ 50 MPa e
x/d ≤ 0,35 para concretos com fck > 50 MPa.
A norma ao impor estes limites imprime maior deformação de
alongamento da que iniciou o escoamento do aço, visando peças mais
seguras.
Portanto, deve-se dimensionar apenas até o limite de x = 0,45.d,
dentro do domínio 3.
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Hipóteses de Cálculo
A tensão nas armaduras pode ser obtida pelo gráfico tensão x
deformação do aço;
 Para a determinação da tensão de compressão do concreto, pode ser
utilizado o diagrama simplificado parábola-retângulo. Podemos utilizar
ainda um diagrama retangular que tenha altura correspondente a
80% da altura do diagrama parábola retângulo (y=0,8x), conforme
figura abaixo:
Hipóteses de Cálculo
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Hipóteses de Cálculo
Hipóteses de Cálculo
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Hipóteses de Cálculo
SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES
As equações são válidas
somente para os domínios
[2b] e [3], excluindo-se
assim os demais domínios.
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SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES
SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES
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Exemplo
Dada o esquema da viga acima, determine:
a) Calcular o peso próprio da viga
b) Momento solicitante de cálculo
de Md
c) Calcula posição da LN (x)
a) Área de aço (As) que equilibra
a seção.
b = 20 cm
h = 70 cm
l = 13 m
Concreto C30
Aço CA50
Exemplo
b = 20 cm
h = 70 cm
Concreto C30
Aço CA50
1. Determinação da altura útil (d)
d = h – 2*c 
Considerando c = 2,5 (grau de agressividade I -> tabela de cobrimento -> vigas)
d = 70 – 2* 2,5 = 70 - 5 = 65 cm = 0,65 m
2. Determinação do peso próprio 
q = peso especifico * A
q = 25 (kN/m³) * 0,20 * 0,70 -> q = 3,5 kN/m
3. Determinação da Momento solicitante de cálculo Md (sempre adotar o maior momento)
M = (Ql²/ 8) -> viga bi-apoiada com carregamento distribuído
Q = qpp + qacid -> Q = 3,5 + 8 = 11,5 kN/m 
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Exemplo
b = 20 cm
h = 70 cm
Concreto C30
Aço CA50
3. Determinação da (Momento solicitante (Msd) = Momento de serviço(Ms) = momento 
característico (Mk)) de cálculo Md -> momento que vem diretamente do carregamento 
M = (Ql²/ 8) -> viga bi-apoida com carregamento distribuído
Q = qpp + qacid -> Q = 3,5 + 8 = 11,5 kN/m
M = (11,5 * 13²/ 8) 
Ms = 242,9 kN.m
4. Cálculo Md (Momento resistente = momento de dimensionamento) -> momento calculado 
com índice de majoração (coeficiente de segurança)
Md = Ms * 1,4 
Md = 242,9 * 1,4 
Md = 340, 1 kN.m -> momento que servirá para o dimensionamento
Exemplo
b = 20 cm
h = 70 cm
Concreto C30
Fck = 30 Mpa
Fck = 30000 Kpa (kN/m²)
Fcd = fck / 1,4
Aço CA50
Fyd = tensao do aço/1,15
5. Determinação da LN (qual o valor de x)
Md = 0,68 * b * fcd * x * (d -0,4x)
340,1 (kN.m) = 0,68 * 0,20 (m) * (fck / 1,4) * x * ( 0,65 (m) – 0,4*x)
340,1 (kN.m) = 0,68 * 0,20 (m) * (30.000 / 1,4) * x * ( 0,65 (m) – 0,4*x)
x = 0,205 m = 20,5 cm 
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Exemplo
b = 20 cm
h = 70 cm
Concreto C30
Fck = 30 Mpa
Fck = 30000 Kpa (kN/m²)
Fcd = fck / 1,4
Aço CA50
6. Verificação do domínio (domínio 3)
x = 20,5 cm 
x23 = 0,259*d = 0,259 * 65 = 16,8 cm 
x34 = 0,628*d = 0,628 * 65 = 40,8 cm 
16,8 < x < 40,8 -> x = 20,5 -> ok!!! -> domínio 03
x/d < 0,45 -> fck até 50 Mpa
20,5 / 65 = 0,315 -> armadura simples 
Exemplo
b = 20 cm
h = 70 cm
Concreto C30
Fck = 30 Mpa
Fck = 30000 Kpa (kN/m²)
Fcd = fck / 1,4
Aço CA50
Md = 340,1 kN.m
CA 50 -> 500 Mpa = 50 kN/cm²
7. Cálculo de As
As = Md / [(d-0,4*x)*fyd]
As = 340,1 / [ (0,65 – 0,4 * 0,205) * 50/1,15]
As = 13,77 cm²
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Exemplo
b = 20 cm
h = 70 cm
Concreto C30
Fck = 30 Mpa
Fck = 30000 Kpa (kN/m²)
Fcd = fck / 1,4
Aço CA50
Md = 340,1 kN.m
CA 50 -> 500 Mpa = 50 kN/cm²
8. Cálculo de ASmin
Asmin= 0,15% x Ac
Asmin = 0,15/100 * 20 * 70
Asmin = 2,1 cm²
As = 13,8 cm²
Exemplo
Dada a viga abaixo, pede-se o cálculo das armaduras de flexão para projeto
Dados:
Pk = 30kN
fck = 20 MPa
Aço: CA-60
Ambiente classe II
1. Determinação da altura útil (d)
d = h – 2*c
d = 45 – 2 * 3
d = 45 – 6 = 39 cm
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Exemplo
Exemplo
Dada a viga abaixo, pede-se o cálculo das armaduras de flexão para projeto
Dados:
Pk=30kN
fck = 20 MPa
brita: 19mm
Aço: CA-60
Ambiente classe II
2. Determinação da Momento solicitante de cálculo Md
Ms = Pl/4 (usada somente para viga bi-apoiada com carregamento concentrado)
Ms = (30 * 6)/4
Ms = 45 kN.m
Md = Ms * 1,4 = 45 * 1,4 = 63,0 kN.m
Ms = Pl/4 + (ql²)/8 -> momento max viga bi-
apoida -> carga concentrada + carga distribuida
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Exemplo
Dada a viga abaixo, pede-se o cálculo das armaduras de flexão para projeto
Dados:
Pk=30kN
fck = 20 MPa
Aço: CA-60
Ambiente classe II
3. Determinação de posição da Linha Neutra (x)
d = 39 cm = 0,39 m
b = 12 cm = 0,12m 
fcd = (20*1000)/1,4 (kNm²)
Md = 63 kN.m
x = 0,167 m = 16,7 cm 
Exemplo
Dada a viga abaixo, pede-se o cálculo das armaduras de flexão para projeto.
Dados:
Pk=30kN
fck = 20 MPa
Aço: CA-60
Ambiente classe II
4. Verificação do domínio
x = 16,7 cm
CA-60
x23 = 0,259*d = 0, 259* 39 = 10,1 cm
x34 = 0,585*d = 0,585* 39 = 22,8 cm
10,1 < x < 22,8 -> domínio 3 
5. Verificação Armadura Simples
x/d <= 0,45
16,7/39 = 0,428 -> armadura simples 
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Exemplo
Dada a viga abaixo, pede-se o cálculo das armaduras de flexão para projeto
Dados:
Pk=30kN
fck = 20 MPa
Aço: CA-60
Ambiente classe II
5. Cálculo de AS
As = Md / [(d- 0,4*x)*fyd
As = 63 / [0,39 – 0,4 * 0,167)*(60/1,15)]
As = 3,74 cm²
Exemplo
Dada a viga abaixo, pede-se o cálculo das armaduras de flexão para projeto
Dados:
Pk=30kN
fck = 20 MPa
Aço: CA-60
Ambiente classe II
6. Cálculo de ASmin
Asmin= 0,15% x Ac
Asmin = 0,15/100 * 12 * 45
Asmin = 0,81 cm²
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Exemplo
Determine o valor de Md para uma viga com os dados abaixo:
h = 50 cm
As = 8,0 cm²
Concreto C20
Aço CA-50
b = 20 cm
Ambiente classe III
fyd = 50/1,15 (kN/cm²)
fcd = 2,0/1,4 (kN/cm²)
1. Cálculo de LN (achar o valor de x)
x = (As * fyd ) / 0,68*b*fcd
x = [8 * (50/1,15)] / 0,68*20*(2/1,4)
x = 17,9 cm
Verificação do dominio -> oK!! 
x23 = 0,259 *d = 0,259 * 42 = 10,8 cm 
x34 = 0,628 *d = 0,628 * 42 = 26,4 cm 
d = h – 2*c
d =50 – 2*4 = 42
Exemplo
Determine o valor de Md para uma viga com os dados abaixo:
h = 50 cm
As = 8,0 cm²
Concreto C20
Aço CA-50
b = 20 cm
Ambiente classe III
4. Cálculo de Md
Md = 0,68 * b * x * fcd * (d – 0,4 *x)
Md = 0,68 * 20 * 17,9 * (2/1,4) * (42 – 0,4 * 17,9)
Md = 12.116,3 kN.cm 
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Exemplo
Calcular a armadura longitudinal As de uma viga submetida à flexão simples, sendo dados:
concreto C25
c = 2,5 cm
aço CA-25
h = 60 cm
b = 22 cm
Ms = – 15.000 kN.cm
Exemplo
Determinar o máximo momento fletor (Momento de serviço) que uma viga pode suportar com
os seguintes dados:
concreto C22
aço CA-25
As = 9,45 cm²
d = 36 cm
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Exemplo
Determinar a armadura necessária para a viga abaixo indicada, a qual está submetida a um
momento fletor solicitante de cálculo (Ms) igual a 125 kNm.
Dados:
concreto: C35;
aço: CA-60
OBRIGADO !!!