Aula 11 - DInamica Cap 2 Cinematica das particulas

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-CINEMÁTICA
-Ramo da dinâmica 
. descreve movimento dos corpos sem referência às forças que o 
causam ou são geradas em função dele (geometria do movimento);
- CINÈTICA
- Relações entre o movimento e as forças correspondentes que 
causam ou acompanham o movimento.
Movimento de partículas
- com restrição (trem)
- sem restrição (descarrilhado)
Coordenadas: 
- descrevem posição de P=f(t)
-retangulares: x, y e z
- cilíndricas: r, θ e z
-Esféricas: R, θ e φ
-- variáveis de trajetória: n e t (plano 
osculador)
Movimento Absoluto ou Relativo
Movimento no Plano ou Tridimensional
Movimento Plano
- retilíneo
- curvo
CURVILÍNEO PLANO: trajetória curva permanece em um único plano (plano x-
y da figura.
Pode ser descrito por:
-Coordenadas retangulares : x e y (z e φ iguais a zero)
- polares : r e θ
- normal e tangencial : n e t
LEMBRANDO QUE :
NO INSTANTE “t” A PARTÍCULA ESTÁ EM “A”, LOCALIZADA PELO VETOR “r”.
NO INSTANTE “t+Δt” A PARTÍCULOA ESTÁ EM “A` “, LOCALIZADA PELO VETOR 
“r+ Δr”
DESLOCAMENTO NO INTERVALO Δt É IGUAL A Δr (INDEPENDE DA ESCOLHA DA 
ORIGEM)
DISTÂNCIA PERCORRIDA PELA PARTÍCULA = Δs (ESCALAR)
VETOR DESLOCAMENTO = Δr
Vmed = Δr/ Δt
Velocidade escalar média = Δs/Δt
Velocidade instantânea (Δt 0 )
Direção Δr tangente à trajetória
Velocidade escalar:
ou
LOGO: velocidade é um vetor de direção tangente à trajetória de 
módulo “/v/”
Velocidade varia ao longo de Δt, ou seja, Δv.
Δv varia em módulo e direção (efeito provocado pela acelaração)
ACELARAÇÃO EM MOVIMENTO 
CURVILÍNEO NÃO É NEM 
NORMAL NEM TANGENTE À 
TRAJETÓRIA
r
Δr
O
Como Δr não muda em direção e: 
dr/dt = Δsi podemos tratar como escalar
Vetor unitário = i
Aceleração pode ser + (acelerando)ou – (desacelerando)
COMO:
v=ds/dt, dt=ds/v (1)
COMO:
a=dv/dt, de (1) a=dv/(ds/v) ou 
v dv=a ds
INTERPRETAÇÕES GRÁFICAS
Velocidade “v” é a 
inclinação da curva 
(tangente) (derivada)
Construímos gráfico v x t
Área sobre a curva v x t 
durante o intervalo dt é o 
deslocamento ds, ou seja, 
no intervalo t1 a t2 temos:
Como dv=a.dt, a parea sob a 
curva (integral) da curva a x t
Triângulos semelhantes ABC e A1dv/ds vem que 
CB/v = dv/ds / 1 logo, CB = a (se o gráfico estiver 
em escala podemos calcular graficamente “a”
SOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
FORMA DE DESCRIÇÃO DA POSIÇÃO DE UMA 
PARTÍCULA NO INSTANTE “t”
x, y, z – coordenadas retangulares (plano x-y)
r, Θ, z – coordenadas cilíndricas (plano r, Θ)
R, Θ, ∅- coordenadas esféricas (plano r, Θ)
n – t – normal e tangencial à curva (variáveis de 
trajetória)
2/4 COORDENADAS RETANGULARES
-Útil quando as componentes x e y da aceleração são determinadas de 
forma independente;
-O movimento curvilíneo resultante é então obtido pela comvinação 
vetorial das componentes x e y do vetor posição, velocidade e 
aceleração.
Nota: 1 - os vetores unitários são constantes em módulo e direção, suas derivadas no 
tempo valem zero. Assim os valores escalares são os escalares das derivadas;
2 – podemos conhecer a equação da trajetória y=f(x), eliminando o tempo das 
equações;
3 – as equações de mov. retilíneo valem para os eixos separadamente.
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
SOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
2/5 Coordenadas Normal e Tangencial (n-t)
- variáveis de trajetória
- as coordenadas n e t se deslocam junto com a partícula
- n é positivo para o centro de curvatura da trajetória 
(muda de lado quando a curvatura muda)
Sejam os vetores unitários en na direção n e et na 
direção t (ver figura).
No intervalo de tempo dt, a particula se 
desloca de A para A’. Sendo o raio de 
curvatura da trajetória nesta posição 
designado por ρ, vemos que ds=ρ dβ, 
onde β é expresso em radianos. (não 
considerada a variação diferencial de ρ
por gerar termo de segunda ordem).
Assim o módulo da velocidade pode ser 
escrito v=ds/dt = ρ dβ/dt. Logo 
podemos escrever:
Aceleração: a aceleração da partícula é 
definida como a=dv/dt. A aceleração 
reflete tanto a variação no módulo 
como na direção de v. Diferenciando a 
equação v= vet , (escalar vezes vetor) 
vem:
A derivada do vetor et é não nula pq ele 
varia em direção
Para encontrarmos analisemos a variação 
de et durante um incremento diferencial do 
movimento quando a partícula se desloca de A 
para A’ (ver figura).
O vetor unitário et varia correspondentemente 
para et’ e o vetor det é mostrado na parte b da 
figura.
Pode-se ver que o vetor det no limite tem um 
módulo igual ao comprimento do arco /et/. dβ = dβ
já que et é um vetor unitário.
Pode-se ver também que a direção de det é dada 
por en. Logo, det = en dβ. Dividindo por dβ vem:
Dividindo por dt resulta det/dt = (dβ/dt)em ou,
Como v=ρ dβ/dt a eq.
torna-se 
OBS.: 
1 – an eestá sempre voltada 
para o centro de curvatura;
2- at é sempre tangente à 
trajetória;
3 – se at contrária à 
velocidade a partícula 
desacelera;
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
SOLUÇÃO DOS 
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
2/6 – COORDENADAS POLARES (r – θ)
EXEMPLOS
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
Sumário de expressões de trabalho
v dv=a ds
FORMA DE DESCRIÇÃO DA POSIÇÃO DE UMA PARTÍCULA NO 
INSTANTE “t”
x, y, z – coordenadas retangulares (plano x-y)
r, Θ, z – coordenadas cilíndricas (plano r, Θ)
R, Θ, ∅- coordenadas esféricas (plano r, Θ)
n – t – normal e tangencial à curva (variáveis de trajetória)
1 - geral
5 – movimento relativo
4 – coordenadas normal e tangencial
3 – coordenadas cilíndricas ou polares2 – coordenadas retangulares
2D
3D
FIM