Noções Básica Sobre Estruturas e Esforços Solicitantes; Francisco Rocha

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NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ESTRUTURAS E 
ESFORÇOS SOLICITANTES
Francisco dos Santos 
Rocha
Dr.Engo.
Sumário
1 Estruturas 2
1.1 Generalidades 2
1.2 Cargas 4
1.3 Apoios 6
1.4 Estruturas Planas Correntes 8
1.5 Definição de Estrutura Isostática 10
1.6 Reações 11
1.7 Problemas Propostos 17
2 Esforços Solicitantes 19
2.1 Definição de Esforços 19
2.2 Esforços Solicitantes 20
2.3 problemas Resolvidos 25
2.4 Convenções de Sinais 31
2.5 Classificação das Barras 37
2.6 Problemas Propostos 38
Bibliografia 40
t 
1 ESTRUWRAS 
1.1 GENERALIDADES 
Uma construção nonnalmente é constituída por partes resistentes e por 
partes não resistentes. As partes resistentes são chamadas de estruturas e cabe a elas, 
em grande parte, fazer com que a construção cumpra seus objetivos, enquanto as partes 
não resistentes servem como simples elementos de vedação, separação, etc. Aqui tratar-
se-á das partes resistentes da construção, conhecidas, também, por elementos 
estruturais. 
As partes resistentes, em geral, podem ser delineadas através dos três 
comprimentos principais, confonne se esclarece nos parágrafos seguintes, e classificam-
se em: blocos, estruturas de superfície e barras. 
Os blocos são peças em que as dimensões x, y e z, figura 1-1, são da 
mesma ordem de _grandeza. Considera-se aqui dois comprimentos da mesma ordem de 
grandeza, quando o quociente entre a menor medida e a outra não for menor que 0,5. 
Alguns autores consideram este mínimo menor que 0,5, por exemplo, Fusco (197-6) adota 
0,1. 
Fig. 1-1 
2 
Quando uma das três dimensões é muito menor do que as outras, tem-se 
uma estrutura de superfície, podendo ela ser plana (placa, figura l-2a, ou chapa, figura 
l-2b), curva (casca, figura l-2c) ou poligonal (folha poliédrica, figura 1-2d). As placas 
são estruturas planas com carregamento normal ao plano médio, figura l-2a; no caso de 
serem de concreto armado ou protendido, denominam-se lajes. Já as chapas possuem 
carregamento contido no plano médio, figura l-2b_; no caso. de serem de concreto 
armado, denominam-se vigas paredes. 
Fig. 1-2 
Ax barras possuem uma dimensão muito maior que as outras e são, 
também, denominadas de estruturas lineares. No caso do eixo da barra ser reto, 
denomina-se de barra reta, figura l-3a; caso contrário, define-se como barra CUT1la, 
figura l-3b. As barras retas, confõrme se esclarecerá na capítulo 2, classificam-se em: 
vigas, pilares, escoras e tirantes. 
Fi~J-3 
Das partes resistentes anteriormente referidas, tratar-se-á somente das 
estruturas lineares, as quais sen1irão de base ao estudo de outros tipos de estruturas. 
3 
Com elas, pode-se definir estruturas espacial e plana. Uma estrutura linear é espacial, 
quando os eixos das barras não estão contidos no mesmo plano. Porém, quando todos os 
eixos das barras encontram-se no mesmo plano, diz-se que é plana, podendo a carga 
estar contida ou não no seu plano. Em face de não se ter estudado as condições de 
contorno de uma estrutura, volta-se a tratar deste assunto novamente no item 1.4. 
Nas estruturas lineares define-se: 
a) seção transversal - figura plana, cujo plano que a contém é normal ao eixo da barra; 
b) barra prismática - barra com eixo reto e seção transversal constante; 
c) nó - ponto de encontro de barras. 
Convém salientar que as estruturas lineares serão representadas, de agora 
em diante, apenas por seus eixos. 
l.2CARGAS 
As cargas atuantes numa estrutura podem ser estudadas do ponto de vista: 
da zona de distribuição (concentradas e distribuídas), do tempo de atuação (permanentes 
e acidentais) e do modo de aplicação (estáticas e dinâmicas). 
Quando o local de distribuição da carga é pequeno, relativamente às 
dimensões da estrutura, as cargas para fins práticos podem ser tratadas como 
concentr_adas. Este é o caso, por exemplo, da ação das rodas dos veículos nas pontes. Em 
caso contrário, têm-se as cargas distribuídas, as _quais podem ser tratadas como 
distribuídas num volume (volumétricas), numa área (superficiais) ou num comprimento 
(lineares). Devido ao fato de ser dar ênfase aqui só às estruturas lineares, serão usadas 
as cargas distribuídas ao longo de uma linha. 
Quando urna carga atua em grande parte do tempo de vida útil de uma 
estrutura ou em sua totalidade, define-se como permanente; este é o caso, por exemplo, 
do peso próprio da estrutura. Em caso contrário, tem-se carga acidental, que é o caso, 
por exemplo, da carga proveniente dos veículos que trafegam nas pontes. 
Quando uma carga é aplicada a uma estrutura lentamente e 
gradualmente, define-se como estática; este é o caso, por exemplo, do peso próprio das 
paredes· de alvenaria nos edificio~Em caso contrário, tem-se carga dinâmica, que é o 
caso, por·exemplo, das cargas provenientes dos veículos em movimento nas pontes. 
4 
Dão, a seguir, exemplos de cargas distribuída linearmente (figura 1-4a) e 
concentrada (figura l-4b). 
X 
a b 
Fig. 1-4 
As fórmulas que fornecem a intensidade da resultante ( R) e a posição de 
sua linha de ação ( x) são obtidas conforme descrito abaixo. 
A resultante dR e o momento resultante dM, em relação à origem O, da 
carga com taxa de distribuição q no elemento dx são: 
dR=q.dx 
dM=q.x.dx 
Das equações acima e da figura anterior resultam: 
R= (~.dx 
M= J~.x.dx 
x., 
Por outro lado, tem-se, conforme afigura-1-4a, que: 
M=R.x 
a 
b 
(1-1) 
a 
b 
(1-2) 
(1-3) 
De {1-2) e {1-3) e conforme o teorema de Varignon resultam: 
R= Jx.q.dx a 
i:.,1t..l 
x=X..q. x.dx b 
j~q.dx (J-4) 
i:, 
Conforme a fanção que define a linha de carga, tem-se: carregamentos 
retangulares (uniformemente di?fribuídos), figura 1-5a, triangulares, figura 1-5b, ou 
trapezoidais, figura 1-5c, (junções do primeiro grau); carregamentos parabólicos 
(junções parabólicas), figura l-5d; etc. 
5 
RETA 
e 
Fig. 1-5 
b 
PARÁB~ 
d 
Dão-se, na tabela abaixo, fórmulas para cálculos da intensidade da 
resultante ( R) e posição de sua linha de ação ( x) de carregamentos comumente usados 
na prática. 
e ARGA R ll 
f X ~-
l l l l l l l l l l l l I Q ql 1/2 
" 
1 l 
x 1~q ql/2 21/3 
1. 1 1. 
Tabela 1-1 
l.3APOIOS 
Uma vez conhecida a estrutura e o tipo de carregamento nela atuante, 
necessita-se saber de que maneira esta estrutura transmite as cargas ao solo ou a outra 
estrutura que lhe dá apoio. Isto é feito através de aparelhos denominados apoios. Nas 
estruturas planas com cargas atuantes em seuplano, os apoios poderão ser de três tipos. 
Eles são referidos a dois movimentos da translação no plano da estrutura e -Cf um 
movimento de rotação com vetor perpendicular a esse plano, conforme se esclarece a 
seguir. 
Apoio do 1 º gênero estático. Há impedimento ao movimento em uma 
direção, podendo ocorrer movimento nas outras duas. Convém salientar que se deve aqui 
distinguir restrição unilateral, onde há impedimento ao movimento em apenas um 
sentido, como, por exemplo, na figura l-6a, para baixo; e restrição bilateral que impede, 
na direção considerada, movimento nos dois sentidos, como, por exemplo, na figura l-
6b, para baixo e par.a cima. Admitir-se-á que a restrição síef a, bilateral e é representada 
por um dos esquem~' mostrados nas figuras J-6c, l-6d e 1-6e. Existem outros tipos de 
menor importância, como, por exemplo, o mostrado na figura 1-6! 
6 
ÁGUA -- -
a b 
{( í *''Tn9i 
. e 
Fig. 1-6 
Apoio do 2 ° gênero estático. Há impedimento ao movimento em duas 
direções, ficando livre apenas uma. Esse é o caso do exemplo mostrado na figura 1-7 a, 
na qual só é permitido o movimento de rotação e cujo esquema para cálculo pode ser 
qualquer um dos mostrados nas figuras 1-7b e 1-7 e. Apoio de figura 1-7 d não permite 
rotação e nem translação na vertical. 
-d 
o.. ! b 
=6l 
1 d 
Fig.1-7 
7 
Apoio do 3 º gênero estático. Não oferece nenhuma liberdade de 
movimento, conforme esclarece afigura abaixo. 
~. 
' 
~ L 
~ 1 
a b -
Fig. 1-8 
Aos apoios das estruturas planas com cargas contidas no plano que 
impedem todos os deslocamentos lineares e permite o deslocamento angular, 
denominam-se apoios tipo rótula (figuras l-7b e l-7c). No caso de serem impedidos 
todos os deslocamentos, denominam-se engastes (figura l-8b). 
1.4 ESTRUTURAS PLANAS CORRENTES 
As cargas com relação ao plano de uma estrutura podem ser decompostas 
em duas componentes: normal ao plano e outra contida no plano. Nas estruturas planas, 
devido à diferença de fancionamento da estrutura, é comum o estudo em separado de 
cargas normais e de cargas contidas no seu plano. 
As estruturas planas com cargas normais ao seu plano chamam-se de 
vigas balcão ou grelha. Citam-se aqui os seguintes exemplos de vigas balcão: viga 
balcão curva (figura l-9a) e viga balcão poligonal (figura l-9b). As grelhas são 
constituídas por várias barras que se cruzam (figura l -9c). 
a b 
Fig. 1-9 
As estruturas planas com cargas contidas no seu plano são as mais usuais 
e, em geral, as mais simples para análise. Citam-se aqui dois tipos dessa estrutura,. que 
são: vigas (barras submetidas essencialmente à flexão) e pórticos, chamados de quadros. 
8 
As vigas podem ser retas ou curvas. As vigas retas classificam-se em: 
a) viga biapoiada sem balanços (figura 1-lOa): 
b) viga biapoiada com um balanço(figura 1-JOb); 
e) viga biapoiada com balanços (figura 1-JOc); 
d) viga engastada e livre, viga em balanço (figura 1-lOd); 
e) viga continua sem balanços (figura 1-IOe) e viga contínua com balanços. 
1 
1 
a 
e 
e 
Fig. 1-10 
Nas figuras abaixo mostram-se exemplos de pórticos. 
a 
l 
l 
e 
Fig. 1-11 
d 
b 
l 
9 
1.5 DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA ISOSTÁTICA 
Conforme o númro e o tipo de apoio associado a estrutura, pode-se 
classificá-la em Hipoestática, Isostática e Hiperestática. Para melhor fixar essas 
definições, analisam-se os exemplos abaixo de estruturas planas com cal'gas contidas no 
seu plano. Convém salientar que, conforme o carregamento, os sentidos das reações 
poderão ser os pré-fixados mostrados abaixo ou opostos. 
~-~-~ 
t . ' ~ 1 ' ! 
d D 
Fig. 1-12 
A-estrutura da.figura 1-12a pode mover-se na horizontal, desde que haja 
solicitação para isto (os apoios não oferecem resistência ao movimento na direção 
horizontal). Salienta-se que, nesse caso, o somatório das forças na direção horizontal é 
diferente de zero ( IFh =fi O). As estruturas que apresentam liberdade de movimento em 
uma ou mais direções são chamadas de Hipoestáticas. 
Na figura 1-12b os apoios são estritamente necessários para que a 
estrutura não se movimente. Qunado isto acontece, a estrutura é Isostática. Convém 
obsenJar que o número de reações é igual ao número de equações universais da estática. 
As estrutura em que o número de equaçõ~ da estática é menor do que o 
número de reações denomina-se Hiperestática, figura 1-12c. Vale ressaltar que esta 
forma de definir estruturas hiperestáticas apresenta restrições, o que será visto 
posteriormente. 
O estudo das estruturas isostátic-;zs são de suma importâneia no curso de 
Engenharia Civil, pois q.pesar de grande parte das estruturas correntes não serem 
isostáticas, estas formam a base para o estudo das estruturas hiperestáticas, de uso 
corrente. Existe em geral dificuldade na execução de estruturas isostáticas, por serem os 
mecanismos dos apoios do 1 ºe 2 ºgênero estático mais demorados de se executarem que 
os molíticos ( 3 ° gênero estático), e tambémpor exigirem manutenção. 
10 
1.6REAÇÕES 
As estruturas isostáticas são estáticamente determinadas, ou seja, é 
possível obter todos os esforços externos (.--zo caso, os esforços reativos) e internos 
usando apenas as equações de-equilzõrio. De um modo geral nas _estruturas planas com 
cargas contidas em seu plano, usa-se apenas as e:quações ,J; Fv = O (soma das forças na 
direção vertical é nula), ,J; Fh = O (soma das forças na direção horizontal é nula) e ,J; Mp 
= O (soma dos momentos em relação a um ponto P é nula). As duas primeiras podem ser 
substituídas por equações que expressam ser nula a -soma dos momentos em relação a um 
determinado ponto (o ponto tomado como referência não pode ser coincidente com os já 
tornados). Dão-se, a seguir, exemplos de cálculo das .componentes vertical e horizontal 
de reações. 
1 -
a) 
b) 
L:F =0 V 
L:FH=O 
I:MA=O 
M = o 
e 
F = h o 
M = o 
a 
H A e;{c/ Ã 
J a l b 
' VA 
Fig. 1-13 
Por meio das equações da estática se obtém: 
V 
a 
H 
V 
e 
VA+Vc -P.sen a =0 
H-P.cos a =0 
Vc(a+b)-P.sen ~ ~a=O 
(a + b)P sena( b = o 
-
p COSO(. = o 
(a + b)P senJ( a = o 
e 
A 
1 
Vc 
De qualquer um dos sistemas de equações resultam: 
- -·--··- ·- - - - -··· .. -------
H PcosO: 
V P sen~ b/(a+b) 
a 
V = P senCI( a/(a+b) 
e 
! 
11 
Dos resultados obtidos para Va e v;, conclui-se: qualquer componente 
vertical do esforço reativo em viga reta biapoiada, sem balanços e com cargas 
concentradas, é igual ao somatório do produto da intensidade da componente vertical da 
carga concentrada pela distância do ponto de aplicação ao apoio, que não contém a 
linha de ação do esforço reativo em cálculo, dividido pelo vão da viga. Os exemplos 
abaixo esclarecem o que foi dito. 
VA = J.O X z ! 5 VA = 4 tf 
Vc.= IOY-3/5 Vc.== 6tt-
A 
A 
À-t lm 
VA 
~-::. ( 4x4 +Gx2) /s '{ = s,~ tt 
vj)== (4x1+6v.3)/5 VJ/= 41~tf 
e 
3m .l -Zm 
Fig. L-14 
l :tf l: tf D 
1L 
Zm l 3m t 
VO -
Fig. 1-15 
2-
CI H-± e\\llll!llllllllllfC 1_ 
~ a ~ b' f e ~ 
Fig. 1-16 
Das condições EFh = O, E F,, = O e E Ma = O resulta-rrseguinte sistema de 
equações: 
ti=O 
V.-tV-Q·b==O !+. D 1 
VD.(Q+b+c)-~b(ct-+ ~):::O 
Diagramas
12 
Os valores de H, Va e Vd, obtidos por meio do sistema de equações, são: 
H=O 
Va == qb (b+ 2c)/(2 (a+b+c)) 
Vi = qb (2a+b)/(2 (a+b+c)) 
No caso da taxa de carga q abrangr todo trecho AD ( a=c=O ), têm-se, 
fazendo b=l, os valores: 
H=O 
v. = vd = ql/2 
Seja o seguinte exemplo: 
4tf/m 
~l' 11 l l l l l l l l 1111~ 
t 6 m i 
VA VB 
Fig. 1-17 
!-+:=.o 
vA-= v8 ·;;;. 4, 6/e 
3-
5tf IOlf 
Fig. 1-18 
YA + 2-0136 - 2.x 2.. - 5 - 4 x 3 - i.O - ~ ><' z, 5 =-O 
~ ~ 1s112- lr 
Diagramas
4-
2fit==O 
'Sf. :::Ô V 
L:M=O 
'A 
5-
13 
l BIOtf ~~:t-;A-M ___ _: 
1, 3 m ~ \ ' 
Fig. 1-19 
H=-0 
V= .lot4 ( V-1.D =0) 
Wb<5Dtf·m (Nl-1ô0=D) 
_!!___~~)M----'-'t f'--'-l ...i....II;....J..I .1.-.J.I j 
t a l b ·l lv ' ' 
Fig. 1-20 
-~.f'H-=- o H-:0 
:z'fv= 0 V- q·b=O V:::~· b 
Q 
-ZMA:::O M-~·1(a.+~)~o M=~.b(iii.+b)/z 
No caso-de a = O, os esforços reativos são ( b = l): 
ti-:::0 
V~ q- t j (\11 ~ q-l/z 
Seja a estrutura abaixo. 
- J!_~) ~ f j j j · J 1 1 1 j j_E-tffm 
t 4m J 
Fig. 1-21 
Diagramas
14 
Os esforços reativos são: 
H=O 
V-=- 3x4 V= lei-t-
M= õ,c4'.e ·M,: e.4 H·ll'I 
6-
4 m l 
;, 
Fig. 1-22 
H=O 
V::; 3xz+r; + z}!.4 
M:::: õxZJz + bxe + z..xLi (&.-+ f) 
7-
____:_, ' /''~1 
H ~ -, t ·-· L J 
Fig. 1-23 
M -i,foeN.30~ t + P C{Js30°. f =-O 
M= E (i l- Vff) 
Diagramas
15 
As intensidades de H, V e M não dependem da fonna do eixo da estrutura 
entr os pontos A e B, ou seja, os resultados seriam os mesmos se o seu eixo fosse 
qualquer um dos mostrados abaixo. 
Fig. 1-24 
8- 5tftm 
tllllllll!Jll l 
5 tf 
A 
~A l 
1 
~.l 
t 3m 
:2 F(.f.::. o H + s =o 
l+::: -5it 
5m ,~ 3m f 
Fig. 1-25 
:2M,.~o ~x1D-5x3 -'-5'1-s(~t ~)-5x(1+l)::.O 
Ye = Ur1Sif 
:'.2Ty-::o v,. +l~,'f5 -5x5-5 =O 
~ ~ l3,2.5tf 
V D 
16 
1.7 PROBLEMAS PROPOSTOSCalcular as reações em cada uma das seguintes estruturas: 
Btf 3 tf/m 
/Ztf/m l . / l • 1 i i i l I l 1 l !l ll 
L Zm ~ 4m . 1, 
"' , 'I 
/
1,Stf/m Ztf/m 10tf t i ltf/m 
+ *- 1 11II= i i 1 1 i l i ~ 
J Zm ~L Zm J Zm 
1
L1m,.l 
Stf 
-
Zm Z m 
5tf 
3m 
Sm Sm 
1)
2)
3)
4)
5)
Respostas
R
17 
/ 2 tf/m 
3m 
4,5m 
3m 
L 
6)
7)
8)
Respostas
18 
2 ESFORÇOS SOLICITANTES 
2.1 DEFINIÇÃO DE ESFORÇOS 
Define-se como esforços todas as força; e momentos, externos e internos, 
atuantes num corpo. 
Os esforços externos classificam-se em ativos e reativos. Na figura abaixo, 
são esforços ativos F1 , Fi e a cargas distribuída, e reativos as reações Vi , Vi e H. 
t 
Fig. 2-1 
Os esforços internos classificam-se em: solicitantes, também chamados de 
esforços seccionais ou simples, e resistentes. O primeiro será tratado nos parágrafos 
seguintes. Já os esforços resistentes serão amplamente debatidos no curso de Resistência 
dos Materiais e subdividem-se em tensões normais (tração e compressão) e em tensões 
tangenciais (cisalhamento), como exemplificam, respectivamente, as figuras 2-2a e 2-2b. 
! · :. 
19 
Fig. 2-2 
2.2 ESFORÇOS SOLICITANTES 
Seja o corpo em equiUbrio mostrado na figura abaixo. Supõe-se que se 
conheça todos os esforços externos em intensidade, direção e sentido. 
fF; 
Fig. 2-3 
O plano 1í que contém a seção S divide o corpo nas partes A e B. 
Isolando-se a parte A que estava inicialmente em equillbrio e sob ação dos esforços 
~ - ~ 
externos F4 , Fs e-F6 , ela continuará em equilfbrio (estado inicial do corpo) se se 
- -admitir, de modo geral, um força resultante ( R ) e um momento resultante ( Mr ), 
atuando no centro de gravidade da seção S, ponto O, figura 2-4, com intensidades, 
- ~ -direções e sentidos iguais àqueles obtidos reduzindo as forças F1 , F2 e ~ ao citado 
ponto. Fisicamente isto significa que a parte B do corpo exerce uma ação por meio da 
seção S a parte A. Essa ação é distribulda ao longo da área da seção e dá origem aos 
esforços resistentes (tensões normais e tangenciais) que quando reduzidos ao ponto O, 
_,. -em geral, resultam os esforços R e Mr . 
20 
~'!_R ~ 
1 F5 
\ 
1 
Fig. 2-4 _ 
'" d . '[º _, ~ --'» l en o em vista a ana ise em separado uos esforços R e Mr , adotar-se-á 
um sistema de eixos or.togenais ( x, y, z) com origem no centro de gravidade da seção 
geométrica, e com -eixos y e z contidos no plano 7r. Sendo assim, o eixo x será 
perpendicular ao plano que contém a seção S e confundir-se-á com a tangente ao eixo do 
corpo. 
Os esquemas abaixo ilustram as substiuições de R e "M:, respectivamente, 
---'» - ~- , -"' ~ . ~ ~ -por Rx e Q, e Mx e M, e, tambem, Q por Ry e Rz, e M por My e Mz, 
)( )( 
z z 
y 
a b 
Fig. 2-5 
_..;. __:::,.-~ __..,,.. 
As componentes Rx , Q, Mx e M são chamads de esforços solicitantes. Para 
melhor se entender fisicamente o que significa essas componentes, tome, por exemplo, 
uma outra seção infinitamente próxima à seção S. Define-se, assim, um elemento 
infinitesimal em que os esforços atuantes nas seções são iguais em módulo e com 
sentidos opostos. Analisa-se a seguir cada uma dessas componentes, atendo-se 
principalmente às suas intensidades. 
21 
-> Componente Rx . Este esforço é a soma algébrica de todas as 
componentes dos esforços externos, de uma das partes do corpo, na direção da tangente 
ao eixo do corpo, na seção considerad«. A componente Rx , normalmente chamada de N, 
por ser normal à seção transversal denomina-se de força. normal e tende a afastar 
(tração) ou aproximar (compressão)-- as seções, conforme mostram respectivamente a 
figuras 2-6a e2-6b. 
-N 
1 
-----:rr-
1 
1 
- ' 
+-+ dx 
a 
Fig. 2-6 
~ -
_, 
N 1 
1 
1 
1 
1 
,~--
i 'N 
1 1 
-.!--+ 
dx 
b 
Componente Q. Define-se Q como sendo a soma vetorial de todas as 
componentes dos esforços externos, de uma das partes do corpo, contidas em planos 
paralelos ao plano que contém a seção S. Conforme se mostra na figura 2-7, esta 
componente tende a promover um deslizamento relativo de uma seção em relação à 
outra, ou seja, há uma tendência a corte e por isso se chama força cortante. 
---=-1- l=---Q Q 
z 
Fig. 2-7 
~ Componente Mr . Mostra;.se na figura 2-8 um exemplo de como pode 
ocorrer este esforço. Observa-se que o vetor momento é perpendicular ao plano da 
seção. Fisicamente este esforço tende a torcer a peça e por isso se denomina momento 
torçor. Define-se -;;: , normalmente chamado de T, como sendo a soma algébn·ca dos 
momentos das forças, de urna das partes do corpo, em relação ao eixo normal à seção 
22 
que contém o centro de gravidade da seção geométrica, e das componentes dos 
momentos na direção do eixo x que existam na parte considerada do corpo. 
-T T 
-.!---+ 
dx 
Fig. Z-8 
~ 
Componente M Conforme a figura 2-9, este esforço tende a provocar uma 
rotação da seção em torno de um eixo situado no plano q_ue contém a seção S e passando 
pelo ponto O, isto é, a peça tende a fletir. Por isso esta componente chama-se de 
momento jletor e é obtida pela soma vetorial das componentes M, e~ , de uma das 
partes do corpo, no plano da seção S. As componentes 17; e~ são determinadas, 
respectivamente, pelo somatório dos momentos das forças em relação aos eixos y e z, e 
das componentes dos momentos nas direções dos eixos y e z. 
1 
1 , 1, 
11 
1 
I 
Fig. 2-9 
Nas estruturas planas com carregamento contido em seu plano é 
conveniente admitir um eixo normal ao citaão plano. Com o par de eixos x e y no plano 
da estrutura, ficam as componentes ?Z: = O, Q;, = Q, M; = O, M: =Me T = O, o que 
decorre do carregamento estar contido no plano xy. Doravante nas estruturas planas 
--- ~ _.,.. 
com cargas contidas em seu plano, referir-se-á aos esforços . Q, Me N. 
23 
Convém aqui esclarecer os seguintes: 
a) as cargas atuantes no corpo, figura 2-3, podem ser também distribuídas, não 
alterando as conceituações já apresentadas; 
b) o motivo de se reduzir um sistema de forças, de uma das partes do corpo, em relação 
ao centro de gravidade da seção geométrica ficará esclarecido no curso de Resistência 
dos Materiais; 
c) cada um dos pares de esforços soUCitantes em seções infinitamente próximas poderá 
não ter a mesma intensidade, diferindo de uma quantidade infinitesimal, porém em nada 
alterará as idéias discutidas anteriormente. 
Resumindo o que foi apresentado anteriormente resulta: 
Ativos 
Externos 
Reativos 
Força Normal 
Esforços Força Cortante 
Solicitantes Momento F1etor 
Momento Tol"çor 
biternos 
Tensões Normais 
Resistentes 
Tensões Tangenciais 
Apresenta-se a seguir uma série de problemas resolvidos; em ordem 
crescente de dificuldade, com objetivo de esclarecer o que foi dito sobre esforços 
solicitantes. Nesses exemplos, indica-se por meio de setas, em cada seção transversal da 
estrutura os sentidos corretos dos esforços internos, em -cada uma das partes da 
estrutura. 
24 
2.3PROBLEMA.S RESOLVIDOS 
1 - Obter os esforços na seção S da viga reta biapoiada sem balanços e com uma carga 
concentrada, figura 2-1 O. 
H,,=O 
V,,= Pbll 
V,,= Pall 
l X 1\ e Al e 
HA ~ , :!L 
t o l b L 1 tVA 
Fig. 2-10 
Através das equações universais da estática resultam: 
No trecho AS, figura 2-11, o esforço Va é externo, e N, Q e M são 
internos. Estes três representam a ação do trecho SC no trecho AS e têm as mesmas 
intensidaàes e sentidos opostos que aqueles obtidos por V,, , no centro de gravidade da 
seção S. Isto decorre da estrutura estar inicialmente em equilzõrio. 
N=O 
Q =Pbll 
M=Pbxll 
Fig. 2-H 
Da figura anterior resultam: 
2 - Quais as intensidades dos esforços solicitantes na seção S da viga reta biapoiada sem 
balançose com carga uniformemente distribuída, figura 2-12. 
25 
Fig. 2-12 
Os esforços reativos são: 
Ha=O 
Va= Vi= ql/2 
Conforme afigura 2-13, resultam: . 
N=O 
Q = ql/2- qx 
M = qlx/2 - rp! 12 lP 1111f1 '}l-t-Q 
J X J Q 
qf/2 
Fig. 2-13 
3 - Determinar as intensidades-dos esforços solicitantes na seção S da viga reta com uma 
extremidade engastada e outra livre, e com uma carga concentrada, figura 2-14. 
r 1---~-l •' X J ~ 
Fig. 2-14 
Neste caso, pode-se determinar os esforços internos sem conhecimento 
prévio dos esforços reativos, isto por uma das partes da estrutura não incluir esforços 
reativos. Isolando-se o trecho à direita da seção S, figura 2-15, resulta os seguintes 
esforços: 
N=O 
Q=P 
M=Px 
26 
~t°st--------'( 
M l x l 
'! .»i •• · 
Fig. 2-15 
4 - Para a viga reta com uma extremidade engastada e outra livre, e com carga 
unifonnente distribuída, mostrada abaixo, obter os esforços solicitantes na seção S. 
l I 1 11 1 ~ l ,{6.'1 1 
Fig. 2-16 
Procedendo-se como no problema anterior, resultam: 
N=O 
Q=qx 
M = qx.x/2 M = qx112 Q q N+ti 1 1 1 t6 1 l 
M l • l 
, 1 
Fig. 2-17 
5 - Conforme os dados abcrao, obter os esforços solicitantes na seção S. 
y 
2 m l m [ X 
Fig. 2-18 
Precisa-se, inicialmente, conhecer a constante k e a inclinação da 
tangente à curva em S. Sendo assim, procede-se da seguinte maneira: 
a) com as coordenadas do ponto B, determina-se a constante k. 
x = 3m ey = lm implica em k = l/9m-1 
27 
Na seção S têm-se: 
x= 2m 
y = 4/9m 
dy!dx = 2kx dyldx = 419 
Isolando-se o trecho SB e decompondo a carga de 2tf em componentes 
vertical e horizontal, resulta o seguinte: 
Fig. 2-19 
Da figura anterior obtêm-se: 
N= J,732sen24º+ J,000cos24º 
Q = 1, 732cos24º- J,000sen24º 
M = 1,732xl,OO- J,000x0,56 
N= 1,618tf 
Q = 1,l76tf 
M= l,172tf 
6 - Obter os esforços solicitantes na seção S da peça cilíndrico-circular com uma 
_., 
extremidade engastada e outra livre, e com cargas P (ponto de aplicação em O e normal 
-ao plano yz) e F -(ponto de aplicação em A e contida no plano yz), figura 2-20. 
z 
p b 
X y 
1 
.. " 
e 
Fig. 2-20 
- __., _,, 
Substituindo-se F pelas componentes Fz e Fy no ponto O, e associando os 
versares 1; fe k, respectivamente, aos eixos x, y e z, conclui-se que: 
s. 
f. "'- -f . 
'I 
28 
z 
X 
Fig. 2-21 
Reduz-se agora esse sistema de esforços ao centro de gravidade da seção 
J, -..;~t 
{}..__ it 
"tl-f .1>-<-
29 
Fig. 2-22 
Conclui-se, assim, que os esforços solicitantes na seção S são: 
-ir 
IV=-.E? 
-,,e 
11 ~ - f. 
- t ~e. r + f 1 (. t {õ!+íJ \1 tn2-t h2 
F vàe.-+h~ ~ 
30 
2.4 CONVENÇÕES DE SINAIS 
Conforme se relatou antariormente, os esforços solicitantes em uma 
estrutura, que atuam numa seção qualquer, aparecem aos pares. Portanto, tomando em 
separado cada esforço, pode-se admitir as seguintes situações em estruturas planas com 
carregamento contido no seu plano. 
8-B Bt--JBa-~a 
d e f 
Fig. 2-23 
Para se atribuir uma convenção de sinal, admitir-se-á outra seção 
infinitamente próxima de S, ficando assim definido um elemento de área finita (seção 
transversal) e de comprimento infinitesimal, sob a ação dos esforços solicitantes, figura 
2-24. 
-tr.--N N -~Ot---a. a ---tHt--
~ b e 
-iJ·- ---iílt--- -~ ll, --f~T--~ M 
o.. e f 
.Fig. 2-24 
31 
Conforme já se comentou anteriormente, a força nonnal tende a afastar as 
seções (tração) ou aproximá-las (compressão); a força cortante tende a promover 
-deslizamento relativo das seções, sendo_que o par deste esforço dá origem a um binário 
com tendência a rotação no sentido horário ou anti-horário; e o momento fletor tende a 
produzir rotação das seções em torno de um eixo passando pelo centro de gravidade da 
seção geométrica, o que acarreta tração em algumas fibras e çompressão em outras 
(respectivamente, tração em um éordo e compressão em outro). 
Na figura 2-24 - a, b e c - estão representados esforços que serão 
convencionados como positivos, por ser este o sinal em geral na literatura que trata 
deste assunto e consequentemente a notação mais empregada nos escritórios de 
engenharia. 
Ressalta-se, aqui; que não há razão em especial de se atribuir sinal ao 
momento fletor. Nas estruturas simples, como é o caso da viga reta isostática (figura 2-
25), é aceitável o uso de sinal, pois em conformidade com a convenção já estabelecida 
pode-se dizer que o momento positivo traciona as fibras do bordo inferior e que o 
momento negativo traciona as fibras do bordo superior. 
à 
Z·.OOm l.OOm l 
'1 . 
l.OOm l 
~= 5tf. m 
Fig. 2.25 
Já nas estruturas mais complexas, como é o caso da estrutura mostrada na 
figura 2-26, fica indefinido o sinal do momento fletor nas barras verticais (veja os 
detalhes desta figura). 
32 
B D F 
A 1~°'T' J~OET' 1 ~~om 
DETALHES 1~ 2 e 3 
M 
. ( íl ). 
dx t ~ 
º" ~ 
M 
·cílJ 
ou 
r M .cíl). ~ dxf: ,--.... ou 
\.__/M 
·cílJ 
L 
Fig. 2-26 
Poder-se-ia resolver esse problema, por exemplo, girando de 90 º as 
barras AB (em tomo de B) e EF (em torno de F), respectivamente, nos sentidos horário e 
anti-horário, pois, assim, o momento é positivo quando tracionar as fibras do bordo 
interno e negativo quando comprimí-lo. Já para a barra CD necessita-se, ainda, definir 
o que é bordo interno e externo. 
33 
Adotar-se-á sinal ao momento jletor e somente nos casos em que houver 
indefinição é que o mesmo será dispensado. Nas vigas retas o momento jletor é positivo 
quando tracionar as fibras inferiores (figura 2-24c) e negativo quando tracionar as 
fibras superiores (figura 2-24!); nos quadros o momento- jletor é- positivo quando 
tracionar as fibras internas ao quadro e negativo quando tracionar as fibras externas ao 
quadro. Essa convenção -é a mais -usada, e decorre do seu emprego nas estruturas de 
concreto annado, principalmente nas vigas retas. 
Dão-se, a seguir, exemplos, tomando-se basiCamente as estruturas 
mostradas no item 2-3 (problemas resolvidos) 
Exemplo- 1 
à l 1 m 
15tf-
Exemplo 2 
f 
'Hf 
s 
1 
l 
• 
IOtf 
! 
lm l 
• 
N:: O 
a~t5t.f 
W\= +5ff.m 
Zm 
Fig. 2-27 
À 
~tf 
jZtt/m 
/ 
1 1 '..' r ! \1 .. '} 
N~O 
a:; -24 
ttl-:::+õ l:f.m 
Fig. 2-28 
4tf 
Diagramas
Exemplo 3 
Exemplo 4 
Exemplo 5 
34 
:t----+s __ __Jr tf t ,. ; ,. 4 
N:::n 
Q,::: + i-t+ 
-M:::.-1.tf.m 
Fig. 2-29 
s 
--fi~ti-
R/::;. o 
Q=-+b lf 
~;::. -btf·r't1 
Fig. 2-30 
Esforços na-seção S do problema resolvido número 5, item 2-3. 
~= -J,btB ~ 
(1:: +1,!%t{. 
M ::- -1 , 11z bf . m ( f"R_fl.cro"' A o 0011.00 s-o .fER.foR) 
Fig. 2-31 
Diagramas
D
Exemplo 6 
1 
~ 
1tf 
ztf 
J 51 
lm 
35 
.! 
52. 
rtf 
lm 
~ 53 
lm lm 
e 
N 
54 
e 
N 
N== O 
~:::. -i {.f 
M= ~.&f·rn Lrtil'r-lio~A 'D eit>R.llô su1urol{) 
~}-:~ tJ 
Q= t!Íf 
M::. ! H.m (~'DP~ o eit>ROO ~~Do) 
N~D 
&=+õif 
M = otf ·rn ( tt-PtUf>IJll o GD~~ Q: ~CJjiE!l-fott) 
f\1..--51{ 
ª"' +l{f 
M=- ·4if 1m (-rtll-c./ô~~ BDR.J,01=SQ1ieP-etJ) 
Fig. 2-32 
Obs.: Não foi atribuído sinal ao momento fletor. 
Diagrama
36 
2.5 CLASSIFICAÇÃO DAS BARRAS 
As barras quanto à forma geométrica de seu eixo classificam-se em: retas, 
curvas e poligonais. Já quanto aos esforços internos, pode-se classificá-las em: vigas, 
pilares, tirantes e escoras. As barras retas e curvas foram definidas no capítulo J, 
enquanto que as barras poligonais são aquelas estruturas definidas como quadros ou 
pórticos. Passa-se a seguir tratar da segunda classificação, tomando-se como exemplo o 
galpão mostrado na figura 2-33. 
As barras são consideradas vigas quando o esforço interno predominante 
é o momento fletor.Os pilares, em geral, são barras submetia.as à compressão, 
permanecendo, assim, durante a vida útil da estrutura e têm, -normalmente, eixo vertical. 
As barras submetidas essencialmente à tração são denominadas de 
tirantes. 
As escoras são, também, barras submetidas a compressão, porém, em · 
geral, têm eixo inclinado. Quando o seu eixo é vertical, normalmente, é uma estrutura 
provisória. 
CONCRETO ARMADO EM FASE 
OE EJllDl:IRECIMENTO 
' 
Fig. 2-33 
37 
2.6 PROBLEMAS PROPOSTOS 
Calcular os esforços solicitantes nas seções indicadas nas estruturas 
enumeradas abaixo. 
1otf 
5tf l 1 - s, l 52 A 1 1 ::A_ 
l· 1.00 .. l 1.oi>at J . so..J. • so.1l l.Oôm} 1 
2tf 
2- l7' \ l l '5 i r/ A l 1.00 ... l . 50 .. ~ 1.00m l 
• .. 
, 
5tf 
" 
l 3tf i--..----,,---r-i!f-T--r--,.---. / 2, 5 tf /m l .l ii j 1 l ! 
S1S2 ~ J . .50m J . 5011
1
[ 1.00 ID ,l l.CX'f11 ~ 
3-
l.OO"'c 
2tf stf/m 
l / 4- ! I 
' 
I 1 l)>tfm A l 1.50 .. l 1. so .. l.50m i 1 ,()Q .. ,, 
' 
, 
)( 4m 2m 
5- .. 
Respostas
R
38 
6-
y 
7-
8-
9-
3tf 
52 
o.som o.som 
1 2tf/m 
1 1 J 
PARÁBOLA / 
DO 2!!GRAU/ 
2 .&0m 
7 
\l 
_..,......-sEMl-CIRCUNFÊNCIA 
---...:.. 
d/ 
o&· 
1 tf/m 
Respostas
R
R
39 
BIBLIOGRAFIA 
i POLILLO, Adolpho. Mecânica das estruturas. 2.ed. Rio de Janeiro: Científica, 1977. 
302p. 
2 ROCHA, Aderson Moreira. Teoria e práti.ca das estruturas: lsostática. Rio de Janeiro: 
Científica, 1973_300p 
Diagramas e Respostas dos 
Exemplos e Exercícios 
Propostos
Arquivos do Ftool:
KWWSV���PHJD�Q]��)�J�1Q�&RE�
T,7[*8]]4[L%JS3/&W�8;$
'LDJUDPDV�GRV�([HPSORV
&DStWXOR��
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'LDJUDPDV�GRV�([HPSORV
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��
��
��
5HVSRVWDV�GRV�([HUFtFLRV�3URSRVWRV
&DStWXOR��
')&���� '0)
��
��
��
5HVSRVWDV�GRV�([HUFtFLRV�3URSRVWRV
&DStWXOR��
')&���� '0)
')1
��
')1
��
5HVSRVWDV�GRV�([HUFtFLRV�3URSRVWRV
&DStWXOR��
')&���� '0)
')1
')1
��
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��
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5HVSRVWDV�GRV�([HUFtFLRV�3URSRVWRV
&DStWXOR��
')&���� '0)
')1
')1
��
��
Respostas dos Exercícios Propostos
Capítulo 2
DFC DMF
9)
DFN
	Capa
	Sumário
	1 Estruturas ��������������������
	1.1 Generalidades �������������������������
	1.2 Cargas ������������������
	1.3 Apoios ������������������
	1.4 Estruturas Planas Correntes ���������������������������������������
	1.5 Definição de Estrutura Isostática ���������������������������������������������
	1.6 Reações �������������������
	1.7 Problemas Propostos �������������������������������
	2 Esforços Solicitantes �������������������������������
	2.1 Definição de Esforços ���������������������������������
	2.2 Esforços Solicitantes ���������������������������������
	2.3 Problemas Resolvidos 
	2.4 Convenções de Sinais ��������������������������������
	2.5 Classificação das Barras ������������������������������������
	2.6 Problemas Propostos �������������������������������
	Bibliografia ��������������������
	Respostas e Diagramas