Questão 6 Os momentos de inércia de D em relação aos eixos x e y, respectivamente, são dados por: Determine o momento de inércia em relação ao ei...

Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo x da região D limitada por x = y^2 e x - y = 2, com δ(x, y) = 3. Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo x, utilizamos a fórmula: \[ I_x = \iint_D y^2 \cdot \delta(x, y) \, dA \] A região D é limitada pelas curvas x = y^2 e x - y = 2. Para encontrar os limites de integração, precisamos determinar os pontos de interseção dessas curvas. Substituindo x = y^2 em x - y = 2, obtemos: \[ y^2 - y = 2 \] \[ y^2 - y - 2 = 0 \] \[ (y - 2)(y + 1) = 0 \] Portanto, y = 2 e y = -1 são os pontos de interseção. Os limites de integração para y serão de -1 a 2. Para x, os limites serão de y^2 a x - y = 2, ou seja, x = y + 2. Agora, podemos calcular o momento de inércia: \[ I_x = \int_{-1}^{2} \int_{y^2}^{y+2} y^2 \cdot 3 \, dx \, dy \] \[ I_x = \int_{-1}^{2} [3y^2(x)]_{y^2}^{y+2} \, dy \] \[ I_x = \int_{-1}^{2} 3y^2(y+2 - y^2) \, dy \] \[ I_x = \int_{-1}^{2} 3y^3 + 6y^2 - 3y^4 \, dy \] \[ I_x = [3(\frac{y^4}{4}) + 2y^3 - \frac{3y^5}{5}]_{-1}^{2} \] \[ I_x = [3(\frac{16}{4}) + 2(8) - \frac{3(32)}{5}] - [3(\frac{1}{4}) + 2(-1) - \frac{3}{5}] \] \[ I_x = 12 + 16 - \frac{96}{5} - \frac{3}{4} - 4 + \frac{3}{5} \] \[ I_x = \frac{60}{5} + \frac{80}{5} - \frac{96}{5} - \frac{15}{20} - \frac{80}{20} + \frac{12}{20} \] \[ I_x = \frac{44}{5} - \frac{3}{4} \] \[ I_x = \frac{176 - 15}{20} \] \[ I_x = \frac{161}{20} \] Portanto, o momento de inércia em relação ao eixo x é 161/20, que corresponde à alternativa D) 189/20.