NK - FT 2015.2 CAPITULO 06

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CAPÍTULO 06 
DINÂMICA DOS FLUIDOS – EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
No capítulo anterior foi visto que a partir da conservação da massa e conservação do fluxo 
de massa, do qual nos diz que para um regime permanente a massa de fluido que entra em 
uma seção deve ser a mesma para outra seção que abandona, tem-se a Equação da 
Continuidade. 
É sabido também que a energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas 
transformada e com isso é possível estabelecer outra equação que fará o balanço das energias, 
chamada de Equação da Energia. 
A Equação da Energia poderá ser associada a Equação da Continuidade e permitirá 
resolver inúmeros problemas práticos como por exemplo: determinação da potência de 
máquinas hidráulicas, determinação de perdas em escoamento, transformação de energia, etc. 
 
 
 
2. TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS ASSOCIADAS A UM FLUIDO 
 
No escoamento de um fluido, o princípio da Energia é sintetizado por uma equação geral: 
 
(𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝒏𝒂 𝒔𝒆çã𝒐 𝟏) + (𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝑨𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂) + (𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝑷𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂) − (𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝑹𝒆𝒕𝒊𝒓𝒂𝒅𝒂)
= (𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝒏𝒂 𝒔𝒆çã𝒐 𝟎𝟐) 
 
Por enquanto, desconsidera-se a Energia Adicionada ou Retirada e a Energia Perdida. 
Equilibra-se o sistema apenas com a energia da primeira seção e a da segunda. Então, pode-se 
concluir que a Energia Mecânica é a soma das energias potencial, de pressão e cinética. 
 
(Energia na seção 1) = (Energia na seção 02) 
 
 
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2.1. ENERGIA POTENCIAL 
 
É o estado de energia devido a cota topográfica em relação a um plano referencial (PHR). 
Essa energia é medida pelo potencial de realização de trabalho do sistema. Sabe-se que 
trabalho é o produto entre a força (peso) e o deslocamento (altura), então: 
𝐸𝑃 = 𝑊 = 𝑃. 𝑧 = 𝑚. 𝑔. 𝑧 
 
Figura 6. 1 – Partícula a uma cota z do plano referencial 
 
 
2.2. ENERGIA DE PRESSÃO 
É a energia que corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no 
escoamento do fluido. 
𝐸𝑃𝑅 = ∫ 𝑝 𝑑𝑉 
 
2.3. ENERGIA CINÉTICA 
 
É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um sistema de massa 
m e velocidade 𝑣, a energia é dada por: 
𝐸𝐶 =
𝑚. 𝑣²
2
 
 
2.4. ENERGIA MECÂNICA TOTAL DO FLUIDO 
 
Excluindo-se a energia térmica e levando em conta apenas as de efeito mecânicos, a 
energias total de um sistema de fluido: 
𝐸 = 𝐸𝑃 + 𝐸𝑃𝑅 + 𝐸𝐶 
𝐸 = 𝑚𝑔𝑧 + ∫ 𝑝𝑑𝑉
𝑉
+
𝑚𝑣²
2
 
 
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3. EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
Hipóteses de Simplificação para uso da Equação de Bernoulli são: 
a. Regime permanente. 
b. Sem a presença de máquina (bomba/turbina). 
c. Sem perdas por atrito. 
d. Propriedades uniformes nas seções 
e. Fluido incompressível. 
f. Sem trocas de calor. 
Com essas hipóteses, é possivel afirmar que não há adição nem retirada de energia do 
fluido. 
Seja o tubo de corrente da figura a seguir, entre as seções 1 e 2, a massa infinetimal 𝑑𝑚1 e 
𝑑𝑚2. 
 
 
 
 
𝑑𝐸1 = 𝑑𝑚1𝑔𝑧1 + 𝑝1𝑑𝑉1 +
𝑑𝑚1𝑣1²
2
 
𝑑𝐸2 = 𝑑𝑚2𝑔𝑧2 + 𝑝2𝑑𝑉2 +
𝑑𝑚2𝑣2²
2
 
 
𝑑𝐸1 = 𝑑𝐸2 
 
 
Sabendo que massa específica 𝜌 = 𝑑𝑚 𝑑𝑉⁄ , substitui o 𝑑𝑉da equação acima, e ainda que 
o fluido é incompressível, 𝜌1 = 𝜌2, e que o regime é permanente, 𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2: 
𝑔𝑧1 +
𝑝1
𝜌
+
𝑣1²
2
= 𝑔𝑧2 +
𝑝2
𝜌
+
𝑣2²
2
 
Lembrando que γ = gρ: 
 
 
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𝒛𝟏 +
𝒑𝟏
𝜸
+
𝒗𝟏²
𝟐𝒈
= 𝒛𝟐 +
𝒑𝟐
𝜸
+
𝒗𝟐²
𝟐𝒈
 
 
Chama-se a equação acima de equação de Bernoulli, que permite relacionar cotas, 
pressões e velocidades entre duas seções do escoamento do fluido, cada termo significa: 
𝑧1 =
𝐸𝑃
𝑃
 : CARGA POTENCIAL ou CARGA DE ELEVAÇÃO – energia potencial por unidade de peso 
ou energia potencial de uma partícula de peso unitário; 
𝑝2
𝛾
=
𝐸𝐶
𝐺
 : CARGA DE PRESSÃO – energia de pressão por unidade de peso ou energia de pressão 
da partícula de peso unitário; 
𝑣2²
2𝑔
=
𝐸𝐶
𝑃
 : CARGA DE VELOCIDADE ou CARGA CINÉTICA – energia cinética por unidade de peso 
de uma partícula de peso unitário. 
A unidade de carga potencial, de pressão, de velocidade (ou cinética) é igual a unidade de 
comprimento, isto é, tem dimensão L. 
 
 
 EXEMPLO 6.1. 
Determinar a velocidade do jato do líquido no 
orifício do tanque de grandes dimensões da 
figura. Considerar fluido ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 EXEMPLO 6.2. 
Determinar a vazão sabendo que esse tanque de grandes dimensões tem como fluido perfeito 
a água. Dados: 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 1.000 𝐾𝑔𝑓/𝑚³, g=10m/s². 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLO 6.3. 
A água escoam em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-
se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades unifomes nas seções. A área 1 é 20 cm², 
enquanto a da garganta, 2, é 10 cm². Um manometro cujo fluido manométrico é mercúrio 
(𝛾𝑚𝑒𝑟𝑐 = 136.000 𝑁/𝑚³) é ligado entre as seções 1 e 2 e indica o desnível mostrado na 
figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi (𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 10.000 𝑁/𝑚³) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. EQUAÇÃO DA ENERGIA E PRESENÇA DE UMA MÁQUINA 
 
Para simplificação da equação de Bernoulli, foi utilizado 6 hipóteses que restringem seu 
uso. A partir de agora, iniciaremos a retirar algumas hipóteses. 
A primeira a ser retirada é a presença de máquina no escoamento, que tem a função ou de 
acrescentar ou de remover energia do sistema. Sendo assim: 
 
 
𝐻1 = 𝐻2 (𝑠𝑒𝑚 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎) 
𝐻1 + 𝐻𝑀 = 𝐻2 (𝑐𝑜𝑚 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎) 
 
Essa máquina pode ser uma bomba, na qual o fluido receberá uma acrescimo de energia, 
isto é, 𝐻𝑀 > 0, tal que 𝐻2 > 𝐻1; pode ser uma turbina da qual retirará energia do sistema, ou 
seja, 𝐻𝑀 < 0, sendo 𝐻2 < 𝐻1. 
Chama-se 𝐻𝑀 de carga ou altura anométrica e representa a energia fornecida (sinal 
positivo) ou retirada (sinal negativo) à unidade de peso do fluido que passa pela máquina. 
Reescreve-se Bernoulli, considerando a máquina no trecho: 
𝒛𝟏 +
𝒑𝟏
𝜸
+
𝒗𝟏²
𝟐𝒈
+ 𝑯𝑴 = 𝒛𝟐 +
𝒑𝟐
𝜸
+
𝒗𝟐²
𝟐𝒈
 
ou 
𝑯𝑴 = (𝒛𝟐−𝒛𝟏) +
𝒑𝟐 − 𝒑𝟏
𝜸
+
𝒗𝟐² − 𝒗𝟏²
𝟐𝒈
 
 
 
 
 
 
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5. POTÊNCIA DA MÁQUINA E NOÇÃO DE RENDIMENTO 
 
Chama-se 𝑁 a potência referente ao fluido e é o produto do peso específico dele pela 
vazão volumétrica e pela energia por unidade de peso (ou carga). 
 
𝑵 = 𝜸𝑸𝑯 
 
 
 EXEMPLO 6.4. 
Calcular a potência do jato de um fluido descarregado no ambiente por um bocal. Dados: 𝑣𝑗 é 
a velocidade do jato, 𝐴𝑗 é a área do jato, 𝛾 é o peso específico do fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso da presença de uma máquina, a potência será em função da carga manométrica: 
𝑵 = 𝜸𝑸𝑯𝑴 
 
Note-se que no caso de transmissão de potência, sempre existem perdas e, portanto, a 
potência recebida ou cedida pelo fluido não coincide com a potência da máquina, que é 
definida como sendo a potência no seu eixo, isso resulta em: 
 
90 
Na bomba: 𝑁 < 𝑁𝐵. 
 
𝜂 =
𝑁
𝑁𝐵
 
𝑵𝑩 =
𝜸𝑸𝑯𝑴
𝜼𝑩
 
 
Na turbina: 𝑁 > 𝑁𝑇 . 
 
 
𝜂 =
𝑁𝑇
𝑁
 
𝑵𝑩 = 𝜸 𝑸 𝑯𝑻 𝜼𝑻 
 
As unidades de potência são dadas por unidade de trabalho por unidade de tempo: 
𝑁 =
𝑊
Δ𝑡
=
𝐹. 𝑑
Δ𝑡
 
Dimensão: 
𝑁 =
𝐹. 𝑑
Δ𝑡
→ 𝑁𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐹𝐿𝑇: [𝑁] =
𝐹𝐿
𝑇
= 𝐹𝐿𝑇−1 
 
Unidades: 
 
91 
SI: 𝑁.
𝑚
𝑠
=
𝐽
𝑠
= 𝑊 (𝑤𝑎𝑡𝑡) 
CGS: 𝑑𝑖𝑛𝑎.
𝑚𝑠
 
Outras unidades comumente usadas são: CV (cavalo-vapor) e HP (horse-power). 
A conversão se dá: 
1 𝐶𝑉 = 735𝑊 
1𝐻𝑃 = 1,014 𝐶𝑉 
 
 EXEMPLO 6.5. 
Determine a potência de uma bomba com rendimento de 75% pela qual a água escoa com 
uma vazão de 12L/s. Dados HB = 20m, 1cv = 736,5W, ρh20 = 1000kg/m³ e g = 10m/s². 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLO 6.6. 
O reservatório mostrado na figura possui nível constante e fornece água com uma vazão de 
10L/s para o tanque B. Verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e calcule sua 
potência sabendo-se que o rendimento é 75%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
92 
 EXEMPLO 6.7. 
Determine a potência de uma turbina pela qual escoa água com uma vazão de 1200 L/s. 
Dados: HT = 30m, η = 90%, ρh20 = 1000kg/m³ e g = 10m/s². 
 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLO 6.8. 
O reservatório de grandes dimensões da figura fornece água para o tanqye indicado com uma 
vazão de 10L/s. Verificar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua 
potência, se o rendimento é 75%. Supor fluido ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 EXEMPLO 6.9. 
A figura a seguir mostra parte de uma instalação de bombeamento de água. Considerando 
que a vazão é igual a 8 litros/s, que a tubulação possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o 
seu comprimento e que os pontos (2) e (3) estão na mesma cota, determine a diferença de 
pressão entre a saída e a entrada da bomba. 
Dados: NB = 4cv, 1cv = 736,5W, η = 70%, ρh20 = 1000kg/m³ e g =10m/s². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA FLUIDO REAL 
 
Neste item serão considerados os atritos internos no escoamento do fluido. São mantidas 
as hipóteses de regime permanente, fluido incompressível, propriedades uniformes na seção e 
sem trocas de calor induzidas. Esta última significa que não existe uma troca de calor 
provocada propositalmente, pois, deve-se imaginar, que haverá uma perda de calor devido aos 
atritos internos. 
 
 
𝑯𝟏 = 𝑯𝟐 + 𝑯𝑷𝟏,𝟐 
OU 
𝒛𝟏 +
𝒑𝟏
𝜸
+
𝒗𝟏²
𝟐𝒈
= 𝒛𝟐 +
𝒑𝟐
𝜸
+
𝒗𝟐²
𝟐𝒈
+ 𝑯𝑷𝟏,𝟐 
 
𝐻𝑃1,2 é a energia perdida entre (1) e (2) por unidade de peso do fluido. Como esse termo é 
a subtração da carga de energia totais de (1) pela (2), chama-se aquele termo de perda de 
carga. 
Então, se o trecho também possuir máquina, tem-se: 
𝑯𝟏 + 𝑯𝑴 = 𝑯𝟐 + 𝑯𝑷𝟏,𝟐 
OU 
𝒛𝟏 +
𝒑𝟏
𝜸
+
𝒗𝟏²
𝟐𝒈
+ 𝑯𝑴 = 𝒛𝟐 +
𝒑𝟐
𝜸
+
𝒗𝟐²
𝟐𝒈
+ 𝑯𝑷𝟏,𝟐 
 
Note que o escoamento de um fluido real entre duas seções que não tenha máquina, a 
energia é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga total montante é 
sempre maior que a de jusante. 
A potência disspada pelos atritos é calculada da mesma maneira quando o sistema tinha 
bomba: 
 
 
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𝑵𝒅𝒊𝒔𝒔𝒊𝒑𝒂𝒅𝒂 = 𝜸 𝑸 𝑯𝑷𝟏,𝟐 
 
 
 EXEMPLO 6.10. 
Na instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar 
dua potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão indicada por um 
manômetro instalado na seção (2) é 0,16 Mpa, a vazão é 10L/s, a área da seção dos tubos é 
10 e a perda de carga entre as seções (1) e (4) é 2m. Não é dado o sentido do escoamento. 
𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 10000𝑁/𝑚³ ; 𝑔 = 10𝑚/𝑠² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 EXEMPLO 6.11. 
Na isntalação da figura, a máquina é uma bomba e o fluido é água. A bomba tem uma 
potência de 5kW e rendimento de 80%. A água é descarregada à atmosfera com uma 
velocidade de 5m/s pelo tubo cuja a área da seção é 10cm². Determinar a perda de carga do 
fluido entre (1) e (2) e a potência dissipada ao longo da tubulação. 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 10000𝑁/𝑚³ ; 𝑔 =
10𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA FLUIDO NÃO-UNIFORME NA SEÇÃO 
 
Até agora consideramos a hipótese de escoamento uniforme, mas isso não acontece com 
um fluido real, devido ao princípio de aderência, o diagrama de velocidades não será unifome 
o que implicará num ateração no termo de carga cinética. 
 
 
A partir da figura acima foi calculado a energia cinética que, no intervalo de tempo 𝑑𝑡, 
atravessa um 𝑑𝐴 da seção de área A, e chegou-se a seguinte equação de Bernoulli: 
𝒛𝟏 +
𝒑𝟏
𝜸
+ 𝜶𝟏
𝒗𝟏²
𝟐𝒈
+ 𝑯𝑴 = 𝒛𝟐 +
𝒑𝟐
𝜸
+ 𝜶𝟐
𝒗𝟐²
𝟐𝒈
+ 𝑯𝑷𝟏,𝟐 
 
Sendo 𝑣1e 𝑣2 as velocidades médias nas seções (1) e (2) e o coeficiente 𝛼 função somente 
do diagrama de velocidades e será tanto maior que a unidade quanto mais este último se 
afastar do diagrama uniforme. 
O coeficiente 𝛼 dependerá do regime de escoamento do tubo, se Laminar (𝑅𝑒 ≤ 2000) 
𝛼 = 2, se Turbulento (𝑅𝑒 ≥ 2400) 𝛼 = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
Parte 01 
6.1. Sabe-se que para se encher o tanque de 20m³ mostrado são necessários 1h e 10min, considerando 
que o diâmetro do tubo é igual a 10cm, calcule a velocidade de saída do escoamento pelo tubo. 
 
6.2. Um líquido de densidade relativa de 0,9 escoa através de um tubo horizontal que tem uma área de 
seção transversal 1,90×10-2 m2 na região A (início) e uma área de seção transversal 9,50×10-2 m2 
na região B (final). A diferença de pressão entre as duas regiões é 7,20×103 Pa. Quais são: 
a. A vazão? 
b. A vazão de massa? 
 
6.3. Água escoa em regime permanente no duto de seção circular mostrado na figura abaixo. Sabendo 
que o fluxo de massa é de 50 Kg/s, calcule a vazão em volume do escoamento e as velocidades 
médias nas seções 1 e 2. 
 
 
6.4. O fluido armazenado em um grande tanque aberto com paredes verticais é a pagua e possui uma 
profundidade H conforme figura abaixo. Um orifício é feito na parede vertical a uma profundidade h 
abaixo da superfície da água. Qual é a distância R entre a base do tanque e o ponto onde a corrente 
atinge o solo? 
 
[2√ℎ(𝐻 − ℎ)] 
 
 
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6.5. Supondo fluido ideal, mostrar que os jatos de dois orifícios na parede de um tanque intereptam-se 
num mesmo ponto sobre um plano, que passa pela base do tanque, se o nível do líquido acima do 
orifício superior é igual à altura do orifício inferior acima da base. 
 
 
6.6. A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 25 kPa (abs). Desprezando as 
perdas, determinar: 
a. A velocidade do fluido 
b. A máxima altura do ponto S em relação ao ponto (A). 
Considerar pressão atmosférica de 100 kPa e peso específico do fluido é de 104 N/m³ 
 
 
[4,9 m/s; 6,3m] 
 
6.7. A água flui continuamente de um tanque aberto, como 
indicado na figura. A altura do ponto 1 é igual a 10,0 m e os 
pontos 2 e 3 estão a uma altura igual a 2,00 m. A área da 
seção reta no ponto 2 é igual a 0,0480 m² ; no ponto 3 ela é 
igual a 0,0160 m². A área do tanque é muito maior do que a 
área da seção reta do tubo. Supondo que a equação de 
Bernoulli seja válida, calcule: 
a. A vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo. 
b. A presão manométrica no ponto 02. 
 
[0,200 m³/s; 6,97× 104 𝑃𝑎] 
 
 
84 
6.8. Um tubo de Pitot é preso num barco que se desloca a 45 km/h. Qual será a altura h alcançada pela 
água no ramo vertical? 
 
[7,8m/s] 
 
6.9. Quais são as vazões de óleo em massa e em peso no tubo convergente da figura, para elevar uma 
coluna de 20 cm de óleo no ponto (0)? Dados: desprezarperdas e considerar gravidade específica 
do óleo de 8,00 e aceleração gravitacional de 10m/s². 
 
[2,1 kg/s; 21 N/s] 
 
6.10. Calcular a vazão volumétrica no SI e as pressões manométrica e absoluta no ponto B (em Pascal) 
para o escoamento a partir do tanque fechado através da tubulação de 4 cm de diâmetro, 
sabendo que o fluido em escoamento é a água. Descosiderar as perdas.