ALG LINEAR 02

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UTFPR Álgebra Linear Danielle Durski Figueiredo		
ÁLGEBRA LINEAR
 MATRIZES E OPERAÇÕES COM MATRIZES
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
É uma matriz quadrada onde 
 para i > j.
Exemplos 
, 
, 
 
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
É uma matriz quadrada onde 
 para i < j.
Exemplos 
, 
 e 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes 
 e 
, então:
, onde 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
Se 
 e 
, então 
, onde: 
, isto é:
Se 
 e 
, então 
, onde:
Logo 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
(Desde que sejam possíveis as operações)
i)	
 sendo I a matriz identidade
ii)	
 e 
iii)	
iv)	
 e 
Observe que em geral 
, podendo inclusive um dos membros estar definido e o outro não.
Definições
Seja A uma matriz quadrada, então:
A é dita SIMÉTRICA, se e somente se, 
.
Exemplo 
�� EMBED Equation.3 
b) 	A é dita ANTI-SIMÉTRICA, se e somente se, 
.
Exemplo 
�� EMBED Equation.3 
MATRIZES ELEMENTARES
Definição 
Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:
i)	a troca da ordem de duas linhas da matriz;
ii)	a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;
iii)	a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.
Definição
Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.
Exemplos 
Considere a matriz identidade 
. Então as matrizes
, 
, 
, são matrizes 
elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se 
 representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira: 
�� EMBED Equation.3 	
�� EMBED Equation.3 	
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
TEOREMA
Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de 
. Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem 
, então o resultado será igual a 
.
Exemplo 
Considere as matrizes elementares 
, 
e
, obtidas conforme segue:
�� EMBED Equation.3 	
�� EMBED Equation.3 		
�� EMBED Equation.3 	
Considere agora a matriz 
. Verifique que:
�� EMBED Equation.3 	
=
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 	
=
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 
Determinantes e Matriz Inversa
Determinantes
Definições 
Se 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Se 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Propriedades dos determinantes 
i)	
 
ii)	Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por 
, o determinante fica multiplicado por k.
iii)	Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal.
iv)	O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero.
v)	O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.
 
 
vi) Se na matriz A cada elemento de uma linha é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes, a saber:
 
 
As propriedades acima são verdadeiras se forem igualmente aplicadas às colunas das matrizes.
vii)	
COMO CALCULAR UM DETERMINANTE
LAPLACE
TRIANGULAÇÃO
Exemplo:
Calcular o det A = 
, pelo processo de triangulação.
det A = 
�� EMBED Equation.3 
det A = 
det A = 
det A = 
det A = 
det A = 
det A = 
MATRIZ INVERSA
Seja A é uma matriz quadrada n ( n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz B, também n ( n, que satisfaz a seguinte propriedade: 
, em que 
 é a matriz identidade n ( n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível.
Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 
, logo: 
Exemplo 
Ache a inversa da matriz 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 e 
 e 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 e 
Logo 
Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: 
Teorema 
Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.
Observações
i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então 
 é também invertível e 
.
ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se 
.
iii) Se A é uma matriz quadrada e 
, então 
.
Teorema 
Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em 
.
Exemplo
Ache a inversa da matriz 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
. Assim, 
.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (AULA 02)
Para cada 
, considere a matriz 
a) Mostre que 
	
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.
Mostre que a soma de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica.
	
Mostre que se A é uma matriz quadrada, então 
 é uma matriz simétrica.
Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz simétrica.
	
Se 
, então podemos afirmar que
 ou 
? 
Suponha que 
 e 
, então podemos afirmar que B=C ? 
Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que 
, podemos afirmar que B=C ? 
Podemos dizer que a seguinte igualdade 
é verdadeira? 
Podemos dizer que a seguinte igualdade 
é verdadeira? 
Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial.
Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
	A
	B
	C
	D
	E
	F
	G
	H
	I
	J
	K
	L
	M
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	N
	O
	P
	Q
	R
	S
	T
	U
	V
	W
	X
	Y
	Z
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	21
	22
	23
	24
	25
	26
Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 3(3 assim: 
 , que usando a correspondência numérica fica: M = 
 
Agora seja C uma matriz qualquer 3(3 inversível, por exemplo: C = 
Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos 
Transmitimos esta nova matriz 
. Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo 
 e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada de matriz chave para o código.
Questão 
Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matriz 
, traduza a mensagem.
REPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (AULA 02)
1. 
	=
	 
2. Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo 
 e 
.
.
3. Sejam duas matrizes anti-simétricas A e B. Logo 
 e 
.
4. 
5. Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo 
 e 
.
.
6. Não! Encontre alguns contra-exemplos.
7. Não! 
(
(
. Sabemos que 
, e que podemos ter 
 sem que 
, Logo B não é necessariamente igual a C.
8. Sim ! 
(
(
(
(B=C
9. Não! 
10. Não! 
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