Trabalho Final Métodos Computacionais na Engenharia Química

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
Escola Politécnica
DISCIPLINA: (ENGD01) Métodos Computacionais para Engenharia Química
PROJETO: Modelagem e simulação de reator CSTR
 Alunos: Carlos Magno S. Ribeiro de Brito;
 Daniel Silva Brandão;
 Péricles Lima da Paixão Neto
 Professor: Otacílio 
Salvador
2012
Carlos Magno Santos Ribeiro de Brito
Daniel Silva Brandão
Péricles Lima da Paixão Neto
PROJETO: Modelagem e simulação de reator CSTR
Trabalho escrito e apresentado junto à disciplina
 de Métodos Computacionais para Engenharia Química da
 Escola Politécnica da Universidade Federal da Bahia.
 Nível: Graduação
 Salvador
2012
Domínio do problema
Os reatores usuais são os bateladas e os contínuos. A tendência natural é utilizar reatores contínuos, já que apresentam como vantagem principal a produção em larga escala, sendo economicamente bastante satisfatório.
Há dois casos limites a considerar, que caracterizam os reatores ideais contínuos:
Todos os elementos de fluído ou molécula tem o mesmo tempo no reator, caracterizando o reator tubular ideal (PFR), sem mistura.
A distribuição dos elementos de fluidos ou das moléculas dos reagentes é de forma exponencial, caracterizando o reator tanque ideal (CSTR), de mistura perfeita.
Reator Tanque Ideal (CSTR)
O reator tanque ideal (CSTR) é caracterizado por apresentar uma mistura perfeita, favorecida pela agitação de fluidos não muito viscosos, fazendo com que a concentração de saída do reator seja igual à concentração do tanque. O tempo de residência num CSTR obedece a uma forma de distribuição exponencial, e se o tempo de contato entre as moléculas de reagente, ou o tempo de mistura, que depende do tempo de circulação do elemento de fluido no tanque, for inferior ao tempo de residência médio, poderemos considerar o reator de mistura perfeita, ou seja, CSTR ideal.
O reator tanque CSTR é ideal quando há mistura perfeita, ou seja, a concentração de saída é igual à concentração uniforme do reator. 
Frequentemente utiliza-se de vários reatores em serie, obtendo-se uma concentração mais uniforme com uma taxa de reação maior. Os reagentes e produtos de saída entram no próximo reator, repetindo-se o fenômeno.
Funcionamento do Reator
No primeiro reator, será colocada uma solução de reagente A com concentração CAO e uma solução de reagente B com concentração CBO e um solvente inerte, para que ocorra uma reação. Essa reação entrará em equilíbrio, as concentrações de A e B vão ser constantes, o que indica que a reação “parou”. Então teremos uma nova concentração de reagente A e reagente B, CA1 e CB1, respectivamente. Essa nova concentração passará para um segundo reator junto com o produto C, repetindo-se o mesmo processo que ocorreu no primeiro reator, passando-se para o terceiro e ocorrendo o mesmo processo.
Enunciado do problema a ser implementado
A reação de fase elementar e irreversível do liquido 
 pode ser realizada em serie de 3 reatores perfeitamente agitados (CSTR) . As espécies A e B são alimentadas em fluxos separados para o primeiro CSTR, com o fluxo volumétrico de cada fluido de 6 dm³/min. O volume de cada CSTR é de 200 dm³, e cada reator está inicialmente preenchido com um solvente inerte. A concentração inicial de cada reagente são CAO = CBO = 8.0 g-mol/dm³, e a taxa do coeficiente de reação é k = 0.5 dm³;g-mol.min.
Calcule as concentrações dos estados estacionários de todos os componentes que reagiram ao sair do terceiro reator?
 
Modelagem do sistema
Após análise do problema, chegou – se ao seguinte Sistema de Equações para o primeiro reator. 
OBS: O Algoritmo implantado calcula a concentração final de saída do reator ‘Z’ em um sistema ‘X’’Y’’Z’. A modelagem apresentada aqui, para avaliação, é apenas para um reator CSTR (reator ‘X’), mas, segue as mesmas tendências e padrões do modelo dos outros dois reatores ‘Y’ e ‘Z’, em que a única mudança é que a concentração de reagentes de entrada é igual a concentração de produtos da saída do reator anterior. Para fins estéticos e de melhor representação (menos repetitiva e cansativa), representar-se-á modelagem para o sistema de equações do reator ‘X’.
Dados
CAO = CBO = 8 g.mol//dm3 concentração inicial dos reagentes
V1 = V2 = V3 = 12 dm3/min Fluxo que sai de um reator para o outro
VOA = VOB = 6 dm3/min fluxo inicial de A e B
CA1 concentração do reagente A no primeiro reator
CB1 concentração do reagente A no primeiro reator
k = 0.5 Coeficiente da velocidade da reação
Ao substituir o valor das constantes é importante observar que a reação está em equilíbrio químico, logo CA1 e CB1 são constantes e a derivada de constante é igual a zero, logo, as equações devidamente substituídas serão:
Método Empregado e Modelagem do sistema
Como se trata de um sistema de equações não lineares com duas variáveis vamos aplicar o Método Numérico de Newton para solução de sistemas de equações não lineares.
O método de Newton consiste em:
CA1 = x e CB1 = y
Com as funções do Sistema e com os pontos iniciais estabelecidos: 
x1=y1= 3
OBS: No caso específico dos três reatores CSTR, com sistemas de equações iguais e com valores iguais em suas constantes, os valores de x1 e y1 sendo diferentes acarretará em uma enorme divergência dos resultados e o sistema convergirá de forma errônea, logo, a concentração final e as parciais de cada reator estarão erradas.
Aplica-se o método de Taylor para linearizar as duas equações:
como e são iguais a zero, então:
Portanto, aplicamos a Série de Taylor para sairmos de um sistema não linear para um sistema linear, mais simples de resolver:
Para resolver este sistema aplicamos a regra de CRAMER:
 
 
Como vamos achar e e já temos x1=1.9 e y1=2.1, logo os pontos x2 e y2:
Portanto, com esses novos valores substituídos na equação.(2) achará o local onde o sistema convergirá.
Solução do sistema vide método
passo: Obter as funções do sistema
passo: 
Determinar as derivadas parciais
 Linearizar a Equação por Taylor
Passo: Determinar o Número Jacobiano 
 
 passo: Estabelecer estimativas iniciais
Ponto inicial (x1,y1): pontos testados na função;
Condição de parada: erro ou número iterações.
 
passo: Calcular o novo ponto
Aplicando a Regra de Cramer:
Tendo e , logo, temos os novos pontos que irão convergir à solução do sistema. O ultimo passo é verificar se o erro é aceitável com a equação:
Simulação do sistema em Matlab
% --------------------------------------------------------------------
% UFBA - Universidade Federal da Bahia
% EP - Escola Politécnica - DEQ : Depto Engenharia Química
% Disciplina ENG-D01 - Métodos Computacionais na Engenharia
% Prof. : Otacílio José Pereira
% Data :
% Alunos: Carlos Magno de Brito, Daniel Brandão, Péricles Neto.
% --------------------------------------------------------------------
 
% Implementação do Algoritmo
 
% Calcular as concentrações dos estados estacionários de todos os 
% componentes que reagem e que saem do terceiro reator. 
 
 
VoA = 6; 
VoB = 6; % volumes iniciais constantes para todos os três reatores
 
Cai= 8; 
Cbi= 8; % No caso específico, utilizamos concentração de A e B iguais
 
 
% Sistema do primeiro reator ('X')
 
% 1º Passo - Estabelecer as funções do sistema de equações não lineares 
 
f1=inline('VoA*Cai-12*x-100*x*y'); % função 1
f2=inline('VoB*Cbi-12*y-100*x*y'); % função 2
 
% 2º Passo - Estabelecer as funções das derivadas parciais
 
df1_x=inline('-12-100*y'); % derivada em x de f1
df1_y=inline('-100*x'); % derivada em y de f1
df2_x=inline('-100*y'); % derivada em x de f2
df2_y=inline('-12-100*x'); % derivada em y de f2
 
% 3º passo - Estabelecer a função do número jacobiano
 
jacob=inline('144+1200*x+1200*y');% Número Jacobiano
 
% Escolha do ponto inicial 
 
xi=3;
yi=3;
 
% Estabelecer erro aceitável
 
Err=0.001; % Erro aceitável
limiter=50; % Número de intereação 
 
for i=1:limiter
 jac=jacob(xi,yi); % Calcular o numero de jacob
 
 % Cálculo de deltaX 
 
 deltax=(-f1(VoA,Cai,xi,yi)*df2_y(xi) + f2(VoB,Cbi,yi,xi)*df1_y(xi))/jac;
 
 % Cálculo de deltaY
 
 deltay=(-f2(VoB,Cbi,yi,xi)*df1_x(yi) + f1(VoA,Cai,xi,yi)*df2_x(yi))/jac;
 
 % Cálculo dos novos pontos
 
 xip1=xi+deltax;
 yip1=yi+deltay;
 
 % Cálculo ds erros
 
 Errx=abs((xip1-xi)/xi);
 Erry=abs((yip1-yi)/yi);
 
 % Visualização dos resultados da interação
 
fprintf('i = %2.0f x = %-7.4f y = %-7.4f Erro em x = %-7.4f Erro em y = %-7.4f \n', i, xip1, yip1, Errx, Erry)
 
 % Verificar se deve parar (erro aceitável) ou continuar
 
 if (Errx < Err) && (Erry < Err) 
 break
 else
 xi = xip1; yi = yip1;
 end;
end;
 
Ca1 = xip1
Cb1 = yip1
 
 
%Sistema do segundo reator ('Y')
% 1º Passo - Estabelecer as funções do sistema de equações não lineares
 
f3=inline('Ca1*VoA-12*x-100*x*y'); % função 1
f4=inline('Cb1*VoB-12*y-100*x*y'); % função 2
 
 
 
for i=1:limiter
 jac=jacob(xi,yi); % Calcular o numero de jacob
 
 % Cálculo de deltaX 
 
 deltax=(-f3(Ca1,VoA,xi,yi)*df2_y(xi) + f4(Cb1,VoB,yi,xi)*df1_y(xi))/jac;
 
 % Cálculo de deltaY
 
 deltay=(-f4(Cb1,VoB,yi,xi)*df1_x(yi) + f3(Ca1,VoA,xi,yi)*df2_x(yi))/jac;
 
 % Cálculo dos novos pontos
 
 xip1=xi+deltax;
 yip1=yi+deltay;
 
 % Cálculo ds erros
 
 Errx= abs((xip1-xi)/xi);
 Erry=abs((yip1-yi)/yi);
 
 % Visualização dos resultados da interação
 
fprintf('i = %2.0f x = %-7.4f y = %-7.4f Erro em x = %-7.4f Erro em y = %-7.4f \n', i, xip1, yip1, Errx, Erry)
 
 % Verificar se deve parar (erro aceitável) ou continuar
 
 if (Errx < Err) && (Erry < Err) 
 break
 else
 xi = xip1; yi = yip1;
 end;
end;
 
Ca2 = xip1
Cb2 = yip1
 
% Sistema do terceiro reator ('Z')
% 1º Passo - Estabelecer as funções do sistema de equações não lineares
 
f5=inline('Ca2*VoA-12*x-100*x*y'); % função 1
f6=inline('Cb2*VoB-12*y-100*x*y'); % função 2
 
 
 
for i=1:limiter
 jac=jacob(xi,yi); % Calcular o numero de jacob
 
 % Cálculo de deltaX 
 
 deltax=(-f5(Ca2,VoA,xi,yi)*df2_y(xi) + f6(Cb2,VoB,yi,xi)*df1_y(xi))/jac;
 
 % Cálculo de deltaY
 
 deltay=(-f6(Cb2,VoB,yi,xi)*df1_x(yi) + f5(Ca2,VoA,xi,yi)*df2_x(yi))/jac;
 
 % Cálculo dos novos pontos
 
 xip1=xi+deltax;
 yip1=yi+deltay;
 
 % Cálculo ds erros
 
 Errx=abs((xip1-xi)/xi);
 Erry=abs((yip1-yi)/yi);
 
 % Visualização dos resultados da interação
 
fprintf('i = %2.0f x = %-7.4f y = %-7.4f Erro em x = %-7.4f Erro em y = %-7.4f \n', i, xip1, yip1, Errx, Erry)
 
 % Verificar se deve parar (erro aceitável) ou continuar
 
 if (Errx < Err) && (Erry < Err) 
 break
 else
 xi = xip1; yi = yip1;
 end;
end;
 
% O valor final das concentrações são os obtidos abaixo
 
Ca3 = xip1
Cb3 = yip1
 
Conclusão
Faz-se de extrema importância a aplicação de projetos na disciplina para que o aluno, iniciante no curso, comesse a se inteirar com o conteúdo e possibilidades que o curso de engenharia química oferece.
Ao realizarmos o projeto de modelagem e simulação do sistema de reatores, aplicamos conhecimentos obtidos no decorrer do ensino da disciplina e aprendemos aplicar o mesmo na engenharia química. Conhecimentos de matemática básica à avançada foram utilizados e um método de aplicação em sistemas não lineares para que fosse possível a realização da modelagem e a simulação da mesma no ambiente do Matlab, o método numérico de newton. 
Bibliografia
BUCHER, E., Engenharia das Reações Químicas, vols 1 e 2, São Paulo, 1972.
FOGLER, H.S. Elements of Chemical Reaction Engineering, 2nd Ed., Prentice-Hall, New Jersey, 1992.
<http://www.mat.ufmg.br/~regi/eqdif/iedo.pdf > Acesso dia 24 de maio às 14:30
SCHMAL, M., Cinética Homogênea Aplicada à Calculo de Reatores; Guanabara Dois, Rio de Janeiro (1982)