Cálculo III - Aulas REsumidas

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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
FUNÇÕES IMPLÍCITAS E EXPLÍCITAS
 Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de forma explícita : y = f(x), isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta ( explícita ) em termos da outra.
 y = 4x - 5
 Por exemplo : s = -25t² - 18t
 u = 9w – 35w²
 Nelas dizemos que y, s, e u são funções de x, t e w, EXPLICITAMENTE. Muitas funções, porém, apresentam-se na forma implícta, veja o exemplo abaixo:
 ● Ache a derivada 
 da função xy = 1. 
 
 : Derivada de y em
 relação à x.
RESOLUÇÃO : Nesta equação, y esta definida IMPLICITAMENTE como uma função de x. Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferencia-la.
● xy = 1 ( Forma implícita )
● y = 
 ( Escrever a relação y em função de x )
● y = x –1 ( Escrever sob nova forma )
● 
 = - x – 2 ( Derivar em relação a x )
● 
 = - 
 ( Simplificar )
 Este processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, oque não ocorre, por exemplo, com y4 + 3xy + 2lny = 0.
 Para tanto, podemos utilizar um método chamado DERIVAÇÃO ( OU DIFERENCIAÇÃO ) IMPLÍCITA, que nos permite derivar uma função sem a necessidade de explicitá-la.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
 Esta derivação é feita em relação a x. Resolvendo normalmente as derivadas que envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da Cadeia, uma vez que y é uma função de x.
Exemplos :
1 ) 2x + y³
 Resolução :
 Sendo y uma função de x, devemos aplicara regra da cadeia para diferenciar em relação a x, daí :
 
2 ) x + 3y
 Resolução : 
3 ) xy²
 Resolução : 
4 ) 4x² + 9y² = 36
 Resolução : 
5 ) x4 + y4 + x² + y² + x + y = 1
6 ) x²y5 = y + 3
7 ) x² + y² = 1
8 ) x² + 5y³ - x = 5
9 ) x³ - y³ - 4xy = 0
10 ) x²y + 3xy³ - 3 = x
11 ) x² + 4y² = 4
12 ) y³ + y² - 5y – x² = -4
13 ) x - 
 = 2
14 ) x³y³ - y = x
15 ) 
16 ) tgy = xy
17 ) ey = x + y
18 ) acos²( x + y ) = b
19 ) xy – lny = 2
 EXTRA : 
 
 
============================================================================================================================
	
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Função na forma paramétrica
	 x = x(t)
 Sejam ( I ) duas funções da mesma variável t, com t 
 [ a, b ]; a 
	 y = y(t)
cada valor de t, temos x e y definidos.
 Caso as funções x = x(t) e y = y(t) sejam contínuas, quando t varia de a, b; o ponto P ( x(t), y(t) ) decreve uma curva no plano, onde t é o parâmetro.
Exemplo :
	P
 ▒▒▒▒▒▒▒▒ 
	
	
 Suponhamos a função x = x(t) inversível, temos t = t(x) a inversa de x = x(t) e podemos escrever y = y[t(x)] e y define-se como função de x na FORMA PARAMÉTRICA.
 Eliminamos t de ( I ) e obtemos y =y(x) na FORMA ANALÍTICA usual.
Exemplos :
 x = 2t + 1 	 t = 1 . ( x – 1 )
a ) 2
 y = 4t + 3
Aplicando t em y, temos : y = 4. 1 . ( x – 1 ) + 3 
 y = 2x – 2 + 3 
 y = 2x + 1 
 2 
	
 x = a.cost Equação da Circunferência
b ) ; t 
 [ 0; 2
] com centro ( 0, 0 )	
 y = a.sent 	 e raio a
	
Elevando-se ambas as as equações ao quadrado e somando, temos :
x² + y² = a² cos²t + a²sen²t 
 x² + y² = a²( cos²t + sen²t ) 
 x² + y² = a² . 1 
 x² + y² = a²
	
► Nota-se que a equação acima NÃO É UMA FUNÇÃO y(x) na forma paramétrica ( x = a.cost não é inversível em [ 0, 2
] ). Daí vamos obter uma ou mais funções do tipo y = y(x) na forma paramétrica ao restringirmos o domínio.
Logo, temos :
	
 x = a.cost 	 x = a.cost
 ; t 
 [ 0; 
] OU ; t 
 [
; 2
]
 y = a.sent y = a.sent	 
 
	
 
Derivada de uma função na forma paramétrica
 Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas :
 
 x = x(t) ♦ A fórmula que permite calcular a derivada
 ; t 
 [ a; b ] temos dy = y’(t) dy sem conhecer explicitamente y como 
 y = y(t)	 dx x’(t) dx
 função de x.
Exemplos :
1 ) Calcule 
 da função y(x) definida na, forma paramétrica, pelas equações :
 a ) 
 b ) 
Resolução : 
 a ) 
 = 
�� EMBED Equation.3 = 
 2
 b ) 
 = 
�� EMBED Equation.3 = 
 
 = 6t – 2 ♣
OBS : Note,no item b, que a resposta está em função de t, caso quisermos a derivada 
 em função de x, devemos determinar t = t(x) e substituir em ♣, daí temos :
x = 3t – 1 
 x + 1 = 3t 
t = 
 ; substituindo t em ♣ , obtemos a seguinte expressão 6. 
 - 2 = 2 ( x + 1 ) – 2 = 2x + 2 – 2 , portanto 
 = 2x .
2 ) Idem para 
 ; 
Resolução :
 
 = 
�� EMBED Equation.3 = 
 
 - tg(t)
OBS : Temos que tomar muita atenção quanto aos intervalos de validade das respostas obtidas. Note que x’(t) deve ser diferente de zero, pois está operando como denominador da expressão acima, portanto concluímos que para fazermos as simplificações indicadas, temos que considerar t 
0 e t 
�� EMBED Equation.3 pois sen 0 = 0 e cos
= 0, note que apesar de t pertencer ao intervalo 
, efetivamente estão excluídos os valores de t já mencionados.
EXERCÍCIOS :
 ◙ Calcular a derivada y’ = 
 das seguintes funções definidas na forma paramétrica.
 ◙ Para quais valores de t a derivada y’ está definida ?
 x = t² x = cos³t
1 ) ; t 
 ] 0; +
[ 4 ) ; t 
 ] - 
; 0 [ 	 y = t³ y = sen³t 
 x = 3cost x = cos2t
2 ) ; t 
 [ 
; 2
 ] 5 ) ; t 
 [ 0; 
 ]
 y = 4sent 	 y = sen2t
	
 x = 2t – 1 x = 8cos³t 
3 ) ; - 
 < t < + 
 6 ) ; t 
 [0; 
]
	 y = t³ + 5	 y = 8sen³t
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Introdução :
 Consideremos os seguintes enunciados :
1 ) O volumeV de um cilindro é dado por V = 
r2h , onde r : raio e h : altura.
 
2 ) A equação de estado de um gás é dada por 
 , onde temos :
 P : Pressão
 V : Volume
 n : Massa gasosa em moles
 r : Constante molar do gás
 T : Temperatura
 Numa breve análise destes enunciados, verificamos que as funções envolvidas requerem o uso de duas ou mais variáveis independentes.
 
 1 ) Temos V : V(r, h) = 
r2h
 Em 
 2 ) Temos P : P(n, T, V) = 
 ( Lembrar que r é constante )
Graficamente :
 R 	 R
 
 R R 
◙ Par ordenado ( r, h ) no plano
 R2 = R x R.	R
 
 ◙ Terna ordenada ( n, T, V ) em
 R3 = R x R x R
 OBS. : O estudo das funções de três, ou mais, variáveis difere pouco do estudo de funções de duas variáveis, logo, vamos trabalhar mais com estas, salientando as diferenças.
Função de várias variáveis
Definição : Seja A um conjunto do espaço n-dimensional ( A 
Rn ), isto é, os elementos de A são n-uplas ordenadas ( x1, x2, x3, ..., xn ) de números reais, se a cada ponto P do conjunto A associamos um único elemento z 
 R, temos a função a qual está definida como f : A 
Rn 
 R. 
 Essa função é chamada de Função de n variáveis reais e denotamos : z = f(P) ou 
z = f ( x1, x2, x3, ..., xn ).
 O conjunto A é denominado Domínio da função z = f(P). As notações são, em geral, do tipo :
● f ( x, y ) = x² + xy
	Duas variáveis
● f ( x, y ) = ex+y
● f ( x, y, z ) = x + 2y – 3z ( Três variáveis )
Para efetuar cálculos temos, por exemplo :
● f ( 2, 3 ) para f ( x, y ) = 2x² - y² 
2.( 2 )² - ( 3 )² = -1
● f ( 0,-1, 4 ) para f ( x, y, z ) = ex.( y + z ) 
e0.( -1 + 4 ) = 3
GRÁFICOS
 Uma função de duas variáveis pode ser representada graficamente como uma superfície no espaço, fazendo-se z = f ( x, y ). Ao fazer o gráfico de uma função de x e y, tenha em mente que, embora o gráfico seja tridimensional, o domínio da função é bidimensional – consiste nos pontos do plano xy para os quias a função é definida.
Exemplos :
1 ) Determine o domínio e a imagem da função f ( x,y ) = 
.
Resolução:
 
 
Temos pois : x² + y² 
 8² ( círculo ) logo, 
ou Imf = [ 0; 8 ].
	 Centro (0,0)
	 e raio 
 8 
 	y
	z
 8
	
 -8	 x
	y	 -8 
 8 
	x		 - 8
 	
2 ) Determine o Domínio para g( x, y, z ) = 
, e esboce o gráfico do domínio.
Resolução: 
 
Gráfico do Domínio :
 z
	
 
 
	y	 
 	
	
 x 
3 ) Idem para 
		
Resolução : x + y > 0 e x – y > 0 (A)
 x² - y² > 0 
( x + y ).(x – y ) > 0 
 OU
 	 x + y < 0 e x – y < 0 (B)
Logo : D(w) =
 
Gráfico do Domínio :		x
	(B)	(A)
	x + y < 0	 x + y > 0
	y
	x - y < 0 x - y > 0
4 ) Ache o domínio da função w =
 R.
Resolução :
Para w pertencente a R temos x1 + x2 + x3 + x4 + x5 
0, logo :
Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) 
R5 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5 
0 }.
Exercícios :
1 ) Determine o domínio das seguintes funções :
 a ) z = xy
 b ) w = 
 c ) z = 
 d ) z = 
 e ) z = 
 f ) z = ln ( 
 )
 g ) z = e
 h ) y = 
 i ) w = 
 j ) z = ln 
DERIVADAS PARCIAIS
 As aplicações das funções de várias variáveis procuram determinar como variações de uma das variáveis afetam os valores das funções. Por exemplo, um economista que deseja determinar o efeito de um aumento de impostos na economia pode fazer seus cálculos utilizando diferentes taxas de imposto, mantendo constantes outras variáveis, como desemprego, etc.
 Analogamente, determinamos a taxa de variação de uma função f em relação a uma de suas variáveis independentes, que nada mais é que achar a derivada de f em relação a uma de suas variáveis independentes.
 Este processo chama-se DERIVADA PARCIAL.
 Uma função de várias variáveis tem tantas “ parciais “ quantas são suas variáveis independentes.
FUNÇõES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Derivadas parciais
 Se z = f(x,y), então derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x e y
são funções 
 e 
, definidas como segue :
 
Exemplos :
1 ) Calcule 
 e 
 para a função z = 4xy – 2x²y² + 3x³y².
Resolução :
◙ 
 = 4y - 4xy² + 9x² y² 
◙ 
 = 4x - 4x²y + 6x³y
2 ) Idem para h(x,y) = 
Resolução :
◙ 
 = 
 
◙ 
 = 
3 ) Idem para z = cos ( 5x - 3y )
Resolução :
◙ 
 = -sen ( 5x - 3y ) . 5 = -5. sen ( 5x - 3y ) 
◙ 
 = -sen ( 5x - 3y ) . ( -3 ) = 3. sen ( 5x - 3y ) 
4 ) Idem para f(x,y) = 6x²y - 5x3y2 – 6y
Resolução :
◙ 
 = 12xy - 15x2y2 
◙ 
 = 6x² - 10x3y – 6 
5 ) Idem para f(x,y) =
Resolução :
PARA ( x, y ) 
( 0, 0 )
================
 ◙ 
 = 
 ◙ 
 = 
PARA ( x, y ) = ( 0, 0 )
================ 0
◙ 
( 0,0 ) = 
 
 0
◙ 
( 0,0 ) = 
Resumindo :
 = 
 = 
NOTAÇÕES :
◙ Derivadas parciais de primeira ordem :
 Seja z = f (x,y) : 
◙ Os valores das derivadas parciais de primeira ordem no ponto ( a, b )
 
 
DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
 
Derivada parcial de 2ª ordem em relação à x
 
Derivada parcial de 2ª ordem em relação à y
		
 
Derivadas parciais de 2ª ordem mistas
OBS. : Quando a função z = f(x,y) é contínua, então 
Exemplo :
Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = ln (x² + y² ).
Resolução :	
♦ 
♠ 
♥ 
♣ 
Exercícios :
Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem das funções abaixo :
1 ) z = ex.cos y
2 ) z = 
3 ) z = arctg ( x² + y² )
4 ) z = 
	APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS
1 ) Equação de Laplace
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e 
, 
 suas “parciais” de segunda ordem, chamamos de EQUAÇÃO DE LAPLACE, a seguinte expressão :
 
 
 Analogamente, para w = f(x,y,z) temos a EQUAÇÃO DE LAPLACE :
 
 Nestes casos, dizemos que z e w ( Respectivamente ) satisfazem a Equação de Laplace.
 Obs. : Chamamos de LAPLACIANO a expressão 
 devido a sua 
 similaridade com a Equação de Laplace 
.
Exemplos :
● Verifique se as funções dadas satisfazem a Equação de Laplace. 
 
a ) w = x² -2y² +z²
Resolução :
 ☺
 ☺
 
 ☺
	 Logo w satisfaz à “Laplace”.
b ) Idem para z = ex.seny
Resolução :
☺
 
 
☺
 
; logo z satisfaz à “Laplace”.
Exercício :
● Idem para w = 
2 ) Diferencial Total ( ou Derivada Total )
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e 
, 
 as “ parciais “ de z = f(x,y), chamamos de Diferencial ( ou Derivada) Total a seguinte expressão :
 OU 
 Analogamente, para w = f(x,y,z) temos :
 OU 
Exemplos :
● Calcule a expressão do Diferencial Total de :
1 ) z = 3x²y + ln ( x²y³ )
Resolução :
 ◙ 
 = 6xy + 
 = 6xy + 
 = 
◙ 
 = 3x² + 
 = 3x² + 
 = = 
 = 
. 
2 ) Idem para z = 
Resolução :
◙ 
 = 
 
◙ 
 = 
.
Exercícios :
1 ) Idem para z = x³.e3x + 4y²
2 ) Idem para z = 3x²y.sen ( 2x + 3y ) 
3 ) Idem para z = sec ( x² + 2xy³ )
3 ) Vetor Gradiente
 
 Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e 
, 
 as “ parciais “ de z = f(x, y).
 Seja P0 (x0, y0), um ponto do plano xy; a projeção de “z” no plano dada por curvas de nível e 
, 
as derivadas calculadas no ponto Po, 
 plano R2 chamamos de Vetor Gradiente ao seguinte vetor :
	
= 
 	
 O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto P0 (x0, y0). 
Graficamente ...
	 
	
	
	
 
	 
 
 
 
 
 
 Analogamente, quando temos w = f(x, y, z), o Vetor Gradiente será ortogonal ao plano tangente à uma superfície de nível por um ponto P (x0, y0, z0) do espaço R3, daí :
= 
Exemplos :
● Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po 
 plano R2.
1 ) z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ).
Resolução :
◙ 
 = 
 
 
 
= ( 0, 2 )
◙ 
 = 
2 ) z = x.sen y em Po ( 1, 
 ).
Resolução :
◙ 
 = 
 
	 
 
= ( 1, 0 )
◙ 
 = 
Exercícios :
1 ) Idem para z = 3.x²y³.e2xy em Po ( 1, -1 ) .
2 ) Idem para z = 
 em Po ( -1, 1 ) .
DERIVADA DIRECIONAL ( Inclinação )
 Se z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y com u = u1i + u2j um vetor unitário, então a derivada direcional de z na direção de u é denotada por :
 Duz = 
.u1 + 
.u2 ( I ) 
	
 Seja o vetor gradiente 
 temos que a derivada direcional é a direção assumida pelo vetor gradiente quando “aplicado” no vetor unitário u, logo, para calcularmos a derivada direcional temos o vetor decomposto em 
e combinado com a equação ( I ) chegamos em :
		 Duz =
.u	 Produto
	 Escalar
Exemplos :
1 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = 3x²y no ponto P0 ( 1, 2 ) na direção a = 3i + 4j.
Resolução :
 Como a não é vetor unitário, temos que normaliza-lo, daí :
( u = 
Logo : 
Portanto : Duz =
.u = 
 Duz = 
2 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = x³y² no ponto P0 ( -1, 2 ) na direção a = 4i - 3j.
Resolução :
 Como a não é vetor unitário, temos que normaliza-lo, daí :
( u = 
Logo : 
Portanto : Duz =
.u = 
 Duz = 12
Exercícios :
1 ) Ache a derivada direcional de f(x,y) = e2xy , P0 ( 4, 0 ) e u = 
.
2 ) Idem para z = x² - 5xy + 3y² , P0 ( 3, -1 ) e u = 
.
3 ) Idem para f(x,y) = 
, P0 ( 3, -2 ) e a = i + 5j .
4 ) Idem para f(x,y) = xcos²y , P0 ( 2, 
 ) , a = < 5, 1 > .
5 ) Idem para f(x,y) = arctg 
, P0 ( 4, -4 ) , a = 2i – 3j .
6 ) Idem para f(x,y) = 4x3y2, P0 ( 2, 1 ) , a = 3i – 4j .
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
TEOREMA DO VALOR EXTREMO
 Da mesma forma estudada no Cálculo II, vamos citar o Teorema do Valor Extremo para funções de duas variáveis.
 Seja f(x,y) uma função contínua em um conjunto fechado e limitado R, então f possui tanto
 máximo quanto mínimo absolutos em R .
 
EXTREMOS 
 No curso de Cálculo II aprendemos a determinar MÁXIMOS e mínimos de funções de uma variável. Hoje vamos, utilizando técnicas análogas, começar a aprender a determina-los a partir de funções de DUAS variáveis.
 Analisando um gráfico de uma função f de duas variáveis, podemos notar pontos altos e baixos em suas vizinhanças imediatas. Tais pontos são chamados de máximos e mínimos relativos de f, respectivamente.
 O mais alto máximo dentro do domínio de f é chamado de máximo absoluto.
 O mais profundo mínimo dentro do domínio de f é chamado de mínimo absoluto.
Vamos defini-los, portanto, da seguinte maneira :
(Seja a função f(x,y), dizemos que ela possui máximo relativo em um ponto P0 ( x0, y0 ) se existe um círculo centrado em P0 de modo que f(x0,y0) 
 f(x,y) para todo ponto ( x, y ) do domínio de f no interior do círculo, analogamente, ela possui um máximo absoluto em P0 se f(x0,y0) 
 f(x,y) para todos os pontos ( x, y ) do domínio de f.
 
(Seja a função f(x,y), dizemos que ela possui mínimo relativo em um ponto P0 ( x0, y0 ) se existe um círculo centrado em P0 de modo que f(x0,y0) 
 f(x,y) para todo ponto ( x, y ) do domínio de f no interior do círculo, analogamente, ela possui um mínimo absoluto em P0 se f(x0,y0) 
 f(x,y) para todos os pontos ( x, y ) do domínio de f.
Obs. : Complementando o que já foi definido, se a função possui máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela possui extremo relativo no ponto, e se ela possui máximo ou mínimo absoluto, diz-se que ela possui extremo absoluto no ponto.
DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS 
 Para determinarmos os extremos relativos, verificamos que a função f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em ( x0, y0 ) e que f( x0, y0 ) é extremo relativo de f, daí tem-se o plano tangente ao gráfico de z = f ( x, y ) em ( x0, y0, z0 ) paralelo ao plano xy com equação z = z0.
 Os pontos críticos de f são aqueles onde as “parciais” de primeira ordem são zero ou f não é diferenciável, daí temos a definição :
 ( Seja f uma função de duas variáveis, o ponto ( x0, y0 ) é chamado de crítico se 
 
e 
ou se uma ou ambas derivadas parciais de primeira 
 ordem não existirem em ( x0, y0 ).
 
Exemplo :
( Seja f (x,y) = 1 + x² + y², com x² + y² 
 4. Ache os extremos de f .
Resolução :
 Temos x² + y² 
 4 o disco fechado R de raio 2 e centro ( 0, 0 ) no plano xy.
Daí, pela última definição :
 
 2x = 0
 
 	 
 ( x, y ) = ( 0, 0 ) , logo f(x,y) = f (0,0) = 1
 
 2y = 0 
Veja o gráfico :
	
PONTO DE SELA
 Um ponto P ( x0, y0, f(x0,yo) ) é chamado de Ponto de Sela se 
�� EMBED Equation.3 , mas porém, a função não possui nem mínimo nem máximo relativo no ponto, pois numa direção ele se comporta como máximo e noutra como mínimo.
 Veja o gráfico abaixo da função z = y² - x² no ponto P0 ( 0, 0 ) temos f ( 0, 0 ) = 0 comportando-se como máximo na direção de x e como mínimo na direção de y e note o formato do gráfico que lembra uma sela.
TESTE DA SEGUNDA DERIVADA ( Para extremos relativos ou locais )
 ◙ Seja f uma função de duas variáveis dotada de derivadas parciais de segunda 
 ordem contínuas em um círculo centrado em um ponto crítico ( x0,y0 ) , temos o
 discriminante D ...
 D = 
 Se ...
 ♦ D > 0 e 
 > 0 então, f tem mínimo relativo em ( x0, y0 ) .
 ♠ D > 0 e 
 < 0 então, f tem máximo relativo em ( x0, y0 ) .
 ♥ D < 0 então, f tem ponto de sela em ( x0, y0 ) .
 ♣ D = 0 então, nada podemos concluir .Exemplos :
1 ) Determine todos os pontos extremos e pontos de sela da função f(x,y) = 3x² -2xy + y² - 8y.
Resolução :
● 
.
● 
.
 
● Substituindo x da primeira derivada na segunda ... 
 
.
● Substituindo y em x da primeira derivada ...
 
, portanto temos P0 ( x0, y0 ) = P0 ( 2, 6 ) Único Ponto Crítico no plano .
● 
�� EMBED Equation.3 .
● 
�� EMBED Equation.3 .
● 
�� EMBED Equation.3 .
	D = 
D = 8 .
 D = 8 > 0
● Temos portanto Mínimo Relativo . 
 
 = 6 > 0
● Logo f ( 2, 6 ) = -24 então o ponto P ( 2, 6, -24 ) é Ponto de Mínimo Relativo de f.
2 ) Idem para z = 4xy – x4 – y4 .
Resolução :
● 
.
● 
.
 
● Substituindo y da primeira derivada na segunda ... 
 
 
 .
● Logo, temos, para ...
 x = -1 x = 0 x = 1 
 y = x3 	y = x3	 y = x3
 y = (-1)3 y = (0)3 	 y = (1)3
 y = -1 y = 0 y = 1
 P0 ( -1, -1 )
 Por tanto, temos os pontos críticos : Q0 ( 0, 0 )
 S 0 ( 1, 1 )
● 
�� EMBED Equation.3 .
● 
�� EMBED Equation.3 .
● 
�� EMBED Equation.3 .
● Como temos mais do que um ponto crítico, vamos montar uma tabela ...
	
Ponto Crítico no plano
( x0, y0 )
	
	
	
	D =
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
	
Conclusão
	
P0 ( -1, -1 )
	
-12 < 0
	
-12
	
4
	
-12 . (-12) - 4² = 128 > 0
	
Máximo
Relativo
	
Q0 ( 0, 0 )
	
0
	 
0
	
4
	
0 . 0 . – 4² = -16 < 0
	Ponto
de
Sela
	
S0 ( 1, 1 )
	
-12 < 0
	
-12
	
4
	
-12 . (-12) - 4² = 128 > 0
	
Máximo
Relativo
 P ( -1, -1, 2 ) Ponto de Máximo Relativo .
	
● Aplicando os pontos críticos na função f (x,y) temos : Q ( 0, 0, 0 ) Ponto de Sela .
 S ( 1, 1, 2 ) Ponto de Máximo Relativo .
NOTA :
 Vimos nos Exemplos 1 e 2 que ao determinarmos os pontos de máximo e mínimo relativos encontrávamos um ponto P0 
 R² ( Plano Cartesiano ). Na verdade o que ocorre é que para este P0 ( x0, y0 ) vamos associar um ponto P ( x0, y0, f ( x0, y0 ) ) onde f ( x0, y0 ) é o verdadeiro extremo máximo ou mínimo.
 
 Daí :
 f (x, y ) = 3x² - 2xy + y² - 8y 
◙ No exemplo 1, temos : 
 MÍNIMO RELATIVO = z0 = f ( x0, y0 ) = f ( 2, 6 ) = -24 em P0 ( 2, 6 ) .
	
 PONTO DE MÍNIMO RELATIVO de f : P ( x0, y0, f ( x0, y0 ) ) = P ( 2, 6, -24 ).
 z = 4xy - x4 – y4 
◙ No exemplo 2, temos : Máximo Relativo em P0 ( -1, -1 )
 Sela em Q0 ( 0, 0 )
 	 Máximo Relativo em S0 ( 1, 1 )
Logo :
◙ Para P0 ( -1, -1 ) temos z0 = 4. (-1).(-1) – (-1)4 – (-1)4 = 4 – 1 – 1 
 z0 = 2 .
 
	P ( -1, -1, 2 ) é PONTO DE MÀXIMO RELATIVO de f .
◙ Para Q0 ( 0, 0 ) temos z0 = 4. (0).(0) – (0)4 – (0)4 = 0 – 0 – 0 
 z0 = 0 .
 
Q ( 0, 0, 0 ) é PONTO DE SELA . 
◙ Para S0 ( 1, 1 ) temos z0 = 4. (1).(1) – (1)4 – (1)4 = 4 – 1 – 1 
 z0 = 2 .
 
S ( 1, 1, 2 ) é PONTO DE MÀXIMO RELATIVO de f .
EXERCÍCIOS :
Baseando-se nestas adaptações, vamos fazer os exercícios seguintes . . . 
 
1 ) Localize todos os pontos máximos e mínimos relativos de sela das funções :
 a ) f ( x, y ) = ( x – 2 )2 + ( y + 1 )2.
 b ) f ( x, y ) = - x2 – y2 – 1.
 c ) f ( x, y ) = x + 2y – 5.
2 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + y2 – 6x + 4y + 13.
3 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + 2y2 – x2y.
EXERCÍCIOS EXTRAS : RESPOSTAS :
1 ) Idem para f ( x, y ) = 3x2 + 2xy + y2 . P ( 0, 0, 0 ) Pto. Mín. Rel. 
2 ) Idem para f ( x, y ) = y2 + xy + 3y + 2x + 3 . P ( 1, -2, 1 ) Pto. De Sela
3 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + xy + y2 - 3x . P ( 2, -1, -3 ) Pto. Mín. Rel. 
4 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + y2 + 2.x-1.y-1. P ( -1, -1, 4 ) e Q ( 1, 1, 4 ) Ptos. Mín. Rel. 
5 ) Idem para f ( x, y ) = x2 + y - ey . P ( 0, 0, -1 ) Pto. Sela 
6 ) Idem para f ( x, y ) = ex.seny . Não existe Máx. ou Mín. Rel.
7 ) Idem para f ( x, y ) = e-(x²+y²+2x) . P ( -1, 0, e ) Pto. Máx. Rel. 
DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS
● Seja f uma função contínua de duas variáveis em um conjunto fechado e limitado R,
então f possuí extremo máximo absoluto e mínimo absoluto para algum ponto de R .
 Teorema do Valor Extremo para funções de duas variáveis
 Os pontos extremos absolutos de uma função, como mencionada no teorema acima, ocorrem em pontos críticos da função que se localizam no interior do conjunto ( Região ) R, ou em pontos na fronteira de R .
 Vamos indicar, a seguir, um método para determinar os máximos e mínimos absolutos em conjuntos fechados e limitados R . . .
 I ) Determine os valores de f nos pontos críticos de f em R.
 II ) Determine todos os valores extremos de fronteira de R.
 III ) O maior valor encontrado resultante de I e II é o valor máximo absoluto;
 o menor valor encontrado resultante de I e II é o valor mínimo absoluto.
 
Exemplos :
1 ) Determine os valores de máximo e mínimo absoluto de f ( x, y ) = 3xy – 6x – 3y + 7 sobre a região triangular R 
 R2 ( Plano Cartesiano ) com vértices A0 ( 0, 0 ) , B0 ( 3, 0 ) e C0 ( 0, 5 ).
 
 Veja a figura :
	 
Resolução :
● 
 3y –6 = 0 
 y0 = 2
 
D0 (x0, y0 ) = D0 ( 1, 2 ) é Único Ponto Crítico no interior de R.
● 
 3x – 3 = 0 
 x0 = 1 
● Vamos determinar os pontos de fronteira de R onde poderá ocorrer valores extremos :
 Analisando cada segmento de reta limitado pelos vértices ...
 ◙ Para o segmento ( 0, 0 ) até ( 3, 0 ) temos y0 = 0 para 
.
 u ( x ) = f ( x, 0 ) = 3.x.0 – 6x – 3.0 + 7 = -6x + 7.
 
 u’ ( x ) = -6 
0
 portanto não há ponto crítico em u ( x ) , além dos vértices A0 ( 0, 0 ) e B0 ( 3, 0 ).
 ◙ Para o segmento ( 0, 0 ) até ( 0, 5 ) temos x0 = 0 para 
.
 v ( y ) = f ( 0, y ) = 3.0.y – 6.0 – 3.y + 7 = -3y + 7.
 
 v’ ( y ) = -3 
0
 portanto não há ponto crítico em v ( y ) , além dos vértices A0 ( 0, 0 ) e C0 ( 0, 5 ).
 ◙ Para o segmento ( 3, 0 ) até ( 0, 5 ) no plano xy uma das equações é 
 ;
.
 w ( x ) =
.
 
 w’ ( x ) = -10x + 14 =0 
 x0 = 
, substituindo em 
 temos y0 = 
, logo temos o 
 ponto crítico E0
, além dos vértices B0 ( 3, 0 ) e C0 ( 0, 5 ).
 
.
◘ O último procedimento agora é montar uma tabela para indicarmos os Extremos Absolutos ...
 
Aplicando, na função f ( x, y ) = 3xy – 6x – 3y + 7, os pontos críticosencontrados no plano, obtemos . . . 
	Ponto Crítico no Plano
	A0
	B0
	C0
	D0
	E0
	( x0, y0 )
	( 0, 0 )
	( 3, 0 )
	( 0, 5 )
	( 1, 2 )
	
	z0 = f ( x0, y0 )
	7
	-11
	-8
	1
	
	Conclusão
	Máx. Abs.
	Mín. Abs.
	--o--
	--o--
	--o--
	 z0 = 7 : Valor ( ou Extremo ) Máximo Absoluto .
☺ Daí temos ...
	 z0 = -11 : Valor ( ou Extremo ) Mínimo Absoluto .
 Ponto de Máximo Absoluto A ( 0, 0, 7 ) 
☺☺ Finalmente temos os pontos no espaço como resposta...	
 Ponto de Mínimo Absoluto B ( 3, 0, -11 ) 
EXERCÍCIOS :
1 ) Idem para f (x,y) = xy – x – 3y sobre a região R triangular com vértices ( 0, 0 ) , ( 5, 0 ) e ( 0, 4 ) .
2 ) Idem para f(x,y) = x2 – 3y2 - 2x + 6y sobre a região R quadrada com vértices ( 0, 0 ) , ( 2, 0 ) , ( 0, 2 ) 
 e ( 2, 2 ) .
3 ) Idem para f (x,y) = -3x + 4y + 5 sobre a região R triangular com vértices ( 0, 0 ) , ( 4, 0 ) e ( 4, 5 ) .
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES :
1 ) Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, cuja área total é de 12 m² para que ela 
 possua um volume máximo.
2 ) Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm3 e que 
 sabendo-se que será utilizada a mínima quantidade de material para sua construção.
3 ) Qual a área máxima que um retângulo pode ter se seu perímetro é de 20 cm ?
REGRA DA CADEIA
Derivada total
 Sejam 
 a Derivada Total de z é dada por :
Exemplos :
1 ) 
 determine 
Resolução :
● 
 ●● 
 
● 
	●● 
 
 
Portanto ... 
	
2 ) 
 determine 
Resolução :
● 
 ●● 
 
● 
	 ●● 
 
Portanto ... 
.
Exercícios :
● Dê a expressão da Derivada Total das funções :
a ) 
	d ) 
b ) 
 e ) 
c ) 
PLANO TANGENTE e RETA NORMAL
 Dada a a função z = f(x,y), o Plano Tangente ao gráfico desta função passando pelo ponto P ( x0, y0, z0 ) com z diferenciável em ( x0, y0 ) é dado pela equação :
onde z0 = f( x0, y0 ).
 
 Tal plano é perpendicular ao vetor 
e considerando a reta r que passa pelo ponto P e é paralela ao vetor 
 temos que r é denominada Reta Normal ao gráfico de z = f(x,y) e tem 
como equação :
r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) + 
. 
; 
 R
Graficamente ...
 z Reta Normal	 
	
 z0
 P
	y0
	y
 
 x0
	 
 x
Exemplos :
1 ) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à superfície 
 no ponto P ( 2, -1, z0 ) . 
Resolução :
● z0 = f (x0, y0 ) = 
 z0 = 1.
●● 
.
●●● 
.
Portanto ...
●●●● 
 
 ( Eq. do plano tangente )
●●●●● r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) + 
. 
; 
 R 
 
 r : ( x, y, z ) = ( 2, -1, 1 ) + 
. 
; 
 R 
 
 r : ( x, y, z ) = ( 2, -1, 1 ) + 
.( 2, 2, -1 ); 
 R ( Eq. da reta normal )
 
2 ) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à superfície z = 2x2 – 3y2 no ponto P ( 1, 1, z0 ) .
Resolução :
● z0 = f (x0, y0 ) = 2.(1)2 – 3.(1)2
 z0 = -1.
●● 
.
●●● 
.
Portanto ...
●●●● 
 
 ( Eq. do plano tangente )
●●●●● r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) + 
. 
; 
 R 
 
 r : ( x, y, z ) = ( 1, 1, -1 ) + 
. 
; 
 R 
 
 r : ( x, y, z ) = ( 1, 1, -1 ) + 
.( 4, -6, -1 ); 
 R ( Eq. da reta normal )
Exercícios :
1 ) Idem para z = xy em P ( 1, 1, z0 ) .
2 ) Idem para z = 4x2 + 9y2 em P ( -2, -1, z0 ) .
3 ) Idem para z = ln(xy) em P ( 
, 2, z0 ) .
CAPÍTULO 21
Regra da cadeia
CAPÍTULO 22
y
y(t)
b
a
0
x
x(t)
t
t em função de x
y
0
x
y
0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
� EMBED Equation.3 ���
CAPÍTULO 23
� EMBED Equation.3 ���
V
V
P
h
r
T
n
Gráfico da função.
Gráfico do 
Domínio da 
função.
8
HEMISFÉRIO SUPERIOR
8
8
4
 ◙ Nota-se que o gráfico da função seria quadridimensional, não podendo, portanto, ser esboçado.
4
4
y = x
y = - x
CAPÍTULO 24
x constante
y constante
Efetivamente, ao derivarmos parcialmente uma função, deriva-se em relação a uma variável, considerando-se as demais, constantes !!!
CAPÍTULO 25
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
CAPÍTULO 26
Po
 20
 40
 70
 100
 120
z = f(x, y)
Curvas 
de Nível
 150
y0
z
y
x
x0
(
Reta
Tangente
� EMBED Equation.3 ���
O Vetor Gradiente aponta para onde 
 z = f(x,y) tem maior velocidade.
 Obs : Em Geometria Analítica, o Vetor Gradiente recebe o nome de Vetor Normal.
CAPÍTULO 27
CAPÍTULO 28
Único
Extremo
Relativo
z = 1 + x2 + y2
z
y
x
2
2
-2
-2
R
1
y
x
z
z = y² - x² 
P
 (
CAPÍTULO 29
x
y
3
5
R
0
P
●
**
**
CAPÍTULO 30
Com as condições iniciais : 
 
 x (t) = t + 1
 y (t) = t + 4
Plano
Tangente
z = f (x,y)
●
●
●
●
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