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2o Semestre de 2004 Introdução às Ciências Físicas I 
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 Exercícios Programados I (EP1) 
Exercícios Programados 1 
(Aula 1-Módulo1) 
 
1. Discutir o Complemento 3 do Módulo1: Incerteza numa Medida Experimental. 
2. Medir: 
¾ o comprimento do livro (fale sobre as incertezas devido à escala da régua, 
colocação da mesma sobre o livro - alinhamento, ajuste do zero - e paralaxe). 
¾ os seguintes elementos da Caixa de Óptica com suas incertezas: 
i. Diâmetro do orífício da máscara (incerteza na régua, na colocação da 
régua, paralaxe e localização do centro do orifício). 
ii. Distâncias a e b (incerteza na régua, na colocação da régua, paralaxe etc) 
iii. Influência da largura do feixe do raio laser na leitura do ângulo. 
 
I. Semelhança de Triângulos: 
 (Leia o Módulo 2 de Geometria Básica págs 34 a 37) 
 
 Observe os dois triângulos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos estabelecer uma correspondência entre os vértices. Vamos associar A 
com D, B com E e C com F como indicado pelas linhas pontilhadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
D 
E 
B 
F 
C 
A 
B 
C 
D 
E F 
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Nessa correspondência temos: 
 
1. vértices correspondentes: A e D, B e E, C e F; 
2. lados correspondentes (ou homólogos): AB e DE , BC e EF , CA e FD ; 
3. ângulos correspondentes: , , . DeA ˆˆ EeB ˆˆ FeC ˆˆ
 
 
 
 
Ao invés de usar as linhas pontilhadas indicadoras de correspondência, é suficiente 
indicar com igual número de pequenos traços os lados homólogos, ou com igual 
número de pequenos arcos os ângulos correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
A 
 
 
 
 
 
 
 
Se acontecer de os ângulos correspondentes serem dois a dois congruentes, 
 
 
 
e os lados homólogos serem proporcionais, 
 
 
 
 
 
diremos que os triângulos ABC e DEF são semelhantes: 
D 
/// 
B /// 
// // E F 
C 
,FCeEBDA ≡≡≡ ˆˆˆˆ,ˆˆ
,
FD
CA
EF
BC
DE
AB ==
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DEFABC ∆∆ ~
(Em ~ leia-se “é semelhante a”.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois triângulos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência
entre seus vértices de modo que os ângulos correspondentes sejam dois a dois
congruentes e os lados homólogos proporcionais. 
Essa é a definição de triângulos semelhantes. Ela impõe duas condições para existir a 
semelhança: 
 
1. ângulos correspondentes dois a dois congruentes; 
2. lados homólogos proporcionais. 
 
 Entretanto, se uma dessas condições ocorre. Então a outra “automaticamente” 
também se verifica. 
 
Exercício 1 
 
Os triângulos AMN e PMN da figura a seguir são semelhantes? 
Justifique a sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
M 
10 
6 
A 
PN 
 
 
 
II. Altura de um triângulo 
 
A altura de um triângulo, associada a um vértice A, é a reta que liga esse vértice ao 
lado oposto a ele e é perpendicular ao lado oposto. 
Quando dois triângulos são semelhantes, a relação de proporcionalidade entre as 
alturas é a mesma relação entre os lados, isto é, 
2
1
2
1
a
a
h
h = 
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(veja figura 1 ao lado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
 
No triângulo representado na figura 1 acima tem lados 
. cmcmbcma 3c e 3,2 111 ===
a. Desenhe esse triângulo. 
b. Calcule a altura h1 que é perpendicular ao lado a1 desse triângulo . 
c. Um outro triângulo, também representado na figura 1, semelhante a esse primeiro 
tem lados 
 a2=1cm. Calcule o valor dos outros lados e a altura h2 do triângulo. 
 
Relações métricas no triângulo retângulo 
 
Todo triângulo retângulo possui dois ângulos agudos complementares e um ângulo 
reto ao qual se opõe ao seu maior lado, chamado hipotenusa, os outros dois lados são 
denominados catetos. 
 
 
 
 
 
 
 
a: hipotenusa 
b, c: catetos 
o90=+ βα B α
a
c
 
 
 β. 
A C 
b 
 
 
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Razões trigonométricas: 
 
1. Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo é dado pelo quociente (razão) 
entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. 
 
 
 
 
De acordo com o triângulo desenhado acima, temos: 
 
 
a
c=βsen e 
a
b=αsen 
hipotenusa
xaopostocatetox =sen
2. Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo é dado pelo quociente 
(razão) entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. 
 
 
 
 
De acordo com o triângulo desenhado acima, temos: 
 
 
a
b=βcos e 
a
c=αcos 
 
OBSERVE QUE O SENO E O COSSENO DE ÂNGULOS COMPLEMENTARES SÃO 
IGUAIS, ISTO É, αβ sen=cos e βα sen=cos . 
 
hipotenusa
xaadjacentecatetox =cos
3. Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é dado pelo quociente 
(razão) entre o cateto oposto a esse ângulo e o catetoadjacente a esse ângulo. 
 
 
 
 
De acordo com o triângulo desenhado acima, temos: 
 
 
b
ctg =β e 
c
btg =α 
 
 
Exercício 3 
 
xaadjacentecateto
xaopostocatetotgx =
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α (C B 
A 
4 
3 
5 
Figura 2 
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1. No triângulo da figura 2 calcule 
 ααα tgecos,sen . 
 
 
 
 
 
2. Sabendo que o seno dos ângulos são respectivamente 
iguais a 
ooo e 6045,30
2
1 , 
2
2 e 
2
3 determine os cossenos e as tangentes desses 
ângulos. 
 
 
3. Demonstrar a expressão da obtenção do tamanho da mancha luminosa, L, da página 20 do 
Módulo 1 e discutir as incertezas indiretas expressas no Lmin e Lmax. 
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