MATEMÁTICA

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Matemática
Capítulo 1 - Trigonometria nos triângulos ................................................................................................07
 Triângulos semelhantes ................................................................................................................08
 Triângulo retângulo .....................................................................................................................08
 Triângulo qualquer ......................................................................................................................10
Gabarito ...........................................................................................................................................231
S U M Á R I O
G U I A D E E S T U D O
Trigonometria nos triângulos retângulos
Matemática | Livro 3 | Frente A | Capítulo 1
Leia as páginas de 8 a 10.
Faça os Exercícios propostos 2, 5, 11, 13 e 17.
Faça os Exercícios complementares 1, 5, 12 e 20.
Trigonometria nos triângulos quaisquer
Matemática | Livro 3 | Frente A | Capítulo 1
Leia as páginas de 10 a 13.
Faça os Exercícios propostos 23, 27, 28, 29 e 33.
Faça os Exercícios complementares 7, 35, 37, 38 e 39.
F r e n t e A
L i v r o 3
7
Fique de olho
A trigonometria
O estudo da trigonometria é essencial não só para 
prosseguir nos estudos de Matemática, mas também 
como ferramenta de outras ciências como física, agri-
mensura, astronomia, navegação. É utilizada ainda em 
análise de sistemas elétricos e de ondas sonoras.
Da mesma forma que a álgebra facilita a reso-
lução de muitos problemas da aritmética, a trigo-
nometria resolve problemas que em geometria são 
complicados e imprecisos. Por exemplo, em trigo-
nometria é fácil descobrir os ângulos agudos de um 
triângulo a partir de seus lados. A trigonometria não 
só resolve como possibilita a solução do problema. 
A trigonometria se baseia na geometria, mas aplica 
métodos e processos algébricos. Sua principal fina-
lidade é estabelecer relações entre lados e ângulos 
de triângulos para possibilitar soluções analíticas 
para questões geométricas.
Apesar de a palavra trigonometria derivar do 
grego e significar “trígono = triângulo” e “metria 
= medida”, ela não tem a resolução de triângulos 
como finalidade exclusiva, pois se estende a outras 
investigações sobre ângulos.
O início do estudo da trigonometria remonta 
às civilizações babilônicas e egípcias. Tudo parece 
ter começado com a astronomia, que exigia o cálcu-
lo de distâncias entre pontos inacessíveis. Entre os 
anos 146 e 126 a.C., Hiparco, astrônomo grego, es-
tabeleceu métodos para medir ângulos e distâncias 
e, por isso, é considerado o pai da trigonometria. 
Somente no início do século XVIII, Euler desligou-
-a da astronomia, dando-lhe caráter de ramo inde-
pendente da matemática. 
A trigonometria começa com o estudo de re-
lações entre lados de triângulos retângulos, esten-
dendo-se a outros triângulos. Essas relações entre 
lados e ângulos permitem realizar medidas indiretas 
de distâncias entre objetos inacessíveis, sejam eles 
pontos de margens opostas de um rio ou dois plane-
tas do sistema solar. Sua utilidade ultrapassa esses 
limites e se manifesta quando estabelece fórmulas 
muito úteis no estudo de padrões semelhantes aos 
encontrados no estudo da eletricidade, som e ener-
gia atômica.
Neste capítulo, é fundamental entender bem e saber aplicar as noções de seno, cosseno e tangente num 
triângulo retângulo. Lembre-se: triângulo retângulo! Para outros triângulos é necessário conhecer o teorema 
dos cossenos e o teorema dos senos. Fique de olho nesses conceitos fundamentais para ter um bom aprovei-
tamento em seu curso de Matemática e de Física. A memorização de certos resultados agiliza a solução dos 
problemas. Convém memorizar:
• Tabela de valores notáveis do seno, cosseno e tangente.
• Os valores dos catetos em função da hipotenusa e do ângulo.
• A fórmula A = ½ ab sen α para o cálculo da área de um triângulo.
E lembre-se: dados três elementos de um triângulo, sendo um deles linear, é possível achar os outros. 
Insista até achar.
Trigonometria nos triângulos CAPÍTULO1
Leitura inicial
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
8
C apítulo 1 - Frente A
Triângulos semelhantes
Dos triângulos semelhantes:
a c
α
bC A
B
5 3 ~
α
4
vêm as seguintes relações:
3
5
4
5
3
4
= = =c
a
b
a
c
b
, , .
Por meio delas, dado um valor incógnito, é possível 
obter os outros dois.
Exemplo 1
Nos vértices do triângulo ABC da figura acima, situ-
am-se três cidades. Sabendo que a distância c = 60 Km, 
calcular as distâncias a e b.
Resolução
De 3
5
c
a
vem 3
5
60
a
a 100 km.= = ⇒ =,
De 4
5
b
a
, vem 4
5
b
100
b 80 km.= = ⇒ =
Como se vê, é muito útil conhecer previamente tais 
rela ções, uma vez que podem ser usadas para cálculo 
de ele mentos inacessíveis em triângulos semelhantes. 
São chamadas relações trigonométricas e recebem 
nomes especiais.
Triângulo retângulo
Definição
Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576), discípulo 
de Nicolau Copérnico, foi o primeiro a definir funções 
trigonométricas como razões entre medidas de lados de 
um triângulo retângulo.
No triângulo a seguir, seno, cosseno e tangente de 
um ângulo α são dados pelas relações:
sen
c
a
α =
 
cosα = b
a 
tg
c
b
α =
a c
α
b
Valores notáveis
Em Geometria, num quadrado de lado a e num tri-
ângulo equilátero de lado 2a, as outras medidas são:
45o
a 2
a
a 30o
2a
a 3
60o
a
Exemplo 2
Calcular seno, cosseno e tangente de 30º, 45º, 60º.
Resolução
Aplicando as definições dadas nos triângulos re-
tângulos anteriores, vem:
sen cos tg30 1
2
30 3
2
30 1
3
3
3
º º º= = = =
sen cos tg60 3
2
60 1
2
60 3
1
3º º º= = = =
sen cos tg45 1
2
2
2
45 1
2
2
2
45 1
1
1º º º= = = = = =
 
Esses resultados costumam ser resumidos em uma 
tabela.
Ângulos Seno Cosseno Tangente
30o
1
2
3
2
3
3
45o
2
2
2
2
1
60o
3
2
1
2 3
Triângulos semelhantes
Essas relações obtidas podem ser usadas em triângu-
los inacessíveis, semelhantes aos triângulos anteriores.
Exemplo 3
Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz ângulo 
de 30º com o plano horizontal. Quanto uma pessoa 
que sobe essa rampa inteira eleva-se verticalmente?
a) 17 m
b) 10 m 
c) 15 m
d) 5 m 
e) 8 m
9
Trigonometria nos triângulos
Resolução
Na figura, sen x30
20
º =
20
x
30o
Na tabela, sen30 1
2
º =
Pela propriedade transitiva da igualdade,
x
x
20
1
2
10= ⇒ = .
x
x
20
1
2
10= ⇒ = .
Resposta: b
Exemplo 4
Calcular x e y na figura.
a x
y
α
Resolução
Por definição: sen x
a
y
a
α α= =, cos
Daí, x = a sen α y = a cos α 
É muito útil memorizar esses resultados, reunidos na figura.
α
a
a ⋅ sen α
a ⋅ cos α 
Exemplo 5
Obter os componentes retangulares do vetor V, de 
módulo 10 cm e argumento 30º, conforme a figura.
30o
V y
V x
x
y
Resolução
Conforme resultados do exemplo 4, tem-se no triân-
gulo colorido da figura:
 
V Daí Vx x= = =10 30 10
3
2
5 3cos º . ,
 
V sen Daí Vy y= = =10 30 10
1
2
5º . ,
Exemplo 6
Obter a aceleração γ e o módulo da reação normal ao 
apoio (Na) de um corpo de massa m = 70 kg, aban-
donado num plano com inclinação de 30º. (Adotar 
g = 10 m/s2 e supor inexistência de atrito.)
Resolução
Considere o triângulo na figura abaixo.
Conforme resultados do exemplo 4, tem-se:
30o 
x
y
aN
P
xP
yP
30o
Do equilíbrio na direção do eixo y, vem:
N P P N Na y a= = = ⋅ ⇒ =cos º30 70
3
2
35 3
No eixo x, a resultante é:
P P sen P Nx x= ⋅ = ⋅ ⇒ =30 70
1
2
35º
Da Física, vem:
P mx = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =γ γ γ35 7 5 m/s
2
Exemplo 7
Qual o trabalho τ realizado por uma força de 40 
N que, formando ângulo de 60º com a horizontal, 
desloca um bloco em 8 metros na horizontal?
Resolução
Considere o triângulo colorido da figura:
d = 8
40
Fx
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8
C apítulo 1 - Frente A
Triângulos semelhantes
Dos triângulos semelhantes:
a c
α
bC A
B
5 3 ~
α
4
vêm as seguintes relações:
3
5
4
5
3
4
= = =c
a
b
a
c
b
, , .
Por meio delas, dado um valor incógnito, é possível 
obter os outros dois.
Exemplo 1
Nos vértices do triângulo ABC da figura acima, situ-
am-se três cidades. Sabendo que a distância c = 60 Km, 
calcular as distâncias a e b.
Resolução
De 3
5
c
a
vem 3
5
60
a
a 100 km.= = ⇒ =,
De 4
5
b
a
, vem 4
5
b
100
b 80 km.= = ⇒ =
Como se vê, é muito útil conhecer previamente tais 
rela ções, uma vez que podem ser usadas para cálculo 
de ele mentos inacessíveis em triângulos semelhantes. 
São chamadas relações trigonométricas e recebem 
nomes especiais.
Triângulo retângulo
Definição
Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576), discípulo 
de Nicolau Copérnico, foi o primeiro a definir funções 
trigonométricas como razões entre medidas de lados de 
um triângulo retângulo.
No triângulo a seguir, seno, cosseno e tangente de 
um ângulo α são dados pelas relações:
sen
c
a
α =
 
cosα = b
a 
tg
c
b
α =
a c
α
b
Valores notáveis
Em Geometria, num quadrado de lado a e num tri-
ângulo equilátero de lado 2a, as outras medidas são:
45o
a 2
a
a 30o
2a
a 3
60o
a
Exemplo 2
Calcular seno, cosseno e tangente de 30º, 45º, 60º.
Resolução
Aplicando as definições dadas nos triângulos re-
tângulos anteriores, vem:
sen cos tg30 1
2
30 3
2
30 1
3
3
3
º º º= = = =
sen cos tg60 3
2
60 1
2
60 3
1
3º º º= = = =
sen cos tg45 1
2
2
2
45 1
2
2
2
45 1
1
1º º º= = = = = =
 
Esses resultados costumam ser resumidos em uma 
tabela.
Ângulos Seno Cosseno Tangente
30o
1
2
3
2
3
3
45o
2
2
2
2
1
60o
3
2
1
2 3
Triângulos semelhantes
Essas relações obtidas podem ser usadas em triângu-
los inacessíveis, semelhantes aos triângulos anteriores.
Exemplo 3
Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz ângulo 
de 30º com o plano horizontal. Quanto uma pessoa 
que sobe essa rampa inteira eleva-se verticalmente?
a) 17 m
b) 10 m 
c) 15 m
d) 5 m 
e) 8 m
9
Trigonometria nos triângulos
Resolução
Na figura, sen x30
20
º =
20
x
30o
Na tabela, sen30 1
2
º =
Pela propriedade transitiva da igualdade,
x
x
20
1
2
10= ⇒ = .
x
x
20
1
2
10= ⇒ = .
Resposta: b
Exemplo 4
Calcular x e y na figura.
a x
y
α
Resolução
Por definição: sen x
a
y
a
α α= =, cos
Daí, x = a sen α y = a cos α 
É muito útil memorizar esses resultados, reunidos na figura.
α
a
a ⋅ sen α
a ⋅ cos α 
Exemplo 5
Obter os componentes retangulares do vetor V, de 
módulo 10 cm e argumento 30º, conforme a figura.
30o
V y
V x
x
y
Resolução
Conforme resultados do exemplo 4, tem-se no triân-
gulo colorido da figura:
 
V Daí Vx x= = =10 30 10
3
2
5 3cos º . ,
 
V sen Daí Vy y= = =10 30 10
1
2
5º . ,
Exemplo 6
Obter a aceleração γ e o módulo da reação normal ao 
apoio (Na) de um corpo de massa m = 70 kg, aban-
donado num plano com inclinação de 30º. (Adotar 
g = 10 m/s2 e supor inexistência de atrito.)
Resolução
Considere o triângulo na figura abaixo.
Conforme resultados do exemplo 4, tem-se:
30o 
x
y
aN
P
xP
yP
30o
Do equilíbrio na direção do eixo y, vem:
N P P N Na y a= = = ⋅ ⇒ =cos º30 70
3
2
35 3
No eixo x, a resultante é:
P P sen P Nx x= ⋅ = ⋅ ⇒ =30 70
1
2
35º
Da Física, vem:
P mx = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =γ γ γ35 7 5 m/s
2
Exemplo 7
Qual o trabalho τ realizado por uma força de 40 
N que, formando ângulo de 60º com a horizontal, 
desloca um bloco em 8 metros na horizontal?
Resolução
Considere o triângulo colorido da figura:
d = 8
40
Fx
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C apítulo 1 - Frente A
Conforme resultados do exemplo 4, tem-se:
F
F
F N
F d
N
J
x
x
x
x
= ⋅
= ⋅
=
= ⋅
=
=
40 60
40 1
2
20
20 8
160
cos º
( ) ( )
τ
τ
τ
 m
 
Triângulo qualquer
 
Teorema dos cossenos
É sempre possível decompor um triângulo em 
dois triângulos retângulos. Por isso, em qualquer tri-
ângulo podem ser usadas as noções de seno, cosseno 
e tangente. 
Exemplo 8
Demonstrar o teorema dos cossenos.
Resolução
 
A
CaB
bc
figura 1 
A
CPB
figura 2
 
O triângulo ABC pode ser decomposto em 2 triângu-
los: ABP e APC , conforme a figura 2.
Fazendo x = BP e h = AP, surgem as medidas indi-
cadas nos 2 triângulos da figura 3.
x
figura 3
h h
bc
−a x
 
Pelo Teorema de Pitágoras:
b2 = (a – x)2 + h2 
c2 = x2 + h2
Subtraindo membro a membro, tem-se: 
b2 – c2 = (a – x)2 – x2 
b2 – c2 = a2 – 2ax + x2 – x2
 Daí, o teorema das projeções:
b2 = a2 + c2 – 2ax (1)
Por outro lado, de cos B x
c
= vem: x = c cos B (2).
Substituindo (2) em (1), vem o teorema dos cos se nos: 
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B.
 Tente prová-lo para triângulos obtusângulos.
Em resumo:
a
bc
A
CB
α
Na figura anterior valem as relações:
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B (Teorema dos cossenos)
b2 = a2 + c2 – 2am (Teorema das projeções)
em que m = c·cos·α é a projeção do lado c sobre 
o lado a.
Tem-se:
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
Observe que, em ambos os teoremas, o lado oposto ao ângulo 
dado deve ficar no primeiro membro da igualdade.
Exemplo 9
Com os dados da figura, obter cos α.
α
6
5
4
Resolução
O lado oposto ao ângulo α mede 6. Por isso, no teore-
ma dos cossenos 6 estará no primeiro membro, assim:
62 = 42 + 52 – 2·4·5·cos α
36 = 16 + 25 – 40·cos α
– 5 = – 40·cos α
Daí, cos α = 1/8 
cos α = 1/8
11
Trigonometria nos triângulos
Exemplo 10
Calcule x na figura:
8
6
x
45o 
Resolução
O lado oposto ao ângulo α mede 6. No teorema dos 
cossenos 6 estará no primeiro membro, assim:
 62 = x2 + 82 – 2·x·8·cos 45º
36 64 2 8 22
2= + − ⋅ ⋅ ⋅x x
36 64 8 22= + − ⋅ ⋅x x
x x2 8 2 28 0− ⋅ ⋅ + =
Resolvendo, vem: x = ±4 2 2 *
*Leia “curiosidades” deste capítulo.
Exemplo 11
Os lados de um triângulo, em cm, medem: 8, 7 e 5. 
Calcule a mediana relativa ao maior lado.
Resolução
4
75
x
C
M 4 BA
α
No triângulo ABC da figura, tem-se:
72 = 52 + 82 – 2·5·8·cos α
Daí, cos α = ½ 
No triângulo AMC, tem-se:
x2 = 52 + 4 2 – 2·5·4·cos α
Isto é, x2 = 52 + 42 – 2·5·4 · ½ 
Daí, x = 21 
21 cm
Teorema dos senos
Introdução
Em qualquer triângulo, existem sempre:
1. Um círculo a ele circunscrito.
A
CB
2. E, nesse círculo, um triângulo retângulo em que um 
cateto é um dos lados do triângulo dado.
A
CB
C’
c
Considerações
No triângulo retângulo ABC’, tem-se:
senC
c
R
c
senC
R
,
, ,= =
2
2daí
Analogamente, b
sen B
R e
a
sen A
R= =2 2
 
Teorema dos senos
Em resumo:
Dados:
a
A
c
B
Cb
Tem-se:
a
sen A
b
sen B
c
sen C
R= = = 2
A conclusão anterior está expressa na proposição 
conhecida como teorema dos senos:
A razão entre as medidas de um lado e o seno
do ângulo oposto é constante e igual a 2R, sendo
R o raio do círculo circunscrito.
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C apítulo 1 - Frente A
Conforme resultados do exemplo 4, tem-se:
F
F
F N
F d
N
J
x
x
x
x
= ⋅
= ⋅
=
= ⋅
=
=
40 60
40 1
2
20
20 8
160
cos º
( ) ( )
τ
τ
τ
 m
 
Triângulo qualquer
 
Teorema dos cossenos
É sempre possível decompor um triângulo em 
dois triângulos retângulos. Por isso, em qualquer tri-
ângulo podem ser usadas as noções de seno, cosseno 
e tangente. 
Exemplo 8
Demonstrar o teorema dos cossenos.
Resolução
 
A
CaB
bc
figura 1 
A
CPB
figura 2
 
O triângulo ABC pode ser decomposto em 2 triângu-
los: ABP e APC , conforme a figura 2.
Fazendo x = BP e h = AP, surgem as medidas indi-
cadas nos 2 triângulos da figura 3.
x
figura 3
h h
bc
−a x
 
Pelo Teorema de Pitágoras:
b2 = (a – x)2 + h2 
c2 = x2 + h2
Subtraindo membro a membro, tem-se: 
b2 – c2 = (a –x)2 – x2 
b2 – c2 = a2 – 2ax + x2 – x2
 Daí, o teorema das projeções:
b2 = a2 + c2 – 2ax (1)
Por outro lado, de cos B x
c
= vem: x = c cos B (2).
Substituindo (2) em (1), vem o teorema dos cos se nos: 
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B.
 Tente prová-lo para triângulos obtusângulos.
Em resumo:
a
bc
A
CB
α
Na figura anterior valem as relações:
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B (Teorema dos cossenos)
b2 = a2 + c2 – 2am (Teorema das projeções)
em que m = c·cos·α é a projeção do lado c sobre 
o lado a.
Tem-se:
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
Observe que, em ambos os teoremas, o lado oposto ao ângulo 
dado deve ficar no primeiro membro da igualdade.
Exemplo 9
Com os dados da figura, obter cos α.
α
6
5
4
Resolução
O lado oposto ao ângulo α mede 6. Por isso, no teore-
ma dos cossenos 6 estará no primeiro membro, assim:
62 = 42 + 52 – 2·4·5·cos α
36 = 16 + 25 – 40·cos α
– 5 = – 40·cos α
Daí, cos α = 1/8 
cos α = 1/8
11
Trigonometria nos triângulos
Exemplo 10
Calcule x na figura:
8
6
x
45o 
Resolução
O lado oposto ao ângulo α mede 6. No teorema dos 
cossenos 6 estará no primeiro membro, assim:
 62 = x2 + 82 – 2·x·8·cos 45º
36 64 2 8 22
2= + − ⋅ ⋅ ⋅x x
36 64 8 22= + − ⋅ ⋅x x
x x2 8 2 28 0− ⋅ ⋅ + =
Resolvendo, vem: x = ±4 2 2 *
*Leia “curiosidades” deste capítulo.
Exemplo 11
Os lados de um triângulo, em cm, medem: 8, 7 e 5. 
Calcule a mediana relativa ao maior lado.
Resolução
4
75
x
C
M 4 BA
α
No triângulo ABC da figura, tem-se:
72 = 52 + 82 – 2·5·8·cos α
Daí, cos α = ½ 
No triângulo AMC, tem-se:
x2 = 52 + 4 2 – 2·5·4·cos α
Isto é, x2 = 52 + 42 – 2·5·4 · ½ 
Daí, x = 21 
21 cm
Teorema dos senos
Introdução
Em qualquer triângulo, existem sempre:
1. Um círculo a ele circunscrito.
A
CB
2. E, nesse círculo, um triângulo retângulo em que um 
cateto é um dos lados do triângulo dado.
A
CB
C’
c
Considerações
No triângulo retângulo ABC’, tem-se:
senC
c
R
c
senC
R
,
, ,= =
2
2daí
Analogamente, b
sen B
R e
a
sen A
R= =2 2
 
Teorema dos senos
Em resumo:
Dados:
a
A
c
B
Cb
Tem-se:
a
sen A
b
sen B
c
sen C
R= = = 2
A conclusão anterior está expressa na proposição 
conhecida como teorema dos senos:
A razão entre as medidas de um lado e o seno
do ângulo oposto é constante e igual a 2R, sendo
R o raio do círculo circunscrito.
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12
C apítulo 1 - Frente A
Exemplo 12
A diagonal de um paralelogramo divide um dos ân-
gulos internos em dois outros: um de 60º e outro de 
45º. Qual a razão entre os lados maior e menor?
Resolução
Seja o paralelogramo da figura:
60o
45o
45o
xA B
CD
y
x
y
Sendo AB // CD temos m (BÂC) = 45º
Pelo Teorema dos senos, x
sen
y
seno o60 45
=
Daí x
y
sen
sen
x
y
x
y
,
º
º
= ⇒ = ⇒ = ⋅60
45
3
2
2
2
3
2
2
2
Daí x
y
, = 3
2
x
y
= 6
2
Exemplo 13
Dar o raio do círculo circunscrito ao triângulo,
em que um lado de 8 cm está oposto a um ângulo 
de 60º.
Resolução
Seja R a medida do raio.
Considerando o teorema dos senos:
8
60o
Aplicando o teorema dos senos à figura anterior, vem:
8
60
2 4
60
4
3
2
sen
R R
sen
R
º º
= ⇒ = ∴ =
Daí R
cm
, = ⋅ =4 2
3
8 3
3
8 3
3
Resposta: R= 
Daí R
cm
, = ⋅ =4 2
3
8 3
3
8 3
3
Resposta:
Exemplo 14
Qual a área do triângulo em que dois lados de me-
didas a e b formam um ângulo de medida α?
Resolução
b
a
figura 1
α
 
b
a
figura 2
α
h
 
Seja o triângulo da figura 1.
Da figura 2, tiram-se duas relações:
• sua altura é h = asen α
• sua área é A = ½·b·h
Substituindo o valor da altura, a segunda relação fica:
A = ½·a·b·sen α *
* Esta fórmula tem vastíssima aplicação. Por isso, deve ser me-
morizada.
Exemplo 15
Qual a área do triângulo da figura a seguir?
8 cm
6 cm
30o
Resolução
Pela fórmula anterior,
A = ½·6·8·sen 30º
Isto é, A = ½·6·8·½ 
Daí, A = 12 
A = 12 cm2
13
Trigonometria nos triângulos
60o
B A
C
90 m
Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um 
ponto B, de onde poderá ver o topo do prédio, sob um 
ângulo de 60º. Quantos metros ela deverá se afastar do 
ponto A, andando em linha reta no sentido de A para 
B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um 
ângulo de 30º?
 a) 150 
 b) 180 
 c) 270
 d) 300 
 e) 310
3 PUCCAMP
Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois 
observadores X e Y sob ângulos de 30º e 60º com a 
horizontal, como mostra a fi gura:
60o
T
A YX
30o
Se a distância entre os observadores é de 40 m, qual é 
aproximadamente a altura da torre?
(Se necessário, utilize 2 1 4 1 7= =, , e 3 )
 a) 30 m 
 b) 32 m 
 c) 34 m
 d) 36 m 
 e) 38 m
4 UNISANTOS
Desde os tempos da antiga Grécia, a geometria sem-
pre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para 
resolver problemas práticos. Dos problemas que os 
gregos conseguiram resolver, dois merecem referência: 
o cálculo da distância de um objeto a um observador 
e o cálculo da altura de uma construção. No primei-
ro caso, para calcular, por exemplo, a distância de 
um barco até a costa, recorria-se a um artifício. Dois 
observadores se postavam de maneira que um deles 
pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º, com rela-
ção à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. 
Exemplo 16
Qual a área do triângulo equilátero de lado a?
60o
a
aa
Resolução:
Pela fórmula anterior,
A a a sen o= ⋅ ⋅ ⋅1
2
60
Isto é,
A a= ⋅ ⋅1
2
3
2
2
Daí,
A a= ⋅2 3
4
Resposta: a
2 3
4
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Triângulo Retângulo
1 UFPR
No triângulo qual o valor de tg B?
B
A C
5
4
3
 a) 3
5
  b) 3
4
  c) 4
5
 
 d) 4
3
  e) 3
2 PUCCAMP
Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na 
base de um prédio, conforme mostra a figura:
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12
C apítulo 1 - Frente A
Exemplo 12
A diagonal de um paralelogramo divide um dos ân-
gulos internos em dois outros: um de 60º e outro de 
45º. Qual a razão entre os lados maior e menor?
Resolução
Seja o paralelogramo da figura:
60o
45o
45o
xA B
CD
y
x
y
Sendo AB // CD temos m (BÂC) = 45º
Pelo Teorema dos senos, x
sen
y
seno o60 45
=
Daí x
y
sen
sen
x
y
x
y
,
º
º
= ⇒ = ⇒ = ⋅60
45
3
2
2
2
3
2
2
2
Daí x
y
, = 3
2
x
y
= 6
2
Exemplo 13
Dar o raio do círculo circunscrito ao triângulo,
em que um lado de 8 cm está oposto a um ângulo 
de 60º.
Resolução
Seja R a medida do raio.
Considerando o teorema dos senos:
8
60o
Aplicando o teorema dos senos à figura anterior, vem:
8
60
2 4
60
4
3
2
sen
R R
sen
R
º º
= ⇒ = ∴ =
Daí R
cm
, = ⋅ =4 2
3
8 3
3
8 3
3
Resposta: R= 
Daí R
cm
, = ⋅ =4 2
3
8 3
3
8 3
3
Resposta:
Exemplo 14
Qual a área do triângulo em que dois lados de me-
didas a e b formam um ângulo de medida α?
Resolução
b
a
figura 1
α
 
b
a
figura 2
α
h
 
Seja o triângulo da figura 1.
Da figura 2, tiram-se duas relações:
• sua altura é h = asen α
• sua área é A = ½·b·h
Substituindo o valor da altura, a segunda relação fica:
A = ½·a·b·sen α *
* Esta fórmula tem vastíssima aplicação. Por isso, deve ser me-
morizada.
Exemplo 15
Qual a área do triângulo da figura a seguir?
8 cm
6 cm
30o
Resolução
Pela fórmula anterior,
A = ½·6·8·sen 30º
Isto é, A = ½·6·8·½ 
Daí, A = 12 
A = 12 cm2
13
Trigonometria nos triângulos
60o
B A
C
90 m
Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um 
ponto B, de onde poderá ver o topo do prédio, sob um 
ângulo de 60º. Quantos metros ela deverá se afastar do 
ponto A, andando em linha reta no sentido de A para 
B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um 
ângulo de 30º?
 a) 150 
 b) 180 
 c) 270
 d) 300 
 e) 310
3 PUCCAMP
Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois 
observadores X e Y sob ângulos de 30º e 60º com a 
horizontal, como mostra a fi gura:
60o
T
A YX
30o
Se a distância entreos observadores é de 40 m, qual é 
aproximadamente a altura da torre?
(Se necessário, utilize 2 1 4 1 7= =, , e 3 )
 a) 30 m 
 b) 32 m 
 c) 34 m
 d) 36 m 
 e) 38 m
4 UNISANTOS
Desde os tempos da antiga Grécia, a geometria sem-
pre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para 
resolver problemas práticos. Dos problemas que os 
gregos conseguiram resolver, dois merecem referência: 
o cálculo da distância de um objeto a um observador 
e o cálculo da altura de uma construção. No primei-
ro caso, para calcular, por exemplo, a distância de 
um barco até a costa, recorria-se a um artifício. Dois 
observadores se postavam de maneira que um deles 
pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º, com rela-
ção à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. 
Exemplo 16
Qual a área do triângulo equilátero de lado a?
60o
a
aa
Resolução:
Pela fórmula anterior,
A a a sen o= ⋅ ⋅ ⋅1
2
60
Isto é,
A a= ⋅ ⋅1
2
3
2
2
Daí,
A a= ⋅2 3
4
Resposta: a
2 3
4
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Triângulo Retângulo
1 UFPR
No triângulo qual o valor de tg B?
B
A C
5
4
3
 a) 3
5
  b) 3
4
  c) 4
5
 
 d) 4
3
  e) 3
2 PUCCAMP
Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na 
base de um prédio, conforme mostra a figura:
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
14
C apítulo 1 - Frente A
Se a distância entre os observadores fosse igual a 50 
metros, a distância entre o barco e a costa seria de:
 a) 50 2 m. 
 b) 50 m 
 c) 10 5 m.
 d) 100 m 
 e) 75 2 m. 
5 UFRGS 
Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção 
de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a 
margem do rio:
120o
B
A
60 m
Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros, 
percorrida pelo barco foi de:
 a) 40 2. 
 b) 40 3. 
 c) 45 3.
 d) 50 3. 
 e) 60 2. 
6 UNIRIO
Um disco voador é avistado, numa região plana, a certa 
altitude, parado no ar. Em certo instante, algo se des-
prende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a 
figura. A que altitude se encontra esse disco voador?
d
α
Considere as afirmativas:
I – a distância d é conhecida;
II – a medida do ângulo α e a tg do mesmo ângulo são 
conhecidas.
Então, tem-se que:
 a) a I sozinha é suficiente para responder à pergunta, 
mas a II, sozinha, não.
 b) a II sozinha é suficiente para responder à pergun-
ta, mais a I, sozinha, não.
 c) I e II juntas são suficientes para responder à per-
gunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é.
 d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder 
à pergunta
 e) a pergunta não pode ser respondida por falta de 
dados.
7 UFPR 
Um caminhão do corpo de bombeiros tem 2 m de al-
tura, e a escada acoplada em sua parte superior mede 
20 m quando totalmente estendida; dessa forma, ela é 
encostada no prédio A e depois no prédio B, formando 
com a horizontal ângulos de 15º e 75º, respectivamente, 
e alcançando a metade da altura do prédio A no ponto 
P e altura total do prédio B no ponto Q. De acordo com 
a figura, onde se observa esquematicamente a situação, 
é correto afirmar:
Prédio A
Prédio B
20m 
20 m 
Q
2 m
75o
P
d
15o
x{
|01| A distância d (em metros) entre os prédios é igual a 
10 6.
|02| O ângulo que a escada forma com a parede do pré-
dio B mede 25º.
|04| A distância PQ é menor que 30 m.
|08| A altura do prédio B é menor que 19 m.
|16| A metade da altura do prédio A, em metros, é igual 
a 20 sen 15º.
Soma | |
Obs.: sen 75º = cos 15º ≅ 0,96
8 FUVEST
Dados MP ⊥ s; MQ ⊥ t; MQ ⊥ PQ e MP = 6,. 
30o
M
t
P
s
Q
Então PQ é igual a:
 a) 3 3 
 b) 3 
 c) 6 3 
 d) 4 3 
 e) 2 3
15
Trigonometria nos triângulos
9 MACKENZIE
Na figura, o valor de sen x é: 
2 4
x C
0
P
Sugestão: O raio da circunferência é perpendicular à 
reta tangente no ponto de tangência.
 a) 1
2
. 
 b) 1
3
. 
 c) 3
2
.
 d) 3
3
. 
 e) 1
6
.
10 ESAN
Para obter a altura de uma torre, um topógrafo estaciona 
o teodolito a 200 m da base da mesma, o ângulo indicado 
na figura mede 30º. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m 
do solo, então o valor aproximadamente da torre é: 
Dado: 3 1 73≅( ),
200 m
30o
 a) 117 m
 b) 120 m
 c) 120,7 m
 d) 112 m
 e) 110,7 m
11 VUNESP
Calcular x e y na figura:
y
x
30o
45o2
12
Da figura, obter x = f (α, β, )
x
α β

13
Dois pontos A e B estão situados na mesma margem de 
um rio e dis tantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra 
margem, es tá situado de tal modo que CAB mede 45º . e 
CBA mede 45º. Qual a largura do rio?
14 
Quanto mede a projeção ortogonal de AB em r?
60o
A
B
8
r
15 CESCEM
Calcule o valor de x na fi gura.
100 x
30o
30o
 a) x = 50
 b) x = 60
 c) x = 100
 d) x =
100 3
2
 e) x não pode ser determinado por falta de dados.
16 ENEM 2006
30 cm
30 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
90
 c
m
90
 c
m
corrimão
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
15
Trigonometria nos triângulos
9 MACKENZIE
Na figura, o valor de sen x é: 
2 4
x C
0
P
Sugestão: O raio da circunferência é perpendicular à 
reta tangente no ponto de tangência.
 a) 1
2
. 
 b) 1
3
. 
 c) 3
2
.
 d) 3
3
. 
 e) 1
6
.
10 ESAN
Para obter a altura de uma torre, um topógrafo estaciona 
o teodolito a 200 m da base da mesma, o ângulo indicado 
na figura mede 30º. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m 
do solo, então o valor aproximadamente da torre é: 
Dado: 3 1 73≅( ),
200 m
30o
 a) 117 m
 b) 120 m
 c) 120,7 m
 d) 112 m
 e) 110,7 m
11 VUNESP
Calcular x e y na figura:
y
x
30o
45o2
12
Da figura, obter x = f (α, β, )
x
α β

13
Dois pontos A e B estão situados na mesma margem de 
um rio e dis tantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra 
margem, es tá situado de tal modo que CAB mede 45º . e 
CBA mede 45º. Qual a largura do rio?
14 
Quanto mede a projeção ortogonal de AB em r?
60o
A
B
8
r
15 CESCEM
Calcule o valor de x na fi gura.
100 x
30o
30o
 a) x = 50
 b) x = 60
 c) x = 100
 d) x =
100 3
2
 e) x não pode ser determinado por falta de dados.
16 ENEM 2006
30 cm
30 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
90
 c
m
90
 c
m
corrimão
PDF FINAL - ERRATAS / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / PATRICIA.MONTEIRO / 15-04-2015 (14:54)
16
C apítulo 1 - Frente A
Na figura acima, que representa o projeto de uma es-
cada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento 
total do corrimão é igual a:
 a) 1,8 m
 b) 1,9 m
 c) 2,0 m
 d) 2,1 m
 e) 2,2 m
17 FATEC
No triângulo ABC, onde CM é a altura relativa ao lado 
AB, temos: tg tgα β= =0 2 0 5, ; , e h =10.
A M B
C
h
α
β
A medida do lado AB é:
 a) 18 
 b) 20 
 c) 21
 d) 22 
 e) 24
18 ENEM 2011
Para determinar a distância de um barco até a praia, um 
navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de 
um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em 
um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo 
sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse 
possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob 
um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Trajetória do barco
P
A B
2αα
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo
α = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco 
havia percorrido a distância AB = 2.000 m. Com base 
nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor 
distância do barco até o ponto fixo P será:
 a) 1.000 m 
 b) 1 000 3. m
 c) 2 000
3
3
. m 
 d) 2.000 m
 e) 2 000 3. m
19 PUCCAMP
A figura é um corte vertical de uma peça usada em cer-
to tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, 
com raios de 3 cm e 4 cm, um suporte vertical e um 
apoio horizontal. A partir das medidas indicadas na fi-
gura, calcule a altura do suporte.
3 cm
APOIO
SUPORTE
30o
24 cm
4 cm
 a) 7 cm  b) 11 cm  c) 12 cm
 d) 14 cm  e) 16 cm
20 UFES
Na figura a seguir está representada uma circunferência 
com centrono ponto C e raio medindo 1 unidade de 
comprimento. Determine a medida do segmento de reta 
PQ nesta unidade de comprimento.
QC
P
30o
21 DESAFIO
Calcule α, dados AB = AC e BC = CD.
A
CB
D
r//s
s
α
Teorema dos cossenos
22 UFPB
Num dado instante, dois navios se encontram afastados 
12 milhas de um farol F nos pontos A e B. Se o ângulo 
AF̂B formado entre os navios e o farol é igual a 60º, 
qual é a distância entre os dois navios?
17
Trigonometria nos triângulos
 a) 15 milhas 
 b) 13 milhas 
 c) 10 milhas 
 d) 12 milhas 
 e) 14 milhas
23 FUVEST
Na figura, AD = 2 cm, AB = cm3 , a medida do ângu lo 
BÂC é 30º e BD = DC, onde D é o ponto do lado AC.
A D C
B
A medida do lado BC , em cm, é:
 a) 3 
 b) 2 
 c) 5 
 d) 6 
 e) 7
24 FUVEST
No quadrilátero a seguir, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, 
AD̂C = 60º e AB̂C = 90º
D
C
BA
A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:
 a) 11 
 b) 12 
 c) 13 
 d) 14 
 e) 15
25 UFPI
Em um triângulo, um dos ângulos mede 60º e os lados 
adjacentes a este ângulo medem 1 cm e 2 cm. O valor 
do perímetro desse triângulo, em centímetros, é:
 a) 3 5+ 
 b) 5 3+ 
 c) 3 3+
 d) 3 7+ 
 e) 5 7+
26
Na figura a seguir, ABCD indica um quadrado de lado 
unitário e ABE um triângulo equilátero.
E
D C
BA
O quadrado da medida do segmento DE é igual a:
 a) 2 2− 
 b) 2 3− 
 c) 3 2−
 d) 3 3− 
 e) 4 3−
27
Na figura, o valor de x é:
5
60o
8
x
 a) 7  b) 7 2  c) 6 3
 d) 6  e) 7 3
Teorema dos senos
28 UNIRIO
Um barco está preso por uma corda AC( ) ao cais, atra-
vés de um mastro AB( ) de comprimento 3 m, como 
mostra a figura. 
Barco
75o
135o
C
Mar
B
Cais
A
A distância, em m, da proa do barco até o cais BC( ) é 
igual a:
 a) 
3 2 6
2
+( )  b) 3 2 6
4
+( )
 c) 
2 6
2
+( )  d) 2 6
4
+( )
 e) 6
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
16
C apítulo 1 - Frente A
Na figura acima, que representa o projeto de uma es-
cada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento 
total do corrimão é igual a:
 a) 1,8 m
 b) 1,9 m
 c) 2,0 m
 d) 2,1 m
 e) 2,2 m
17 FATEC
No triângulo ABC, onde CM é a altura relativa ao lado 
AB, temos: tg tgα β= =0 2 0 5, ; , e h =10.
A M B
C
h
α
β
A medida do lado AB é:
 a) 18 
 b) 20 
 c) 21
 d) 22 
 e) 24
18 ENEM 2011
Para determinar a distância de um barco até a praia, um 
navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de 
um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em 
um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo 
sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse 
possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob 
um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Trajetória do barco
P
A B
2αα
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo
α = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco 
havia percorrido a distância AB = 2.000 m. Com base 
nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor 
distância do barco até o ponto fixo P será:
 a) 1.000 m 
 b) 1 000 3. m
 c) 2 000
3
3
. m 
 d) 2.000 m
 e) 2 000 3. m
19 PUCCAMP
A figura é um corte vertical de uma peça usada em cer-
to tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, 
com raios de 3 cm e 4 cm, um suporte vertical e um 
apoio horizontal. A partir das medidas indicadas na fi-
gura, calcule a altura do suporte.
3 cm
APOIO
SUPORTE
30o
24 cm
4 cm
 a) 7 cm  b) 11 cm  c) 12 cm
 d) 14 cm  e) 16 cm
20 UFES
Na figura a seguir está representada uma circunferência 
com centro no ponto C e raio medindo 1 unidade de 
comprimento. Determine a medida do segmento de reta 
PQ nesta unidade de comprimento.
QC
P
30o
21 DESAFIO
Calcule α, dados AB = AC e BC = CD.
A
CB
D
r//s
s
α
Teorema dos cossenos
22 UFPB
Num dado instante, dois navios se encontram afastados 
12 milhas de um farol F nos pontos A e B. Se o ângulo 
AF̂B formado entre os navios e o farol é igual a 60º, 
qual é a distância entre os dois navios?
17
Trigonometria nos triângulos
 a) 15 milhas 
 b) 13 milhas 
 c) 10 milhas 
 d) 12 milhas 
 e) 14 milhas
23 FUVEST
Na figura, AD = 2 cm, AB = cm3 , a medida do ângu lo 
BÂC é 30º e BD = DC, onde D é o ponto do lado AC.
A D C
B
A medida do lado BC , em cm, é:
 a) 3 
 b) 2 
 c) 5 
 d) 6 
 e) 7
24 FUVEST
No quadrilátero a seguir, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, 
AD̂C = 60º e AB̂C = 90º
D
C
BA
A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:
 a) 11 
 b) 12 
 c) 13 
 d) 14 
 e) 15
25 UFPI
Em um triângulo, um dos ângulos mede 60º e os lados 
adjacentes a este ângulo medem 1 cm e 2 cm. O valor 
do perímetro desse triângulo, em centímetros, é:
 a) 3 5+ 
 b) 5 3+ 
 c) 3 3+
 d) 3 7+ 
 e) 5 7+
26
Na figura a seguir, ABCD indica um quadrado de lado 
unitário e ABE um triângulo equilátero.
E
D C
BA
O quadrado da medida do segmento DE é igual a:
 a) 2 2− 
 b) 2 3− 
 c) 3 2−
 d) 3 3− 
 e) 4 3−
27
Na figura, o valor de x é:
5
60o
8
x
 a) 7  b) 7 2  c) 6 3
 d) 6  e) 7 3
Teorema dos senos
28 UNIRIO
Um barco está preso por uma corda AC( ) ao cais, atra-
vés de um mastro AB( ) de comprimento 3 m, como 
mostra a figura. 
Barco
75o
135o
C
Mar
B
Cais
A
A distância, em m, da proa do barco até o cais BC( ) é 
igual a:
 a) 
3 2 6
2
+( )  b) 3 2 6
4
+( )
 c) 
2 6
2
+( )  d) 2 6
4
+( )
 e) 6
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
18
C apítulo 1 - Frente A
29 VUNESP
Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas 
margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um ob-
servador que se encontra junto a A afasta-se 20 m da 
margem, na direção da reta AB, até o ponto C, e depois 
caminha em linha reta até o ponto D, a 40 m de C, do 
qual ainda pode ver as árvores:
A
B
D
C
Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem, 
respectivamente, cerca de 15º e 120º, que valor ele 
encontrou para a distância entre as árvores, se usou a 
aproximação 6 2 4= , ?
30 VUNESP
Na figura, os pontos A, B e C estão sobre uma circunfe-
rência de raio 1 cm, e o ângulo ACB mede 45º:
A
B
C
45o
Nestas condições, o comprimento da corda AB, em cm, 
vale:
 a) 2 
 b) 1 2
4
+ 
 c) 2
2
 d) 1 2
4
+ 
 e) 2 1−
31 PUC-MG
Na figura, o triângulo escaleno tem lados medindo a, b 
e c. A medida do ângulo C é α. 
b
BC
A
c
a
α
Nessas condições, a medida da área do triângulo ABC, 
em unidades de área, é:
 a) 1
2
ab cos α 
 b) 1
2
ac cos α
 c) 1
2
bc sen α 
 d) 1
2
ac sen α
 e) 1
2
ab sen α
32 UEL
Se um triângulo ABC está inscrito numa circunferência 
de raio r, vale a relação BC
sen
AB
sen
AC
sen
r
 A C   
= = =
B
2 .
Considere agora a figura seguinte, na qual há um triân-
gulo inscrito em uma circunferência de centro O:
x
45o30o
5 cm
O
A medida indicada por x é, em centímetros:
 a) 10 2 
 b) 5 3 
 c) 7,5
 d) 5 2 
 e) 2,5
33
Qual a área do triângulo?
105o
4 cm
30o
34
Num triângulo com 0,75 m2 de área, dois lados medem 
1 m e m.3 Ache, em radianos, o ângulo compreendido.
 a) π
6
  b) π
2
  c) π
3
 
 d) π
4
  e) π
5
 
19
Trigonometria nos triângulos
Texto complementar & curiosidades
1
Veja outra demonstração do teorema dos senos.
a
c b
C
A
H
h
B 
c h
b
HCB
 
Traçando a altura relativa ao vértice A, surgem dois triângulos retângulos BHA e CHA. Tem-se:
sen B
h
c
h c sen B
sen C
h
b
h b sen C
c sen B b sen C
b
s
 
 
 
= → =
= → =






→ = →
een B
c
sen C 
=
Traçando a altura relativa ao vértice C, mostra-se de modo análogo que:
a
sen A
b
sen B 
=
2
Observe o ângulo obtuso C. Tem-se sen (180º – C) = sen C.
Por isso, ao aplicar o teorema dos Senos em que a incógnita é um dos ângulos, o problema pode apresentar 
duas soluções, uma vez que há dois ângulos, um agudo e umobtuso, com o mesmo seno. Isso acontecerá sempre 
que os dados fornecidos não se encaixarem num caso de congruência de triângulos (LAL, ALA, LLA, LAA, 
Hica). É o caso a seguir, com duas possibilidades:
 8
5
60o
7
 
7
3
5
120o
35 FGV
A área do triângulo da figura é:
30o
6
12
 a) 18 
 b) 9 
 c) 10
 d) 36 
 e) 40
36
Dada uma circunferência de raio R, a área do hexágono 
regular inscrito é:
 a) 27
2
2
R
 
 b) 3 R2 
 c) 45
2
2
R
 d) 3
2
2
R
 
 e) 6 R2
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
18
C apítulo 1 - Frente A
29 VUNESP
Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas 
margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um ob-
servador que se encontra junto a A afasta-se 20 m da 
margem, na direção da reta AB, até o ponto C, e depois 
caminha em linha reta até o ponto D, a 40 m de C, do 
qual ainda pode ver as árvores:
A
B
D
C
Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem, 
respectivamente, cerca de 15º e 120º, que valor ele 
encontrou para a distância entre as árvores, se usou a 
aproximação 6 2 4= , ?
30 VUNESP
Na figura, os pontos A, B e C estão sobre uma circunfe-
rência de raio 1 cm, e o ângulo ACB mede 45º:
A
B
C
45o
Nestas condições, o comprimento da corda AB, em cm, 
vale:
 a) 2 
 b) 1 2
4
+ 
 c) 2
2
 d) 1 2
4
+ 
 e) 2 1−
31 PUC-MG
Na figura, o triângulo escaleno tem lados medindo a, b 
e c. A medida do ângulo C é α. 
b
BC
A
c
a
α
Nessas condições, a medida da área do triângulo ABC, 
em unidades de área, é:
 a) 1
2
ab cos α 
 b) 1
2
ac cos α
 c) 1
2
bc sen α 
 d) 1
2
ac sen α
 e) 1
2
ab sen α
32 UEL
Se um triângulo ABC está inscrito numa circunferência 
de raio r, vale a relação BC
sen
AB
sen
AC
sen
r
 A C   
= = =
B
2 .
Considere agora a figura seguinte, na qual há um triân-
gulo inscrito em uma circunferência de centro O:
x
45o30o
5 cm
O
A medida indicada por x é, em centímetros:
 a) 10 2 
 b) 5 3 
 c) 7,5
 d) 5 2 
 e) 2,5
33
Qual a área do triângulo?
105o
4 cm
30o
34
Num triângulo com 0,75 m2 de área, dois lados medem 
1 m e m.3 Ache, em radianos, o ângulo compreendido.
 a) π
6
  b) π
2
  c) π
3
 
 d) π
4
  e) π
5
 
19
Trigonometria nos triângulos
Texto complementar & curiosidades
1
Veja outra demonstração do teorema dos senos.
a
c b
C
A
H
h
B 
c h
b
HCB
 
Traçando a altura relativa ao vértice A, surgem dois triângulos retângulos BHA e CHA. Tem-se:
sen B
h
c
h c sen B
sen C
h
b
h b sen C
c sen B b sen C
b
s
 
 
 
= → =
= → =






→ = →
een B
c
sen C 
=
Traçando a altura relativa ao vértice C, mostra-se de modo análogo que:
a
sen A
b
sen B 
=
2
Observe o ângulo obtuso C. Tem-se sen (180º – C) = sen C.
Por isso, ao aplicar o teorema dos Senos em que a incógnita é um dos ângulos, o problema pode apresen-
tar duas soluções, uma vez que há dois ângulos, um agudo e um obtuso, com o mesmo seno. Isso acontecerá 
sempre que os dados fornecidos não se encaixarem num caso de congruência de triângulos (LAL, ALA, 
LLA, LAA). É o caso a seguir, com duas possibilidades:
 8
5
60o
7
 
7
3
5
120o
35 FGV
A área do triângulo da figura é:
30o
6
12
 a) 18 
 b) 9 
 c) 10
 d) 36 
 e) 40
36
Dada uma circunferência de raio R, a área do hexágono 
regular inscrito é:
 a) 27
2
2
R
 
 b) 3 R2 
 c) 45
2
2
R
 d) 3
2
2
R
 
 e) 6 R2
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / FRANCISCO.SILVA / 13-10-2014 (15:46)
20
C apítulo 1 - Frente A
Resumindo
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Trigonometria nos triângulos
1 UFPA
No triângulo retângulo, temos:
t
2
1
I. sen t =
1
2
 
II. cos t = 2
5
 
III. tg t = 2
A(s) afirmativa(s) verdadeiras(s) é (são):
 a) I. 
 b) II. 
 c) III.
 d) II e III. 
 e) I, II e III.
2 CESGRANRIO
O trapézio retângulo MNPQ tem as medidas indicadas 
na figura. 
P8Q
5
M 5 N
O cosseno do ângulo QMN vale:
 a) − 3
5
 
 b) − 4
5
 
 c) –1 
 d) − 2
2
 
 e) − 3
2
3 UNICAMP
A água utilizada na casa de um sítio é captada e 
bombea da do rio para uma caixa-d’água a 50 m de dis-
tância. A casa está a 80 m de distância da caixa-d’água 
e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água/bomba 
e caixa-d’água/casa é de 60º. Se pretende-se bombear 
água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos 
metros de encanamento serão necessários?
Relações trigonométricas
R: raio do círculo circunscrito.
CB
A
α
β γ
c b
a
a, b, c: lados
α, β, γ: medidas dos ângulos internos
Teorema dos cossenos: a b c bc2 2 2 2= + − cosα
Teorema da projeção: a b c= +cos cosγ β
Teorema dos senos: 
a
sen
b
sen
c
sen
R
α β γ
= = = 2
21
Trigonometria nos triângulos
4 UECE
Na figura, MNPQ é um trapézio isósceles, 
MN = 20cm, QP = =10 60cm e θ º.
Q P
NM
θ
Então, a área desse trapézio, em cm2, é:
 a) 55 3 
 b) 65 3
 c) 75 3 
 d) 85 3
5 COVEST
Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 
100 m, seguindo uma direção que forma um ângulo de 30º 
com uma das margens. Assinale a alternativa certa pa ra a 
distância percorrida pelo barco para atravessar o rio.
 a) 100 m 
 b) 200 m 
 c) 200
3
m 
 d) 150 m 
 e) 250 m
6 PUC
O triângulo retângulo ABC tem a hipotenusa AB em 
um plano α. Seja C’ a projeção ortogonal de C sobre α. 
Qual deve ser a distância de C ao plano α, para que o 
ângulo AC’ B seja igual a 135º, dados os catetos 
AC e BC= =3 2 ?
Dado: cos º135 2
2
= −
7 FUVEST
Veja as figuras a seguir.
75o
x
45o
5
60o
6
y4
a) Na figura 1, calcule x.
b) Na figura 2, calcule y.
8 ITA 2009
Considere o triângulo ABC de lados a BC b AC= =, 
e c AB= e ângulos internos α = CAB , β = ABC
e BCAγ =  . Sabendo-se que a equação
x bx
2
2− +cosα + − =b a2 2 0
admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que:
 a) α = 90º
 b) β = 60º
 c) γ = 90º
 d) O triângulo é retângulo apenas se α = 45º.
 e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.
9 IME
Em um círculo de 10 2 cm de diâmetro temos duas 
cordas de 2 cm e 10 cm. Achar a corda do arco soma 
dos arcos das cordas anteriores.
10 FUVEST
Na figura a seguir, AB = BC = CD = DE = 2 e 
ABC BCD e CDE  = = =2
3 2
π π
 .
Calcule a distância entre A e E.
D
E
A
B
C
11 MACKENZIE
No triângulo retângulo da figura, T é ponto médio.
P
Q
T
60o
30o
4
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / PATRICIA.MONTEIRO / 26-05-2014 (14:34)
20
C apítulo 1 - Frente A
Resumindo
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Trigonometria nos triângulos
1 UFPA
No triângulo retângulo, temos:
t
2
1
I. sen t =
1
2
 
II. cos t = 2
5
 
III. tg t = 2
A(s) afirmativa(s) verdadeiras(s) é (são):
 a) I. 
 b) II. 
 c) III.
 d) II e III. 
 e) I, II e III.
2 CESGRANRIO
O trapézio retângulo MNPQ tem as medidas indicadas 
na figura. 
P8Q
5
M 5 N
O cosseno do ângulo QMN vale:
 a) − 3
5
 
 b) − 4
5
 
 c) –1 
 d) − 2
2
 
 e) − 3
2
3 UNICAMP
A água utilizada na casa de um sítio é captada e 
bombea da do rio para uma caixa-d’água a 50 m de dis-
tância. A casa está a 80 m de distância da caixa-d’água 
e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água/bomba 
e caixa-d’água/casa é de 60º. Se pretende-se bombear 
água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos 
metros de encanamento serão necessários?
Relações trigonométricas
R: raio do círculo circunscrito.
CB
A
α
β γ
c b
a
a, b, c: lados
α, β, γ: medidas dos ângulos internos
Teorema dos cossenos: a b c bc2 2 2 2= + − cosα
Teorema da projeção: a b c= +cos cosγ β
Teorema dos senos: 
a
sen
b
sen
c
sen
R
α β γ
= = = 2
21
Trigonometria nos triângulos
4 UECE
Na figura, MNPQ é um trapézio isósceles, 
MN = 20cm, QP = =10 60cm e θ º.
Q P
NM
θ
Então, a área desse trapézio, em cm2, é:
 a) 55 3 
 b) 65 3
 c) 75 3 
 d) 85 3
5 COVEST
Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 
100 m, seguindo uma direção que forma um ângulo de 30ºcom uma das margens. Assinale a alternativa certa pa ra a 
distância percorrida pelo barco para atravessar o rio.
 a) 100 m 
 b) 200 m 
 c) 200
3
m 
 d) 150 m 
 e) 250 m
6 PUC
O triângulo retângulo ABC tem a hipotenusa AB em 
um plano α. Seja C’ a projeção ortogonal de C sobre α. 
Qual deve ser a distância de C ao plano α, para que o 
ângulo AC’ B seja igual a 135º, dados os catetos 
AC e BC= =3 2 ?
Dado: cos º135 2
2
= −
7 FUVEST
Veja as figuras a seguir.
75o
x
45o
5
60o
6
y4
a) Na figura 1, calcule x.
b) Na figura 2, calcule y.
8 ITA 2009
Considere o triângulo ABC de lados a BC b AC= =, 
e c AB= e ângulos internos α = CAB , β = ABC
e BCAγ =  . Sabendo-se que a equação
x bx
2
2− +cosα + − =b a2 2 0
admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que:
 a) α = 90º
 b) β = 60º
 c) γ = 90º
 d) O triângulo é retângulo apenas se α = 45º.
 e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.
9 IME
Em um círculo de 10 2 cm de diâmetro temos duas 
cordas de 2 cm e 10 cm. Achar a corda do arco soma 
dos arcos das cordas anteriores.
10 FUVEST
Na figura a seguir, AB = BC = CD = DE = 2 e 
ABC BCD e CDE  = = =2
3 2
π π
 .
Calcule a distância entre A e E.
D
E
A
B
C
11 MACKENZIE
No triângulo retângulo da figura, T é ponto médio.
P
Q
T
60o
30o
4
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
22
C apítulo 1 - Frente A
Então o lado do triângulo equilátero PQT mede:
 a) 2 
 b) 5 
 c) 7
 d) 11 
 e) 3
12 UEBA
Num triângulo ABC, reto em B, a hipotenusa mede 10 
cm e a medida de AB é o dobro da medida de BC . O 
valor de sen C + cos C tg C  − é:
 a) 4 
 b) −17
10
 
 c) 3 5 10
5
−
 
 
 d) 6 5 5
10
− 
 e) 3 5 10+
13 UNICAMP 2012
Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos 
situados à margem de um riacho, como mostra a figura 
a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostra-
das na figura, bem como os ângulos especificados na 
tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.
A
Riacho
B
C
D
15
 m
10 m
Visada Ângulo
AC
^
B π/6
BC
^
D π/3
AB
^
C π/6
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
14 ITA
Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo 
medir 20x cm e a soma dos senos de seus ângulos in-
ternos for igual a x, então a área do círculo, em cm2, 
será igual a:
 a) 50 π 
 b) 75 π 
 c) 100 π
 d) 125 π 
 e) 150 π
15 UFPE
Um terreno triangular tem frente de 6 m e 8 m, em ruas 
que formam ângulos de π/2 rad. Assinale a alternativa 
que corresponde à área e ao terceiro lado do triângulo, 
respectivamente:
 a) 24 m2 e 10 m. 
 b) 10 m2 e 24 m.
 c) 48 m2 e 10 m. 
 d) 24 m2 e 100 m.
 e) 48 m2 e 100 m.
16 ABC
Se um lado de um triângulo equilátero é congruente 
com uma altura de outro triângulo equilátero, então a 
razão das áreas destes triângulos é igual a:
 a) 3 3
2
 
 b) 5
8
 
 c) 2 3
3 2
 d) 5
3
 
 e) 4
3
17 ITA
Num triângulo ABC, D é um ponto médio do segmento 
AC e E é um ponto do segmento AB. Sabendo-se que 
AB AE=3 , determine a razão entre a área do quadrilá-
tero BCDE e a do triângulo ADE.
18 CESGRANRIO
Os catetos de um triângulo retângulo medem sen α e 
cos α, respectivamente. Se o perímetro do triângulo 
vale 1 3
2
+ , o menor ângulo do triângulo mede:
 a) 15º 
 b) 22º 30’ 
 c) 25º 
 d) 27º 30’ 
 e) 30º
23
Trigonometria nos triângulos
19 PUC
Um poste na posição vertical, colocado num plano ho-
rizontal, encontra-se a 3 metros de uma parede plana e 
vertical. Neste instante, o Sol projeta a sombra do poste 
na parede. Esta sombra tem 17 metros. Se a altura do 
poste é de 20 metros, então a inclinação dos raios sola-
res, em relação ao plano horizontal, é de:
 a) 15º 
 b) 22º 30’ 
 c) 30º 
 d) 45º 
 e) 60º
20 CESESP
Num terreno de forma triangular onde o lado maior 
mede 100 m, o maior ângulo entre os lados é π/2 e um 
dos outros dois ângulos é metade do outro, seu lado 
menor mede:
 a) 12 m 
 b) 33,3 m 
 c) 17 m
 d) 66,6 m 
 e) 50 m
21 FATEC 2010
Considere a figura que representa
• o triângulo ABC inscrito na semicircunferência de 
centro O e raio 2;
• o lado BC, de medida igual a 2;
• o diâmetro AB perpendicular à reta BD;
• o ponto C pertencente à reta AD.
O
A
C D
B
Nestas condições, no triângulo ABD, a medida do lado 
BD é:
 a) 4 3
3
 
 b) 5 3
3
 
 c) 2 3
3
 d) 7 3
3
 
 e) 3 3
22 FGV
A área do triângulo da figura é:
6
3
30o
 a) 4 
 b) 4,5 
 c) 5
 d) 5,5 
 e) 6
23 CESGRANRIO
Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipo-
tenusa faz com ela um ângulo de 40º. A diferença entre 
os ângulos agudos do triângulo é:
 a) 30º 
 b) 40º 
 c) 45º
 d) 50º 
 e) 55º
24 VUNESP
Na figura a seguir, as áreas dos triângulos ABP e PBC 
são, respectivamente, S1 e S2. Se α = β, então 
S
S
1
2
 é 
igual a:
B
24 8
P
α β
A C
 a) 3 
 b) 4 
 c) 5
 d) 6 
 e) 7
25 CESGRANRIO
Seja AH a altura relativa à hipotenusa do triângulo re-
tângulo ABC. Se C = 30º , a razão entre as áreas dos 
triângulos ABH e ACH é:
 a) 1
2 
 b) 1
3 
 c) 3
3
 d) 3
2 
 e) 2
2
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
22
C apítulo 1 - Frente A
Então o lado do triângulo equilátero PQT mede:
 a) 2 
 b) 5 
 c) 7
 d) 11 
 e) 3
12 UEBA
Num triângulo ABC, reto em B, a hipotenusa mede 10 
cm e a medida de AB é o dobro da medida de BC . O 
valor de sen C + cos C tg C  − é:
 a) 4 
 b) −17
10
 
 c) 3 5 10
5
−
 
 
 d) 6 5 5
10
− 
 e) 3 5 10+
13 UNICAMP 2012
Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos 
situados à margem de um riacho, como mostra a figura 
a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostra-
das na figura, bem como os ângulos especificados na 
tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.
A
Riacho
B
C
D
15
 m
10 m
Visada Ângulo
AC
^
B π/6
BC
^
D π/3
AB
^
C π/6
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Calcule a distância entre B e D.
14 ITA
Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo 
medir 20x cm e a soma dos senos de seus ângulos in-
ternos for igual a x, então a área do círculo, em cm2, 
será igual a:
 a) 50 π 
 b) 75 π 
 c) 100 π
 d) 125 π 
 e) 150 π
15 UFPE
Um terreno triangular tem frente de 6 m e 8 m, em ruas 
que formam ângulos de π/2 rad. Assinale a alternativa 
que corresponde à área e ao terceiro lado do triângulo, 
respectivamente:
 a) 24 m2 e 10 m. 
 b) 10 m2 e 24 m.
 c) 48 m2 e 10 m. 
 d) 24 m2 e 100 m.
 e) 48 m2 e 100 m.
16 ABC
Se um lado de um triângulo equilátero é congruente 
com uma altura de outro triângulo equilátero, então a 
razão das áreas destes triângulos é igual a:
 a) 3 3
2
 
 b) 5
8
 
 c) 2 3
3 2
 d) 5
3
 
 e) 4
3
17 ITA
Num triângulo ABC, D é um ponto médio do segmento 
AC e E é um ponto do segmento AB. Sabendo-se que 
AB AE=3 , determine a razão entre a área do quadrilá-
tero BCDE e a do triângulo ADE.
18 CESGRANRIO
Os catetos de um triângulo retângulo medem sen α e 
cos α, respectivamente. Se o perímetro do triângulo 
vale 1 3
2
+ , o menor ângulo do triângulo mede:
 a) 15º 
 b) 22º 30’ 
 c) 25º 
 d) 27º 30’ 
 e) 30º
23
Trigonometria nos triângulos
19 PUC
Um poste na posição vertical, colocado num plano ho-
rizontal, encontra-se a 3 metros de uma parede plana e 
vertical. Neste instante, o Sol projeta a sombra do poste 
na parede. Esta sombra tem 17 metros. Se a altura do 
poste é de 20 metros, então a inclinação dos raios sola-
res, em relação ao plano horizontal, é de:
 a) 15º 
 b) 22º 30’ 
 c) 30º 
 d) 45º 
 e) 60º
20 CESESP
Num terreno de forma triangular onde o lado maior 
mede 100 m, o maior ângulo entre os lados é π/2 e um 
dos outros dois ângulos é metade do outro, seu lado 
menor mede:
 a) 12 m 
 b) 33,3 m 
 c) 17 m
 d)66,6 m 
 e) 50 m
21 FATEC 2010
Considere a figura que representa
• o triângulo ABC inscrito na semicircunferência de 
centro O e raio 2;
• o lado BC, de medida igual a 2;
• o diâmetro AB perpendicular à reta BD;
• o ponto C pertencente à reta AD.
O
A
C D
B
Nestas condições, no triângulo ABD, a medida do lado 
BD é:
 a) 4 3
3
 
 b) 5 3
3
 
 c) 2 3
3
 d) 7 3
3
 
 e) 3 3
22 FGV
A área do triângulo da figura é:
6
3
30o
 a) 4 
 b) 4,5 
 c) 5
 d) 5,5 
 e) 6
23 CESGRANRIO
Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipo-
tenusa faz com ela um ângulo de 40º. A diferença entre 
os ângulos agudos do triângulo é:
 a) 30º 
 b) 40º 
 c) 45º
 d) 50º 
 e) 55º
24 VUNESP
Na figura a seguir, as áreas dos triângulos ABP e PBC 
são, respectivamente, S1 e S2. Se α = β, então 
S
S
1
2
 é 
igual a:
B
24 8
P
α β
A C
 a) 3 
 b) 4 
 c) 5
 d) 6 
 e) 7
25 CESGRANRIO
Seja AH a altura relativa à hipotenusa do triângulo re-
tângulo ABC. Se C = 30º , a razão entre as áreas dos 
triângulos ABH e ACH é:
 a) 1
2 
 b) 1
3 
 c) 3
3
 d) 3
2 
 e) 2
2
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
24
C apítulo 1 - Frente A
26
a) Com os dados da figura calcule cos α.
64
α
A
B
C
5
b) Em seguida, calcule x na figura.
6
5
4
x
27
Qual a distância do vértice A ao ponto D do lado 
BC do triângulo equilátero ABC de lado 12 onde 
CD = 3?
x
60o
D
12
C
BA
3
 a) 13 
 b) 2 13 
 c) 3 13
 d) 15 
 e) 2 15
 28 FUVEST 2012
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o 
comprimento do lado BC mede 15 5/ , o ângulo inter-
no de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice 
B mede α/2.
A
B C
Sabe-se, também, que 2cos(2α) + 3cos α + 1 = 0
Nessas condições, calcule:
a) o valor de sen α;
b) o comprimento do lado AC.
29 IME
Determine a bissetriz do ângulo maior de um triângulo 
cujo perímetro é 38 m e cujos lados são proporcionais 
a 4,6 e 9.
30
Calcule a medida m da mediana relativa ao lado de me-
dida a num triângulo cujos lados medem a, b, c.
31 UFBA
Na figura, AB = 3 cm, BC = 4 cm e B = 60º. 
A
α
D
B C
α
AD é aproximadamente igual a:
 a) 1,2 cm 
 b) 1,4 cm 
 c) 1,54 cm
 d) 1,8 cm 
 e) 2,04 cm
32
Calcule x no triângulo a seguir.
x
60o 60o
a
b
25
Trigonometria nos triângulos
33
Calcule x no triângulo a seguir.
b
a
45o
45o
x
34 UFRGS
Um retângulo com lados adjacentes medindo sen a e 
cos a, com 0
2
< <a π , tem perímetro igual a 6 . A área 
do retângulo é:
 a) 
1
4
 
 b) 
3
5
 
 c) 
4
5
 d) 
5
4
 
 e) 4
35
Na figura, as retas AP e BP são tangentes à circunfe-
rência. 
A
B
P
O
Se o triângulo ABP é equilátero e o raio da circunferên-
cia é 5 cm, então a medida do lado AB é:
 a) 5 3
2
cm 
 b) 5 cm 
 c) 2,5 cm
 d) 3 5
2
cm 
 e) 5 3 cm
36
A circunferência de centro O e raio 3 cm circunscreve 
um triângulo isósceles ABC, conforme figura.
A
C
O
α
βB
Se α β= 4 , então o lado BC , em cm, mede:
 a) 2 
 b) 2 2 
 c) 2 3
 d) 3 
 e) 3 3
37
No triângulo equilátero ABC o ponto M é médio do 
lado AB. Quanto mede o lado do triângulo ABC?
105o
A
C B
6
M
38
Na figura a seguir, AB = 5 3 e o triângulo BCD é 
isósceles. 
B
C
A
D
45o 75
o
A medida do segmento BC é:
 a) 10 6⋅ 
 b) 15 3⋅ 
 c) 10 3⋅ 
 d) 5 3⋅ 
 e) 5 6⋅
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24
C apítulo 1 - Frente A
26
a) Com os dados da figura calcule cos α.
64
α
A
B
C
5
b) Em seguida, calcule x na figura.
6
5
4
x
27
Qual a distância do vértice A ao ponto D do lado 
BC do triângulo equilátero ABC de lado 12 onde 
CD = 3?
x
60o
D
12
C
BA
3
 a) 13 
 b) 2 13 
 c) 3 13
 d) 15 
 e) 2 15
 28 FUVEST 2012
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o 
comprimento do lado BC mede 15 5/ , o ângulo inter-
no de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice 
B mede α/2.
A
B C
Sabe-se, também, que 2cos(2α) + 3cos α + 1 = 0
Nessas condições, calcule:
a) o valor de sen α;
b) o comprimento do lado AC.
29 IME
Determine a bissetriz do ângulo maior de um triângulo 
cujo perímetro é 38 m e cujos lados são proporcionais 
a 4,6 e 9.
30
Calcule a medida m da mediana relativa ao lado de me-
dida a num triângulo cujos lados medem a, b, c.
31 UFBA
Na figura, AB = 3 cm, BC = 4 cm e B = 60º. 
A
α
D
B C
α
AD é aproximadamente igual a:
 a) 1,2 cm 
 b) 1,4 cm 
 c) 1,54 cm
 d) 1,8 cm 
 e) 2,04 cm
32
Calcule x no triângulo a seguir.
x
60o 60o
a
b
25
Trigonometria nos triângulos
33
Calcule x no triângulo a seguir.
b
a
45o
45o
x
34 UFRGS
Um retângulo com lados adjacentes medindo sen a e 
cos a, com 0
2
< <a π , tem perímetro igual a 6 . A área 
do retângulo é:
 a) 
1
4
 
 b) 
3
5
 
 c) 
4
5
 d) 
5
4
 
 e) 4
35
Na figura, as retas AP e BP são tangentes à circunfe-
rência. 
A
B
P
O
Se o triângulo ABP é equilátero e o raio da circunferên-
cia é 5 cm, então a medida do lado AB é:
 a) 5 3
2
cm 
 b) 5 cm 
 c) 2,5 cm
 d) 3 5
2
cm 
 e) 5 3 cm
36
A circunferência de centro O e raio 3 cm circunscreve 
um triângulo isósceles ABC, conforme figura.
A
C
O
α
βB
Se α β= 4 , então o lado BC , em cm, mede:
 a) 2 
 b) 2 2 
 c) 2 3
 d) 3 
 e) 3 3
37
No triângulo equilátero ABC o ponto M é médio do 
lado AB. Quanto mede o lado do triângulo ABC?
105o
A
C B
6
M
38
Na figura a seguir, AB = 5 3 e o triângulo BCD é 
isósceles. 
B
C
A
D
45o 75
o
A medida do segmento BC é:
 a) 10 6⋅ 
 b) 15 3⋅ 
 c) 10 3⋅ 
 d) 5 3⋅ 
 e) 5 6⋅
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26
C apítulo 1 - Frente A
39
Um navio, navegando em linha reta, passa sucessiva-
mente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o 
navio está em A, observa um farol L e calcula o ângulo 
LAC = 30º. Após navegar 4 milhas até B, verifica o 
ângulo LBC = 75º. Quantas milhas separam o farol do 
ponto B?
40 UFRGS
Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa 
de 3,25 metros de comprimento e α radianos de incli-
nação, conforme a figura. Devem-se construir, sobre a 
rampa, 5 degraus de mesma altura.
α
3,2
5m 
Se tg α = 5/12, a altura, em metros, de cada degrau será:
 a) 0,15 
 b) 0,25 
 c) 0,30
 d) 0,35 
 e) 0,65
Anotações
27
Fique de olho
Evolução da trigonometria
Hiparco viveu por volta de 140 a.C. Escreveu 
um tratado de doze livros onde constrói uma “tábua 
de cordas”, dando, assim, uma importante contri-
buição ao desenvolvimento da trigonometria.
A primitiva astronomia dos babilônios, cinco 
séculos a.C., já revelava o conhecimento de uma 
tábua de recortes. A trigonometria, que começa com 
uma semelhança de triângulos, acabou se estendendo 
para ângulos maiores que 90º. No início tratava 
apenas da resolução de triângulos. Com a chegada 
da análise, as noções de seno, cosseno e tangente 
foram estendidas a números reais. Introduziu-se a 
função E (de Euler), que faz corresponder a cada 
número real um ponto da circunferência. Associa-
-se um sistema de eixos aos 
pontos da circunferência e 
do círculo, aparecendo novas 
definições para se-no, cosseno 
e tangente. As medidas de 
arcos passam a ser feitas em 
radianos, abrindo-se as portas 
da análise para a trigonome-
tria que começa a explicar
fenômenos periódicos. 
Eugene Fourier demons-trou (1822) que, sob certas 
condições, toda função é soma de senos e cossenos 
(Série de Fourier); assim, a trigonometria penetrou 
no campo dos logaritmos e dos números complexos.
• Acostume-se a trabalhar com radianos. É a unidade natural em trigonometria.
• É sempre bom lembrar que, em relógios, o percurso do ponteiro dos minutos é 12 vezes o percurso do 
ponteiro das horas.
• As expressõesgerais dos arcos de extremos associados não precisam ser decoradas. Basta entender como 
foram relacionadas as medidas desses arcos.
A criação do círculo trigonométrico traz duas gigantescas vantagens que é necessário saber aproveitar:
• o cálculo de ordenadas e abscissas por meio de triângulos;
• as simetrias de elementos da circunferência. Com elas, o cálculo de um só segmento pode fornecer valores 
de segmentos correspondentes em quatro quadrantes.
Arcos geométricos
Arco da circunferência 
Arco da circunferência é cada uma das partes nela 
limitada por dois de seus pontos. Assim, dois pontos A
e B em uma circunferência limitam 2 arcos: 
A 
B
M M
A
B
AB e AMB
Medidas de arcos geométricos
Medir um arco de circunferência é compará-lo com 
outro da mesma circunferência tomado como unidade.
Adotamos duas unidades de medidas de arcos: 
grau e radiano.
unidade
grau
Euler.
Arcos CAPÍTULO2
Leitura inicial
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39) PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
230
C apítulo 8 - Frente B
48 MAUÁ
Numa superfície esférica de raio R = 3, inscreve-se um 
cone circular reto de raio r = 2 2. Calcular a área da 
superfície lateral do cone.
R
r
49 FATEC
Se a razão entre a altura de um cone e o raio da esfera 
circunscrita a este é igual a 3
2
, então a razão entre o 
volume do cone e o volume da esfera é:
 a) 9
4
 b) 27
8
 c) 9
32
 d) 27
32
 e) 32
9
50 FATEC
O tronco de cone T é reto, suas bases são paralelas com 
raios iguais a 1 e 4. O raio da esfera inscrita em T é:
 a) 1
 b) 2
 c) 3 
 d) 4
 e) 5
51 CESGRANRIO
Uma ampulheta repousa numa mesa como mostra 
a figura I (o cone B completamente cheio de areia). 
A posição da ampulheta é invertida. A figura II mostra 
o instante em que cada cone mantém metade da areia. 
H B
A
( I )
?
( II )
Nesse instante, a areia do cone B forma um cone de 
altura:
 a) H
3
 b) H
2
 c) H
23
 d) H
33
 e) H
4
52 ITA
Num cone de revolução, o perímetro da seção meri-
dia na mede 18 cm e o ângulo do setor circular 
mede 288º. Considerando-se o tronco de cone cuja 
razão entre as áreas das bases é 4/9, então sua área total 
mede:
 a) 16 2⋅ π cm
 b) 308 9 2⋅ π / cm
 c) 160 3 2⋅ π / cm
 d) 100 9 2⋅ π / cm
 e) n.d.a.
231
GABARITO
Frente A
Capítulo 1
Exercícios propostos
1. D
2. C
3. C
4. B
5. B
6. C
7. Soma = 5
8. B
9. B
10. A
11. x y= =6 2 e 
12. x tg tg
tg tg
=
−
 α β
β α
13. 20 m 
14. 4
15. A
16. D
17. D
18. B
19. B
20. 1,5
21. 15º
22. D
23. A
24. B
25. C
26. B
27. A
28. A
29. 28 m 
30. A
31. E
32. D
33. 2 2 3+
34. C
35. A
36. A 
Exercícios complementares
1. B
2. A
3. 70 m 
4. C
5. B
6. 1
7. a) 5 6
3
b) 2 7
8. E
9. 8 2 cm
10. 20 8 3−
11. C
12. C
13. a) AB = 5 3
b) BD = 5 7
14. C
15. A
16. E
17. 5
18. A
19. D
20. E 
21. A
22. B 
23. D
24. A
25. B
26. a) cos α = 1
8
b) x = 1
2
27. C
28. a) sen α = 15
4
b) x = 2 15
15
29. ≅ 4,3
30. − + +a b c
2 2 2
2 2
2
31. C
32. x
ab
a b
=
+
33. x b a b
a b
= +
+
2 2
34. A
35. E
36. D
37. 4 6
38. E
39. 2 2 milhas
40. B
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / PATRICIA.MONTEIRO / 26-05-2014 (14:43)
Anotações
PDF FINAL / CONFIGURAÇÕES DO DOCUMENTO ATUAL / ELIZETE.FERREIRA / 20-03-2014 (11:39)
232
	[1-44] EM2-Biologia
	001 - 2ª série - livro 3 - frente A - capítulo 1
	Gabarito
	[1-80] EM2-Química
	Capítulo 3
	Gabarito
	[1-24] EM2-Matemática
	[1-92] EM2-História