Matematica financeira - aula

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Matemática 
financeira
Razão
numerador ou 
antecedente da razão
denominador ou 
quociente da razão
Chama-se razão entre dois números reais a e b, com b ≠ 0, 
nessa ordem, a divisão ou o quociente entre a e b. 
Indica-se a razão entre a e b por: ou a:b
Razão
Exemplos
a) Coleção. Juliana coleciona CDs de cantoras nacionais e de 
cantoras internacionais. Na coleção, há 3 CDs de cantoras brasileiras 
e 2 CDs de cantoras internacionais. 
 A razão entre o número de CDs de cantoras brasileiras e o número 
de CDs de cantoras internacionais é .
 Como, para cada 5 CDs do total, 3 são de cantoras brasileiras e 
2 são de cantoras internacionais, a razão entre o número de 
CDs de cantoras brasileiras e o total de CDs é , e a razão 
entre o número de CDs de cantoras internacionais e o total é .
Razão
Exemplos
b) Concurso. Para participar de uma olimpíada de Matemática, do 
total de 500 alunos de uma escola, inscreveram-se 100. Sendo que 
dos 40 alunos do 1o ano A do Ensino Médio, inscreveram-se 8.
 A razão entre o número de participantes e o número total de alunos 
da escola é: 
 A razão entre o número de participantes do 1o ano A e o 
número total de alunos dessa classe é: .
Proporção
Dizemos que quatro números reais não nulos, a, b, c e d, 
formam, nessa ordem, uma proporção quando a razão 
é igual à razão . Indicamos: = ou a:b = c:d
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios: = = 
meios ou termos do meioextremos
=
extremos ou termos extremosmeios
Proporção
Exemplos
a) Vamos determinar o valor de x sabendo que as razões e 
formam uma proporção.
=
Portanto, o valor de x é 1.
Proporção
Exemplos
b) Seleção. O setor de recursos humanos de uma empresa 
constatou que, dos entrevistados para uma vaga, a razão entre o 
número de aprovados e o de reprovados é . Sabendo que 4 
candidatos foram aprovados, para descobrir o total de pessoas 
entrevistadas, calculamos inicialmente a quantidade de 
reprovados (x):
Portanto, 4 candidatos foram aprovados e 14 foram reprovados, 
totalizando 18 pessoas entrevistadas.
=
Números diretamente proporcionais e 
números inversamente proporcionais
Os números reais não nulos a, b, c, ... são diretamente 
proporcionais aos números reais não nulos A, B, C, ..., 
nessa ordem, quando:
=
constante de 
proporcionalidade
Números diretamente proporcionais e 
números inversamente proporcionais
Os números reais não nulos a, b, c, ... são inversamente 
proporcionais aos números reais não nulos A, B, C, ..., 
nessa ordem, quando:
= ou 
Números diretamente proporcionais e 
números inversamente proporcionais
Exemplos
a) Os números 60, 120 e 180 são diretamente proporcionais aos 
números 1, 2 e 3, pois:
= = = 60
b) Os números 40, 60 e 80 são inversamente proporcionais aos 
números 6, 4 e 3, pois:
= ou 40 ∙ 6 = 60 ∙ 4 = 80 ∙ 3 = 240
Exercício resolvido
R1. Na tabela abaixo, as grandezas x e y são diretamente 
proporcionais. Determinar os valores de a e de b.
Resolução 
Como x e y são diretamente 
proporcionais, a razão entre os 
números da primeira linha (x, 4, a, 7) 
e o seu correspondente na segunda 
(y, 2, 7, b) é constante, ou seja:
=
Então: e 
x 4 a 7
y 2 7 b
Resolução 
R2. Dividir o número 33 em partes diretamente proporcionais 
a 2, 5 e 4.
Sendo x, y e z as partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 4, 
respectivamente, podemos montar um sistema:
De (II), temos: x = 2k, y = 5k e z = 4k
De (I), temos: 2k + 5k + 4k = 33 k = 3
Portanto: x = 6, y = 15 e z = 12
Exercício resolvido
Resolução 
R3. Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais 
a 1, 2 e 11.
Sendo x, y e z as partes inversamente proporcionais a 1, 2 e 
11, respectivamente, temos:
De (II), temos: x = k, y = e z = 
De (I), temos: k + + = 70 k = 44
Portanto: x = 44, y = 22 e z = 4
Exercício resolvido
Taxa percentual
Taxa percentual ou porcentagem é a razão entre um 
número real p e o número 100.
Indicamos assim: ou p%.
Observe que porcentagem é um conceito relativo, ou seja, só 
podemos falar em porcentagem de alguma quantidade.
Taxa percentual
Exemplos
a) 25% de 200 = 
b) 80% de 42 = 
c) 120% de 60 = 
d) 30% de 40% de 75 = 
Resolução 
R4. No primeiro dia de aula, numa determinada classe, o 
professor de Matemática constatou que naquela turma a razão 
entre o número de moças e o número de rapazes é . Qual é 
a porcentagem de rapazes nessa turma?
Como a razão entre o número de moças e o número de rapazes 
é , para cada 13 moças há 12 rapazes nessa turma, ou seja, 
de cada 25 pessoas, 13 são moças e 12 são rapazes.
Assim, a quantidade de rapazes em relação ao total de alunos é 
dada por: 
Portanto, a porcentagem de rapazes é 48%
Exercício resolvido
Vf = V0 ∙ (1 ± i)
Aplicações de taxa percentual
De maneira geral, quando um valor inicial V0 recebe acréscimo 
ou desconto pela aplicação de uma taxa percentual i, o valor 
final Vf é dado por:
Nessa expressão, o sinal é positivo se há acréscimo e negativo 
se há desconto.
Nesse caso, a taxa percentual i deve ser utilizada na forma de 
número decimal. Por exemplo, uma taxa percentual de 25% 
implica i = 0,25.
Acréscimos e descontos sucessivos
De modo geral, quando um valor inicial V0 sofre variações 
sucessivas de taxas i1, i2, i3, ..., in, o valor final Vf pode ser 
determinado por:
Nessa expressão, o sinal é positivo se a taxa indica acréscimo
e negativo se indica decréscimo.
A taxa de variação total, quando comparamos os valores inicial 
e final, é chamada de taxa acumulada e indicada por: 
iacumulada. Assim: 
Vf = V0 ∙ (1 ± i1) ∙ (1 ± i2) ∙ (1 ± i3) ∙ ... ∙ (1 ± in)
R5. Mercado automobilístico. Especialistas do mercado de 
veículos afirmam que um automóvel zero quilômetro sofre uma 
depreciação de 15% ao ano nos 3 anos seguintes ao da 
fabricação, estabilizando-se num patamar inferior nos anos 
posteriores. Se hoje um veículo zero quilômetro custa
R$ 24.000,00, qual será seu valor daqui a 3 anos, considerando 
as previsões dos especialistas?
Exercício resolvido
Resolução 
R5.
Como a taxa de depreciação é constante nos 3 anos, temos:
Portanto, o valor do veículo será R$ 14.739,00.
Exercício resolvido
Resolução 
R6. Comércio. Um lojista aumentou o preço de um produto 
em 61% ao aplicar acréscimos sucessivos. Se o primeiro 
aumento foi de 15%, qual foi a taxa percentual do segundo?
61% representa a taxa acumulada que corrigiu o preço do 
produto; então:
Portanto: i2 = 0,4 = 40%
Exercício resolvido
L = Pv – Pc
Lucro e prejuízo
De maneira geral, podemos entender lucro como o ganho 
obtido em uma operação comercial. O lucro é gerado pela 
diferença entre o preço de venda de uma mercadoria e o preço 
de custo (fabricação ou compra).
Sendo Pv o preço de venda, Pc o preço de custo e L o lucro, 
podemos escrever:
Quando o lucro é negativo, ou seja, quando o preço de custo é 
maior que o preço de venda, dizemos que houve prejuízo.
Lucro e prejuízo
Exemplo
Comércio. Um produto tem preço de custo de R$ 160,00 e é vendido 
por R$ 200,00.
Vamos calcular a porcentagem do lucro sobre o preço de custo e 
sobre o preço de venda. 
Como L = PV – PC, temos: L = 200 – 160  L = 40
Portanto, o lucro é R$ 40,00.
A porcentagem do lucro sobre o preço de custo é:
A porcentagem do lucro sobre o preço de venda é:
Resolução 
R7. Comércio. Um relógio antigo foi vendido por R$ 10.000,00 
com prejuízo de 20% sobre o preço de compra. Por quanto o 
relógio havia sido comprado?
Do enunciado, temos: 
PV = (1 – 0,2) ∙ PC
Como PV = 10.000, então:
10.000 = (1 – 0,2) ∙ PC  PC = 12.500
Portanto, o relógio havia sido comprado por R$ 12.500,00.
Exercício resolvido
R8. Comércio. Ao vender uma mercadoria, uma pessoa teve 
lucro de 40% sobre o preço de venda. Qualé a porcentagem 
do lucro em relação ao preço de custo?
Resolução 
Como queremos saber , então:
Portanto, a porcentagem do lucro sobre o preço de custo é 
aproximadamente 67%.
Pelo enunciado, temos:
Sabemos que L = PV – PC, então vamos escrever PC em função 
de PV:
Exercício resolvido
Juro simples e juro composto
Quando investimos ou pedimos emprestado um valor em 
dinheiro, devemos receber ou pagar uma compensação financeira 
pelo tempo de investimento ou de empréstimo, dependendo da 
situação. Essa compensação é denominada juro.
Para calcular o juro devemos considerar:
 o capital (C), valor investido ou pedido emprestado;
 o tempo (t), do início ao fim da operação;
 a taxa de juro (i), taxa percentual recebida ou paga pelo 
capital em relação ao tempo.
O valor em dinheiro ao final da operação (capital + juro) é 
denominado montante (M).
Regime de juro simples
No regime de juro simples, a taxa de juro incide sempre 
sobre o capital inicial.
Vamos considerar, por exemplo, um investimento de 
R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 1,5% ao mês. 
Observe, na tabela, a seguir, como calculamos o montante ao 
final de cada um dos três primeiros meses.
Regime de juro simples
M0 juro referente 
ao 1o mês
M1 juro referente 
ao 2o mês
M2 juro referente 
ao 3o mês
início M0 = 1.000
após 1 mês
M1 = 1.000 + 1.000 ∙ 0,015 = 1.015
após 2 meses
M2 = 1.015 + 1.000 ∙ 0,015 = 1.030
após 3 meses
M3 = 1.030 + 1.000 ∙ 0,015 = 1.045
Período Montante (em real)
juro referente 
aos três meses 
(1.000 ∙ 0,015 ∙ 3)
M = C ∙ (1 + it)
M = C + JJ = C ∙ i ∙ t
Regime de juro simples
Em qualquer transação financeira em que o regime é de juro 
simples, sendo C o capital, i a taxa percentual de juro, t o 
tempo, J o juro e M o montante, temos:
Como J = C ∙ i ∙ t e M = C + J, então:
Resolução 
R9. Finanças. Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juro 
simples de 2% ao mês. Determinar a taxa equivalente ao ano, 
o juro recebido após 1 mês, após 5 meses e o montante após 
8 meses.
 A taxa equivalente ao ano, no regime de juro simples, é:
ianual = 12 ∙ imensal  ianual = 24%
 O juro, em real, recebido após 1 mês de aplicação é:
J = C ∙ i ∙ t  J = 1.000 ∙ 0,02 ∙ 1  J = 20
Exercício resolvido
Resolução 
R9. 
 O juro, em real, recebido após 5 meses de aplicação é:
J = C ∙ i ∙ t  J = 1.000 ∙ 0,02 ∙ 5  J = 100
 Para obter o montante após 8 meses de aplicação, 
calculamos inicialmente o juro no período: 
J = 1.000 ∙ 0,02 ∙ 8  J = 160
Agora, somamos o juro ao capital: 
M = C + J  M = 1.000 + 160  M = 1.160
Portanto, a taxa equivalente ao ano é de 24% o juro recebido 
após 1 mês é R$ 20,00, após 5 meses é R$ 100,00 e o 
montante após 8 meses é R$ 1.160,00.
Exercício resolvido
Resolução 
R10. Finanças. Calcular o juro que rende um capital de 
R$ 7.500,00 aplicado à taxa de 12% ao ano, durante 5 meses.
Podemos resolver o problema de duas maneiras:
 Utilizando a taxa equivalente ao mês: 
i = 12% ao ano = 1% ao mês
J = 7.500 ∙ 0,01 ∙ 5  J = 375
 Utilizando a fração do ano correspondente ao número de 
meses dados: 5 meses do ano
J = 7.500 ∙ 0,12 ∙  J = 375
Portanto, o capital rende juro de R$ 375,00.
Exercício resolvido
Regime de juro composto
No regime de juro composto, o juro é calculado sempre 
sobre o resultado da aplicação anterior, ou seja, calculamos 
“juro sobre juro”.
Acompanhe, na tabela a seguir, a evolução do montante 
gerado pelo investimento de R$ 1.000,00 à taxa de 2% ao 
mês sob os regimes de juro simples e de juro composto.
M1 = 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 1 
M1 = 1.020
M1 = 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 
M1 = 1.020
M3 = 1.040,40 + 1.040,40 ∙ 0,02 
M3 ≃ 1.061,21
M3 = 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 3 
M3 = 1.060
M2 = 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 2 
M2 = 1.040
Período Juro simples Juro composto
início M0 = 1.000 M0 = 1.000
após 
1 mês
após 
2 meses
M2 = 1.020 + 1.020 ∙ 0,02
M2 = 1.040,40
após 
3 meses
Regime de juro composto
Período Juro simples Juro composto
M4 = 1.061,21 + 1.061,21 ∙ 0,02 
M4 ≃ 1.082,43
M4 = 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 4 
M4 = 1.080
após
4 meses
M5 = 1.082,43 + 1.082,43 ∙ 0,02 
M5 ≃ 1.104,10
M5 = 1.000 + 1.000 ∙ 0,02 ∙ 5
M5 = 1.100
após 
5 meses
após 
t meses
Mt = 1.000 ∙ (1 + 0,02t) Mt = 1.000 ∙ (1 + 0,02)
t
Regime de juro composto
 após 3 meses: M3 = M2 + M2i = M2(1 + i) 
M3 = C(1 + i)
2 ∙ (1 + i) =
 após 2 meses: M2 = M1 + M1i = M1(1 + i)
M2 = C(1 + i) ∙ (1 + i) = 
Vamos detalhar os cálculos feitos na coluna do juro composto 
ao final de cada mês:
 após 1 mês: M1 = C + Ci  M1 = C(1 + i)
C(1 + i)2
C(1 + i)3
 após 4 meses: M4 = M3 + M3i = M3(1 + i) 
M4 = C(1 + i)
3 ∙ (1 + i) = C(1 + i)4
.
.
.
Regime de juro composto
Mt = C(1 + i)
t–1 ∙ (1 + i) =
 após t meses: Mt = Mt–1+ Mt–1i = Mt–1(1 + i) 
C(1 + i)t
Assim, o montante que resulta dessa aplicação é calculado da 
seguinte forma:
M = C(1 + i)t
.
.
.
Regime de juro composto
Exemplo
M1 = 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 1) = 220
M2 = 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 2) = 240
M3 = 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 3) = 260
M4 = 200 ∙ (1 + 0,1 ∙ 4) = 280
Considere um capital de R$ 200,00 aplicado à taxa de 10% 
após 4 meses.
No regime de juro simples:
termos de uma PA de 
razão 20
Regime de juro composto
Exemplo
M1 = 200 ∙ (1 + 0,1)
1 = 220
M2 = 200 ∙ (1 + 0,1)
2 = 242
M3 = 200 ∙ (1 + 0,1)
3 = 266,20
M4 = 200 ∙ (1 + 0,1)
4 = 292,82
Considere um capital de R$ 200,00 aplicado à taxa de 10% 
após 4 meses.
No regime de juro composto:
termos de uma PG de 
razão 1,1
Regime de juro composto
Resolução 
R11. Poupança. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado numa 
caderneta de poupança, que rende juro composto de 1,2% ao 
mês. Qual foi o saldo (montante) dessa caderneta após 6 
meses de aplicação, se durante esse período não houve 
nenhuma outra movimentação na conta?
Aplicando a fórmula do juro composto, temos:
M = 1.500 ∙ (1 + 0,012)6  M = 1.500 ∙ (1,012)6 ≃ 1.611,29
Portanto, após 6 meses de aplicação o saldo dessa caderneta 
foi de aproximadamente R$ 1.611,29.
Exercício resolvido
Resolução 
R12. Depreciação. O valor de uma máquina sofre 
depreciação anual de 25%. Se hoje ela custa R$ 2.000,00, 
daqui a quantos anos ela valerá metade do que vale hoje? 
(Adotar: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
Aplicando a fórmula do juro composto, a definição e as 
propriedades operatórias dos logaritmos, temos:
1.000 = 2.000 (1 – 0,25)t  (0,75)t = t = 
t = 
Exercício resolvido
Resolução 
R12. 
Como = 0,30 e , temos:
t = 
Portanto, a máquina terá seu valor reduzido à metade em 
2 anos e meio, contados a partir de hoje.
Exercício resolvido
Resolução 
R13. Dívida. Uma dívida contraída a juro composto, com taxa 
mensal constante, aumentou 69% em dois meses. Qual era a 
taxa mensal de juro?
É importante perceber que 69% é a taxa acumulada sobre a 
dívida no período de dois meses. Assim:
(1 + 0,69) = (1 + imensal)
2  1 + imensal = 
imensal = 0,30  imensal = 30%
Exercício resolvido
R14. Condições de pagamento. Uma loja oferece as 
seguintes alternativas para o pagamento de uma mercadoria:
 à vista, com 3% de desconto sobre o preço de tabela;
 com cheque pré-datado para 30 dias, no valor de tabela da 
mercadoria.
Considerando que um indivíduo tenha dinheiro para comprar a 
mercadoria à vista e que esse dinheiro possa ser aplicado a 
uma taxa de 0,8% ao mês, qual é a opção mais vantajosa para 
o consumidor? 
Exercício resolvido
Resolução 
R14. 
Sendo Pt o preço de tabela da mercadoria e Pv seu preço à 
vista, temos:
Pv = 0,97 ∙ Pt (desconto de 3% sobre o preço de tabela)
Se o valor à vista da mercadoria fosse aplicado, produziria um 
montante, após 1 mês, de:
M = 0,97 ∙ Pt ∙ (1 + 0,008)  M = 0,97776 ∙ Pt
Exercício resolvido
Resolução 
R14. 
Logo, após 30 dias o valor resgatado na aplicação seria 
insuficiente para saldar o cheque pré-datado, pois:
Portanto, é mais vantajoso para o consumidor pagar a 
mercadoriaà vista.
0,97776 ∙ Pt < Pt
Exercício resolvido
Seja i a taxa de juro composto e t o tempo:
 para obter o valor futuro, multiplica-se o valor 
presente por (1 + i)t;
 para obter o valor presente, divide-se o valor 
futuro por (1 + i)t.
Atualização financeira
Resolução 
R15. Comércio. Uma compra de R$ 600,00 vai ser paga em 
3 parcelas mensais e iguais, sendo a primeira à vista. 
Determinar o valor de cada parcela sabendo que a loja cobra 
juro de 6,5% ao mês.
Inicialmente, vamos 
calcular o valor 
presente de cada uma 
das parcelas. Observe 
o esquema:
no ato
30 dias
(1 mês)
60 dias
(2 meses)
x x x
valor (em reais)
Exercício resolvido
Resolução 
R15. 
A soma da entrada (valor pago no ato da compra) com as 
demais parcelas atualizadas monetariamente (descontado o 
juro) fornece o valor da compra à vista:
x + + = 600
Resolvendo a equação, obtemos x ≃ 212,72.
Portanto, o valor de cada parcela do financiamento é, 
aproximadamente, R$ 212,72.
Exercício resolvido
Resolução 
R16. Financiamento. Um grande magazine anuncia a venda 
de uma bicicleta por R$ 300,00 à vista, ou R$ 50,00 de 
entrada e mais dois pagamentos mensais de R$ 135,00. Qual é 
a taxa mensal de juro no plano a prazo? (Utilize: = 78)
Inicialmente, vamos 
calcular o valor 
presente de cada uma 
das parcelas. Observe 
o esquema:
30 dias
(1 mês)
60 dias
(2 meses)no ato
50 135 135
valor 
(em reais)
Exercício resolvido
Resolução 
R16. 
A soma da entrada com as duas prestações mensais 
atualizadas monetariamente (descontado o juro) fornece o 
valor à vista da bicicleta (R$ 300,00):
50 + + = 300
Exercício resolvido
Resolução 
R16. 
Para resolver essa equação, fazemos (1 + i) = k:
50 + + = 300
250k2 – 135k – 135 = 0
50k2 – 27k – 27 = 0
k = k = 1,05 ou k = – 0,51 (não é conveniente)
Logo: 
(1 + i) = 1,05 ⇒ i = 0,05
Portanto, a taxa de juro no plano a prazo é de 5%.
Exercício resolvido
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, 
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
Coordenação de produção: Maria José Tanbellini
Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA 
Diretoria de Tecnologia Educacional
Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida
Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio
Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes
Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin
Editor de arte: Fabio Ventura
Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini
Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres
Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres 
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Geometria plana 
Ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma reta transversal 
Ângulos alternos
 ângulos alternos externos:
 ângulos alternos internos:
Ângulos colaterais
 ângulos colaterais externos:
 ângulos colaterais internos:
Ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma reta transversal 
Ângulos correspondentes:
Ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma reta transversal 
Ângulos opostos pelo vértice:
Ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma reta transversal 
Exemplos
a)
b)
são ângulos colaterais internos x + y =180º
30º + y = 180º ⇒ y = 180º – 30º ⇒ y = 150º
são ângulos correspondentes a = b ⇒ b = 20º 
Ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma reta transversal 
Exercício resolvido
R1. Sabendo que as retas r e s são paralelas cortadas por 
uma transversal t, determinar o valor de x nos 
seguintes casos:
a) b) 
Resolução
a) Os ângulos assinalados são alternos externos. Logo, são 
congruentes. Assim:
(3x – 10º)=140º ⇒ 3x = 150º ⇒ x = 50º
Portanto, o valor de x é 50º.
Exercício resolvido
(I) Os ângulos e são colaterais internos, portanto são 
suplementares, assim: med( ) + med( ) = 180º
(II) Os ângulos e são opostos pelo vértice, logo, têm 
as mesmas medidas, assim: med( ) = med( )
b) Chamando o ângulo de medida 
2x – 20º de ângulo e o ângulo de 
medida 3x de e marcando um 
ângulo , temos: 
R1. 
Resolução
Exercício resolvido
De (I) e (II), vem:
med( ) + med( ) = 180º ⇒ med( ) + med( ) = 180º 
Como med( ) = 2x – 20º e med( ) = 3x, segue:
med( ) + med( ) = 180º ⇒ (2x – 20º) + 3x = 180º ⇒
⇒ 5x = 200º ⇒ x = 40º
Portanto: x = 40º
R1. 
Resolução
R2. Na figura abaixo, os ângulos têm os lados 
respectivamente paralelos (AB ∥ A'B' e AC ∥ A'C'). 
Calcular o valor de x. 
Exercício resolvido
Observe que os ângulos 3x + 10º e 70º são correspondentes 
e, portanto, congruentes, logo:
3x + 10º = 70º ⇒ 3x = 60º ⇒ x = 20º
Assim, o valor de x é 20º.
Prolongando os lados 
dos ângulos, temos:
R2. 
Resolução 
Exercício resolvido
R3. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcular 
o valor do ângulo . 
Resolução
Traçando uma reta auxiliar v, 
paralela a r e s, temos:
Exercício resolvido
(I)  +  = 100º
(II)  e 3 são ângulos colaterais internos, então:
 + 3 = 180º   = 180º  3
(III)  e 2 são ângulos colaterais internos, então:
 + 2 = 180º   = 180º  2
Exercício resolvido
R3. 
Resolução
De (I), (II) e (III), temos:
 +  = 100º  (180º – 3) + (180º – 2) = 100º 
 –5 = –260º   = 52º
Portanto, o valor do ângulo  é 52º.
Exercício resolvido
R3. 
Resolução
Condição de existência de um triângulo 
(desigualdade triangular) 
Triângulos 
 Lados:
 Vértices: A, B e C
Medidas dos lados: a, b e c
 Ângulos internos:
 Perímetro: a + b + c
Em qualquer triângulo, a medida de um lado é sempre 
menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
a < b + c b < a + c c < a + b
a) É possível construir um triângulo cujos lados meçam 8 cm, 
3 cm e 4 cm?
Exemplos
b) E um triângulo cujos lados meçam 8 cm, 10 cm e 5 cm? 
8 < 3 + 4 ⇒ 8 < 7 (falso)
3 < 8 + 4 ⇒ 3 < 12 (verdadeiro)
4 < 8 + 3 ⇒ 4 < 11 (verdadeiro)
8 < 10 + 5 ⇒ 8 < 15 (verdadeiro)
10 < 8 + 5 ⇒ 10 < 13 (verdadeiro)
5 < 8 + 10 ⇒ 5 < 18 (verdadeiro)
Condição de existência de um triângulo 
Soma das medidas dos ângulos internos 
de um triângulo 
Então:
Temos:
são ângulos 
alternos internos
med ( ) + med ( ) + med ( ) = 180º
Os ângulos , e formam um 
ângulo raso, assim:
Exemplo
Vamos determinar o valor do ângulo x no triângulo ABC.
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo 
é 180º, temos:
x + 70º + 60º = 180º ⇒ x + 130º = 180º
x = 180º – 130º ⇒ x = 50º
Soma das medidas dos ângulos internos 
de um triângulo 
Triângulo
escaleno
Triângulo
equilátero
Triângulo
isósceles
Classificação dos triângulos quanto aos lados
Classificação dos triângulos 
Um triângulo 
equilátero tem todos 
os três lados 
congruentes: 
Um triângulo 
isósceles tem dois 
lados congruentes: 
Um triângulo 
escaleno tem os três 
lados com medidas 
diferentes.
Triângulo
obtusângulo
Triângulo
retângulo
Triângulo
acutângulo
Um triângulo 
acutângulo tem 
todos os ângulos 
internos agudos.
Um triângulo 
retângulo tem um 
ângulo interno reto.
Um triângulo 
obtusângulo tem 
um ângulo interno 
obtuso. 
Classificação dos triângulos quanto aos lados
Classificação dos triângulos 
Relação entre um ângulo externo e 
dois ângulos internos não adjacentes 
(I)
(II)
De (I), temos:
Substituindoem (II):
Essa relação pode ser demonstrada também entre os outros 
ângulos internos e os ângulos externos não adjacentes 
correspondentes a cada um deles. Então: 
Assim, temos:
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo 
é igual à soma das medidas dos ângulos internos não 
adjacentes a ele.
Relação entre um ângulo externo e 
dois ângulos internos não adjacentes 
Exemplo
Pela relação entre um ângulo externo e dois ângulos internos não 
adjacentes, temos: 
med(ê) = 60º + 70º  med(ê) = 130º
Vamos determinar a medida do ângulo ê no triângulo abaixo.
Relação entre um ângulo externo e 
dois ângulos internos não adjacentes 
Alturas e ortocentro
A altura de um triângulo é o segmento que tem uma 
extremidade em um vértice do triângulo e a outra extremidade 
na reta suporte do lado oposto ao vértice, formando um ângulo 
de 90º com esse lado.
O ponto de encontro das retas suportes dessas alturas é 
denominado ortocentro.
Altura relativa ao lado 
Pontos notáveis em um triângulo
Triângulo
obtusângulo
Triângulo
retângulo
Triângulo
acutângulo
 é a altura relativa 
do lado ; 
 é a altura relativa 
do lado ; 
 é a altura relativa 
do lado ;
 H é o ortocentro do 
∆ABC.
 é a altura relativa do 
lado ;
 é a altura relativa do 
lado ; 
 é a altura relativa do 
lado ;
 A é o ortocentro do 
∆ABC.
 é a altura relativa 
do lado ;
 é a altura relativa 
do lado ; 
 é a altura relativa 
do lado ;
 H é o ortocentro do 
∆ABC.
Alturas e ortocentro 
Pontos notáveis em um triângulo
Medianas e baricentro
A mediana de um triângulo é o 
segmento que tem uma extremidade 
em um vértice do triângulo e a outra 
extremidade no ponto médio do lado 
oposto a esse vértice.
Um triângulo tem três medianas que 
se interceptam em um único ponto 
chamado baricentro.
Mediana relativa 
ao lado 
Pontos notáveis em um triângulo
 é a mediana relativa ao lado ;
 é a mediana relativa ao lado ;
 é a mediana relativa ao lado ;
 G é o baricentro do ∆ABC.
Medianas e baricentro
Pontos notáveis em um triângulo
A bissetriz de um triângulo é o segmento que divide um 
ângulo interno em dois ângulos congruentes e tem uma 
extremidade em um vértice e a outra no lado oposto a 
esse vértice.
As três bissetrizes de um triângulo interceptam-se em um 
ponto chamado incentro.
 é a bissetriz relativa ao vértice A. 
 é a bissetriz relativa ao vértice B.
 é a bissetriz relativa ao vértice C.
 I é o incentro do ∆ABC.
Pontos notáveis em um triângulo
Bissetrizes e incentro
Observação
A distância entre o incentro e qualquer um dos lados do 
triângulo é sempre a mesma. Essa propriedade permite 
traçar uma circunferência inscrita no triângulo, de centro I
e raio IM ≅ (IM ≅ IO ≅ IN ). 
Pontos notáveis em um triângulo
Bissetrizes e incentro
Mediatrizes e circuncentro
A mediatriz de um triângulo é a 
reta que intercepta um lado do 
triângulo no ponto médio e é 
perpendicular a esse lado.
As três mediatrizes de um triângulo 
se interceptam em um mesmo ponto 
chamado circuncentro. 
Mediatriz relativa 
ao lado 
Pontos notáveis em um triângulo
 m1 é a mediatriz relativa ao lado ;
 m2 é a mediatriz relativa ao lado ;
 m3 é a mediatriz relativa ao lado ;
 0 é o circuncentro do ∆ABC.
Mediatrizes e circuncentro
Pontos notáveis em um triângulo
A distância entre o circuncentro e qualquer um dos 
vértices do triângulo é sempre a mesma. Essa propriedade 
permite traçar uma circunferência circunscrita no triângulo 
de centro O e raio AO ≅ (AO ≅ BO ≅ CO ).
Observação
Mediatrizes e circuncentro
Pontos notáveis em um triângulo
R4. Sabendo que é mediana relativa ao 
lado , determinar o perímetro do 
triângulo ABC.
Resolução
Como é mediana relativa ao lado , verificamos 
que mede 3 cm.
Assim, o perímetro do triângulo é: 
4 cm + 7 cm + (3 cm + 3 cm) = 17 cm
Exercício resolvido
Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas 
transversais, os segmentos determinados sobre a primeira 
transversal são proporcionais a seus correspondentes 
determinados sobre a segunda transversal. 
Ou seja:
Pelo teorema de Tales: 
R5. Na figura, as retas r, s e t
são paralelas; determinar x.
Resolução
“Descruzando” as retas 
transversais, temos:
Portanto: x = 15 
Exercício resolvido
Duas figuras planas são semelhantes quando as medidas 
dos ângulos correspondentes são iguais e as medidas dos 
segmentos correspondentes são proporcionais. 
Exemplo
a)
Figuras semelhantes
A razão entre as medidas dos 
segmentos correspondentes é 
chamada de razão de 
semelhança.
Exemplo
b)
Figuras semelhantes
Lemos: “o triângulo ABC é 
semelhante ao triângulo XYZ”.
∆ABC ~ ∆XYZ
Portanto:
R6. Determinar x e y, sabendo que: ∆ABC ~ ∆A'B'C'
a)
b)
Exercício resolvido
R6. 
Resolução
b)
a)
Como os triângulos são semelhantes, a medida de seus lados 
correspondentes são proporcionais, então: 
Exercício resolvido
Extraindo o triângulo menor do triângulo maior, temos:
R7. Determinar x e y. 
Resolução
Exercício resolvido
R7. 
Resolução 
Os triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, 
então o terceiro ângulo também tem a mesma medida, já que 
a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Assim, 
podemos dizer que os triângulos ABC e ABD são semelhantes, 
então:
Exercício resolvido
Como DE ∥ AB, pela propriedade das retas paralelas cortadas 
por transversais, verificamos que os ângulos e são 
congruentes, assim como os ângulos e . 
Resolução
Exercício resolvido
R8. No triângulo ABC, temos 
DE ∥ AB, determinar x e y.
Como o ângulo é comum aos triângulos CDE e CAB, temos 
∆ABC  ∆CDE: 
Então:
Exercício resolvido
R8. 
Resolução 
R9. Os lados de um triângulo ABC medem 5 cm, 8 cm e 
4 cm. Determinar as medidas dos lados de um triângulo 
A’B’C’ semelhante ao triângulo ABC, sabendo que o 
perímetro do triângulo A’B’C’ é 51 cm. 
Resolução
Quando dois triângulos são semelhantes, a razão entre os 
perímetros é igual à razão de semelhança entre os lados 
correspondentes.
Perímetro do ∆ABC: 
8 cm + 5 cm + 4 cm = 17 cm
Perímetro do ∆A'B'C': 
x cm + y cm + z cm = 51 cm
Exercício resolvido
E então, temos:
Perímetro do ∆ABC: 
8 cm + 5 cm + 4 cm = 17 cm
Perímetro do ∆A'B'C': 
x cm + y cm + z cm = 51 cm
Logo, as medidas dos lados do triângulo 
A’B’C’, semelhante ao triângulo ABC, 
são 15 cm, 12 cm e 24 cm. 
Exercício resolvido
R9. 
Resolução 
R10. Determinar a medida do lado do 
quadrado inscrito no triângulo 
retângulo ao lado. 
Resolução
Todo quadrado tem lados paralelos, então o ∆ABC  ∆BDE, pois 
Ê ≅ Â e o ângulo é comum aos dois triângulos. 
Portanto, temos: 
Exercício resolvido
Relações métricas no triângulo retângulo 
Teorema de Pitágoras (1a relação métrica)
Em um triângulo retângulo qualquer, a soma dos 
quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado 
da medida da hipotenusa.
a2 + b2 = c2
 : hipotenusa de medida a;
 : cateto de medida b;
 : cateto de medida c;
 : altura, de medida h, relativa à 
hipotenusa; 
 : projeção ortogonal, de medida m, 
do cateto sobre a hipotenusa; 
 : projeção ortogonal, de medida n, 
do cateto sobre a hipotenusa. 
Relações métricas no triângulo retângulo 
O triângulo ABC pode ser decomposto em dois triângulos 
retângulos: ∆HBA e ∆HAC. Analisando esses triângulos, 
dois a dois, temos: 
∆ABC ~ ∆HBA ~ ∆HAC
Relações métricas no triângulo retângulo 
I) ∆ABC ~ ∆HBA
Num triângulo retângulo qualquer, 
o produto das medidas dos catetos 
é igual ao produto da medida da 
hipotenusa pela medida da altura 
relativa à hipotenusa. (3a relação 
métrica)
Num triângulo retângulo qualquer, 
o quadrado da medida de um 
cateto é igual ao produto da 
medida da hipotenusa pela medida 
da projeção ortogonal desse cateto 
sobre a hipotenusa. (2a relação 
métrica)
Relações métricas no triânguloretângulo 
III) ∆HBA ~ ∆HAC
II) ∆ABC ~ ∆HAC
3a relação métrica
2a relação métrica
Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado 
da medida da altura relativa à hipotenusa é 
igual ao produto das medidas das projeções 
ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. 
(4a relação métrica)
Relações métricas no triângulo retângulo 
Aplicações do teorema de Pitágoras 
Diagonal do quadrado
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, temos:
Em um quadrado de lado ℓ, a medida da diagonal é .
Altura de um triângulo equilátero
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
Em um triângulo equilátero de lado ℓ, a altura mede .
Aplicações do teorema de Pitágoras 
R11. Determinar x e y
na figura ao lado.
Resolução
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
Agora, vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo CDB:
Exercício resolvido
R12. Determinar o valor de x e y
no triângulo ABD.
Resolução
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos ABC e 
ABD, respectivamente, temos:
Exercício resolvido
Substituindo (II) em (I):
Substituindo em (II), obtemos:
Exercício resolvido
R12. 
Resolução 
(II)
(I)
Resolução
Traçando a altura , temos 
AH = x (lados paralelos de um 
retângulo), formando assim o triângulo 
retângulo AHB.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AHB, temos:
Exercício resolvido
R13. Encontrar o 
valor de x.
Escolhendo um dos triângulos retângulos, 
podemos observar que cada cateto 
tem a metade da medida indicada 
(x + 1 ou x + 3), uma vez que 
os triângulos são congruentes.
Resolução
Exercício resolvido
R14. Determinar o 
valor de x.
R14. 
Resolução
Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos:
Exercício resolvido
R15. Determinar o valor de x em cada item abaixo. 
b)
a)
Exercício resolvido
R15.
Resolução 
a) No triângulo ABC, x representa a medida da altura do 
triângulo relativa à hipotenusa , 2 representa a medida 
da projeção ortogonal do cateto e 18, a medida 
da projeção ortogonal do cateto . Aplicando a 4a relação 
métrica, que diz que o quadrado da medida da altura relativa 
à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções 
ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa, temos: 
Exercício resolvido
b) Podemos observar que x representa a medida de um dos 
catetos, 4 é a medida da projeção ortogonal do cateto x e 
20 é a medida da hipotenusa. Relacionando essas medidas, 
verificamos que o quadrado da medida de um cateto é 
igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da 
projeção ortogonal desse cateto sobre a hipotenusa, 
assim: 
Exercício resolvido
R15.
Resolução 
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, 
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
Coordenação de produção: Maria José Tanbellini
Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA 
Diretoria de Tecnologia Educacional
Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida
Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio
Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes
Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin
Editor de arte: Fabio Ventura
Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini
Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres
Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres 
© Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados. 
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2012
http://www.moderna.com.br/
Polígonos 
Polígono é uma figura geométrica plana e fechada 
formada apenas por segmentos de reta que não se 
cruzam no mesmo plano. 
Polígonos 
Exemplos
Elementos de um polígono 
ângulo 
externo
lados
consecutivos
vértice
ângulo interno
Polígonos convexos e não convexos 
Polígono convexo: uma 
reta r que passa por 
qualquer par de vértices 
consecutivos mantém os 
demais vértices no 
mesmo semiplano.
Polígono não convexo: a 
reta não mantém os 
demais vértices no mesmo 
semiplano.
Diagonais de um polígono
número de vértices: 7
número de diagonais 
relativas a um dos 
vértices: 4
número de vértices: 8 
número de diagonais
relativas a um dos
vértices: 5 
número de vértices: 9 
número de diagonais 
relativas a um dos 
vértices: 6 
 de um único vértice partem (n – 3) diagonais;
 há n vértices, logo temos n(n – 3) diagonais; 
 cada diagonal tem extremidade em dois 
vértices, por isso foi contada duas vezes.
Considerando um polígono com n lados, observamos que:
Diagonais de um polígono
Exemplo
O número de diagonais de um decágono é:
Logo, o decágono tem 35 diagonais. 
Diagonais de um polígono
Soma das medidas dos ângulos internos 
de um polígono convexo qualquer 
Exemplos
4 – 2 
(Número de lados menos 2)
número de triângulos 
formados: 2
Quadrilátero (4 lados) 
7 – 2 
(Número de lados menos 2)
número de triângulos 
formados: 5
Heptágono (7 lados) 
10 – 2 
(Número de lados menos 2)
número de triângulos 
formados: 8
Decágono (10 lados)
Considerando um polígono de n lados: 
 podemos decompor esse polígono em 
(n – 2) triângulos pelas diagonais que 
partem de um vértice;
 sabemos que a soma das medidas dos 
ângulos internos de um triângulo é 
igual a 180º.
Soma das medidas dos ângulos internos 
de um polígono convexo qualquer 
i1 + e1 = 180º
i2 + e2 = 180º
i3 + e3 = 180º
i4 + e4 = 180º
+ =
in + en = 180º
Si + Se = n ∙ 180º 
Soma das medidas dos ângulos internos 
de um polígono convexo qualquer 
Se = 360º
Considerando 
Si = (n – 2) ∙ 180º, temos:
Soma das medidas dos ângulos internos 
de um polígono convexo qualquer 
Si + Se = n ∙ 180º
(n – 2) ∙ 180º + Se = n ∙ 180º
n ∙ 180º – 360º + Se = n ∙ 180º
Se – 360º = 0
Todo polígono com quatro lados é chamado de quadrilátero. 
Quadriláteros 
Considere o quadrilátero ABCD abaixo, os elementos desse 
quadrilátero são:
 vértices: A, B, C e D
 lados: 
 diagonais: 
 ângulos internos: 
 ângulos externos: â, b, c e d
 perímetro: AB + BC + CD + DA
̂ ̂ ̂ 
S = (n – 2) ∙ 180º
S = (4 – 2) ∙ 180º
S = 2 ∙ 180º = 360º
Soma das medidas dos ângulos 
internos de um quadrilátero convexo 
Todo quadrilátero convexo que tem os lados opostos 
paralelos é um paralelogramo. 
Paralelogramos 
é uma das bases.
é a altura relativa ao lado . 



Algumas características:
Classificação dos paralelogramos
Losangos Retângulos Quadrados
Paralelogramos 
Losangos são 
paralelogramos 
que têm os quatro 
lados congruentes.
Retângulos são 
paralelogramos que 
têm os quatro 
ângulos congruentes.
Quadrados são 
paralelogramos que 
têm os quatro lados 
congruentes e os 
quatro ângulos 
congruentes.
 Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. 
Propriedades dos paralelogramos 
Propriedades dos paralelogramos 
 Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. 
 As diagonais de um paralelogramo cruzam-se nos respectivos 
pontos médios. 
Propriedades dos paralelogramos 
Existem propriedades específicas 
para alguns paralelogramos:
 As diagonais de um retângulo 
são congruentes.
 As diagonais de um losango estão 
contidas nas respectivas bissetrizes 
dos ângulos internos e são 
perpendiculares entre si.
Propriedades dos paralelogramos 
AC ⊥ BD
ABb ≌ CD
Todo quadrilátero convexo que tem apenas dois lados 
paralelos é um trapézio.
Trapézios 
 Os lados paralelos e são as bases, é a base maior 
e é a base menor. é a altura do trapézio (segmento perpendicular às 
duas bases).
Algumas características:
Classificação dos trapézios
Trapézio isósceles Trapézio escaleno Trapézio retângulo
Trapézios 
Trapézios 
isósceles são 
trapézios cujos lados 
não paralelos são 
congruentes.
Trapézios 
escalenos são 
trapézios cujos lados 
não paralelos não 
são congruentes.
Trapézios 
retângulos são 
trapézios que têm um 
lado perpendicular às 
bases. Estes trapézios 
também são 
escalenos.
 Os ângulos adjacentes a uma das bases de um trapézio 
isósceles são congruentes.
 As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Propriedades dos trapézios isósceles 
Área do retângulo
Área do quadrado
Áreas de quadriláteros e triângulos 
A = a ∙ a = a2
A = b ∙ h 
Área do paralelogramo
Área do triângulo
Áreas de quadriláteros e triângulos 
A = b ∙ h 
Área do trapézio
Área do losango 
Áreas de quadriláteros e triângulos 
Um polígono que tem todos os lados congruentes entre si e 
todos os ângulos internos congruentes entre si é chamado de 
polígono regular. 
Exemplos
Polígonos regulares
Ângulos de um polígono regular 
Circunferência e círculo
 Circunferência é a figura geométrica 
formada por todos os pontos de um plano 
que distam igualmente de um ponto fixo 
desse plano, denominado centro da 
circunferência. A distância constante é a 
medida do raio da circunferência. 
 Círculo é a região do plano formada 
por uma circunferência e sua 
região interna.
Circunferência
Círculo
Elementos de uma circunferência
 Corda é um segmento cujas extremidades são dois pontos 
quaisquer da circunferência. 
 Raio é um segmento cujas extremidades são o centro e um 
ponto qualquer da circunferência. 
Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da 
circunferência. A medida do diâmetro (d) é o dobro da 
medida do raio (r), ou seja, d = 2r.
Reta externa à circunferência
A distância d, do centro O da circunferência à 
reta t, é maior que a medida r do raio (d > r).
Posições relativas de uma reta 
a uma circunferência 
Reta tangente à circunferência
A distância d, do centro O da circunferência à 
reta t, é igual à medida r do raio (d = r).
Posições relativas de uma reta 
a uma circunferência 
Reta secante a uma circunferência
A distância d, do centro O da circunferência à 
reta t, é menor que a medida r do raio (d < r).
Posições relativas de uma reta 
a uma circunferência 
 e : raios da circunferência
 : corda da circunferência 
 s é perpendicular a t
Se uma reta s passa pelo centro O de uma circunferência
e é perpendicular a uma reta secante dessa circunferência, 
então a reta s intercepta a corda determinada pela reta 
secante em seu ponto médio M.
Propriedades das retas secantes 
e tangentes 
 P e Q pertencem à reta t
 P pertence à circunferência e Q é 
externo à circunferência
 é raio da circunferência
Propriedades das retas secantes 
e tangentes 
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular 
ao raio da circunferência no ponto de tangência.
Propriedade dos segmentos tangentes 
a uma circunferência
Dois segmentos, e , tangentes a uma 
circunferência nos pontos A e B são congruentes.
Exercício resolvido
R1. Determinar o valor de x.
Resolução
A corda é secante à circunferência de centro 
O e o segmento é perpendicular à secante, 
então, pela propriedade da reta secante a uma 
circunferência, divide a corda pela 
metade; logo, mede 9.
Temos ainda que e são 
raios da circunferência, assim: 
OB = OC = 15
Como o triângulo MOB é 
retângulo, temos:
x2 + 92 = 152
x = 12
Exercício resolvido
R1.
Resolução
R2. Determinar o valor de x, sabendo 
que A e B são centros de suas 
respectivas circunferências e C e D
são pontos de tangência da reta t
com as circunferências.
Resolução
Como C e D são pontos de tangência, então os segmentos 
e são perpendiculares à reta t; logo, e são raios 
das circunferências e medem 4 e 2, respectivamente. 
Portanto, o quadrilátero ABCD é um trapézio de altura x.
Exercício resolvido
Temos:
 BD = EC = 2
 AC = EC + AE ⇒ 4 = 2 + AE ⇒ AE = 2
 AB = 4 + 4 + 2 = 10
O triângulo AEB é retângulo, então:
(AB)2 = (AE)2 + (EB)2
102 = 22 + x2 ⇒ x = 4 
Exercício resolvido
R2.
Resolução
Resolução
Exercício resolvido
R3. Dada uma circunferência inscrita num triângulo ABC, 
e considerando D, E e F como pontos de tangência dessa 
circunferência com os lados , e , respectivamente, 
determinar a medida do segmento , sabendo que mede 
20 cm, mede 25 cm e mede 16 cm.
Temos:
AB = AD + DB ⇒ 20 = AD + x ⇒ AD = 20 – x
Pela propriedade dos segmentos tangentes a uma 
circunferência, temos:
 AD = AE ⇒ AE = 20 – x
 BD = BF = x
Então: CF = 25 – x
R3. 
Resolução 
Exercício resolvido
Mas: CF = CE ⇒ CE = 25 – x
Então, como AC = CE + AE, temos:
16 = (25 – x) + (20 – x) ⇒ 2x = 29 ⇒ x = 14,5
Logo, o segmento mede 14,5 cm.
R3. 
Resolução 
Exercício resolvido
Dois pontos distintos, C e D, de uma circunferência dividem-na 
em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada 
arco de circunferência.
Arco de circunferência
Os pontos C e D são chamados extremidades do arco.
Indicamos o arco 
menor por e o 
arco maior por 
Quando as extremidades de um arco dividem a circunferência 
em dois arcos de mesma medida, chamamos cada arco de 
semicircunferência.
Arco de circunferência
Chamamos de ângulo central de uma circunferência qualquer 
ângulo cujo vértice seja o centro da circunferência. 
Ângulo central 
A medida, em grau, de um arco de circunferência é a medida 
do ângulo central correspondente a esse arco.
Indicamos a medida do arco por: med( )
Então: med(AÔB) = med( ).
Ângulo inscrito é todo ângulo cujo vértice é um ponto da 
circunferência e cujos lados são secantes a essa circunferência.
Ângulo inscrito
é um ângulo inscrito que 
determina o arco .
O ângulo inscrito determina o arco .
O ângulo central AÔB também determina o arco .
Todo ângulo inscrito na semicircunferência é reto. 
Ângulo inscrito
Ângulo excêntrico é todo ângulo cujo vértice não é um ponto 
pertencente à circunferência. 
Ângulo excêntrico 
é um ângulo excêntrico exterior. Os ângulos
são ângulos excêntricos interiores. 
 Medida de um ângulo excêntrico interior:
 Medida de um ângulo excêntrico exterior:
Ângulo excêntrico 
a)
R4. Determinar o valor de x em cada um dos casos. 
c)
b) d)
Exercício resolvido
a) Como x é a medida do ângulo inscrito , temos:
b) Como os arcos e medem 160º e 40º, 
respectivamente, e x é a medida do ângulo excêntrico 
interior, então:
R4. 
Resolução
Exercício resolvido
c) Como x é a medida do ângulo excêntrico exterior e os 
arcos e medem 40º e 80º, respectivamente, 
temos:
d) Como x é a medida do ângulo inscrito, temos:
R4. 
Resolução
Exercício resolvido
Resolução
Temos: med ( ) = 180º e med ( ) = 115º 
Então: med ( ) = 180º – 115º = 65º
Como x é a medida do ângulo excêntrico exterior, temos:
R5. Determinar x.
Exercício resolvido
Resolução
Como O é o centro da circunferência, o triângulo AOB é 
isósceles, pois e são raios da circunferência, então: 
med ( ) = med ( ) = 23º
Portanto:
R6. Determinar o valor de x
sabendo que O é o centro 
da circunferência.
Exercício resolvido
Como é ângulo central, então: 
med ( ) = med ( ) = 134º 
E como x é a medida do ângulo inscrito na circunferência, 
temos:
R6. 
Resolução
Exercício resolvido
A área de um círculo, cuja medida do raio é r, é dada por:
Exemplo
Vamos determinar a área de um círculo cujo raio mede 4 cm.
Então, a área do círculo é 16 cm2.
Área do círculo
A = r2
Setor circular é a região do círculo delimitada por um 
de seus ângulos centrais. 
ExemploVamos calcular a área do setor circular destacado. 
Área de um setor circular 
A coroa circular é a região compreendida entre duas 
circunferências concêntricas (que possuem o mesmo 
centro), que estão em um mesmo plano e que têm raios 
de medidas diferentes. 
Área da coroa circular
A = R2 – r2
Vamos calcular a área da coroa circular destacada.
A =  ∙ 52 –  ∙ 32 = 25 – 9 = 16
Exemplo
Área da coroa circular
ANOTAÇÕES EM AULA
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ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Trigonometria no triângulo 
retângulo e em um 
triângulo qualquer
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Observe que os triângulos retângulos BGF, BED, BAC e 
BPT são semelhantes, pois têm ângulos correspondentes.
Semelhança de triângulos retângulos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Semelhança de triângulos retângulos
Assim, podemos escrever a seguinte proporção: 
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
medida do cateto oposto a a
medida da hipotenusa
sen a = 
medida do cateto adjacente a a
medida da hipotenusa
cos a = 
medida do cateto oposto a a
medida do cateto adjacente a a
tg a = 
Seno, cosseno e tangente do ângulo a
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
a) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo 
a do triângulo retângulo ABC a seguir.
Considerando o ângulo a, o cateto oposto é , o cateto 
adjacente é e a hipotenusa é .
Exemplos
Seno, cosseno e tangente do ângulo a
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
a) Aplicando as definições, obtemos:
medida do cateto oposto a a
medida da hipotenusa
sen a = = = 0,6
3
5
medida do cateto adjacente a a
medida da hipotenusa
cos a = = = 0,8
4
5
medida do cateto oposto a a
medida do cateto adjacente a a
tg a = = = 0,75
3
4
Exemplos
Seno, cosseno e tangente do ângulo a
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
b) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo b.
Em relação ao ângulo b, o cateto oposto é AB, o cateto adjacente 
é AC e a hipotenusa é CB.
Exemplos
Seno, cosseno e tangente do ângulo b
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
b) Aplicando as definições, obtemos:
medida do cateto oposto a b
medida da hipotenusa
sen b = = = 0,8
4
5
medida do cateto adjacente a b
medida da hipotenusa
cos b = = = 0,6
3
5
medida do cateto oposto a b
medida do cateto adjacente a b
tg b = = 1,33
4
3
Exemplos
Seno, cosseno e tangente do ângulo b
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
sen a = b
a
cos a = c
a
tg b = 
c
b
sen b = 
c
a
cos b = b
a
tg a = b
c
No triângulo ABC a seguir, retângulo em A, as razões 
trigonométricas que envolvem os ângulos agudos a e b são:
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Os ângulos agudos a e b são complementares, pois a 
soma de suas medidas é 90º. 
Assim, podemos escrever b em função de a: b = 90º – a.
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
sen a = cos b = cos (90º − a)
Note também que sen a = e cos b = , então temos: 
sen a = cos b.
Substituindo b por 90º – a na última igualdade, temos:
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
b
a
b
a
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Substituindo b por 90º – a nessa igualdade, temos:
Também vale a relação:
sen2 a + cos2 a = 1
cos a = sen b = sen (90º − a) 
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Observe também que cos a e sen b = , então temos: 
cos a = sen b.
c
a
c
a
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Demonstração
No triângulo ABC, sabemos que sen a = e cos a = . 
Assim:
Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo ABC temos: 
a2 = b2 + c2 (II)
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
c
a
b
a
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Demonstração
De (I) e (II), podemos escrever:
Portanto, quaisquer que sejam as medidas dos ângulos 
agudos de um triângulo retângulo, vale a igualdade:
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
sen2 a + cos2 a = 1
sen2 a + cos2 a = = = 1 b
2 + c2
a2
a2
a2
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Retomando o triângulo ABC, vamos relacionar o seno e o 
cosseno do ângulo agudo a com sua tangente.
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Também podemos escrever c em função de cos a:
Sabemos que sen a = , cos a = e tg a = ; então 
podemos escrever b em função de sen a:
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Substituindo (I) e (II) na razão que fornece a tangente 
de a, temos:
Assim, concluímos:
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Seno e cosseno de ângulos
complementares
Seno e cosseno
de um ângulo
Seno, cosseno e 
tangente de um 
ângulo
sen a = cos (900 – a) 
cos a = sen (900 – a) 
sen2 a + cos2 a = 1
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Vamos começar aplicando o teorema de Pitágoras: 
a2 = 62 + 42 ⟹ a2 = 36 + 16 ⟹ a =
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Vamos determinar o seno, o cosseno e a 
tangente dos ângulos agudos de um 
triângulo retângulo cujos catetos medem 
6 cm e 4 cm. 
Exemplo
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R1. Na dança folclórica do trança-fitas, 
geralmente se usa um mastro de 
3 m de altura. Para certa passagem
da dança, é preciso formar um 
ângulo de 30º entre a fita esticada
(com uma ponta na extremidade superior do mastro e a 
outra ponta no chão) e o piso horizontal. Sabendo que 
sen 30º = 0,5, determinar o comprimento da fita e a 
distância da ponta ao mastro.
JU
C
A
 M
A
R
T
IN
S
/O
L
H
A
R
 I
M
A
G
E
M
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R1. 
Resolução
No esquema a seguir, c representa o comprimento da 
fita e d, a distância pedida. 
Então: 
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R1. 
Resolução
Pelo teorema de Pitágoras:
d2 + 32 = 62 ⇒ d2 = 27 ⇒ d = ⇒ d ≃ 5,2
Portanto, a fita tem 6 metros de comprimento e a sua ponta 
fica a 5,2 metros do mastro, aproximadamente.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Resolução
Aplicando a relação sen2 a + cos2 a = 1, temos:
Como a é agudo, a pode ser um dos ângulos de um triângulo 
retângulo, logo, cos a e sen a são razões entre os lados do 
triângulo e, portanto, são positivos. Então, cos a = 
R2. Dado sen a = , com o a agudo, determinar cos a.
Exercício resolvido
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Ângulos notáveis
Exemplo
Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de 45º.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: y2 = x2 + x2, ou seja, 
y = x . Usando as definições de seno, cosseno e tangente, temos: 


ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Ângulos notáveis
sen 60º = ; cos 60º = ; 
Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos 
de 60º e 30º. Pela figura, temos: 



Como os ângulos de 30º e 60º são complementares, resulta:
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Ângulos notáveis
30o 45o 60o
Seno
Cosseno
Tangente 1
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
a) Vamos imaginar que um foguete foi lançado formando com o solo 
um ângulo de 45º. Depois de percorrer 1.000 m em linha reta, a 
que altura o foguete estava do chão? 
Para melhor visualizar a situação, é interessante fazer um esboço:
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
a) Neste caso, para calcular a altura (h) do foguete, usamos o 
seno de 45º:
Considerando = 1,41, obtemos: h = 705
O foguete estava a 705 m do chão.
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
b) Uma das extremidades de um cabo de aço está presa ao 
topo de um poste, formando um ângulo de 30º, enquanto a 
outra extremidade está fixada no chão a 5 m do pé do 
poste. Qual é o comprimento (c) do cabo de aço? Qual é a 
altura (h) do poste?
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
b) Neste caso, para calcular o comprimento (c) do cabo, usamos o 
seno de 30º.
O cabo de aço mede 10 m.
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Considerando , obtemos: h = 8,65 
A altura do poste é 8,65 m.
b) Para determinar a altura (h) do poste, usamos a tangente de 30º.
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
c) Um barqueiro pretendia ir de uma margem à outra de um rio pela 
travessia mais curta possível. No entanto, a correnteza o arrastou 
24 m além do atracadouro. Do local aonde o barco chegou, 
avista-se o ponto de partida de um ângulo de 60º em relação à 
margem onde o barqueiro está. Qual é a largura (r) do rio?
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
c) Para melhor visualizar a situação, fazemos um esboço:
Neste caso, para calcular a largura, usamos a tangente de 60º:
Considerando = 1,73, obtemos: r = 41,52. 
Logo, a largura do rio é 41,52 m.
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Resolução
O lado oposto ao ângulo de 60º mede aproximadamente 
26 cm e o menor lado adjacente mede 15 cm.
Exercício resolvido
R3. Determinar a medida dos outros dois lados 
do esquadro de 60º.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R4. Determinar a medida de CB, no triângulo abaixo, sabendo 
que DE = DC e AB = 1.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R4. 
Resolução
Como DE = DC, então:
No triângulo DCE temos:
No triângulo ABC, os ângulos a e b são complementares,
então b = 45º.
Logo, o triângulo ABC é retângulo isósceles e CB = 1.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R5. Uma pequena árvore de altura x, ao ser replantada, foi 
escorada por duas vigas de madeira, como mostra a figura. 
Determinar as medidas de x e de y.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R5. 
Resolução
Δ ABC: tg 30º = (I)
Δ ABD: tg 60o = (II)
 Substituindo (II) em (I), obtemos:
Daí: y = 1 m
Como x = , resulta: m
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Aplicações das razões trigonométricas
e/ou calculadora científica
Esporte. Sabendo que as distâncias oficiais entre as balizas 
de um campo de futebol são 2,44 m, entre a baliza horizontal 
e o solo, e 7,32 m, entre as balizas verticais, e que a marca do 
pênalti (B) está a 11 m do meio (P) 
da linha de gol, vamos determinar 
o maior ângulo, em relação à reta , 
Com que um jogador pode cobrar um 
pênalti, chutando rasteiro, e ter a 
possibilidade de marcar um gol. 
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e numtriâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Aplicações das razões trigonométricas
e/ou calculadora científica
Então, para ter a possibilidade de, chutando rasteiro, marcar o 
gol, o jogador deve chutar a bola com um ângulo de menos de 
18º com a reta que passa pela marca do pênalti e pelo meio 
da linha do gol.
Distância entre as balizas verticais: 7,32 m
Distância da marca do pênalti até o meio da linha de gol: 11 m
Metade da distância entre as balizas verticais: m = 3,66 m7,32
2
tg a = = 0,3327
7,32
2
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R6. Um fio de 15 m de comprimento, esticado, eleva uma pipa 
até a altura de 6,8 m. Qual é o ângulo formado entre o fio 
e o solo?
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R6. 
Resolução
Vamos determinar o seno de a:
Consultando a tabela, temos
Então, o fio forma um ângulo de aproximadamente 27º 
com o solo.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R7. Numa determinada hora do dia, a luz do sol incide sobre 
uma estaca fincada verticalmente no solo. Os raios 
solares formam com a estaca um ângulo de 75º, e o 
comprimento da sombra projetada no solo é 3,5 m. Qual 
é a altura dessa estaca?
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R7. 
Resolução
De acordo com o esboço abaixo, devemos usar a tangente 
de 75º.
Consultando a tabela, tg 75º = 3,7321. Logo:
m
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R8. No triângulo ABC abaixo, determinar as medidas x e y.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R8. 
Resolução
De acordo com a figura e com a tabela de razões 
trigonométricas, temos:
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R9. Qual é a medida aproximada do ângulo de uma rampa 
para pedestres com inclinação de 10% que liga o 
pavimento térreo ao primeiro andar de um prédio? 
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R9. 
Resolução
Uma rampa ter inclinação de 10%, ou 0,1, significa que a 
tangente do ângulo agudo que a rampa forma com o piso 
inferior é igual a 0,1. Assim, de acordo com o problema, 
tg a = 0,1. Pela tabela de razões trigonométricas, a tangente 
mais próxima desse valor é 0,1051, que corresponde ao 
ângulo de 6º.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R10. A construção de um tipo de rampa para skatistas
obedece ao seguinte padrão: a inclinação é de 23º com o 
solo, o comprimento horizontal é 1,70 m e a plataforma 
superior tem 0,30 m. Qual é a altura dessa rampa?
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R10. 
Resolução
Vamos iniciar fazendo um esboço.
Daí segue que:
Logo, a rampa tem aproximadamente 0,59 m de altura.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R11. Em certo ponto de uma das margens de um rio de 
margens paralelas, avista-se na outra margem, bem 
em frente, em linha reta, uma determinada árvore. 
Caminhando 200 m pela margem, avista-se essa mesma 
árvore sob um ângulo de 60º. Qual é a largura 
aproximada do rio?
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R11. 
Resolução
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R12. Um jogador de futebol, ao cobrar um escanteio, 
coloca, em um chute rasteiro e em linha reta, a bola 
nos pés de um companheiro de time que está sobre a 
marca de pênalti na área adversária. Sabendo que a 
linha de fundo mede 75 m e a distância entre o meio 
dessa linha e a marca de pênalti é 11 m, determine 
qual foi o ângulo do chute em relação à linha de fundo.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R12. 
Resolução
A marca de pênalti está centralizada em frente ao gol, à 
distância de 11 m. Do canto de onde é cobrado o escanteio 
até o meio da linha do gol, que está situado em frente à 
marca de pênalti, temos 37,5 m de distância. Portanto, para 
determinar o ângulo, devemos calcular sua tangente.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Seno e cosseno de ângulos obtusos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Seno e cosseno de ângulos obtusos
Exemplos
a) Vamos determinar o valor do seno de 150º.
sen 150º = sen (180º – 150º) = sen 30º
Logo: sen 150º = 
b) Vamos determinar o valor do cosseno de 150º.
cos 150º = –cos (180º – 150º) = –cos 30º 
Portanto: –cos 150º = –
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Lei dos senos
Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são 
proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles, 
isto é:
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Lei dos senos
a) Vamos fazer um esquema para ilustrar a situação e determinar 
a medida do ângulo e as distâncias OC e PC (comprimento 
do fio).
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Lei dos senos
a) Para calcular a medida do ângulo , fazemos:
med( ) = 180º – (49º + 30º) = 101º 
Aplicando o conceito do seno de um ângulo obtuso, temos:
sen 101º = sen (180º – 101º) = sen 79º
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
a) Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos:
sen 79º ≃ 0,98 e sen 49º ≃ 0,75
Aplicando a lei dos senos, temos:
Lei dos senos
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
a)
Assim, a medida do ângulo é 101º, a distância OC é 
aproximadamente 43,12 m e o comprimento PC do fio é, 
aproximadamente, 33 m.
Lei dos senos
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
b) Dois lados de um terreno triangular 
medem 50 m e formam entre si 
um ângulo de 80º. Sabendo que 
o proprietário pretende construir 
uma cerca ao redor do terreno, 
vamos calcular a metragem total 
da cerca. Observe a representação 
dessa situação na figura.
Como o triângulo é isósceles, 
os ângulos da base medem 50º.
Lei dos senos
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
b) Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos:
sen 50º = 0,7660e sen 80º = 0,9848
Agora vamos aplicar a lei dos senos:
Logo, para cercar todo o terreno, serão necessários, 
aproximadamente, 50 m + 50 m + 64,3 m = 164,3 m de cerca.
Lei dos senos
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R13. Calcular as medidas do lado e da diagonal maior de um 
losango cuja diagonal menor mede 5 cm e cujos ângulos 
obtusos medem 130º.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R13. 
Resolução
Em um losango, cada diagonal está 
contida nas bissetrizes dos ângulos 
internos, cujos vértices são extremidades 
dessa diagonal.
Na figura ao lado, a diagonal divide o 
losango em dois triângulos isósceles 
congruentes; assim, no triângulo ABD:
med(Â) = 180º – (65º + 65º) = 50º 
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R13. 
Resolução
Consultando a tabela de razões 
trigonométricas e aplicando a lei dos 
senos no triângulo ABD, temos:
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
R13. 
Resolução
Aplicando o teorema de Pitágoras ao 
triângulo AED, temos:
Logo, o lado e a diagonal maior do 
losango medem cerca de 5,9 cm e
10,7 cm, respectivamente.
Exercício resolvido
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de 
um lado é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos outros lados menos duas vezes o produto dessas 
medidas pelo cosseno do ângulo formado por esses 
lados, isto é:
Lei dos cossenos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Lei dos cossenos
a) Vamos fazer um esquema para ilustrar a 
situação e calcular a distância entre os 
pontos de decolagem e de aterrissagem.
Sabemos que um avião percorreu 90 km 
em direção ao norte, mudou de direção 
por um ângulo de 35º, no sentido horário, 
e depois percorreu 115 km até aterrissar. 
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
a) Aplicando o conceito de cosseno de um ângulo 
obtuso, temos: 
cos 145º = –cos (180º – 145º) = –cos 35º
Consultando a tabela trigonométrica, segue: 
–cos 35º = –0,8192
Lei dos cossenos
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
a) Agora vamos aplicar a lei dos cossenos:
x2 = 1152 + 902 – 2 ∙ 115 ∙ 90 ∙ cos 145º
x2 = 13.225 + 8.100 – 2 ∙ 115 ∙
∙ 90 ∙ (–0,8192)
x2 = 38.282,44
x =
x ≃ 195,66 km
Assim, a distância entre os pontos de decolagem
e de aterrissagem é, aproximadamente, 195,66 km.
Lei dos cossenos
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
b) Vamos determinar as medidas a, x e y no triângulo abaixo.
Aplicando o conceito de cosseno de um ângulo obtuso, temos:
cos 120º = –cos (180º – 120º) = –cos 60º 
Então: cos 120º = –0,5
Lei dos cossenos
Exemplos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
b) Agora vamos aplicar a lei dos cossenos: 
Assim, podemos determinar a medida y:
Lei dos cossenos
Exemplos
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12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
b) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo 
é 180o, temos:
Logo: a = 
Lei dos cossenos
Exemplos
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Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Área de superfície triangular
No triângulo retângulo AHB da figura,
Substituindo h na fórmula da área:
área =
Do mesmo modo, podemos obter:
área = e área = 
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Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
12.1CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA
Área de superfície triangular
Em uma superfície (ou região) triangular, a área é igual 
ao semiproduto das medidas de dois de seus lados pelo 
seno do ângulo determinado por eles, isto é:
área = , área = e área =
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A MATEMÁTICA
Área de superfície triangular
Vamos calcular a área de uma superfície triangular (ou de um 
triângulo), sabendo que dois de seus lados medem 4 cm e 6 cm 
e o ângulo formado por eles mede 30º.
Temos: sen 30º = 0,5
Aplicando a fórmula da área:
Então, a área do triângulo é 6 cm2. 
Exemplo
área = = 6
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A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R14. Determinar a área do triângulo ABC da figura.
Resolução
sen 48º = 
(5,4)2 ≃ 42 + c2  c ≃ 3,6
área ≃ ≃ 13,18
A área do triângulo, portanto, é aproximadamente 13,18 cm2.
ANOTAÇÕES EM AULA
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