Aula_06_Integração_Regra dos Trapézios_1(2)

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
 Integração e Diferenciação Numérica
Prof. Gilson de Souza Santos
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Introdução
No Cálculo Diferencial e Integral estuda-se o conceito de integral definida e como calculá-la por meio de processos analíticos. As aplicações mais óbvias das integrais definidas se encontram no cálculo de comprimentos, áreas, volumes, massa, centro de massa, distância percorrida, tempo decorrido, etc. 
 
Serão apresentados métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas próprias, ou seja, dada uma função y = f(x), avaliar:
onde F(x) é a primitiva de f(x), isto é, F‘(x) = f(x).
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Introdução
Dada uma função f(x), integrável no intervalo [a,b], definimos a integral como sendo:
Onde F’(x)=f(x).
Mas quando a forma analítica de F(x) for de difícil obtenção, ou quando conhecermos somente valores discretos de f(x) (como uma tabela de dados), precisamos recorrer a métodos numéricos para a sua resolução. 
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Introdução
Idéia básica da integração numérica  substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].
Integração numérica de uma função f(x) num intervalo [a,b]  cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio – pn(x). 
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Fórmulas de Newton - Cotes
O uso desta técnica decorre do fato de: 
por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio; 
conhecer-se o resultado analítico do integral, mas, seu cálculo é somente aproximado; 
a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados. 
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Fórmulas de Newton - Cotes
do tipo fechado: tais fórmulas são aquelas em que todos os pontos estão no intervalo de integração [a, b], e x0 = a e xm = b são os extremos.
Permitem calcular, por aproximação, uma integral definida substituindo a função a ser integrada pelo polinômio com diferenças finitas ascendentes que a interpola em um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n; onde a = x0 e b = xn. Sendo assim, é necessário que as abscissas dos pontos sejam eqüidistantes. 
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Regra dos trapézios
Obtida fazendo-se n igual a um, ou seja, por meio da integração do polinômio interpolador de grau um. Aproxima pequenos trechos da curva y=f(x) por segmentos de reta igualmente espaçados no intervalo [a,b].
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Regra dos trapézios
Calcular uma integral definida corresponde a avaliar a área sob a curva da função integrada, no intervalo de integração. No caso, a área sob a curva de f, no intervalo [a = x0, b = x1] foi estimada como sendo a área sob uma reta, é a área de um trapézio.
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Regra dos trapézios
Polinômios interpoladores de grau superior, pode não produzir melhores resultados (note-se que as fórmulas de Newton-Cotes para n = 9, 11, 12, ...têm coeficientes positivos e negativos o que poderá causar cancelamento subtrativo.
Obter aproximações com menor erro consiste em subdividir o intervalo de integração em n partes, todas do mesmo tamanho, e aplicar as fórmulas simples de forma repetida.
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
A região entre a curva e o eixo x é aproximada por trapézios. Realizando a soma das áreas dos trapézios, encontramos a integral de f(x). De forma geral, a fórmula para obtenção da integral é:
Onde h é a largura do trapézio, geralmente dada através do número “n” de intervalos: h=(b-a)/n
 Regra dos trapézios
Os “y’s” são os valores de f nos pontos de divisão
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Exemplo
Calcular a integral definida abaixo, utilizando a regra dos trapézios com:
n = 5 intervalos.
n= 10 intervalos.
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Exemplo
O método prático de cálculo envolve preencher uma tabela com os valores de x e y, bem como os coeficientes de y:
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Exemplo
Portanto, utilizando a regra do trapézio:
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
Considerando agora 10 intervalos:
 Exemplo
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
Levando os dados à equação dos trapézios:
 Exemplo
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
 *
 Referências
BARROS, Ivan de Queiroz. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Edgard Blücher, 1972.
CONTE, S. D. Elementos de análise numérica. São Paulo: Globo, 1977.
DORN, William S. Cálculo numérico com estudos de casos em FORTRAN IV. São Paulo: Universidade de São Paulo, 1972.
MIRSHAWKA, V. Cálculo numérico. São Paulo: Livraria Nobel S.A., 1983.
ROQUE, W. L. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Atlas, 2000.
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
Cálculo Numérico