Derivada-de-funcao

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
Definição. Seja f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite
Quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por f’(p). Assim
f’(p) = 
Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferenciável em p.
Exemplo:
Seja f(x) = x². Calcule.
a) f’(1).		b) f’(x).			c) f’(-3).
a) 
Assim, f’(1) = 2, ou seja, a derivada de f(x) = x², em p = 1, é igual a 2.
b) 
Como 
Segue que
Portanto, 
Observe que f’(x) = 2x é uma fórmula que nos fornece a derivada de f(x) = x², em todo x real.
c) Segue de (b) que 
f’(-3) = 2 . (-3) = -6.
Segue da definição de derivada que quando este limite existe representa-se por f’(p) e dá-nos o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto p.
 A reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)) é dada por
y – f(p) = f’(p) (x – p).
Assim a derivada de f, em p, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa p.
Exemplo:
Se f(x) = x2, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto
a) (1, f(1))		b) (-1, f(-1))		c)(2, f(2))
a) A equação da tangente em (1,f(1)) é
y – f(1) = f’(1) (x – 1) (1)
Substituindo em (1), temos:
y – 1 = 2 (x – 1) ou y = 2x – 1.
b) y = -2x -1 (verifique)
c) y = 4x – 4 (verifique).
A análise das derivadas de uma função é uma técnica a que frequentemente se recorre para o estudo dessa função. Se uma função possui derivada (finita) num ponto, é contínua nesse ponto (condição necessária de derivabilidade), mas o recíproco não é verdadeiro (a continuidade da função num ponto não é condição suficiente para que a função seja derivável nesse ponto).
Nesse sentido, a derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação instantânea de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra.
Por exemplo, a taxa de variação da posição de um objeto em relação ao tempo, isto é, sua velocidade instantânea, é uma derivada.
Quando um movimento apresenta variação da sua velocidade instantânea, ao longo do tempo, o movimento é um movimento variado - apresenta aceleração instantânea.
Observação: Uma conseqüência imediata da interpretação geométrica da derivada é que uma função só é derivável (ou diferenciável) em um ponto de seu domínio se existir uma reta tangente ao seu gráfico por este ponto, ou seja, o gráfico da função neste ponto não apresenta comportamento pontiagudo. Estendendo este raciocínio a todos os pontos do domínio da função, notamos que o gráfico de uma função diferenciável é uma curva suave, sem nenhum pico “pontudo”. Assim, a função apresentada na da figura abaixo, por exemplo, não é diferenciável em x0, ou seja, neste ponto não existe a sua derivada, pois por (x0, f(x0) não passa uma única reta tangente.
ATIVIDADES:
A posição de um ponto material que se movimenta ao longo de uma trajetória retilínea é dada por s = 2t³ - 4t + 6, em que se é medido em metros, a partir de uma origem conveniente, e t está em segundos. Determine:
a velocidade escalar média do ponto material entre os instantes 1s e 3s;
a função horária da velocidade escalar em função do tempo;
a velocidade escalar quando t = 5s;
a velocidade escalar inicial;
o instante em que a velocidade escalar se anula.
A função horária das posições de um ciclista em movimento retilíneo é s = 200 – 5t, no SI,
Qual a velocidade escalar instantânea desse ciclista?
Qual a aceleração escalar instantânea desse ciclista?
Uma pedra é lançada, verticalmente para cima, do alto de um morro de 18m de altura, com velocidade inicial de 20m/s. A distância s, em metros, dessa pedra em relação ao topo do morro após t segundos é dada pela função horária s = 20t – 5t². Calcule a máxima altura que a pedra atinge em relação ao solo.
Calcule a derivada de e use o resultado para
Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto x = 4;
Determinar a taxa de variação de em relação a x no ponto x = 1.
Um empresário calcula que quando x unidades de um certo produto são fabricadas, a receita bruta associada ao produto é dada por R(x) = 0,5x² + 3x – 2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita com o nível de produção x quando 3 unidades estão sendo fabricadas? Para esse nível de produção, a receita aumenta ou diminui com o aumento da produção?
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Nem sempre devemos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.
DERIVADAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES
Derivada da função constante
f(x) = c ⇒ f’(x) = 0
Derivada da função potência
f(x) = xn ⇒ f’(x) = n . xn-1
Derivadas de funções trigonométricas
f(x) = sen x ⇒ f’(x) = cos x
f(x) = cos x ⇒ f’(x) = - sen x
f(x) = tg x ⇒ f’(x) = 1/cos² x ⇒ f’(x) = sec² x
Derivada da função exponencial
 
Regras gerais para derivadas de funções
Multiplicação por constante: a derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.
(kf) '(x) = k f '(x)
Soma de funções: a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas das parcelas.
(f + g) '(x) = f '(x) + g '(x)
Diferença de funções: a derivada de uma diferença é igual à diferença das derivadas das parcelas.
(f – g) '(x) = f '(x) – g '(x)
Produto de funções: a derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira multiplicada pela segunda mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
(f.g) '(x) = f '(x).g(x) + f(x).g '(x) 
Divisão de funções, quando o denominador g = g(x) é não nulo: a derivada de um quociente é igual à derivada do numerador multiplicada pelo denominador menos o numerador multiplicado pela derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador.
Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.
ATIVIDADES:
Estima-se que daqui a x meses a população de certo município será P(x) = x² + 20x + 8000.
Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 15 meses?
Qual será a variação da população durante o 16º mês?
O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por N(t) = t² + 5t + 106 bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1990.
Qual foi a taxa de variação do PIB em 1998.
Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 1998?
Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s(t) = t³ - 6t² + 9t +5.
Determine a velocidade e aceleração do corpo no instante t.
Em que instante o corpo está estacionário?
O lucro obtido com a venda de x unidades de um certo produto é dado por
	mil reais. Qual é a taxa de variação do lucro em relação às vendas para x = 2?
A areia está escapando de um saco furado de tal forma que após t segundos, existem
quilos de areia no saco.
Qual a quantidade de areia que havia inicialmente no saco?
Qual a taxa de variação da quantidade de areia no saco após 1 segundo?
Quanto tempo o saco leva para ficar totalmente vazio? Qual a taxa de variação da quantidade de areia no instante em que o saco fica totalmente vazio?