Resumo sobre Camada limite

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ENQ 0237 - MECÂNICA DOS FLUIDOS 
CAPÍTULO 5 - CAMADA LIMITE 
 
1. O Conceito de Camada Limite 
O conceito de camada limite foi introduzido pioneiramente por Ludwig Prandtl, um alemão 
estudioso da aerodinâmica em 1904. O conceito de camada limite marcou o começo da era moderna 
da mecânica dos fluidos. 
 
Como se forma a camada limite? 
Em qualquer escoamento viscoso observa-se que o fluido em contato direto com uma fronteira 
sólida tem a mesma velocidade que ela; não há escorregamento na fronteira. A velocidade do fluido 
em contato com a superfície sólida é zero, embora o fluido esteja em movimento. Decorrente deste 
fato, existem gradientes de velocidade e, consequentemente, tensões tangenciais devem estar 
presentes no escoamento. 
Como um caso prático considere o movimento de um fluido ao redor de uma asa delgada ou de 
um casco de navio. Esse escoamento poderia ser representado de forma aproximada por um 
escoamento sobre uma placa plana. 
O fluido se aproxima da placa com velocidade uniforme U. A placa exerce uma ação retardadora 
sobre o fluido diminuindo a velocidade do fluido nas vizinhanças da superfície. Numa ordenada y, 
suficientemente longe da placa (ponto B), o escoamento não será afetado por sua presença. Parece 
razoável esperar que a velocidade cresça suave e gradativamente de u=0 em y=0 até u=U em y=B, 
formando um perfil de velocidades. 
A região próxima à placa, onde as tensões de cisalhamento estão presentes (por haver 
gradientes de velocidade), é chamada então de CAMADA LIMITE. Fora da camada limite, o gradiente 
de velocidade é nulo e, por conseguinte, as tensões de cisalhamento são nulas. Nesta região pode-se 
pensar o escoamento como não viscoso. 
 
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Escoamento sobre placa plana com efeitos viscosos predominantes 
 
Escoamento sobre placa plana com efeitos viscosos moderados 
 
 
Escoamento sobre placa plana – efeitos de inércia importantes 
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Espessura da camada limite 
 A espessura da camada limite é a distância a partir da superfície onde o efeito de 
retardamento que a superfície exerce sobre o fluido em escoamento se torna desprezível. Esta 
distância é comumente chamada de . Sua definição é: 
 o valor de y para o qual u = 0,99 U (a velocidade é 99% do valor da velocidade da corrente 
livre). 
 Quando se fala do perfil de velocidades na camada limite, esta referência se dá em relação à 
maneira como a velocidade varia em função de y, através da camada limite. Dessa forma o 
escoamento do fluido é caracterizado pela existência de duas regiões distintas, uma fina camada de 
fluido (a camada limite) onde os gradientes de velocidade e as tensões cisalhantes são grandes, e 
uma região exterior à camada limite, onde os gradientes de velocidade e as tensões cisalhantes são 
desprezíveis. Com o aumento da distância da aresta frontal da placa, os efeitos da viscosidade 
penetram cada vez mais na corrente livre, e a camada limite aumenta ( aumenta com x). 
 
Formação da camada limite em escoamento interno 
 O escoamento tem velocidade U0 na entrada do tubo. Por causa da condição de não 
escorregamento na parede do tubo, sabemos que a velocidade ali deve ser zero em todo o 
comprimento do tubo. Uma camada limite desenvolve-se ao longo das paredes do tubo. A superfície 
sólida exerce uma força retardante sobre o escoamento, assim a velocidade do fluido nas vizinhanças 
da parede é reduzida. Nas seções sucessivas ao longo do duto, nesta região de entrada, o efeito da 
superfície sólida é sentido cada vez mais dentro do escoamento. Suficientemente longe da entrada 
do tubo, a camada limite em desenvolvimento na parede do tubo atinge a sua linha de centro e o 
escoamento torna-se inteiramente viscoso. Quando a forma do perfil de velocidades não muda mais 
com o aumento da distância, x, o escoamento está completamente desenvolvido, A distância à 
jusante, a partir da entrada , até o ponto em que o escoamento completamente desenvolvido começa 
é chamado de comprimento de entrada. A forma real do perfil de velocidades completamente 
desenvolvido depende de o escoamento ser laminar ou turbulento. 
Para escoamento laminar, o comprimento de entrada L é uma função de Reynolds: 
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
 Du
D
L
06,0
 então L pode ser tão grande quanto 138 D 
Se o escoamento for turbulento, a mistura acelerada entre as camadas adjacentes do fluido causa 
o crescimento mais rápido da camada limite. Experiências mostram que o perfil de velocidade torna-
se completamente desenvolvido dentro de 25 a 40 diâmetros do tubo a partir da entrada. 
 
Escoamento laminar e turbulento na camada limite 
Como nos dutos, o escoamento em camada limite pode ser laminar ou turbulento. Não há valor 
singular do número de Reynolds no qual ocorre a transição na camada limite. Entre os fatores que 
afetam a transição estão o gradiente de pressão, a rugosidade superficial, a transferência de calor, as 
forças de campo e as perturbações da corrente livre. 
A camada limite é laminar até uma curta distância a partir da borda de ataque, a transição ocorre 
sobre uma região da placa e não sobre uma linha sobre a placa. A região de transição estende-se até 
o local onde o escoamento em camada limite torna-se inteiramente turbulento. 
Para fins de cálculo sob condições típicas de escoamento , considera-se que a transição ocorra a 
um número de Reynolds de 500.000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com o progresso do escoamento a espessura da camada limite  aumenta e, consequentemente 
u/y cai e também a tensão de cisalhamento diminui, diminuindo as forças viscosas. Como o número 
de Reynolds é uma relação entre forças viscosas e forças inerciais, a queda das forças viscosas, 
acentua a predominância das forças inerciais, permitindo a caotização do escoamento. 
 
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Observe que, quanto mais espessa a camada limite, maior será o isolamento da placa em relação 
ao escoamento externo. Portanto, menor será a capacidade do escoamento em remover calor ou 
massa da placa. 
 
Descolamento da camada limite 
 Considere o escoamento ao redor do corpo abaixo. No ponto A, temos o ponto de máxima 
pressão, ou o ponto de estagnação, uma vez que a velocidade neste local é igual a zero. Com o 
progresso do escoamento, de A para B, temos uma diminuição na pressão, devido à diminuição da 
seção de escoamento, o que provoca um aumento de velocidade. Ou seja, a pressão é maior em A 
do que em B, sendo a diferença de pressão favorável ao escoamento. 
 Entretanto, após o ponto B, na região posterior do corpo (no dorso), ocorre um aumento da 
seção de escoamento, o que provoca um aumento da pressão na direção do escoamento. Ou seja, o 
fluido sofre uma pressão oposta ao escoamento. Neste caso, as camadas de fluido próximas à 
superfície são levadas ao repouso e o escoamento separa-se da superfície. 
 A separação da camada limite acarreta a formação de uma região de pressão relativamente 
baixa atrás do corpo. Esta região é chamada de esteira de vórtices. 
 Assim para o escoamento separado, em torno de um corpo separado, há um desequilíbrio 
líquido de forças de pressãono sentido do escoamento, o que acarreta um arrasto de pressão sobre 
um corpo. Quanto maior a esteira, maior o arrasto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pode-se observar nesta figura que, mesmo em escoamento interno pode haver descolamento da 
camada limite. Na figura superior observa-se uma variação bastante suave do diâmetro interno da 
seção. Neste caso, o aumento de pressão resultante (devido à diminuição da energia cinética), não é 
suficiente para provocar o descolamento da camada limite. 
 
Na figura inferior, observa-se um aumento abrupto do diâmetro interno da seção. Neste caso, o 
aumento de pressão resultante da queda da energia estática, é suficiente para provocar a inversão do 
escoamento na região próxima à parede e provocar o descolamento da camada limite. 
 O descolamento da camada limite acarreta um tipo de transformação de energia conhecida 
como perda de carga localizada. 
 
2. Arrasto 
Sempre que há um movimento relativo entre um corpo sólido e o fluido no qual está imerso, o 
primeiro é submetido a uma força resultante F, devida à ação do fluido. Se o corpo estiver se 
movendo através de um fluido viscoso, tanto forças de pressão como de cisalhamento atuam sobre 
ele. A força resultante pode ser dissociada nas componentes paralela e perpendicular à direção do 
movimento. A componente da força paralela à direção do movimento é chamada de força de arrasto 
FD e a perpendicular à direção do movimento é chamada de força de sustentação FL . 
Como a força de cisalhamento é dada por 
dAFd cis 


 
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E a de pressão é dada por 
pdAFd pressão 
 
Pode-se pensar que arrasto e sustentação podem ser avaliados analiticamente. Entretanto, há 
muito poucos casos em que arrasto e sustentação podem ser avaliados analiticamente devido ao 
efeito de separação que não permite a solução analítica. Neste caso é necessário empregar 
coeficientes determinados experimentalmente a fim de determinar a sustentação e o arrasto. 
 
Arrasto viscoso 
É a força gerada pelo atrito viscoso na camada limite; ela é a única resistência quando o 
escoamento se dá sobre uma placa plana. Predominante quando se tem escoamento sobre corpos 
achatados para os quais a resistência de forma é pequena. Dado por: 
2
2

V
C
A
F
f 
 
onde A é a área de contato entre o corpo fluido e o sólido; 
Cf é o coeficiente de atrito adimensional sobre a superfície; 
 é a massa específica do fluido; 
V é a velocidade da corrente livre do fluido. 
 
 Conhecido, em escoamentos internos, como perda de carga distribuída. 
 
 Arrasto de pressão (de forma) 
 O tipo de resistência que oferece um corpo bojudo de forma semelhante a de um cilindro, a qual 
é causada, principalmente, pela diferença de pressão entre a parte anterior e posterior do corpo. Este 
tipo de resistência predomina em escoamentos sobre corpos bojudos, não achatados, com exceção 
praa baixos valores de Re e é frequentemente, associada ao aparecimento de um esteira de fluido. 
Dada por 
2
2

V
C
A
F
D
p

 sendo CD = f (Re) 
Onde Ap é a área frontal do corpo submerso; 
CD é o coeficiente de arrasto adimensional; 
 
 Conhecido, em escoamentos internos, como perda de carga localizada. 
 
 O coeficiente de arrasto é determinado para cada forma geométrica, através de dados 
experimentais em função de Reynolds. Em escoamentos internos este coeficiente é conhecido como 
fator de atrito (Fanning e Darcy). 
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O carenamento ou afuselamento conveniente do corpo reduz o gradiente adverso de pressão 
por dispersar um dado aumento de pressão sobre uma distância maior. O carenamento do corpo 
retarda a separação, reduzindo o arrasto sobre o corpo. 
 A separação também pode ocorrer em escoamentos internos (dutos) como resultado de 
mudanças rápidas ou bruscas na geometria do duto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultados de Blasius 
Blausius definiu algumas equações para o escoamento em camada limite. 
Espessura da Camada Limite Laminar 
 
 
xRe
5
x


 
 
Tensão de Cisalhamento na Parede 
 
 
x
u
u

 000 332,0
 
 
 
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Coeficiente Local de Atrito 
 
 
x
x
Re
664,0
fC 
 
 
Coeficiente de arraste 
 
 
0
D
Lu
328,1C


 ou 
L
D
Re
328,1
C 
 
 
 onde 

 0L
Lu
Re
 
Força de resistência ou Força de Arraste 
 
 
00d Lubu664,0F 
 
 
 onde L é o comprimento da placa, na direção X, e b a largura. 
 
Além disso, Blausius também definiu as equações para os perfis de velocidade, conforme pode ser 
estudado em Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, Welty, J.R.; Wilson, R.E.; 
Wicks,L.E. John Wiley & Sons , 3ª edição, páginas 171 - 175. 
Camada limite térmica 
 Da mesma forma que há uma camada limite fluidodinâmica no escoamento de um fluido sobre 
uma superfície, uma camada limite térmica deve se desenvolver se houver diferença entre as 
temperaturas do fluido na corrente livre e da superfície. Considere o escoamento sobre uma placa 
plana isotérmica. Na aresta frontal o perfil de temperaturas é uniforme, com T (y) = T. Contudo, as 
partículas de fluido que entram em contato com a placa atingem o equilíbrio térmico na temperatura 
superficial da placa. Por sua vez, essas partículas trocam energia com as camadas de fluido 
adjacente, causando o desenvolvimento de gradientes de temperatura no fluido. A região do fluido 
onde existem estes gradientes de temperatura é conhecida como camada limite térmica, e sua 
espessura T, é definida como o valor de y no qual a razão 
99,0
sup
sup



TT
TT . Com o aumento da 
distância da aresta frontal da placa, os efeitos da transferência de calor penetram cada vez mais na 
corrente livre e a camada limite térmica aumenta. 
 As condições no interior da camada limite térmica, influenciam fortemente o gradiente de 
temperatura na superfície, determinam a taxa de transferência de calor através da camada limite. 
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Quanto mais espessa se torna a camada limite, isto é, com o aumento de x, o coeficiente convectivo 
de transferência de calor h, bem como a taxa de transferência de calor q, diminuem. 
 
 
Camada limite de concentração 
 Da mesma forma que as camadas limite térmica e fluidodinâmica determinam o atrito e a 
transferência de calor por convecção em uma parede, a camada limite de concentração determina a 
transferência de massa por convecção. Se uma mistura binária das espécies químicas A e B escoa 
sobre uma superfície e a concentração da espécie A na superfície CAsup é diferente daquela na 
corrente livre CA, uma camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do fluido 
onde existem gradientes de concentração e sua espessura é dada por C. A espessura é definida 
como o valor de y no qual 
99,0
,sup,
sup,



AA
AA
CC
CC . 
 A transferênciade espécies por convecção entre a superfície e a corrente livre do fluido é 
determinada pelas condições na camada limite. 
 
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Significado das camadas limite 
Para o engenheiro, as principais manifestações das três camadas limite são: 
- atrito superficial – camada limite fluidodinâmica. 
- transferência de calor por convecção – camada limite térmica. 
- transferência de massa por convecção – camada limite de concentração. 
Os parâmetros chave das camadas limite são portanto o coeficiente de atrito Cf, o coeficiente 
convectivo de transferência de calor h e o coeficiente convectivo de transferência de massa hm. 
No escoamento sobre qualquer superfície sempre existirá uma camada limite fluidodinâmica e, 
portanto, atrito na superfície. Contudo, uma camada limite térmica e a transferência de calor por 
convecção somente existirão se houver gradiente de temperatura entre a superfície e a corrente 
livre. O mesmo pode-se dizer da transferência convectiva de massa. Podem ocorrer situações nas 
quais a s três camadas limite estão presentes. Nesses casos, raramente as camadas limite crescem 
a uma mesma taxa e os valores de , T e C estão presentes. 
 
Existem três números adimensionais que relacionam as espessuras das camadas limite 
fluidodinâmica, térmica e de concentração. São: 
Número de Prandtl 


Pr
 [(difusividade de qde de movimento – viscosidade cinemática)/ 
difusividade térmica] 
 
Número de Schmidt 
ABD
Sc


 [(difusividade de qde de movimento – viscosidade cinemática)/ 
difusividade mássica] 
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Número de Lewis 
ABD
Le


 [difusividade térmica/difusividade mássica]