Escoamento Viscoso, Incompressível e Externo

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciência e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Engenharia Mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Agenda Semanal 04
Escoamento Viscoso, Incompressível e Externo 
(Capítulo 9, Fox)
Disciplina
Mecânica dos Fluidos II
Aluna
Joyce Ingrid Venceslau de Souto
Campina Grande - PB
Agosto de 2021
Sumário
1.	CONCEITO DE CAMADA-LIMITE 	 	 	 	 3
2. 	ESPESSURAS DE CAMADA-LIMITE 	 	 	 	 5
3.	EQUAÇÃO INTEGRAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 9
4.	EQUAÇÃO INTEGRAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA ESCOAMENTO COM GRADIENTE DE PRESSÃO ZERO	 11
	4.1 Escoamento Laminar 12
	4.2 Escoamento Turbulento 13
5.	GRADIENTES DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO DE CAMADA-LIMITE 14
1. CONCEITO DE CAMADA-LIMITE
Antes de tratar sobre a camada limite propriamente dita, é necessário conhecer as generalidades acerca de escoamentos externo, escopo do capítulo tratado. Escoamentos externos, ao contrário dos internos com o nome já indica, ocorre sobre corpos imersos em fluidos sem delimitações geométricas, ou fronteiras, para restringi-los. A importância de determinar o comportamento de fluidos incompressíveis e viscosos nesse tipo de escoamento, e quantificá-lo, é a possibilidade de abranger uma ampla gama de aplicações reais de projetos aerodinâmicos em peças ou sistemas inteiros, através de algumas considerações analíticas, como aerofólios, carenagens veiculares de uso comum ou voltadas para competição de alto rendimento, como visto na Fig. 1.
Figura 1 – Escoamento externo aplicado ao projeto de carenagem de motocicletas de alto rendimento.
Fonte: https://www.cycleworld.com/story/bikes/motorcycles-and-their-boundary-layers/
Pode-se compreender o escoamento externo sobre um corpo através de alguns fenômenos compreendidos pelo escoamento com alto número de Reynolds de um fluido viscoso sobre um aerofólio mostrado na Figura 2, abaixo. O fluido inicialmente é dividido no ponto de estagnação e, ao escoar sobre a superfície do corpo, ele adquire a mesma velocidade que este em decorrência da condição de não-deslizamento. Observa-se que surge camadas-limite em ambas extremidades do aerofólio, sendo inicialmente laminares (LBL) e cuja transição ocorre após um determinado comprimento a partir do ponto de estagnação, sendo determinado por fatores como elementos de rugosidade da superfície, velocidade de corrente livre (U) e do gradiente de pressão. 
Figura 2 – Diagrama esquemático do escoamento viscoso em torno de um aerofólio.
Fonte: https://fernandoportoprofessorengenheiro.files.wordpress.com/2016/08/dg02-apostila-completa-2018-v2.pdf
Como já previamente discutido na parte de escoamentos em canal aberto, a camada limite turbulenta (TBL) que surge após a transição se desenvolve mais rapidamente comparada à laminar, sendo que seu crescimento provoca um deslocamento nas linhas de corrente. Além disso, o ponto de separação, S, pode ocorrer quando o escoamento está submetido a uma região de pressão crescente (gradiente de pressão adverso), no qual, as partículas fluidas são desaceleradas e, por conta disso, separam-se da superfície do corpo, formando uma esteira viscosa. 
Agora, tratando sobre a camada limite em si, sabe-se que seu conceito, estabelecido por Ludwig Prandtl no início do século XX, foi o marco para o estudo da Mecânica dos Fluidos moderna, sendo responsável pela união das duas ramificações existentes dessa ciência até então: a hidrodinâmica teórica, que cerceava as equações de Euler para o escoamento invíscido e, cujas contradições com resultados experimentais, provocaram o surgimento da outra ramificação da Mecânica dos Fluidos denominada de hidráulica, cujo estudo se embasava em realização de experimentos e desenvolvimento de métodos empíricos. O que Prandtl propôs, através do conceito de camada limite, conseguiu justificar as contradições experimentais nos modelos matemáticos estudados pela hidrodinâmica e permitiu a resolução de problemas de escoamento viscoso, porque foi mostrado que um escoamento viscoso deveria ser dividido em uma região na qual abrangia as fronteiras das superfícies sólidas e a outra que cobriria o resto do escoamento, e somente naquela, cuja característica principal é apresentar uma espessura delgada, os efeitos viscosos são relevantes.
Na camada limite, ambos os efeitos de inércia e de viscosidade são importantes, logo, é intuitivo inferir que o número de Reynolds é um parâmetro significativo na caracterização de escoamentos na camada limite, para além do que já é esperado desse parâmetro adimensional como forma de classificar o regime do escoamento que, na camada limite, também pode ser laminar ou turbulento. Ademais, não se pode atribuir intervalos específicos para o número de Reynolds na faixa de transição da camada-limite porque ela depende de fatores como gradiente de pressão, rugosidade superficial, transferência de calor, atuação de forças externas e outras perturbações que podem ocorrer sobre a corrente livre.
Em inúmeras situações de escoamento real, a camada limite se desenvolve sobre uma superfície longa, essencialmente plana como mostra a Figura 3. Paras fins de simplificação analítica, consegue-se prever os mesmos fenômenos no caso simples de placa plana. Essa simplificação é dada pela consideração da velocidade U ser constante fora da camada limite e, em consequência disso, a pressão também será constante através das considerações de escoamento incompressível, permanente e não viscoso nessa região. O conjunto dessas condições denominam o escoamento como sendo de gradiente de pressão zero.
Figura 3 – Ponto de transição da camada limite laminar para turbulenta em veículo.
Fonte: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780750651318500154
 A Figura 4 mostra como a camada limite se desenvolve sobre uma placa plana infinita. Observa-se que, inicialmente, após a borda de ataque ela é laminar e a transição ocorre dentro de uma faixa de comprimento da placa, sendo estendida até onde o escoamento se torna inteiramente turbulento.
Figura 4 – Camada limite hidrodinâmica sobre uma placa plana.
Fonte: https://fernandoportoprofessorengenheiro.files.wordpress.com/2016/08/dg02-apostila-completa-2018-v2.pdf
	Para fins de cálculo, sob condições comuns de escoamento, o número de Reynolds, , para a transição é considerado como cerca de . Ademais, como comentado anteriormente e visualizado na Figura 4, a camada limite turbulenta cresce mais rápido que a laminar. 
2. ESPESSURAS DE CAMADA-LIMITE 
Como já introduzido, entende-se camada-limite como a região adjacente às superfícies sólidas na qual tensões de cisalhamento viscosas surgem como reação ao escoamento de corrente livre, no qual as tensões viscosas são desprezíveis. Essa tensão de cisalhamento do fluido na camada-limite é justificada pelo gradiente de velocidade presente nesta região e ela existe independentemente do regime de escoamento da camada-limite. Existe uma dificuldade na conceituação de borda, ou espessura, da camada limite porque os gradientes apenas se aproximam assintoticamente de zero quando atingem esta borda, logo não se pode considerá-la como sendo simplesmente o local onde a velocidade u será igual a velocidade de corrente livre U. 
No presente estudo, existem três definições para a espessura da camada-limite, sendo elas: a espessura de perturbação, ou de camada-limite , a espessura de deslocamento , e a espessura de quantidade de movimento . A definição mais direta é a de espessura de perturbação, , sendo ela apresentada como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade é 99% da velocidade de corrente livre, . Além disso, nota-se que a vazão mássica adjacente à superfície da placa é menor do que aquela que passariapela mesma região na ausência de uma camada limite. O decréscimo de fluxo de massa devido à influência das forças viscosas, sendo a largura da placa perpendicular ao escoamento, é dado por:
(1)
Figura 5 – Definição de espessura de camada-limite por espessura de perturbação.
Fonte: https://fernandoportoprofessorengenheiro.files.wordpress.com/2016/08/dg02-apostila-completa-2018-v2.pdf
As outras duas definições são baseadas na diferença que a existência da camada-limite causa no fluxo mássico e de quantidade de movimento, já que se sabe que ela, de fato, retarda o escoamento fluido. Sendo assim, a espessura de deslocamento é a distância na qual a placa deveria ser deslocada para ser alcançada a mesma redução no fluxo de massa, considerando um escoamento uniforme, que a causada pela presença da camada-limite.
Figura 6 – Definição de espessura de camada-limite por espessura de deslocamento.
Fonte: https://fernandoportoprofessorengenheiro.files.wordpress.com/2016/08/dg02-apostila-completa-2018-v2.pdf
Já se sabe que o decréscimo de vazão em massa devido à influência das forças viscosas pode ser estimado através da Eq. 1. Então, pode-se igualar ambas as perdas, obtendo
Como o escoamento, neste caso, é incompressível, então é constante. Assim, a equação acima pode ser simplificada:
(2)
Infere-se, a partir da Eq. 2, que como para , o integrando será nulo para . 
Outra espessura importante é a chamada espessura de quantidade de movimento (teta). Ela é definida, similarmente à espessura de deslocamento, como sendo a distância pela qual a superfície deveria ser deslocada num escoamento uniforme para ser alcançada a mesma redução na quantidade de movimento que causada pela presença da camada limite. Então, para conseguir a mesma redução na quantidade de movimento total de um fluido, a superfície teria de ser deslocada para cima, numa distância , como mostrado na Fig. 7.
Figura 7 – Definição de espessura de camada-limite por espessura de quantidade de movimento.
Fonte: https://fernandoportoprofessorengenheiro.files.wordpress.com/2016/08/dg02-apostila-completa-2018-v2.pdf
Sabendo que o fluxo de quantidade de movimento de um escoamento sem a camada-limite é dado por e o fluxo real de quantidade de movimento da camada-limite é . Levando em conta a perda de fluxo de quantidade de movimento de um escoamento com velocidade constante U com a placa deslocada de iguala-se novamente as perdas para obter:
(3)
Infere-se novamente, a partir da Eq. 3, que o integrando será nulo para . As espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento são denominadas de espessuras integrais porque suas definições tem como base integrais que avançam sobre a corrente livre através da camada limite. O fato dessas definições serem determinadas em função em termos integrais cujos integrandos são nulos na corrente livre, estas são calculadas com maior facilidade e precisão a partir de dados experimentais do que a espessura de perturbação da camada limite (denominada de espessura de perturbação da camada limite). Por isso e, juntamente com o seu significado físico, a espessura de quantidade de movimento possui emprego comum na definição de camadas-limite.
Ademais, hipóteses simplificadoras usualmente empregadas em aplicações de engenharia são:
1) em 
2) em 
3) dentro da camada-limite
4) A variação de pressão através da camada-limite delgada é desprezível
3. EQUAÇÃO INTEGRAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
Durante o desenvolvimento matemático para camada-limite laminar sobre uma placa plana levando em consideração o proposto por Blasius, fica claro a notória complexidade nas deduções e a impossibilidade de se obter uma solução analítica para as equações resultantes, mesmo que simplificadas, sendo necessária a aplicação de métodos numéricos para encontrar resultados para espessura da camada-limite () e para o perfil de velocidade (). 
A metodologia utilizada para obter uma equação que independa do regime de escoamento será a aplicação das equações de continuidade e da conservação da quantidade de movimento para um volume de controle diferencial, indicado na Fig. 8. Ressalta-se que o objetivo principal é determinar como a espessura da camada-limite se comporta em função de uma distância .As considerações feitas levam em conta um escoamento incompressível em regime permanente e bidimensional sobre uma superfície sólida. O volume de controle é limitado inferiormente pelo fluido adjacente à placa enquanto que a superfície superior apenas coincide, mas não é, com a linha de corrente externa à borda da camada-limite na seção 2, sendo este limite superior uma fronteira imaginária entre a camada-limite e o escoamento não-viscoso da corrente livre.
Figura 8 – Volume de controle diferencial em uma camada-limite.
Fonte: Introdução à Mecânica dos Fluidos – Fox (7ª ed)
Primeiramente, para se determinar o fluxo mássico através de cada seção da superfície de controle, aplica-se a equação da continuidade no volume de controle determinado, considerando a placa como tendo uma largura , para obter o seguinte:
(4)
Onde,
Agora, levando em consideração o fluxo de quantidade de movimento e as forças atuantes no volume de controle, aplica-se a componente x da equação de quantidade de movimento, obtendo
 (5)
 Onde representa a componente x do fluxo da quantidade de movimento interagindo com cada superfície de controle representada pelos subscritos correspondentes. Agrupando os termos integrais obtidos a partir de cada um dos termos a direita da equação acima, teremos que 
Daí, pode-se considerar a componente x das forças superficiais que agem sobre o volume de controle, para compor o termo a esquerda da equação. Nota-se que as três superfícies estão sob ação de forças normais de pressão, o gradiente de velocidade tende a zero na superfície por conta da condição de não-deslizamento e, por conta, disso há uma tensão de cisalhamento na superfície da placa, ao contrário do que ocorre na superfície cuja tensão cisalhante é considerada desprezível. Somando essas componentes de força na direção x, temos que
Onde o produto de termos diferenciais pode ser desprezado porque sua influência é pouco notória em comparação aos demais termos. Substituindo as expressões do fluxo de quantidade de movimento e das forças superficiais atuando sobre o VC na equação de conservação de massa, obtemos
(6)
Após dividir a equação resultante por . Essa equação é denominada de integral de quantidade de movimento. Observa-se que o gradiente de pressão pode ser determinado a partir da aplicação da equação de Bernoulli ao escoamento não viscoso para fora da camada-limite, . Assim a equação acima poderá ser reescrita como 
Então, resgata-se a definição de espessura de deslocamento e de quantidade de movimento para que a equação acima se transforme no seguinte
(7)
A equação acima é denominada de equação integral da quantidade de movimento. Ela resulta em uma EDO para a espessura da camada-limite como função x, sendo que aquela aparece nos limites superiores das integrais que definem a espessura de deslocamento e de quantidade de movimento . Vale ressaltar que essa equação se restringe a escoamentos em regime permanente, incompressíveis, bidimensionais e sem forças de campo paralelas à superfície (). Para utilizar essa equação para estimar a espessura da camada-limite como função de x, devemos seguir as etapas descritas a seguir:
1) Obter uma aproximação para a distribuição de velocidade , obtida através da teoria para escoamento invíscido e ela depende da forma do corpo imerso;
2) Considerar uma forma razoável perfil de velocidade dentro da camada-limite;
3) Deduzir uma expressão para a tensão de cisalhamento na parede, , usando os resultados obtidos no item anterior. 
 
4. EQUAÇÃO INTEGRAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA ESCOAMENTO COM GRADIENTE DE PRESSÃO ZERO 
Considerando a placa plana, com gradiente de pressão zero, infere-se que tanto a pressão quanto a velocidade serão constantes no escoamento de corrente livre. Portanto, a equaçãointegral da quantidade de movimento se torna
O perfil de velocidade dentro da camada limite é considerado como sendo similar para quaisquer valores de x, sendo geralmente determinada como função de , se forma que ambas as variáveis sejam adimensionais. Logo, é necessário realizar uma mudança de variável de integração de forma que e , resultando no seguinte
(8)
 Tendo em vista as etapas estabelecidas no tópico anterior para estimar a espessura da camada-limite em função de x, devemos agora considerar um perfil de velocidade na camada-limite, dado genericamente por
É necessário que essa relação esteja de acordo com as condições físicas de contorno estabelecidas para essa região, sendo elas: em ; em e em . Uma vez que estabelecemos o perfil de velocidade a partir da definição de espessura de quantidade de movimento, o valor numérico da equação integral da quantidade de movimento é a constante , sendo . Então a equação integral se torna
(9)
Por último, para obter a expressão da tensão de cisalhamento em termos de , de modo a resolvê-la para , que é o objetivo principal, dependerá do regime de escoamento.
4.1 Escoamento laminar
Tendo em vista um escoamento em regime laminar sobre uma placa plana, tem-se que uma hipótese sobre a distribuição de velocidade é um polinômio em y, dado por:
Avaliando as constantes com as condições de contorno dadas anteriormente, satisfaz-se a etapa 2 estabelecida, obtendo
Para a terceira etapa, deve-se lembrar que a tensão de cisalhamento na parede ()é dada pela proporção entre tensão e velocidade considerando um fluido Newtoniano através da constante que é a viscosidade do fluido. Ao substituir essa relação na equação obtida para o perfil de velocidade, resulta em
Agora conseguiu-se mostrar com sucesso que a tensão de cisalhamento na parede é dada em função de porque a espessura da camada-limite é, d fato, uma função de , . Retornando a equação integral da quantidade de movimento, substitui-se os valores de tensão na parede e do perfil de velocidade pelas expressões encontradas neste tópico, integra-se a relação obtida duas vezes consecutivas, aplicando as condições de contorno para determinação das constantes de integração. Após a aplicação dessa metodologia, obtemos o seguinte:
(10)
A Equação 10 demonstra que a espessura da camada-limite laminar possui forma parabólica e a razão entre ela e a distância ao longo de uma placa plana varia inversamente com a raiz quadrada do número de Reynolds do comprimento. Quando se conhece essa relação, todos os demais detalhes do escoamento na camada-limite podem ser determinados. O coeficiente da tensão de cisalhamento, ou coeficiente de atrito superficial, é definido como
(11)
Após substituir a equação do perfil de velocidade e a Eq. 10 na Eq. 11, obtemos
Então, uma vez que a variação da tensão na parede da placa plana é conhecida, o arrasto viscoso pode ser calculado através da integração ao longo da área da placa. Além disso, a Eq. 10 pode ser utilizada para calcular a espessura da camada-limite laminar na transição do escoamento, sendo esta inferior a 1% do comprimento de desenvolvimento da camada-limite, , e se valida que os efeitos viscosos estão restritos a essa camada próxima à superfície do corpo, segundo cálculos.
4.2 Escoamento turbulento
Avaliando novamente sobre o escoamento da camada-limite na placa plana, para a etapa 1, já se sabe que a velocidade U é constante e, da mesma forma que no escoamento laminar, deve-se satisfazer as duas outras etapas de forma a resolver a Eq. 8 para . Os detalhes acerca do perfil de velocidade turbulento para camada-limite com gradiente de pressão nulo são semelhantes àquele analisado para escoamento turbulento interno, em tubos e canais. Ademais, um perfil de velocidade aceitável para a camada-limite turbulenta sobre placa plana é o perfil da lei de potência, utilizando o expoente típico (), assim . Contudo, não é possível utilizar esse modelo de perfil para obter a expressão da tensão na parede, visto que esse perfil não é dominante nas vizinhanças da parede já que, como foi visto, ele prevê que na parede. Sendo assim, adapta-se a expressão de , desenvolvida para o escoamento em tubos, utilizando o expoente típico, a relação e considerando , resultando em
(12)
Após substituir os resultados obtidos para a tensão de cisalhamento na parede, na Eq. 12, e na equação integral da quantidade de movimento, integra-se e, após realizar as considerações acerca das condições de contorno, ficamos com
(13)
 A Equação 13 mostra que a espessura da camada-limite turbulenta cresce quase que linearmente com x, especificamente conforme . Isso valida o que foi comentado no início do estudo sobre a camada-limite linear se desenvolver mais lentamente, conforme , em comparação com a turbulenta. Ademais, utilizando a Eq. 11, e substituindo para , obtemos o coeficiente de atrito superficial para a camada-limite turbulenta, dado por
(14)
 Resultados experimentais apontam que a Eq. 14 é efetiva na previsão de atrito superficial turbulento para placa plana quando .
5. GRADIENTES DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO DE CAMADA-LIMITE
Considerando agora os efeitos causados por um gradiente de pressão não nulo que, de forma prática, estará presente na maior parte dos corpos, a exceção das placas planas como visto nos tópicos anteriores, diz-se que um gradiente de pressão é favorável quando a pressão diminui no sentido de escoamento, agindo contra a redução de velocidade (), logo, esse tipo de gradiente aparece quando a velocidade U está aumentando com x como em um campo de escoamento convergente em um bocal, conforme mostrado na Fig. 9. 
Figura 9 – Mapa do campo de escoamento do bico em Re = 5100, mostrando contornos de tensão de cisalhamento de fluido (inferior) e aceleração (superior).
Fonte:https://www.researchgate.net/publication/277423359_Hydrodynamic_stimulation_of_dinoflagellate_bioluminescence_a_computational_and_experimental_study
Ao contrário disso, um gradiente de pressão adverso () indica aumento da pressão no sentido do escoamento, provocando redução da velocidade das partículas fluidas a uma taxa maior comparada àquela provocada apenas pelo atrito. Se este gradiente for severo o suficiente, as partículas são levadas ao repouso e, em consequência disso, separam-se da superfície sólida – separação do escoamento – para dar espaço às partículas seguintes, criando uma esteira na qual o escoamento é turbulento, como se constata no exemplo de escoamento sobre um automóvel na Fig. 10. 
Figura 10 – Simulação aerodinâmica externa no Jaguar Land Rover.
Fonte: https://www.prweb.com/releases/cfd/simulation/prweb1891174.htm
A questão sobre a junção dos fenômenos do gradiente de pressão adverso e do atrito viscoso promovendo a separação do escoamento pode ser entendida melhor quando se analisa a velocidade na camada-limite sendo nula. Assim sendo, considera-se a velocidade u na camada-limite a uma distância dy acima da placa e, a partir do desenvolvimento em série de Taylor, obtém-se
(15)
É evidente que u será zero apenas quando a derivada parcial de u em y for zero. Logo, esse fato pode ser utilizado como indicador para a separação do escoamento. Viu-se nos tópicos anteriores que, em escoamento sobre uma placa plana, a tensão na parede é sempre maior que zero, logo na parede. Então, para um escoamento uniforme sobre uma placa plana, o escoamento nunca sofrerá separação ou formação de esteira. Analogamente, para escoamentos na camada-limite com gradiente de pressão favorável, nos quais a velocidade de corrente livre está aumentando, pode-se concluir também que não ocorrerá separação do escoamento. Por outro lado, tratando-se de escoamentos com gradiente de pressão adversa, existe a possibilidade dessa separação ocorrer, já que é uma condição para a separação do escoamento. 
Para além disso, os perfis adimensionais de velocidade para escoamentos de camada-limite laminar e turbulento estão presentes na Fig. 11. Nota-se que, para uma mesma velocidade de corrente livre, o fluxo de quantidade de movimento no interiorde uma camada-limite turbulenta é superior comparada ao da laminar e, somado a isso, a separação ocorre quando a quantidade de movimento entre as camadas de fluido próximas à superfície do corpo é reduzida à zero pela ação conjunta das forças viscosas e de atrito. Além disso, como a quantidade de movimento é maior para o perfil turbulento, ele possui maior capacidade de resistir à gradientes de pressão adversos.
Figura 11 – Perfis adimensionais para escoamento em camada-limite sobre placa plana.
Fonte: Introdução à Mecânica dos Fluidos – Fox (7ª ed)
É evidente que u será zero apenas quando a derivada parcial de u em y for zero. Logo, esse fato pode ser utilizado como indicador para a separação do escoamento. Viu-se nos tópicos anteriores que, em escoamento sobre uma placa plana, a tensão na parede é sempre maior que zero, logo na parede. Então, para um escoamento uniforme sobre uma placa plana, o escoamento nunca sofrerá separação ou formação de esteira. Analogamente, para escoamentos na camada-limite com gradiente de pressão favorável, nos quais a velocidade de corrente livre está aumentando, pode-se concluir também que não ocorrerá separação do escoamento. Por outro lado, tratando-se de escoamentos com gradiente de pressão adversa, existe a possibilidade dessa separação ocorrer, já que é uma condição para a separação do escoamento. 
Também, gradiente de pressão adversos promovem outras mudanças importantes nos perfis de velocidade para ambos os regimes de escoamento na camada-limite. Soluções aproximadas para gradientes de pressão não nulos podem ser obtidas a partir da equação integral da quantidade de movimento, de forma que, expandindo seu primeiro termo, tem-se
(16)
Onde H é um fator de forma do perfil de velocidade que aumenta para o gradiente de pressão adverso: na camada-limite laminar, ele aumenta de 2,6 (gradiente de pressão nulo) para 3,5 na transição; na camada-limite turbulenta, ele aumenta de 1,3 (gradiente de pressão nulo) para aproximadamente 2,5 na transição. A distribuição de velocidade da corrente livre U deve ser conhecida antes de aplicar a Eq. 16 na resolução de um problema, porque integrando-a, é possível determinar , se H e Cf puderem ser relacionados com .
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