Apostila-de-Topografia-Parte-II-alterada

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PARTE II 
 
PLANIMETRIA 
 
Como já havia sido mencionado anteriormente, na planimetria são medidas 
as grandezas sobre um plano horizontal, que são as distâncias e os ângulos horizontais. 
Trataremos, portanto, das medidas de distância. 
 
1- Medidas de Distância 
 
Distância Horizontal (DH): é a distância medida entre dois pontos, no 
plano horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
Distância Inclinada (DI): é a distância medida entre dois pontos, em planos 
que seguem a inclinação da superfície do terreno. 
 
Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN): é a distância 
medida entre dois pontos, num plano vertical que é perpendicular ao plano horizontal. 
 
 
1.1-Equipamentos de Medição Linear 
 • Trena: Pode medir distâncias em todos os sentidos. O material de sua 
composição pode ser de fibra de vidro; de aço, aferida com correção de temperatura 
(recomendada) e de ínvar (ideal). 
 • Mira (régua graduada): Equipamento auxiliar utilizado para obter 
distâncias horizontais e verticais. 
 • Distanciômetro: Equipamento eletrônico, à laser ou infravermelho, que 
mede distâncias do equipamento até uma superfície refletora, usa-se usualmente um 
prisma. 
 • Estação Total: Combinação do teodolito e do distanciômetro 
A B’ DH 
B 
DI 
DV 
2 
 
eletrônicos, em um único aparelho, acrescido de um microprocessador que monitora 
automaticamente seu funcionamento. Assim, as estações totais medem eletronicamente 
ângulos e distâncias (infravermelho), mantendo as características de funcionamento e 
precisão do teodolitos e distanciômetros eletrônicos, com a facilidade de serem operadas 
em um controle. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2-Acessórios geralmente utilizados nas medidas de distâncias 
PIQUETES 
 Os piquetes são necessários para materializar o alinhamento a ser 
medido. Estes apresentam as seguintes características: 
 - fabricados de madeira roliça ou de seção quadrada com a superfície no topo 
plana; 
- assinalados (marcados) na sua parte superior com tachinhas, pregos ou outras 
formas de marcações que sejam permanentes; 
- comprimento variável de 15 a 30cm (depende do tipo de terreno em que será 
realizada a medição); 
- diâmetro variando de 3 a 5cm; 
- é cravado no solo, porém, parte dele (cerca de 3 a 5cm) deve permanecer 
visível, sendo que sua principal função é a materialização de um ponto topográfico no 
terreno. 
Estação Total (Topcon) Distanciômetro eletrônico 
Mira 
Teodolito eletrônico 
Trena 
3 
 
 
ESTACAS TESTEMUNHAS 
 São utilizadas para facilitar a localização dos piquetes, indicando a sua 
posição aproximada. Características: 
-comprimento variável de 30 a 40cm; 
-diâmetro variável de 3 a 5cm; 
-chanfradas na parte superior para permitir uma inscrição, indicando o nome 
ou número do piquete. Normalmente a parte chanfrada é cravada voltada para o piquete; 
-cravadas próximas ao piquete, cerca de 30 a 50cm. 
 
 BALIZAS 
 São utilizadas para manter o alinhamento, na medição entre pontos, 
quando há necessidade de se executar vários lances. 
Características: 
-construídas em madeira ou ferro, arredondado, sextavado ou oitavado; 
-terminadas em ponta guarnecida de ferro; 
-comprimento de 2 metros; 
-diâmetro variável de 16 a 20mm; 
-pintadas em cores contrastantes (branco e vermelho ou branco e preto) para 
permitir que sejam facilmente visualizadas à distância; 
 Devem ser mantidas na posição vertical, sobre o ponto marcado no piquete, 
com auxílio de um nível de cantoneira. 
 
 
 
4 
 
NÍVEL DE CANTONEIRA 
 Equipamento em forma de cantoneira e dotado de bolha circular que 
permite ao auxiliar segurar a baliza ou mira na posição vertical sobre o piquete ou sobre 
o alinhamento a medir. 
 
 
 
 
 
2- Método de medição de distância 
 
 A distância entre dois pontos pode ser determinada de forma direta ou 
indireta. 
 
 2.1 -Medição Direta 
 
 A medida direta de distância é aquela em que o operador percorre todo o 
alinhamento a ser medido. A medida é executada com uma grandeza padrão, 
previamente estabelecida, através de trenas ou diastímetros. 
 
 - trena de fibra de vidro 
 - corrente de agrimensor (fora de uso ) 
 - fita de invar. 
 
2.1.1- Precisão e cuidados na Medida de Distância 
Segundo DOMINGUES (1979) a precisão com que as distâncias são obtidas 
depende, principalmente: 
 do dispositivo de medição utilizado, 
 dos acessórios, e 
 dos cuidados tomados durante a operação. 
 
E, segundo RODRIGUES (1979), os cuidados que se deve tomar quando da 
realização de medidas de distâncias com diastímetros são: 
 que os operadores se mantenham no alinhamento a medir, 
 que se assegurem da horizontalidade do diastímetro, e 
5 
 
 que mantenham tensão uniforme nas extremidades. 
 que se assegurem da verticalidade da baliza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tabela abaixo fornece a precisão que é conseguida quando se utilizam 
diastímetros em um levantamento, levando-se em consideração os efeitos da tensão, da 
temperatura, da horizontalidade e do alinhamento. 
 
 
 
 
2.1.2- Métodos de Medida com Diastímetros 
 
 -Lance Único - Pontos Visíveis 
 
Segundo GARCIA (1984) e analisando a figura a seguir, na medição da 
distância horizontal entre os pontos A e B, procura-se, na realidade, medir a projeção de 
Diastímetro Precisão 
Fita e trena de aço 01cm/l00m 
Trena plástica 05cm/l00m 
Trena de lona 25cm/l00m 
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AB no plano topográfico horizontal HH'. Isto resulta na medição de A'B'. A distância 
DH (entre os pontos A' e B') é igual à fração indicada pelo diastímetro 
 
 
 
 
 
 
 
Para realizar esta medição recomenda-se uma equipe de trabalho com: 
 duas pessoas para tensionar o diastímetro (uma em cada extremidade); 
 uma pessoa para fazer as anotações (dispensável). 
 
 - Vários Lances - Pontos Visíveis 
 
Segundo GARCIA (1984) e analisando a figura a seguir, o balizeiro de ré 
(posicionado em A) orienta o balizeiro intermediário, cuja posição coincide com o final 
do diastímetro, para que este se mantenha no alinhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de executado o lance, o balizeiro intermediário marca o final do 
diastímetro com uma ficha. O balizeiro de ré, então, ocupa a posição do balizeiro 
intermediário, e este, por sua vez, ocupará nova posição ao final do diastímetro. Repete-
se o processo de deslocamento das balizas (ré e intermediária) e de marcação dos lances 
até que se chegue ao ponto B. 
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É de máxima importância que, durante a medição, os balizeiros se 
mantenham sobre o alinhamento AB. 
Para realizar esta medição recomenda-se uma equipe de trabalho com: 
 duas pessoas para tensionar o diastímetro (uma em cada extremidade). 
 um balizeiro de ré (móvel). 
 um balizeiro intermediário (móvel). 
 um balizeiro de vante (fixo). 
 uma pessoa para fazer as anotações (dispensável). 
A distância DH será dada pelo somatório das distâncias parciais 
(contagem do número de fichas pelo comprimento do diastímetro) mais a fração do 
último lance. 
 
Observações Importantes 
1. Ao ponto inicial de um alinhamento, percorrido no sentido horário, dá-se 
o nome de Ponto a Ré e, ao ponto final deste mesmo alinhamento, dá-se o nome de 
Ponto a Vante. Balizeiro de Ré e Balizeiro de Vante são os nomes dados às pessoas que, 
de posse de uma baliza, ocupam,respectivamente, os pontos a ré e a vante do 
alinhamento em questão. 
2. Os balizeiros de ré e intermediário podem acumular a função de tensionar 
o diastímetro 
3. Para terrenos inclinados, os cuidados na medição devem ser redobrados no 
que se refere à horizontalidade do diastímetro. 
 
 
2.2 -Medição Indireta 
 O processo de medida é indireto quando a distância é obtida em função da 
medida de outras grandezas, não havendo, portanto, necessidade de percorrer 
a distância. A medida indireta das distâncias é baseada na resolução de 
triângulos isósceles ou retângulos. 
A taqueometria, do grego “takhys” (rápido), “metren” (medição), 
compreende uma série de operações que constituem um processo rápido e econômico 
para a obtenção indireta da distância horizontal e diferença de nível. 
 Neste processo o operador não percorre o alinhamento a ser medido. A 
distância é determinada usando o seguinte instrumental: 
- Taqueômetro estadimétrico (Teodolito) 
 
 
8 
 
2.3- Medição Eletrônica 
 
Os Equipamentos eletrônicos utilizam na medição de distâncias a aplicação 
de raios infravermelhos ou do laser, ou ainda, o emprego de aparelhos de emissão de 
ondas de rádio. Permitem o cálculo de distâncias que vão desde 10m até cerca de 
120km. Temos como exemplo: 
- O distanciômetro eletrônico. 
- Estação Total 
 
O aparecimento dos DEs facilitaram muito a medição de distâncias, além de aumentar a 
qualidade das medidas. A precisão das medidas de distâncias saltou da ordem do 
milímetro para décimos de milímetros. O princípio de funcionamento de um 
distanciômetro eletrônico é baseado na medida da diferença de fase, isto é, a medida de 
tempo que uma onda eletromagnética leva para percorrer duas vezes a distância entre o 
aparelho receptor e um refletor instalado em outro extremo. 
 
2.2.1-Princípio Geral da Estadimetria 
Este princípio baseia-se na semelhança de triângulos. Para mostrá-lo, 
consideraremos um teodolito com luneta no horizonte, eixo de colimação perpendicular 
à mira, e o foco no centro do instrumento. Veja figura abaixo. 
 
 
 
. 
 
 
Seja: 
 s = distância vertical entre os fios estadimétricos; 
d = distância entre o plano dos fios dos retículos e o foco “F” da luneta; 
D = distância entre o aparelho e a mira; 
FS = leitura, na mira do fio superior; 
FI = leitura, na mira do fio inferior; 
S = número gerador = (FS - FI). 
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Dos triângulos abF e ABF 
 
Onde g é geralmente igual a 100 
 
 
2.2.2-Cálculo da distância plana horizontal (D) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura, acima, mostra a situação rotineira nas operações topográficas, isto 
é, a luneta apresenta-se inclinada em relação ao horizonte. O eixo de colimação OM não 
está perpendicular à mira. Imaginemos então, uma mira A’B’ perpendicular a esse eixo. 
 
 Na figura, temos: 
 α = ângulo de inclinação da luneta; 
 z = ângulo zenital 
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AB = S = diferença das leituras nos fios superior e inferior; 
A’B’ = S = diferença das leituras nos fios, superior e inferior, na mira 
imaginária. 
Neste caso, D1 = c + f + d e d = g·S , fazendo: c+ f = k, temos: 
 D1 = k + g·S 
 D = D1.cosα 
 D = ( k + g.S ).cosα = k.cosα + g.S .cosα 
 
Como S não é conhecido, teremos que relacioná-lo com S. Consideraremos, 
sem perca de precisão, que os ângulos em A’ e B’ sejam retos. Isto pode ser feito, 
porque as distâncias A’M e B’M são muito pequenas em relação às distâncias OA' e 
OB’. 
Dos triângulos A’AM e B’BM, extrai-se: 
A’M = AM.cosα e B’M = BM.cosα 
A’B’ = A’M + B’M = (AM + BM ).cosα 
como S =A’B’ e S = AB, concluímos que: S = S.cosα 
Sabemos que: 
 D = k.cosα + g.S.cosα 
substituindo S por S.cosα, temos: 
 D = k.cosα + g.S.cos2 α 
 
 Nos aparelhos modernos, utilizam-se lunetas chamadas analáticas, 
construídas pelo Eng. Militar Ignácio Porro, no ano de 1840. Estas lunetas anulam a 
constante instrumental, pois o centro do analatismo, a partir do qual são contadas as 
distâncias, coincide com o centro do instrumento. Para tal, Porro intercalou entre a 
objetiva e a ocular uma lente analatizadora. Neste caso temos: 
 
 D = g.S.cos
2α Distância plana horizontal 
 
Onde “g” é a constante estadimétrica do teodolito e geralmente igual a 100 e 
S= (FS-FI) 
 Se o teodolito fornece o ângulo zenital Z, em vez da inclinação a, a 
distância será dada por: 
 D = g.S.sen
2
 Z 
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3- Orientação 
 
Orientação nos dá idéia de rumo, de balizamento, de direção e sentido a 
seguir. Estar orientado é condição necessária para chegarmos a algum lugar. A 
finalidade da orientação é exatamente esta: - chegar a um lugar. É este o objetivo que se 
quer alcançar quando orientamos uma planta, uma carta ou um mapa. 
A orientação depende da localização do observador, logo ela é relativa. 
 
 
 3.1- Orientação de uma planta 
 
Para orientação de plantas topográficas, usamos como referência os 
meridianos, quer sejam os verdadeiros ou os magnéticos, dando-se preferência ao 
verdadeiro. 
 O meridiano verdadeiro pode ser determinado por processos 
astronômicos, que incluem observações aos astros e uso de fórmulas da trigonometria 
esférica. Já o meridiano magnético é obtido com o usa de uma bússola. A utilização de 
um sistema global de posicionamento por satélite como o GPS (Global Positioning 
System) americano, 
permite de maneira fácil o cálculo de azimutes verdadeiros de alinhamentos. 
A bússola é uma caixinha circular (cápsula) de material transparente. A 
agulha encontra-se equilibrada sobre um pino e tem livre movimento horizontal, 
permitindo que dê voltas de 360 graus. Ela possui uma das pontas diferenciada, pintada 
por exemplo; esta ponta da agulha lhe indicará o sentido do Norte Magnético. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 3.2- Declinação Magnética 
Em virtude da existência das duas direções N-S, verdadeira e magnética. surgem 
os conceitos de declinação magnética e sua variação anual, linhas isogônicas e isopóricas. 
Sabe-se que uma agulha imantada tende sempre a indicar a mesma direção; para 
isso, basta que seja eliminado, tanto quanto possível, o atrito entre ela e o apoio sobre o qual 
está. Desde que a agulha possua na sua parte central uma haste fina e esta esteja apoiada 
num orifício esférico, o atrito será pequeno e o giro será livre; resta ainda a necessidade do 
equilíbrio perfeito da agulha, para que ela não se incline, aumentando o atrito. Uma das 
extremidades da agulha aponta para um ponto do globo terrestre chamado pólo norte 
magnético; a outra extremidade aponta para o pólo sul magnético. Esses pólos não 
coincidem exatamente com os pólos norte e sul verdadeiros. A Terra, na sua rotação diária, 
gira em torno de um eixo virtual; os pontos de encontro desse eixo com a superfície 
terrestre chamam-se pólo norte e pólo sul verdadeiros ou geográficos. Como vimos, estas 
duas direções não coincidem, a não ser acidentalmente em certos pontos do globo, e o 
ângulo entre elas chama-se declinação magnética local. 
 
Repetindo, para se firmar bem a definição: a declinação magnética local é o 
ângulo que a direção norte-sul magnética faz com a norte-sul verdadeira naquele ponto. 
Para cada ponto do globo haverá uma declinação magnética, já que ela varia com a posição 
em que se encontra o ponto. A Fig. abaixo representa a esfera terrestre, vista por um 
observador colocado no pólo norte celeste (pólo norte celeste é o ponto localizado no 
infinito, prolongando-seo eixo terrestre na direção norte). Na figura, vemos, no centro da 
circunferência, o pólo norte verdadeiro (PNV) e, um pouco à esquerda, o pólo norte 
magnético (PNM). Para o observador colocado em A, a declinação magnética será ; para B 
a declinação será (menor do que ) e para C será nula porque C está no prolongamento do 
PNM e do PNV, ou seja, no mesmo meridiano. Para o ponto D, simétrico a A, a declinação 
voltará a ser , porém com uma diferença, enquanto em A o PNM está a leste do PNV, para 
D dá-se o contrário, isto é, o PNM está a oeste do PNV; diz-se que em A, a declinação é 
para leste, enquanto que em D, a declinação é para oeste. 
 
 
 
 
 
13 
 
A declinação magnética não é constante para o mesmo local, pois sofre 
variações de diferentes causas e efeitos. 
O eixo norte-sul magnético desloca-se em torno do eixo norte-sul 
verdadeiro, seguindo aproximadamente um círculo (o fenômeno ainda é desconhecido 
em vista de não se terem medidas precisas senão recentemente). Esses deslocamentos 
são aproximadamente constantes num certo tempo e são chamados de variações 
seculares; o valor destas variações num mesmo ano é diferente para os diversos pontos 
da Terra. Atualmente, no Brasil a variação anual é de 7 min sexagesimais para oeste, na 
quase totalidade do seu território. 
Quando se unem os pontos do globo que têm a mesma declinação magnética, 
formam-se as linhas isogônicas. Essas linhas caminham aproximadamente na direção 
norte-sul, porém não exatamente; por esta razão, a declinação magnética se modifica, 
principalmente em função da longitude local. Existem outras variações que afetam a 
declinação, todas elas, porém, de valor numérico muito mais reduzido. 
As linhas isogônicas de uma certa região, quando estão representa sobre uma 
carta, constituem o mapa isogônico. Nos mapas onde são representadas as linhas 
isogônicas, são em geral também representadas as linhas isopóricas formadas pela 
ligação dos pontos de mesma variação da declinação magnética. 
No Brasil imprimem-se os Anuários do Observatório Nacional e neles 
habitualmente existe o mapa de linhas isogônicas-isopóricas do nosso país. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4- RUMOS E AZIMUTES 
4.1- Rumos 
Rumo de uma linha é o ângulo horizontal entre a direção norte-sul e a linha, 
medido a partir do norte ou do sul na direção da linha, porém, não ultrapassando 90° . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É errado dizer que o rumo de CD , na figura 02, é 110°NE. O certo é dizer 
70°SE, pois quando o número atinge os 90°, passa a decrescer alterando as suas letras, 
isto é, em lugar de medi-lo a partir do norte, passa a ser medido a partir do sul. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 01 
Fig. 02 Fig. 03 
15 
 
 
4.2- Azimute 
Azimute de uma linha é o ângulo que essa linha faz com a direção norte-sul, 
medindo a partir do norte ou do sul, para a direita ou para a esquerda, e variando de 0° a 
360° ou 400grd . (fig. 03). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chama-se o sentido à direita aquele que gira como os ponteiros do relógio e 
sentido à esquerda, o contrário. Observe a figura acima, a linha 1-2 tem: 
 
a) azimute, à direita do norte = 240° 
b) azimute, à esquerda do norte = 120° 
c) azimute ,à direita do sul = 60° 
d) azimute, à esquerda do sul = 300° 
No hemisfério sul, e portanto no Brasil, usa-se sempre medir o azimute à 
direita do norte 
4.3- Transformação de Rumo em Azimute 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: Um alinhamento tem rumo igual a 42°15’ NW e azimute 317°45’ 
 
W E 
N 
Fig. 02 Fig. 03 
I Quad. 
S 
II 
IV 
III 
I quadrante- o azimute é igual ao rumo 
II quadrante- o azimute é igual a 180° - rumo 
III quadrante- o azimute é igual a 180° + rumo 
IV quadrante- o azimute é igual 360° - rumo 
 
 
Observação: 
 
Azimute Magnético- o ângulo é contado a 
partir do norte magnético. 
Azimute verdadeiro – o ângulo é contado a 
partir do norte verdadeiro. 
 
A conversão de azimute magnético 
para verdadeiro se faz através da declinação 
magnética. 
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4.4- Sentido a vante e a ré na medida dos Rumos e Azimutes 
Rumo a vante numa linha é aquele que obedece ao sentido do caminhamento 
em que se está percorrendo, enquanto que o rumo a ré é o sentido contrário do 
caminhamento. O mesmo se aplica aos azimutes ré e vante. 
 
Rumos 
O rumo a ré de uma linha deve ser numericamente igual ao rumo a vante, 
porém com as letras trocadas. 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Azimute 
O azimute a vante e a ré, da mesma linha, guardam entre si uma 
diferença de 180° ou 200grd. 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I Caso- Alinhamento pertencente ao I e II quadrante 
 Azré=Azvante+180° 
 Ex.: 
 
 
II Caso-Alinhamento pertencente ao III e IV quadrante 
 
 Azré=Azvante-180° 
 Ex.: 
 
 
 
 
Rumo vante 3-4=30°NE 
Rumo a ré 4-3= 30°SW 
W E 
N 
S 
W E 
N 
S 
3 
4 
30° 
30º 
W E 
N 
S 
W E 
N 
S 
1 
2 
210° 
30º 
W E 
N 
S 
W E 
N 
S 
4 
3 
225° 
45º 
Az12=30° 
Az21= 30°+180°=210° 
Az12=225° 
Az21= 225°-180°=45° 
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5- Métodos de Levantamento Planimétrico 
 
Para melhor compreensão dos métodos de levantamento, é necessária a 
informação de alguns conceitos importantes a seguir: 
 
Poligonal- topograficamente, chamamos poligonal a uma sequência de retas, 
onde haverá uma estaca no começo e outra no final de cada reta. Temos, assim, estacas 
(vértices) e lados (linhas). Chamamos também de poligonal o método de levantamento 
onde o operador percorre todo o caminho entre os pontos a serem levantados, deixando 
entre eles pontos bem definidos que servirão de apoio para outros levantamentos. 
Para o levantamento da poligonal devem ser medidos os ângulos que as linhas 
fazem entre si e os comprimentos das linhas. 
 
A poligonal pode ser: Aberta, Fechada ou Apoiada 
 
Poligonal Aberta- é aquele que além de não fechar, também não parte nem 
chega a pontos já conhecidos (que tenham coordenadas já conhecidas). Neste tipo de 
poligonal o procedimento adotado não permite avaliar os erros cometidos. 
Ex.: 
 
 
Poligonal Fechada- é aquele que retorna ao ponto inicial, possibilitando a 
verificação da precisão linear e angular do levantamento. 
Ex.: 
 
 
 
Vale observar, que em todas as medidas efetuadas, sempre existirão os erros decorrentes 
das medidas de ângulos, quanto das medidas dos comprimentos dos lados, onde ambos 
produzirão, como consequências, distorções da poligonal. 
 
 Poligonal sem erro linear Poligonal com erro linear 
18 
 
1 
3 
7 
8 
4 
2 
6 
5 
10 
9 
11 
1 
Poligonal Apoiada- é a que parte e chega em pontos de coordenadas já 
conhecidas, possibilitando também verificação, tal como a poligonal fechada. 
 
 
 
 
Prosseguiremos com os métodos de levantamento 
 
5.1- Caminhamento perimétrico ou poligonal 
 
Este método é mais usado para dar apoio a outros métodos de levantamentos, 
nele todos os pontos são ocupados e intervisíveis. 
A poligonal a ser usada neste método pode ser uma poligonal fechada, aberta 
ou apoiada. A preferência é para o uso de poligonal fechada ou apoiada (amarradas) 
que permitem a avaliação da precisão do levantamento. 
 As poligonais, dentro de um mesmo trabalho, são classificadas em principal e 
secundária. A poligonal principal é aquela fechada que deve ser calculada e ajustadaantes das demais. Geralmente esta poligonal é executada nos limites ou próximo ao 
limites das propriedades. 
 
As poligonais secundárias começam e terminam em pontos da poligonal principal, e seu 
cálculo só acontece depois do cálculo da poligonal principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poligonal principal -(estaca de 1 a 11) 
Poligonal secundária-(estaca 11,V1 , V2, V3 e 6) 
 
 
 
 
 Poligonal apoiada de 1 a 3 
V1 
V2 
V3 
Poligonal secundária 
19 
 
5.2- Irradiação 
 
 Neste caso o detalhe é levantado com a medida de um ângulo e uma distância, 
ocupando-se, apenas, um ponto (vértice) pertencente a uma base, cujos pontos extremos 
têm coordenadas conhecidas. 
 
 
 
5.3- Interseção 
 
Neste método o operador ocupa os dois pontos extremos de uma base (dois 
vértices), medindo, em cada ponto, um ângulo, a fim de levantar o detalhe. 
 
 
5.4- Coordenadas Retangulares 
 
Este método é empregado para levantar detalhes que têm formas não definidas, 
alongadas e curvas; como por exemplo: o trecho de um rio. 
O operador “levanta” os detalhes, amarrando-os à poligonal principal, através 
de medidas perpendiculares entre si. O lado da poligonal serve como eixo dos “X”, 
perpendicular a ele são medidas as distâncias “Y” até o detalhe. 
 
 
Na figura acima, o ponto “P” foi determinado da seguinte maneira: - a partir de 
“1” mediu-se a distância “x”, fincando ali um piquete, e perpendicular a ela a distância 
“y” até P. O ângulo de 90º, evidentemente, foi obtido com o teodolito. 
 
20 
 
6.0- Tipos de Ângulos Horizontais numa poligonal 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
7.0- Azimute em função dos ângulos poligonais 
 
 
 Chamaremos de ângulos poligonais todo e qualquer ângulo horizontal medido 
entre dois lados em uma poligonal. Assim, determinado o azimute de um dos lados o 
azimute do lado seguinte será calculado em função do azimute conhecido (lado anterior) 
e do ângulo poligonal entre eles. 
 
 
 
 
 
 Sendo Az1 conhecido, então: 
 
 Az2 = Az1 + α2 – 180º ; Az3 = Az2 + α3 – 180º e Az4 = Az3 + α3 + 180º 
 
 De maneira geral notamos que: Azn = Azn-1 + αn ± 180 
 
 Ou seja: O azimute de um determinado lado é igual ao azimute de um lado anterior 
somado ao ângulo horário medido entre eles, acrescido ou subtraído de 180. 
 
Considerando que o azimute varia de 0º a 360º, aplicamos a seguinte “regra”: 
Se Azn-1 + αn for > 180 , subtrair 180 e se Azn-1 + αn for < 180 , somar 180 . 
 
Após aplicar esta “regra” se o resultado for maior que 360º, subtrair 360º até 
que tenhamos um valor entre 0º e 360º. 
 
 Exemplo: Calcular o azimute do lado CD sabendo que o azimute de BC, lado anterior, 
tem valor de 358º 55’ 20’’ e o ângulo horário entre os dois lados (BC e CD) é de 325º 
36’ 40’’. 
Situação: Operador em “C” usando teodolito com limbo horário, visada ré em 
“B” e vante em “D”. 
 
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 Quando os ângulos poligonais forem anti-horários vale a seguinte relação: 
 
 Az2 = Az1 - α2 ± 180º (de modo análogo ao já visto, aplicamos a seguinte “regra”: 
 
 Se Azn-1 + αn for > 180 , subtrair 180 e se Azn-1 + αn for < 180 ,somar 180