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MÉTODOS ESTATÍSTICOS II 3a Prova Presencial - 1o. semestre de 2010 Profa. Ana Maria Farias 1. O rótulo de uma lata de coca-cola indica que o conteúdo é de 350 ml. Suponha que a linha de produção encha as latas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo [345, 355]. Solução f(x) = ½ 0, 1 se 345 < x < 355 0 se x ≤ 345 ou x ≥ 355 (a) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo superior a 353 ml? Solução A probabilidade pedida éa área de um retângulo de base 355−353 = 2 e altura 0,1. Logo P (X > 353) = 0, 2 (b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo inferior a 346 ml? Solução A probabilidade pedida éa área de um retângulo de base 346−345 = 1 e altura 0,1. Logo P (X < 346) = 0, 1 (c) (0,5 ponto) O controle de qualidade aceita uma lata com conteúdo dentro de 4 ml do conteúdo exibido na lata. Qual é a proporção de latas rejeitadas nessa linha de produção? Solução As latas são aceitas se o o vulome do conteúdo estiver entre os limites 350 − 4 = 346 e 350 + 4 = 354.Esse é um intervalo de comprimento 8 e, portanto, a probabildiade de aceitçãõ é 0,8. Logo, a proporção de latas rejeitadas é de 20%. 2. Um teste de aptidão para o exercício de uma certa profissão exige uma sequência de operações a serem executadas rapidamente uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em, no máximo, 80 minutos. Admita que o tempo, em minutos, para completar a prova seja uma variável aleatória normal com média 90 minutos e desvio padrão 20 minutos. (a) (0,5 ponto) Que porcentagem dos candidatos tem chance de ser aprovada? Solução Seja T o tempo de execução. Então, T ∼ N(90; 202).O problema pede Pr(T ≤ 80) = Pr µ Z ≤ 80− 90 20 ¶ = Pr(Z < 0, 5) = Pr(Z > 0, 5) = 0, 5− tab(0, 5) = 0, 5− 0, 1915 = 0, 3085 (b) (0,5 ponto) Os 5% melhores receberão um certificado especial. Qual o tempo máximo para fazer jus a tal certificado? Solução 1 Seja t0 o maior tempo que dá direito ao certificado. Queremos que Pr(T ≤ t0) = 0, 05 =⇒ Pr µ Z ≤ t0 − 90 20 ¶ = 0, 05 =⇒ Pr µ Z ≥ 90− t0 20 ¶ = 0, 05 =⇒ tab µ 90− t0 20 ¶ = 0, 45 =⇒ 90− t0 20 = 1, 64 =⇒ t0 = 57, 2 min Consulte a tabela da distribuição t de student para responder às perguntas seguintes. 3. (a) (0,5 ponto) Na distribuição t(15) encontre a abscissa t15;0,05. Solução Como o número de graus de liberdade é 15, temos que nos concentrar na linha correspon- dente a gl = 15. A abscissa t0,05 deixa área 0,05 acima dela; assim, temos que olhar a coluna referente a α = 0, 05; Logo, t15;0,05 = 1, 753. (b) (0,5 ponto) Na distribuição t(23) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(23)| > t) = 0, 05. Solução Usando as propriedades da função módulo, temos a seguinte equivalência: Pr(|t(23)| > t) = 0, 05⇐⇒ Pr(t(23) < −t) + Pr(t(23) > t) = 0, 05 Pela simetria da densidade t, Pr(t(23) < −t) = Pr(t(23) > t). Substituindo: Pr(t(23) > t) + Pr(t(23) > t) = 0, 05⇐⇒ Pr(t(23) > t) = 0, 025⇐⇒ t = 2, 069 Esse último valor foi encontrado na Tabela 2, consultando-se a linha correspondente a 23 graus de liberdade e coluna correspondente à área superior de 0,025. (c) (0,5 ponto) Na distribuição t(12) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90. Solução Das propriedades da função módulo e da simetria da densidade t resultam as seguintes equivalências Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90⇐⇒ Pr(−t ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒ Pr(−t ≤ t(12) < 0) + Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒ 2× Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒ Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 45⇐⇒ Pr(t(12) > t) = 0, 05⇐⇒ t = 1, 782 4. De uma população normal com desvio padrão 2, extrai-se uma amostra de tamanho 25 com o objetivo de testar H0 : μ = 8 H1 : μ > 8 2 (a) (0,5 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%. Solução α = 5%, teste unilateral: z0,05 = 1, 64 e a regra de decisão é rejeitar H0 se X − 8 2√ 25 > 1, 64⇐⇒ X > 8 + 1.64× 2 5 = 8, 656 (b) (0,5 ponto) Se a média amostral é 8,8, estabeleça a conclusão. Solução O valor observado da estatística de teste é 8.8− 8 2 5 = 2, 0 > 1, 64 Como o valor observado da estatística de teste ou da média está na região crítica (2, 0 > 1, 64 ou 8, 8 > 8, 656), devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, as evidências amostrais indicam que a média é maior que 8. (c) (0,5 ponto) Calcule o valor P. Solução Como o valor observado da estatística é 2, 0 e o teste é unilateral, o valor P é Pr(Z ≥ 2, 0) = 0, 5− tab(2, 0) = 0.5− 0.47725 = 0, 02275 e, portanto, rejeitamos a hipótese nula a qualquer nível de significância α ≥ 0, 02275 ( o que inclui o nível de 5%). Em termos da média amostral: Pr(X > 8, 8) = Pr à Z > 8.8− 8 2 5 ! = Pr(Z > 2, 0) = 0, 02275 (d) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade β de se tomar uma decisão errada se, na realidade, a média populacional for μ = 8, 2? Solução Se μ = 8, 2, decisão errada equivale a aceitar a hipótese nula. Essa probabilidade é Pr ∙ X ≤ 8, 656 |X ∼ N µ 8, 2; 4 25 ¶¸ = Pr µ Z ≤ 8, 656− 8, 2 0.4 ¶ = Pr(Z ≤ 1, 14) = 0, 37286 5. (a) (1,0 ponto) Qual deve ser o tamanho da amostra necessário para se obter um intervalo de confiança de 90% para uma proporção populacional, se o erro máximo tolerável é de 8%? Solução 1− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64 Como não temos qualquer informação, trabalhamos com o pior caso: 0, 08 = 1, 64× r 0, 5× 0, 5 n =⇒ n ≥ 106 3 (b) (1,0 ponto) Refaça a questão anterior, sabendo que a proporção populacional é de, no máximo, 30%. Solução 1− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64 Com a informação dada, trabalhamos com o pior caso que é 0,30 0, 08 = 1, 64× r 0, 3× 0, 7 n =⇒ n ≥ 89 6. (2,0 pontos) Uma indústria vende um repelente de insetos e alega ser o mesmo eficiente por pelo menos 40 horas. Uma amostra de 9 tubos, tomados aleatoriamente, acusou uma média de 38 horas e desvio padrão de 6 horas. Com 5% de siginificância, teste a alegação do fabricante. Certifique-se de explicitar todas etapas do procedimento de teste de hipótese, indicando as hipóteses feitas. Solução Temos que supor que o tempo de atuação possa ser aproximado por uma distribuição normal N(μ;σ2). A alegação do fabricante é que μ ≥ 40.Logo, nossas hipóteses são H0 : μ = 40 H1 : μ < 40 e a estatística de teste é T = √ n X − μ S ∼ t(n− 1).Sob H0, o valor da estatística de teste é t0 = √ 8× 38− 40 6 = −0, 94281 A abscissa da distribuição t de Student com 7 graus de liberdade que deixa 5% na cauda inferior é t7;0,95 = −1, 8946 e, portanto, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os dados indicam que a alegação do fab ricante é verdadeira. Resultados importantes e fórmulas X ∼ N ¡ μ;σ2 ¢ =⇒ ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ X − μ σ√ n ∼ N(0; 1) X − μ S√ n ∼ t(n− 1) X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p) n ¶ (amostra grande) S2 = 1 n− 1 nP i=1 ¡ Xi −X ¢2 = 1 n− 1 ∙ nP i=1 X2i − nX 2 ¸ = 1 n− 1 " nP i=1 X2i − ( P Xi)2 n # 4
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