EP05 - Tutor(1)

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PROBABILIDADE E ESTATI´STICA
EXERCI´CIO PROGRAMADO 5
1o Semestre de 2015
Profa. Keila Mara Cassiano
Versa˜o Tutor
1.Durante 20 dias, foram anotadas as variac¸o˜es do prec¸o do do´lar em reais (em ordem crescente, e na˜o
cronolo´gica):
-0,12 -0,12 -0,1 -0,08 -0,08 -0,08 0,05 0,04 0,01 0
0,02 0,02 0,03 0,04 0,04 0,06 0,08 0,09 0,11 0,12
Diante deste quadro, responda:
a) Qual a variac¸a˜o me´dia e qual a variac¸a˜o mais frequeˆnte do do´lar nestes 20 dias?
b) Sabendo que o desvio padra˜o e´ igual a` 0,075, determine o tipo de assimetria destes dados.
c) Quais os valores que separam 25%, 50% e 75% dos dados?
d) Esboce o boxplot.
2.Com o objetivo de promover o nivelamento de 9 alunos candidatos a uma vaga de transfereˆncia em
uma Universidade, dois professores (um de Matema´tica e um de Histo´ria) realizaram uma prova cada.
As notas dos alunos foram anotadas na tabela abaixo:
Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Matema´tica 6 4 5 7 8 3 5 5 7
Histo´ria 7 8 9 10 6 7 8 9 5
Diante deste quadro, responda:
a) Qual a me´dia e o desvio padra˜o das notas de cada uma das duas disciplinas?
b) Segundo os escores padronizados do aluno nu´mero 1, em que disciplina ele se saiu melhor?
c) Qual dos dois professores chegou mais pro´ximo de atingir o objetivo? Justifique!
3. A tabela a seguir mostra a idade dos carros dos professores (em anos) em um estacionamento de
uma Faculdade:
Classes Frequeˆncia Ponto Frequeˆncia
(Idade) Simples Me´dio Acumulada
[0; 3) 30 1,5 30
[3; 6) 47 4,5 77
[6; 9) 36 7,5 113
[9; 12) 30 10,5 143
[12; 15) 8 133,5 151
[15; 18) 0 16,5 151
[18; 21) 0 19,5 151
[21; 24) 1 22,5 152
Total 152
1
a) Determine a idade me´dia e a idade modal dos carros dos professores desta faculdade.
b) Sabendo que
∑
nix
2
i = 8.316 , determine o desvio padra˜o da idade dos carros.
c)Suponha que as idades de 5 carros sorteados aleatoriamente sejam: 2, 5, 15, 18 e 23 anos. Quais
seriam os escores padronizados destas 5 idades?
d) Determine o coeficiente de variac¸a˜o.
e) Determine o coeficiente de assimetria de Pearson. Existe assimetria? Se sim, de que tipo?
4. (AD1 - Questa˜o 3) - (2,5 pontos)* Seguem abaixo, as notas obtidas por uma turma de 80
alunos em uma prova de Matema´tica:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5
5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10
a) Determine o desvio padra˜o e o coeficiente de variac¸a˜o;
b) Calcule a moda e determine o coeficiente de assimetria desta amostra;
c) Calcule os quartis e determine o intervalo interquartil.
2
Soluc¸o˜es:
1.
a) Calcular a me´dia e a moda.
A me´dia sera´:
X =
∑
xi
n
=
0, 13
20
= 0, 0065.
e
a moda sera´:
x∗ = −0, 08.
b)
Calculemos o coeficiente de assimetria ( e ).
e =
X − x∗
σ
=
0, 0065 − (−0, 08)
0, 075
=
0, 0065 + 0, 08
0, 075
=
0, 087
0, 075
= 1, 153.
Como e > 0 , enta˜o temos assimetria a` direita.
c)
Sa˜o os quartis.
Inicialmente, calculamos a mediana ( 2o quartil) Q2 . Como o tamanho da amostra e´ par ( n = 20 ),
enta˜o:
Q2 =
x10 + x11
2
=
0 + 0, 02
2
=
0, 02
2
= 0, 01.
Para o ca´lculo de Q1 , usamos a primeira metade dos dados. Assim, n = 10.
Q1 =
x5 + x6
2
=
−0, 08 + (−0, 08)
2
=
−0, 08 − 0, 08
2
=
−0, 16
2
= −0, 08.
Para o ca´lculo de Q3 , usamos a segunda metade dos dados. Assim, n = 10.
Q3 =
x15 + x16
2
=
0, 04 + 0, 06
2
=
0, 1
2
= 0, 05.
Logo:
Q1 = −0, 08 Q2 = 0, 01 Q3 = 0, 05
d)
DQ = Q3 −Q1 = 0, 05 − (−0, 08) = 0, 05 + 0, 08 = 0, 13.
Os limites inferior e superior sa˜o:
LI = Q1 − 1, 5DQ = −0, 08 − 1, 5 × 0, 13 = −0, 08 − 0, 195 = −0, 275.
LS = Q3 + 1, 5DQ = 0, 05 + 1, 5 × 0, 13 = 0, 05 + 0, 195 = 0, 2.
Logo:
3
2.
a)Matemt´ica:
Me´dia:
X =
∑
xi
n
=
6 + 4 + 5 + 7 + 8 + 3 + 5 + 5 + 7
9
=
50
9
= 5, 56.
Desvio Padra˜o:
σ =
√
1
9
[
(6 − 5, 56)2 + · · · + (3 − 5, 56)2] = 1, 50.
Histo´ria:
Me´dia:
X =
∑
xi
n
=
7 + 8 + 9 + 10 + 6 + 7 + 8 + 9 + 5
9
=
69
9
= 7, 67.
Desvio Padra˜o:
σ =
√
1
9
[
(7 − 7, 67)2 + · · · + (5 − 7, 67)2] = 1, 49.
b)
Escore Padronizado de Matema´tica:
e =
6 − 5, 56
1, 50
= 0, 29.
Escore Padronizado de Histo´ria:
e =
7 − 7, 67
1, 49
= −0, 45.
Conclusa˜o: “O aluno 1 saiu-se melhor em Matema´tica, pois seu escore padronizado e´ maior que o de
Histo´ria”.
4
c)
Matema´tica:
CV =
σ
X
=
1, 50
5, 56
= 0, 27.
Histo´ria:
CV =
σ
X
=
1, 49
7, 67
= 0, 19.
conclusa˜o:
Como a prova era de nivelamento, o objetivo seria que todos estivessem no mesmo n´ıvel, ou seja, as
notas deveriam ser o mais homogeˆneas possvel. O conjunto mais homogeˆneo e´ o de Coeficiente de
Variac¸a˜o menor. Assim, o professor de HISTO´RIA conseguiu chegar mais pro´ximo do objetivo.
3.
a)
MODA:
Para determinar a moda, observe a classe que tem a maior frequeˆncia absoluta. No caso, e´ a classe [3;
6), cuja frequeˆncia absoluta e´: 47. A moda e´ o ponto me´dio desta classe, que e´ 4,5. Logo:
x∗ = 4, 5.
ME´DIA:
Para o ca´lculo da me´dia precisamos dos valores de ni e xi . No caso, ni sa˜o as frequeˆncias absolutas
e xi sa˜o os pontos me´dios das classes. Assim, podemos formar a tabela complementar:
Classes Frequeˆncia Ponto
(Idade) Simples Me´dio nixi
[0; 3) 30 1,5 45,0
[3; 6) 47 4,5 211,5
[6; 9) 36 7,5 270,0
[9; 12) 30 10,5 315,0
[12; 15) 8 133,5 108,0
[15; 18) 0 16,5 0,0
[18; 21) 0 19,5 0,0
[21; 24) 1 22,5 22,5
Total 152 972,0
Assim, a me´dia sera´ calculada atrave´s da fo´rmula:
X =
∑
nixi
n
=
972
152
= 6, 4.
Logo:
X = 6,4.
b)
5
Para o ca´lculo do desvio padra˜o, usemos a fo´rmula σ =
√
1
n
(∑
nix2i − nX
2
)
. Assim:
σ =
√
1
n
(∑
nix2i − nX
2
)
=
√
1
152
(8.316 − 152 × (6, 4)2) =
√
1
152
(8.316 − 152 × 40, 96)
=
√
8.316
152
− 40, 96 =
√
54, 71 − 40, 96 =
√
13, 75 = 3, 7.
Logo:
σ = 3 , 7 .
c)
Os escores padronizados sa˜o obtidos subtraindo-se a me´dia e dividindo o desvio padra˜o. Ou seja.
ei =
xi −X
σ
Para o nosso conjunto de valores amostrais: 2, 5, 15, 18 e 23, teremos:
e1 =
2−6,4
3,7
= −4,4
3,7
= −1, 19.
e2 =
5−6,4
3,7
= −1,4
3,7
= −0, 38.
e3 =
15−6,4
3,7
= 8,6
3,7
= 2, 32.
e4 =
18−6,4
3,7
= 11,6
3,7
= 3, 13.
e5 =
23−6,4
3,7
= 16,6
3,7
= 4, 48.
Assim, a sequeˆncia de escores padronizados sera´:
-1,19 -0,38 2,32 3,13 4,48
d)
O coeficiente de variac¸a˜o e´ dado pela fo´rmula:
CV =
σ
X
=
3, 7
6, 4
= 0, 58.
Logo:
CV = 0,58
e)
O coeficiente de assimetria:
e =
X − x∗
σ
=
6, 4 − 4, 5
3, 7
=
1, 9
3, 7
= 0, 51.
A distribuic¸a˜o e´ assime´trica a` DIREITA.
e = 0,51
6