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Cálculo I - Aula 4 Propriedade dos Limites

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Autor: João Mapel – � HYPERLINK "http://www.MonitoriadeEngenharia.com.br" ��www.MonitoriadeEngenharia.com.br�	 Cálculo I
1º Propriedade, Soma: O limite da soma de funções é equivalente a soma dos limites.
Lim [ f(x) + g(x) ] = 
X ( C
Lim f(x) + Lim g(x)
X ( C	 X ( C
Exemplo: Lim ( X
+ X)
	 X ( 2
Equivale:
Lim X
 + Lim X	 	* X
 e X são polinômios, o domínio é Real, vale qualquer valor real.
X ( 2	 X ( 2		* Então, substitui o tendendo a 2 na função.
Então:
= 2
+ 2 = 6
2º Propriedade, Subtração: equivalente a soma dos limites.
Lim [ f(x) – g(x) ]
X ( C
Lim f(x) - Lim g(x)
X ( C	 X ( C
Exemplo: Lim ( X
- X)
	 X ( (-1)
Equivale:
Lim X
 - Lim X	 	* X
 e X são polinômios, o domínio é Real, vale qualquer valor real.
X ( (-1) X ( (-1) * Então, -1 é real, pode substituir!
(-1)
- (-1) =
1 + 1 = 2
3º Propriedade, Produto (Multiplicação): O limite do produto, é o produto dos limites.
Lim [ f(x) . g(x) ]
X ( C
[ Lim f(x) ] . [ Lim g(x) ]
 X ( C	X ( C
Exemplo: Lim [ (X
+ X) . (X
- X) ]
	 X ( 2
Aplicando propriedade Soma:			Aplicando propriedade Subtração:
Lim (X
+ X)						Lim (X
- X)
X ( 2							X ( 2
Lim X
 + Lim X					Lim X
 - Lim X
X ( 2	 X ( 2					X ( 2	 X ( 2
(2
+ 2) . (2
-2) =
6 . 2 = 12
4º Propriedade:.
Lim [ K . f(x) ]
X ( C
[ Lim K ] . [ Lim f(x) ] = K. Lim f(x)
 X ( C X ( C	 X ( C
Exemplo: Lim [ 9. (X
 + 1) ]
	 X ( 2
[Lim 9] . [Lim X
 + Lim 1]
X ( 2 X ( 2
9. (4+1) = 45
5º Propriedade, Constante: O limite da constante é a própria constante, ou seja, o limite de um número é sempre ele mesmo.
Lim K = C
X ( C
Representação da função constante K
			 Y
		 K
					C		 X
Exemplo:
Lim 100 = 100
X ( 3
6º Propriedade, Limite do Quociente: O limite do quociente é o quociente dos limites.
Lim [ 
 ] 
g(c) 
0 
X ( C	 * Restrição para denominador não ser Zero, pois se for, causará uma indeterminação.
Lim f(x)
X ( C
Lim g(x)
X ( C
Exemplo: Lim (2x
 - 4)
		3 – 2x
 X ( 3	
Resolvendo a parte superior e inferior da equação.
Lim 2x
 - 4 = (2 . lim X
) – Lim 4
X ( 3		 X ( 3 X ( 3 =
		 Lim 3 - 2 . lim X
		 X ( 3 X ( 3
= (2 . 3
) – 4 = 18 – 4 = 14 = -14		* O menos do denominador troca com o numerador;
 3 – (2 . 3) 3 – 6 -3 4
7º Propriedade, Potências: O limite da potência é igual a potência dos limites.
Lim [ f(x) ] 
	Onde, L e N são constantes (números).
X ( C		Lê-se, função elevada ao expoente na forma de raiz, quando X tendendo a C.
Lim 
=
X ( C
=
X ( C
=
[ Lim f(x) ]
 X ( C 
Ponto de Revisão: Conversão de expoente fracionário em radical:
X
 = 
			X
= 
			X
= 
X
 = 
			X
= 
Lembre-se disso: “Saindo da raiz para expoente fracionário: Quem está por dentro, está por cima”. 
Exemplo: Lim (2x
- 1)
 X ( 3
[ Lim (2x
- 1)] 
 =
 X ( 3
[ 2 . Lim X
 - Lim 1 ] 
 =
 X ( 3 X ( 3
= [2 . 3
 - 1] 
 =
= [18 – 1] 
 = 
= 17
Exercícios:
Lim (x
 - 4x
- 3)
X ( C
	= C
 - 4C
 - 3
Lim 
 
X ( C 
 
 = 
Lim 
X ( -2
 = 
 =
 = 
 = 
 = 
Lim 
X ( 1
	= 
�� EMBED Equation.3 
	= 
= 
 (Indeterminação)
Observações: O problema é que se aplicar o ponto 1 direto o denominador vai dar zero.
		Então, como não posso aplicar o ponto 1, tenho que retirar o ponto problemático.
		
Observe que as potências dos polinômios são iguais, se fossem diferentes seria necessário utilizar outra técnica para solução. Como resolver então? Fatoração!
	Formato Fatorado: A (x – x1) . (x – x2) Onde X1 e X2 são as raízes.
	Veja a simplificação do polinômio numerador X
+ X -2.
	X
+ X - 2 = 0						Fatorado: A . (x – x1) . (x – x2) = 
									 1 . (x – 1) . (x + 2) =
	∆ = -b + 4ac =							 (x – 1) . (x + 2 ) 
	∆ = -1 + 4(1 . -2) = 
	∆ = -1 - 8 = 9
	X = 
	
X1 = -1
 + 3 = -1 + 3 = 1
		2 2
X2 = -1
 - 3 = -1 - 3 = -2
		2 2
	Veja a simplificação do polinômio denominador X
- X
	X
- X = 0
	X . (X – 1) = 0 (iguala)
	X1 = 0 e X2 = 1
	A . (x – x) . (x – x2) = 
	1 (X – 0) . (X – 1) =
	X . (X – 1)
	Calculando os limites:
	Lim (x – 1) . (x + 2 ) = 
	 x . (x – 1)
	X ( 1
	
	Lim X + 2 = 
	 X
	X ( 1
	1 + 2 =	 3 = 3
	 1	 1
Limite da constante é a própria constante.
É um polinômio completo. Pode-se aplicar o ponto direto pois admite qualquer valor Real.
C é um valor real ? Sim, então pode substituir!
Pode-se aplicar o ponto direto?
Sim, porque para qualquer valor de C, nunca o denominador será zero. Mesmo se aplicarmos a potência em um número negativo, pois o resultado será positivo.
Polinômio dentro de raiz tem restrição?
Sim, pois o valor resultado do polinômio deve ser sempre positivo.
Pode-se aplicar o ponto direto?
Sim, pois um é real e os polinômios suportam.
Polinômio incompleto, substitui direto!
Parou de dar Zero! Acabou o problema!
Obs: Quando tendemos o ponto, a palavra Lim (limite) desaparece.
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