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Autor: João Mapel – � HYPERLINK "http://www.MonitoriadeEngenharia.com.br" ��www.MonitoriadeEngenharia.com.br� Cálculo I 1º Propriedade, Soma: O limite da soma de funções é equivalente a soma dos limites. Lim [ f(x) + g(x) ] = X ( C Lim f(x) + Lim g(x) X ( C X ( C Exemplo: Lim ( X + X) X ( 2 Equivale: Lim X + Lim X * X e X são polinômios, o domínio é Real, vale qualquer valor real. X ( 2 X ( 2 * Então, substitui o tendendo a 2 na função. Então: = 2 + 2 = 6 2º Propriedade, Subtração: equivalente a soma dos limites. Lim [ f(x) – g(x) ] X ( C Lim f(x) - Lim g(x) X ( C X ( C Exemplo: Lim ( X - X) X ( (-1) Equivale: Lim X - Lim X * X e X são polinômios, o domínio é Real, vale qualquer valor real. X ( (-1) X ( (-1) * Então, -1 é real, pode substituir! (-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 3º Propriedade, Produto (Multiplicação): O limite do produto, é o produto dos limites. Lim [ f(x) . g(x) ] X ( C [ Lim f(x) ] . [ Lim g(x) ] X ( C X ( C Exemplo: Lim [ (X + X) . (X - X) ] X ( 2 Aplicando propriedade Soma: Aplicando propriedade Subtração: Lim (X + X) Lim (X - X) X ( 2 X ( 2 Lim X + Lim X Lim X - Lim X X ( 2 X ( 2 X ( 2 X ( 2 (2 + 2) . (2 -2) = 6 . 2 = 12 4º Propriedade:. Lim [ K . f(x) ] X ( C [ Lim K ] . [ Lim f(x) ] = K. Lim f(x) X ( C X ( C X ( C Exemplo: Lim [ 9. (X + 1) ] X ( 2 [Lim 9] . [Lim X + Lim 1] X ( 2 X ( 2 9. (4+1) = 45 5º Propriedade, Constante: O limite da constante é a própria constante, ou seja, o limite de um número é sempre ele mesmo. Lim K = C X ( C Representação da função constante K Y K C X Exemplo: Lim 100 = 100 X ( 3 6º Propriedade, Limite do Quociente: O limite do quociente é o quociente dos limites. Lim [ ] g(c) 0 X ( C * Restrição para denominador não ser Zero, pois se for, causará uma indeterminação. Lim f(x) X ( C Lim g(x) X ( C Exemplo: Lim (2x - 4) 3 – 2x X ( 3 Resolvendo a parte superior e inferior da equação. Lim 2x - 4 = (2 . lim X ) – Lim 4 X ( 3 X ( 3 X ( 3 = Lim 3 - 2 . lim X X ( 3 X ( 3 = (2 . 3 ) – 4 = 18 – 4 = 14 = -14 * O menos do denominador troca com o numerador; 3 – (2 . 3) 3 – 6 -3 4 7º Propriedade, Potências: O limite da potência é igual a potência dos limites. Lim [ f(x) ] Onde, L e N são constantes (números). X ( C Lê-se, função elevada ao expoente na forma de raiz, quando X tendendo a C. Lim = X ( C = X ( C = [ Lim f(x) ] X ( C Ponto de Revisão: Conversão de expoente fracionário em radical: X = X = X = X = X = Lembre-se disso: “Saindo da raiz para expoente fracionário: Quem está por dentro, está por cima”. Exemplo: Lim (2x - 1) X ( 3 [ Lim (2x - 1)] = X ( 3 [ 2 . Lim X - Lim 1 ] = X ( 3 X ( 3 = [2 . 3 - 1] = = [18 – 1] = = 17 Exercícios: Lim (x - 4x - 3) X ( C = C - 4C - 3 Lim X ( C = Lim X ( -2 = = = = = Lim X ( 1 = �� EMBED Equation.3 = = (Indeterminação) Observações: O problema é que se aplicar o ponto 1 direto o denominador vai dar zero. Então, como não posso aplicar o ponto 1, tenho que retirar o ponto problemático. Observe que as potências dos polinômios são iguais, se fossem diferentes seria necessário utilizar outra técnica para solução. Como resolver então? Fatoração! Formato Fatorado: A (x – x1) . (x – x2) Onde X1 e X2 são as raízes. Veja a simplificação do polinômio numerador X + X -2. X + X - 2 = 0 Fatorado: A . (x – x1) . (x – x2) = 1 . (x – 1) . (x + 2) = ∆ = -b + 4ac = (x – 1) . (x + 2 ) ∆ = -1 + 4(1 . -2) = ∆ = -1 - 8 = 9 X = X1 = -1 + 3 = -1 + 3 = 1 2 2 X2 = -1 - 3 = -1 - 3 = -2 2 2 Veja a simplificação do polinômio denominador X - X X - X = 0 X . (X – 1) = 0 (iguala) X1 = 0 e X2 = 1 A . (x – x) . (x – x2) = 1 (X – 0) . (X – 1) = X . (X – 1) Calculando os limites: Lim (x – 1) . (x + 2 ) = x . (x – 1) X ( 1 Lim X + 2 = X X ( 1 1 + 2 = 3 = 3 1 1 Limite da constante é a própria constante. É um polinômio completo. Pode-se aplicar o ponto direto pois admite qualquer valor Real. C é um valor real ? Sim, então pode substituir! Pode-se aplicar o ponto direto? Sim, porque para qualquer valor de C, nunca o denominador será zero. Mesmo se aplicarmos a potência em um número negativo, pois o resultado será positivo. Polinômio dentro de raiz tem restrição? Sim, pois o valor resultado do polinômio deve ser sempre positivo. Pode-se aplicar o ponto direto? Sim, pois um é real e os polinômios suportam. Polinômio incompleto, substitui direto! Parou de dar Zero! Acabou o problema! Obs: Quando tendemos o ponto, a palavra Lim (limite) desaparece. � PAGE �1�/� NUMPAGES �5� _1170435365.unknown _1170436318.unknown _1170436734.unknown _1170436793.unknown _1170436898.unknown _1170436965.unknown _1170437447.unknown _1170436930.unknown _1170436890.unknown _1170436761.unknown _1170436578.unknown _1170436687.unknown _1170436505.unknown _1170435720.unknown _1170435870.unknown _1170436108.unknown _1170435800.unknown _1170435633.unknown _1170435679.unknown _1170435507.unknown _1170435093.unknown _1170435221.unknown _1170435266.unknown _1170435363.unknown _1170435364.unknown _1170435284.unknown _1170435251.unknown _1170435182.unknown _1170435203.unknown _1170435163.unknown _1170434183.unknown _1170434220.unknown _1170435004.unknown _1170434205.unknown _1170418794.unknown
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