EP15-ALI-2014-1-tutor

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Álgebra Linear I 
Exercícios Programados 15 – EP15 
Resolução 
1. Verifique se o operador T:   , definido por T(x,y) = (3x+5y, 2x+3y) é 
inversível. Caso seja encontre uma fórmula para seu inverso. 
Solução. Sendo [T]=







 , det[T]=-1 0. Logo, T é inversível. Passamos a determinar 
1T
 utilizando a matriz canônica de T: 











































































 T
-1(x,y) = (-3x+5y, 2x -3y). 
2. Sendo A = {(1,0),(0,1)} e B ={(1,1), (2,1)} bases de  , determine: 
(a) a matriz de mudança de base B para a base A: 
ABI ,][
; (b) 
Bv][
, sabendo que 







2
7
][ Av
; (c) 
Au][
, sabendo que 








4
3
][ Bu
. 
Solução. (a) As colunas da matriz de mudança da base B para a base A, 
  ABI ,
, são 
formadas pelas coordenadas dos vetores da base B, em relação à base A: 
(1,1) = 1.(1,0) + 1. (0,1) e (2,1) = 2.(1,0) + 1.(0,1). Então, [(1,1)]A =







 e [(2,1)]A =








. Logo, 
  ABI ,









. 
(b) A partir da relação 
  ABAB vvI ][][, 
 e considerando 







b
a
v B][
, temos: 
  ABAB vvI ][][, 















b
a





















b
a
ba
ba
Av][









. 
(c) 
Au][
, sabendo que 








4
3
][ Bu
. 
Novamente, a partir da relação 
  ABAB uuI ][][, 
, temos: 
  ABAB uuI ][][, 
 








 .






 4
3 =








1
5
. Logo, 
Au][
=








1
5
. 
3. Seja o operador linear T:   tal que T(x,y) = (x + y, x –y). 
 (a) Determine [T]B, onde B = {(1,2), (0,1)}. 
 (b) Use a matriz encontrada em (a) para calcular [T(v)]B, dado v = (5, 3). 
 (c) Determine 
 AT
, onde A = {(1,-1),(3,0)}. 
 (d) Verifique a relação 
ABABAB ITIT ,, ][][][][ 
 em que 
BAI ,][
 é a matriz de 
mudança da base A para a base B. 
Solução. (a) As colunas da matriz [T]B são formadas pelas coordenadas dos vetores 
imagens dos vetores da base B em relação à base B: T(1,2)=(3,-1) e T(0,1)=(1,-1). 
Para determinar as coordenadas de um vetor (x,y) em relação à base B, devemos resolver 
o sistema (x,y) = a(1,2) + b(0,1). 
Deixamos como exercício a verificação de que a = x e b = y-2x. Assim, (x,y) = x(1,2) + 
(y-2x)(0,1). (*) T(1,2) = (3,-1) = 3(1,2) + (-7)(0,1) e T(0,1) = (1,-1) = 1(1,2) + (-3)(0,1). 
Logo, [T]B = 







 . 
(b) Utilizando a relação 
BBB vTvT ][][)]([ 
, precisamos determinar 
Bv][
 , isto é, as 
coordenadas do vetor v em relação à base B. 
Utilizando (*), temos (5,3) = 5.(1,2) + (-7).(0,1), assim [v]B=







 . 
Então [T(v)]B=[T]B[v]B = 















 =
.






 Logo, 








14
8
)]([ BvT
. 
Obs: Sem utilizar a matriz encontrada em (a), podemos obter a mesma reposta calculando 
T(v) e depois 
BvT )]([
, isto é, as coordenadas do vetor T(v) em relação à base B: 
T(5,3) = (8,2) = 8.(1,2) + (-14).(0,1) 








14
8
)]([ BvT
. 
(c) Utilizaremos os mesmos passos do item a, tente reescrever a solução abaixo fazendo 
as justificativas. 
T(1,-1) = (0,2) = -2.(1,-1) + 
3
2
(3,0) e T(3,0) = (3,3) = -3.(1,-1) + 2.(3,0). 
Logo 





 

23/2
32
][ AT
. 
(d) Para verificar a relação 
A,BAB,AB ]I[]T[]I[]T[ 
, precisamos determinar 
B,A]I[
 
e 
A,B]I[
. Vamos determinar 
B,A]I[
. Lembre que as colunas da matriz 
B,A]I[
 são 
formadas pelas coordenadas dos vetores da base A, em relação à base B. 
Utilizando a igualdade (*), determinada no item (a): 
(1,-1) = 1.(1,2) + (-3).(0,1) e 
(3,0) = 3.(1,2) + (-6).(0,1). Logo 








63
31
B,A]I[
. 
Para determinar a matriz
A,B]I[
 poderemos usar o mesmo caminho utilizado acima para 
calcular a matriz
B,A]I[
, onde agora as colunas da matriz serão formadas pelas 
coordenadas dos vetores da base B em relação à base A. Uma outra maneira de obter 
A,B]I[
 é determinando a matriz inversa de 
B,A]I[
 pois as matrizes 
B,A]I[
 e 
A,B]I[
 
são inversas uma da outra. 
Deixaremos que você decida o caminho, e seja qual for sua escolha a matriz que deverá 
encontrar será 





 

311
12
/
]I[ A,B
. Assim, a relação 
A,BAB,AB ]I[]T[]I[]T[ 
 se 
verifica por meio das matrizes determinadas acima: 
 

BT ][
37
13







 =

BAI ,][
63
31
. 






.

AT ][
23/2
32





  .

ABI ,][
3/11
12





  . 
De fato, 






 63
31 .





 
23/2
32 .





 
3/11
12 = 






 63
31 .






03/2
11 =







 . 
4. Verificar se o operador linear T : 3  3 definido por 
T(1, 1, 1) = (1, 0, 0), T(-2, 1, 0) = (0, -1, 0) e T(-1, -3, -2) = (0, 1, -1) 
é inversível, e, em caso afirmativo, determine T-1(x, y, z). 
Solução. O conjunto {(1, 1, 1), (-2, 1, 0), (-1, -3, -2)} uma base de 3 , assim T está 
bem determinada1. O conjunto {(1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 1, -1)} também é uma base de 3
, então 
T
 leva base em base. Pelo Teorema 3 da aula 21, T é bijetora. Logo T é inversível. 
Pela definição de imagem inversa, temos: 
)1,1,1()0,0,1(1 T
, 
)0,1,2()0,1,0(1 T
 e 
)2,3,1()1,1,0(1 T
. 
 
1 Lembre que uma transformação linear T fica bem determinada se conhecemos as imagens dos vetores de 
uma base do domínio. 
Para determinar a expressão de 1T devemos determinar as coordenadas de um vetor 
qualquer 
),,( zyx
 de 3 em relação à base {(1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 1, -1)}, ou seja, 
1).- 1, (-z)(0, 0) 1,- z)(0,-(-y 0) 0, x(1, z) y,(x, 
 Aplicando T em ambos os lados da 
igualdade acima e aplicando as propriedades da linearidade de T: 
1)- 1, (0,(-z)T 0) 1,- (0,z)T-(-y 0) 0, (1,Tx z) y,(x,T -1-1-1-1 
. 
Logo 
2)- 3,- (-1, (-z) 0) 1, (-2, z)-(-y 1) 1, (1,x z) y,(x,T-1 
 

 
2z) 3z, (z, 0) z,-y - 2z, (2y x) x, (x, z) y,(x,T-1  
 
2z). x 2z, y -x 3z, 2y (x z) y,(x,T-1 
 
5. Mostre que o operador linear, no 3 , definido pela matriz 













 não é inversível. 
Determinar v  tal que T(v) = (6, 9, 15). 
Solução. Como det [T] = 0, T não é inversível. Se v = (x, y, z), 
[T(v)] = [T].











z
y
x
























z
y
x













zyx
zyx
zyx
=













. 
Daí, 








zyx
zyx
zyx

 v = (z, 3–2z,z), z

. 
6. Sabendo que 
  








811
67
,BAI
e A={(1, 3), (2, -4)} determine a base B. 
Solução. Considere 
)},(),,{( dcbaB 
. Lembre que as colunas da matriz 
BAI ,][
 são 
formadas pelas coordenadas dos vetores da base A em relação à base B. 
(1, 3) = -7(a,b) –11(c,d) e (2,-4) = 6(a,b) + 8(c,d). Das igualdades acima, formamos 
um sistema de 4 equações e 4 incógnitas: 












db
ca
db
ca
 












db
ca
db
ca
 












d
c
b
a
. Logo, B={(3,-2), (-2,1)}. 
7. 
(a) Dadas 








21
10
][ ,BAI
 e 
)}0,1(),1,3{( B
, determine a base 
)},(),,{( dcbaA 
. 
(b) Um aluno apresentou a seguinte solução (correta) para a questão acima: 
Considere 







db
ca
A
 e 









01
13
B
, então 
  .IBA B,A
 
Assim, 
  




















10
11
21
10
01
13
B,AIBA
. 
Logo, 
)}1,1(),0,1{()},(),,{(  dcbaA
. 
Explique a solução acima, justificando a formação das matrizes A e B e a afirmação de 
que 
  .IBA B,A
 
Solução. 
(a) Seguindo o mesmo procedimento utilizado na questão 6, temos: 
(a,b) = 0.(3,-1) + (-1).(-1,0) = (1,0) e (c,d) = 1.(3,-1) + 2.(-1,0) = (1,-1). 
Logo 
)}1,1(),0,1{( A
. 
(b) As matrizes A e B foram formadas escrevendo-se os vetores das bases A e B (respect.) 
como colunas. 
Assim, podemos considerar que os elementos das colunas de A são as coordenadas 
dos vetores da base A em relação à base canônica 
)}1,0(),0,1{(E
 de 
2
. Em uma 
outra notação, temos 
.]I[A E,A
 
Analogamente, os elementos das colunas de B são as coordenadas dos vetores da base 
B em relação à base canônica 
)}1,0(),0,1{(E
 de 
2
. Da mesma maneira, 
.]I[B E,B
 
Afirmamos que
  .IBA B,A
 
Prova. Lembrando que o que foi visto sobre matriz da composta de transformações 
lineares, levando em conta que 
     A,BB,A II 1
 e I a transformação linear 
identidade, temos que 
 
             .ABIII.IIII E,AE,BE,AB,EB,AB,A 11   
 
Ou, equivalentemente, 
  .I.BA B,A