APX3-ALII-2020-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX3 – 2020/2 – Álgebra Linear II – 10/12 (16h) a 12/12 (16h)
Código da disciplina EAD 01014
Gabarito
Questão 1 (1,0 pontos) Determine os valores de a, b, c ∈ R para que seja autoadjunto o operador
L : R3 −→ R3 definido por
L(x, y, z) =
(
30x+ (a− b)y + (4c)z, 5cx+ 10y + (3c)z, 8x+ (a+ b)y + 20z
)
.
Solução:
a) A matriz de L na base canônica (base ortonormal) é [L] =
 30 a− b 4c5c 10 3c
8 a+ b 20
.
L é autoadjunto ⇐⇒ [L] = [L]t ⇐⇒

a− b = 5c
a+ b = 3c
4c = 8
⇐⇒

a− b = 10
a+ b = 6
c = 2
⇐⇒

2a = 16
2b = −4
c = 2
⇐⇒
a = 8, b = −2 e c = 2.
Questão 2 (3,0 pontos) Seja A =
[
4 −10
−10 25
]
.
a) [1,3 pts] Determine uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
b) [1,7 pts] Usando os cálculos do item anterior, identifique a cônica dada pela forma matricial
abaixo, obtendo uma equação reduzida à forma canônica por meio de uma rotação.
(x, y)
[
4 −10
−10 25
] [
x
y
]
+ (15
√
29 , 6
√
29)
[
x
y
]
− 58 = 0.
Solução:
a) Seja A =
[
4 −10
−10 25
]
. Temos λI2 − A =
[
λ− 4 10
10 λ− 25
]
e
p(λ) = det(λI2 − A) = det
[
λ− 4 10
10 λ− 25
]
= (λ− 4)(λ− 25)− 100 =
λ2 − 25λ− 4λ+ 100− 100 = λ2 − 29λ = λ(λ− 29).
Os autovalores de A são 0 e 29.
– Cálculo dos autovetores associados a λ = 0:
Devemos resolver o sistema linear homogêneo cuja matriz associada é 0I2−A. Reduzindo por linhas
à forma em escada, obtemos:
0I2 − A =
[
−4 10
10 −25
]
L1←− 14L1∼
[
1 −52
10 −25
]
L2←L2−10L1∼
[
1 −52
0 0
]
. Assim, x− 5y2 = 0 e
E(λ = 0) = {(x, y) ∈ R2; 2x− 5y = 0} = {(52y, y) ; y ∈ R} = {y(
5
2 , 1) ; y ∈ R}.
Algebra Linear 2 APX3 2020/2
Logo, fazendo y = 2 obtemos que v = (5, 2) é autovetor associado λ = 0.
– Cálculo dos autovetores associados a λ = 29:
Devemos resolver o sistema linear homogêneo cuja matriz associada é 29I2 − A. Reduzindo por
linhas à forma em escada, obtemos:
29I2 − A =
[
25 10
10 4
]
L1← 125L1∼
[
1 25
10 4
]
L2←L2−10L1∼
[
1 25
0 0
]
. Assim, x+ 25y = 0 e
E(λ = 29) = {(x, y) ∈ R2;x+ 25y = 0} = {(−
2
5y, y) ; y ∈ R} = {y(−
2
5 , 1) ; y ∈ R}.
Logo, fazendo y = 5, obtemos que w = (−2, 5) é autovetor associado a λ = 29.
Assim, α = {v = (5, 2), w = (−2, 5)} é uma base do R2 formada por autovetores de A associados,
respectivamente, aos autovalores 0 e 29.
b) Pelos cálculos e notações anteriores e a figura a seguir,
-
6
��
��
��
��
��
��
�
x
λ = 29
y
��
��
���1
B
B
B
B
B
BBM
B
B
B
B
B
B
B
BB
B
B
B
B
B
BB
v
λ = 0
w
vemos que devemos girar v = (5, 2) de π2 no sentido anti-horário para fazê-lo coincidir com w =
(−2, 5).
Portanto, β =
{
u1 = v‖v‖ =
(
5√
29 ,
2√
29
)
, u2 = w‖w‖ =
(
− 2√29 ,
5√
29
)}
é uma base ortonormal, orien-
tada positivamente, de autovetores associados, respectivamente, aos autovalores λ1 = 0 e λ2 = 29.
A matriz de mudança de base, da base β para a base canônica, é dada por
P =
[
u1 u2
]
=
[ 5√
29 −
2√
29
2√
29
5√
29
]
, com det(P ) = 1, cuja correspondente matriz diagonal é
D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
0 0
0 29
]
.
Como
[
x
y
]
= P
[
x1
y1
]
e P tAP =
[
0 0
0 29
]
, obtemos:
(x1, y1)
[
0 0
0 29
] [
x1
y1
]
+ (15
√
29, 6
√
29)
[ 5√
29 −
2√
29
2√
29
5√
29
]
︸ ︷︷ ︸
faça essa conta primeiro
[
x1
y1
]
− 58 = 0⇐⇒
0x21 + 29y21 + (87, 0)
[
x1
y1
]
− 58 = 0⇐⇒ 29y21 + 87x1 − 58 = 0⇐⇒
3x1 = −y21 + 2⇐⇒ x1 = 13(−y
2
1 + 2), que é uma equação reduzida na forma canônica da parábola.
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Algebra Linear 2 APX3 2020/2
Questão 3 (2,0 pontos) Determine a matriz C que representa, na base canônica do R2, a trans-
formação linear obtida pela rotação R de π6 radianos no sentido anti-horário seguida de uma reflexão
P em relação ao eixo x e seguida de um dilatação D de 4.
Solução: Sejam [D], [P ] e [R], respectivamente, as matrizes de D, P e R na base canônica do R2,
onde D corresponde a dilatação de 4, P a reflexão em relação ao eixo x e R a rotação de π6 radianos
no sentido anti-horário. Como
[D] =
[
4 0
0 4
]
, [P ] =
[
1 0
0 −1
]
e [R] =
[
cos π6 − sen
π
6
sen π6 cos
π
6
]
=
[ √
3
2 −
1
2
1
2
√
3
2
]
Assim C = [D ◦ P ◦R] = [D] [P ] [R], Logo
C =
[
4 0
0 4
] [
1 0
0 −1
] [ √
3
2 −
1
2
1
2
√
3
2
]
=
[
4 0
0 4
] [ √
3
2 −
1
2
−12 −
√
3
2
]
=
[
2
√
3 −2
−2 −2
√
3
]
Questão 4 (2,0 pontos) Seja A ∈M3(R) com autovalores λ1 = 3 e λ2 = −1 tal que
E(λ1 = 31) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 2y + 7z = 0, y + 5z = 0 e 2x+ 3y + 9z = 0} e
E(λ2 = 37) = {(x, y, z) ∈ R3 ; y − 2z = 0}.
a) [1,5 pts] Determine bases para os autoespaços e dê as multiplicidades geométricas dos seus
autovalores.
b) [0,5 pt] A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Solução:
a) – Cálculo da base de E(λ1 = 31):
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema linear homogêneo que define
E(λ1 = 31), obtemos: 1 2 70 1 5
2 3 9
 L3←L3−2L1∼
 1 2 70 1 5
0 −1 −5
 L3←L3+L2∼
 1 2 70 1 5
0 0 0
 L1←L1−2L2∼
 1 0 −30 1 5
0 0 0

Logo, x− 3z = 0 e y + 5z = 0. Assim,
E(λ1 = 31) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 2y + 7z = 0, y + 5z = 0 e 2x+ 3y + 9z = 0}
= { (x, y, z) ∈ R3 ; x− 3z = 0 e y + 5z = 0}
= { (x, y, z) ∈ R3 ; x = 3z e y = −5z}
= { (3z,−5z, z) ; z ∈ R}
= { z(3,−5, 1) ; z ∈ R} = [(3,−5, 1)].
Portanto, {(3,−5, 1)} é uma base de E(λ1 = 31) e a multiplicidade geométrica de λ1 = 31 é 1.
– Cálculo da base de E(λ2 = 37):
Temos que
E(λ2 = 37) = {(x, y, z) ∈ R3 ; y − 2z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 2z}
= {(x, 2z, z) ; y, z ∈ R}
= {(x, 0, 0) + (0, 2z, z) ; x, z ∈ R}
= {x(1, 0, 0) + z(0, 2, 1) ; x, z ∈ R} = [(1, 0, 0), (0, 2, 1)]
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Portanto, {(1, 0, 0), (0, 2, 1)} é uma base de E(λ2 = 37) e a multiplicidade geométrica de λ2 = 37
é 2.
b) Pelos cálculos do item (a), vemos que existe uma base do R3 formada por autovetores de A,
equivalentemente, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores é 1 + 2 = 3 = dimR3,
logo A é diagonalizável.
Questão 5 (2,0 pontos) Seja T : R2 −→ R2 a reflexão com respeito à reta
√
10x− y = 0.
a) [0,6 pt] Dê exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de T , indicando os respectivos
autovalores.
b) [1,4 pts] Determine uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T , sua correspondente matriz diagonal
D e determine a matriz A que representa T na base canônica do R2.
Solução:
a) Temos que
– u1 = (1,
√
10) pertence à reta, então T (1,
√
10) = (1,
√
10), logo u1 = (1,
√
10) é autovetor de T
associado ao autovalor λ1 = 1.
– u2 = (
√
10,−1) é ortogonal à reta, então T (
√
10,−1) = −(
√
10,−1), logo u2 = (
√
10,−1) é
autovetor de T associado ao autovalor λ2 = −1.
Portanto, β = {u1 = (1,
√
10)︸ ︷︷ ︸
λ1=1
, u2 = (
√
10,−1)︸ ︷︷ ︸
λ2=−1
} é uma base do R2 formada por autovetores de T .
b) Uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T é a matriz de mudança de base, da base β (obtida no
item (a)) para a base canônica, dada por P =
[
u1 u2
]
=
[
1
√
10√
10 −1
]
.
A sua correspondente matriz diagonal é D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
1 0
0 −1
]
.
A inversa de P é P−1 = 1−11
[
−1 −
√
10
−
√
10 1
]
=
[
1
11
√
10
11√
10
11 −
1
11
]
.
Temos que
A = PDP−1 =
[
1
√
10√
10 −1
] [
1 0
0 −1
] [
1
11
√
10
11√
10
11 −
1
11
]
=
[
1
√
10√
10 −1
] [
1
11
√
10
11
−
√
10
11
1
11
]
=
[
− 911
2
√
10
11
2
√
10
11
9
11
]
.
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