lista calculo2

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CENTRO UNIVERSITA´RIO JORGE AMADO
Profa. Ana Carolina Moura Teixeira
Lista de Exercı´cios - Ca´lculo Diferencial e Integral II
Nome:
Matrı´cula:
1. Calcule as integrais abaixo, utilizando as propriedades de integral e as integrais imediatas:
(a)
∫
(3x2 + 5 +
√
x)dx
(b)
∫
(2 cos(x) +
1√
x
)dx
(c)
∫
(
1
x
+
√
x)dx
(d)
∫
(
√
x3 +
3
√
x2)dx
(e)
∫
(x3 − 2
√
x
x
)dx
(f)
∫
x+ 3
x2
dx
(g) Uma partı´cula desloca-se sobre eixo x e sabe-se que no instante t, t ≥ 0, a velocidade e´
v(t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partı´cula encontra-se na posic¸a˜o
x = 1. Determine a posic¸a˜o x = x(t) da partı´cula no instante t.
2. Calcule as seguintes integrais pelo me´todo de substituic¸a˜o.
(a)
∫
2x
1 + x2
dx
(b)
∫
1
3x+ 2
dx
(c)
∫
sin2 x cosxdx
(d)
∫
dx
(3x− 5)8
(e)
∫
sin(x+ 7)dx
(f)
∫
(3t2 − 4t)
√
t3 − 2t2dt
(g)
∫
(x+ sec2 3x)dx
(h)
∫
du
u2 + a2
com a 6= 0
(i)
∫
x2
(1 + x3)2
dx
(j)
∫
(x3 − 2)1/7x2dx
1
(k)
∫
sin θdθ
(5− cos(θ))3
(l)
∫
arcsin(x)√
1− x2 dx
(m)
∫ √
t2 − 2t4dx
(n)
∫ √
x− 2
x+ 1
dx
3. Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizando o me´todo de integrac¸a˜o por partes.
(a)
∫
x cos(x)dx
(b)
∫
xe−2xdx
(c)
∫
x ln(x)dx
(d)
∫
xexdx
(e)
∫
e−2x sin(x)dx
(f)
∫
x2 sinxdx
(g)
∫
e2x sinxdx
(h)
∫
cos3 xdx
(i)
∫ √
xlnxdx
(j)
∫
x3
√
1− x2dx
(k)
∫
arc cosxdx
4. Calcule as seguintes integrais definidas.
(a)
∫ pi/2
0
cos tdt.
(b)
∫ 1
0
(x3 − 4x1 + 1)dx.
(c)
∫ 1
0
x
x2+1dx
(d)
∫ 2
1
xe−x
2+1dx
(e)
∫ 2
1
(6x+ 1)dx
5. Mostre que:
(a)
∫ pi
−pi sin 2x cos 5xdx = 0
(b)
∫ pi
−pi cos 2x cos 3xdx = 0
6. Calcule as integrais definidas abaixo:
(a)
∫ −1
0
x3+8
x+2 dx.
(b)
∫ −2
−3 (t− 1t )2dx.
(c)
∫ 4
0
(2x+ 1)−1/2dx.
(d)
∫ 2
1
x lnxdx.
(e)
∫ pi/2
0
cos x
(1+sin x)5 dx.
2
7. Encontre a a´rea limitada pela curva y = 4− x2 e o eixo do x.
8. Encontre a a´rea limitada pela curva y = x2 e y = x+ 2.
9. Encontre a a´rea limitada pela curva y = x3 e y = x.
10. Encontre a a´rea limitada pela curva x = 1/2, x =
√
x e y = −x+ 2.
11. Encontre a a´rea limitada pela curva y2 = 2x e x2 = 2y.
12. Calcule a a´rea do conjunto de todos os (x, y) tais que 4x2 + y2 ≤ 1.
13. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x, do conjunto de todos os
pares (x, y) tais que 1x ≤ y ≤ x, 1 ≤ x ≤ 2.
14. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x, do conjunto de todos os
pares (x, y) tais que:
(a) 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x.
(b) 1/2 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1/x2.
(c) 0 ≤ x ≤ 1 e √x ≤ y ≤ 3.
15. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, do conjunto de todos os
pares (x, y) tais que:
(a) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x22 + 1 e y ≥ x2 − 1.
(b) 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x2 + 1
(c) 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 2 e y ≥ √x− 2.
(d) 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ ln(y).
16. Com t meses de experieˆncia um funciona´rio do correio e´ capaz de separar Q(t) = 700 −
400e−0,5t cartas por hora. Qual a velocidade me´dia com que um funciona´rio ocnsegue sepa-
rar a correspondeˆncia durante 3 primeiros meses de trabalho?
17. Os registros mostram que t meses apo´s o inı´cio do ano, o prec¸o da carne moı´da no super-
mercado foi P (t) = 0, 09t2 − 0, 2t + 1, 6 reais o quilo. ual foi o prec¸o me´dio da carne moı´da
durante os treˆs primeiros meses do ano?
18. Mostre que a velocidade me´dia de um carro em um intervalo de tempo [t1, t2] e´ a mesma que
a me´dia de suas velocidades durante a viagem.
19. determine o comprimento das curva dadas por:
(a) y = 2/3t3/2, 0 ≤ t ≤ 1
(b) y = 4/3x+ 3, 0 ≤ x ≤ 2
(c) y =
√
x, 1/4 ≤ x ≤ 3/4
(d) y = x2/2, 0 ≤ x ≤ 1.
20. Indique, em cada caso, qual mudanc¸a de varia´vel que elimina a raiz do integrando e calcule
as integrais abaixo:
(a)
∫ √
1 + x2dx
(b)
∫ √
5− 4x2dx
(c)
∫ √
3 + 4x2dx
(d)
∫ √
x2 − 9dx
21. Calcule:
3
(a)
∫
x+ 3
x2 − 3x+ 2dx
(b)
∫
x3 + 2
(x− 1)2 dx
(c)
∫
x3 + x+ 1
x2 − 2x+ 1dx
(d)
∫
x3 + x+ 1
x2 − 4x+ 3dx
(e)
∫
1
cos(x)
dx
(f)
∫
x4 + 2x+ 1
x3 − x2 − 2xdx
(g)
∫
2x+ 1
x3 − x2 − x+ 1dx
(h)
∫
x+ 1
x(x− 2)(x+ 3)dx
(i)
∫
dx
x2 + 6x+ 13
Gabarito
Bom trabalho! ;)
4