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Aula-11 Oscilações eletromagnéticas e corrente alternada Curso de Física Geral F-328 F328 – 1S2013 1 1o semestre, 2013 Nos dois tipos de circuito estudados até agora (RC e RL), vimos que a carga, a corrente e a diferença de potencial crescem d i l Introdução Oscilações LC ω ou decrescem exponencialmente com o tempo. Agora vamos estudar o circuito formado pela terceira combinação destes elementos, ou seja, o circuito LC . Veremos que, neste caso, estas grandezas não variam exponencialmente com o tempo, mas sim senoidalmente (com um determinado período T e uma frequência angular ). As oscilações de carga e corrente resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do campo 0ω resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do campo magnético do indutor, a que chamamos oscilações eletromagnéticas. Na figura abaixo estão representados oito estágios em um único ciclo de oscilação de um circuito LC sem resistência. Supomos que inicialmente a carga q do capacitor tem o seu valor máximo Q e a corrente i que atravessa o indutor é nula. F328 – 1S2013 2 Oscilações LC energia totalmente magnética energia totalmente elétrica energia totalmente elétrica energia totalmente magnética elétrica elétrica F328 – 1S2013 3 Oscilações eletromagnéticas (LC) http://www.walter-fendt.de/ph14br/osccirc_br.htm Simulação dos estágios Do ponto de vista formal, um circuito LC é análogo a um oscilador harmônico simples, que pode se representado por um sistema massa- mola: Circuito LC Sistema massa mola Analogia Eletromecânica 1 2q 1 Circuito LC Sistema massa-mola E & L cte:Total )indutordo( 2 1 )capacitordo( 2 1 2 =+ ⇔ = = BE EB B E UU UU LiU C qU ( ) ( ) cte:Total blocodo 2 1 molada 2 1 2 2 =+ ⇔ = = cp pc c p UU UU vmU xkU F328 – 1S2013 5 No sistema massa-mola , a energia total U é, em qualquer instante: pc UUU += Analogia Eletromecânica (massa-mola) pc UUU Se não houver atrito, U permanece constante, isto é: 0) 2 1 2 1 ( 22 =+= kxmv dt d dt dU )cos( 0 ϕω += tXx mcuja solução é: ¹¸ · ©¨ § = dt dxv02 2 =+ x m k dt xd m k =0ω : frequência angular natural Xm : amplitude : constante de fase Movimento oscilatório F328 – 1S2013 6 ϕ C qLiUUU EB 2 2 2 1 2 1 +=+= Como não há resistência no circuito, temos: 22 ·§ Energia total oscilante : Analogia Eletromecânica (oscilador LC) 2 0 22 22 =¸¸¹ · ¨¨© § += C qLi dt d dt dU ¹¸ · ©¨ § = dt dqi Fazendo as seguintes correspondências : a solução da equação acima é: ,qx→ C k 1→,Lm→,iv→ )cos()( 0 ϕω += tQtq , 0 1 2 2 =+ q LCdt qd frequência angular natural das oscilações eletromagnéticas e é uma constante de fase, como no caso mecânico. A corrente no circuito LC é: onde é a amplitude das oscilações da carga, é a Q ϕ F328 – 1S2013 7 )(sen)(sen 000 ϕωϕωω +−=+−== tItQdt dqi LC 1 0 =ω Circuito LC Sistema massa-mola Frequência angular: 1 =ω k =0ω Analogia Eletromecânica Correspondências qx→ 1 Lm→ Frequência angular: Amplitude: Constante de fase: LC0 =ω Q m0 ω Xm ϕ ϕ p entre os dois sistemas C k 1→iv→ No circuito LC, a amplitude e a constante de fase são determinadas pelas condições iniciais i(0) e q(0). F328 – 1S2013 8 A energia elétrica armazenada no capacitor em qualquer instante t é: )(cos 22 0 2 22 ϕω +== t C Q C qUE Energias elétrica e magnética )(sen 2 1 2 1 0 222 0 2 ϕωω +== tQLLiUB 22 CC A energia magnética armazenada no indutor é, por sua vez: QUU BE 2 =+ )(sen 2 0 2 2 ϕω += t C Q , pois LC 1 0 =ω Então, a soma (energia total eletromagnética) permanece constante. C UU BE 2 + Com um resistor R no circuito, a energia eletromagnética total U do sistema ( ) ã é i t t i di i i Oscilações amortecidas (circuito RLC) EB UU + não é mais constante, pois diminui com o tempo na medida em que é transformada em energia térmica no resistor . C qLiU 22 1 22 += 2RidU 2Ri dt dq C q dt diLi −=+ )0( < dt dU Energia eletromagnética P tê i di i d 2Ri dt −= dtCdtPotência dissipada Como dt dqi = 0 1 2 2 =++ q LCdt dq L R dt qd A solução desta equação para o caso de amortecimento fraco é: Oscilações Amortecidas (circuito RLC ) ) 1 ( 2R <¹¸ · ©¨ § )cos()( 2 ϕω +′= − teQtq t L R Agora as oscilações são amortecidas, pois a amplitude de d i i l onde . Quando fraco é: )(tq ou seja, aproxima-se da frequência angular natural do sistema. ω′ LCL R 1 2 2 <<¹¸ · ©¨ § ) 2 ( LCL ¹¸©¨ )cos()( max ϕω +teQtq 2 2 0 2 ¹¸ · ©¨ § −=′ L R ωω LC 1 0=≅′ ωω decai exponencialmente com o tempo: F328 – 1S2013 11 q Exemplo 1 Um circuito RLC série possui indutância L = 12 mH, capacitância C = 1,6 μF, e resistência R = 1,5 Ω. a) em que instante t a amplitude das oscilações da carga no circuito b) quantas oscilações são completadas neste intervalo de tempo? O t il ã l t é í d Queremos que: π2T 5,0ln 2 5,0 max2max =−= − L RtQeQ t L R st R Lt 011,05,0ln2 =−=daí: será 50% do seu valor original? Neste caso, como , . Ou seja: O tempo para uma oscilação completa é o período . 0ωω ≅′ 2 0 2 2 ω<<¹¸ · ©¨ § L R ω′ =T F328 – 1S2013 12 LC tntnT π2 == ( ) 1310.6,110.122 011,0 2 1 63 ≅ × = −−π nou As oscilações de um circuito RLC não serão totalmente amortecidas se um dispositivo de fem externo fornecer energia suficiente para compensar a energia térmica dissipada no resistor. Oscilações forçadas – Corrente alternada Normalmente este dispositivo é um gerador de corrente alternada com fem do tipo: , onde é a chamada frequência angular propulsora. Quando uma fem como esta é ligada a um circuito RLC, dizemos que as oscilações da carga, da tensão e da corrente são oscilações forçadas. Veremos que, qualquer que seja a frequência angular natural ω0 de um circuito, estas il õ f ê i l )(sen tm ωεε = ω oscilações ocorrem sempre na frequência angular propulsora. Mostramos aqui a solução para a corrente: onde é a amplitude da corrente no circuito e é a diferença de fase entre a tensão da fonte e a corrente. Voltaremos a isso mais adiante. ϕI , ε F328 – 1S2013 13 )(sen)( ϕω −= tIti Um resistor ligado ao gerador de fem alternada. Um Circuito Resistivo )(sen)(sen tVtv RmR ωωεε ===Temos: Corrente no resistor:Ri Se escrevermos a corrente na forma então temos: e . )(sen t R V R vi RRR ω== )(sen ϕω −= tIi RR VI R= 0=ϕentão temos: e da corrente e da tensão no resistor é: Portanto, a corrente e a tensão (ddp) estão em fase no resistor. A relação entre as amplitudes . F328 – 1S2013 14 R IR = 0=ϕ RIV RR = Um capacitor ligado ao gerador de fem alternada. Temos: )(sen tVCvCq CCC ω== e comoMas: Um Circuito Capacitivo )(sen)(sen tVtv CmC ωωε == dqi CC =)(sen tVCvCq CCC ω : e comoMas: ) 2 (sen)(cos π ωωωω +== tCVtCVi CCC dt iC Introduzindo a reatância capacitiva C XC ω 1 = π ) 2 (sen) 2 (sen π ω π ω +=+= tIt X Vi C C C C Entãoe as amplitudes da tensão e da (vemos que a corrente está adiantada de em relação à tensão). corrente estão relacionadas por: F328 – 1S2013 15 2 πϕ −= CCC XIV = 2 π Um indutor ligado à fonte de fem alternada. dVd L )( Um Circuito Indutivo dt diLtVtv LLmL === )(sen)(sen ωωεTemos: dtt L Vdi LL )(sen ω=ou )cos()(sen t L Vdtt L Vi LLL ωω ω³ −== ∴ Introduzindo a reatância indutiva LXL ω= : ) 2 (sen) 2 (sen π ω π ω −=−= tIt X Vi L L L L Então e as amplitudes da tensão e da corrente estão relacionadas por: (vemos que a corrente no indutor está atrasada de em relação à tensão). F328 – 1S2013 16 2 πϕ = 2 π LLL XIV = htt // lt f dt d / h14b / i it b ht Simulações dos três circuitos simples http://www.walter-fendt.de/ph14br/accircuit_br.htm (Simulação dos três circuitos simples) F328 – 1S2013 17 A fem aplicada é: A corrente transiente é nula; a corrente permanente é dada por: O Circuito RLC Série )(sen tm ωεε = )(sen)( ϕω −= tIti Objetivo: determinar I e em função das grandezas R, L, C, e .mε ω ϕ A corrente i tem o mesmo valor em todos os elementos e é representada por um único fasor (vetor girante) no diagrama. Para qualquer t : CL VV > CLR vvv ++=ε Segue que: ou : F328 – 1S2013 18 Do diagrama, supondo que CLRm VVV &&&& ++=ε CLR vvvε CL VV > ( ) ( )222 CLm IXIXIR −+=ε ( )222 CLRm VVV −+=ε Daí achamos o valor de I : ,O Circuito RLC Série , ) 1 ( 22 Z LR I mm εε == )( 22 C LR ω ω −+ onde é a impedância do ω 22 ) 1 ( C LRZ ω ω −+= Também a constante de fase pode ϕ circuito para a frequência de excitação . F328 – 1S2013 19 R C L R XX V VVtg CL R CL ω ω ϕ 1 − = − = − = ser encontrada do diagrama dos fasores: Circuito RLC série Corrente: I mε= 22 ) 1 ( C LR I ω ω −+ 22 ) 1 ( C LR I Z m ω ω ε −+==Impedância: R C L R XX V VVtg CL R CL ω ω ϕ 1 − = − = − =Constante de fase: Ressonância Como maximizar a amplitude I da corrente? Minimizando a impedância Z para facilitar a passagem da corrente A amplitude I da corrente é máxima (condição de ressonância) quando ou i t é d f ê i l C L ω ω 1 = 0 1 ωω == LC 22 ) 1 ( C LRZ ω ω −+= isto é, quando a frequência propulsora coincide com a frequência angular natural do circuito: http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/RLC.htm 0ωω= Impedância e ângulos de fase para várias combinações de componentes em série no circuito TABELA: Impedâncias e ângulos de fase Fase ϕImpedância ZComponente Negativa entre 90º e 0o Positiva, entre 0º e 90º Negativa, entre -90 e 0o Positiva, entre 0o e 90o Negativa, se XC >XL Positiva, se XC < XL F328 – 1S2013 22 )(sen)(sen ϕωωεε −== tItiP m• Potência instantânea: ϕωωεϕωε senttItI mm )cos()(sencos)(sen2 −= Potência em Circuitos CA • Potência média num ciclo (de período T ): ϕεωϕε cos 2 1 )(sen 1 cos 0 2 Idtt T IP m T mmed ³ == mεε = II • Valores rms: valores constantes dando a mesma potência que a média no tempo de i(t): 2 rmsε = 2 Irms = p ( ) ϕε cosrmsrmsmed IP = F328 – 1S2013 23 Então: Para a máxima transferência de potência: (ou ). Nestas condições, , que é a condição de ressonância. 1cos =ϕ C L ω ω 1 = 0=ϕ )(sen222 ϕω −== tRIRiP• Potência instantânea: Potência em Circuitos CA (resistor) Potência dissipada somente no resistor: 2cos rmsrmsrmsrmsrmsmed RIZ RIIP === εϕε ¹¸ · ©¨ § = Z Rϕcospois )(sen ϕω== tRIRiP • Potência média num ciclo (de período T ): Potência instantânea: • Fator de potência ( ):ϕcos • = 1: circuito resistivo (transferência máxima de potência ressonância) • = 0: circuito indutivo ou capacitivo (não há transferência de potência) F328 – 1S2013 24 ϕcos ϕcos Transformadores Geração (La Grande-2) Tensão baixa (110 V) Transmissão (1000 km) para segurança Tensão alta (735 kV) para minimizar perdas Québec Consumo (Montréal) Tensão baixa (110 V) para segurança Sistema de distribuição Requer mudança de tensão A taxa média de dissipação numa carga resistiva é: rmsrms IVP = Por razões de segurança, tanto na estação geradora quanto na extremidade receptora, é conveniente lidar com baixas voltagens. Já Transformadores na transmissão, é conveniente lidar com baixas correntes ( para minimizar perdas ôhmicas). Solução? Transformador: um dispositivo usado para aumentar ou diminuir a ddp em um cicuito CA, de modo a manter constante o produto V x I . F328 – 1S2013 26 Primário Secundário Transformador ideal a) S aberta: O enrolamento primário é um indutor puro; como , não há transferência de potência do gerador para o0cos =ϕ Transformadores , não há transferência de potência do gerador para o transformador. O fluxo atravessa os dois enrolamentos e a fem induzida por espira é a mesma nos dois: Controlando-se e , pode-se elevar ou baixar a tensão do secundário SN PN (relação entre as tensões) Bφ 0cosϕ P P S S VN NV = S S P PB esp N V N V dt d === φ ε secundário. primário secundário F328 – 1S2013 27 b) Fechando-se S, há transferência de potência do gerador para a carga (representada aqui apenas por uma carga resistiva R). Para um transformador ideal com carga resistiva o fator de potência é igual a 1; a taxa com que o gerador fornece energia ao enrolamento primário é V I e analogamente a Transformadores gerador fornece energia ao enrolamento primário é VPIP e, analogamente, a energia é transferida do enrolamento primário ao secundário com taxa VSIS. Por conservação de energia: SSPP VIVI = que é a relação de transformação de correntes. Finalmente, lembrando que ,R VI SS = vem: P S P S P PS IN N V VII == , q RS o que mostra que, do ponto de vista do primário, a resistência equivalente da carga não é R e sim R N NR S P eq 2 ¸¸¹ · ¨¨© § = Primário Secundário F328 – 1S2013 28 R N N V R V N N N N R V N NII S P PP P S P SS P S SP 22 2 ¸¸¹ · ¨¨© §==== Exemplo 2 Num circuito RLC série, R = 200 Ω, C = 15 μF, L = 230 mH, f = 60 Hz e εm = 36 V. ( ) ( ) Ω≅−+=−+= 2191777,86200)( 2222 CL XXRZ a) Determine a impedância do circuito Ω=== Ω=== 177 11 7,862 X LfLX C L πω rad42,0tgarc;A164,0 −≅ − === R XX Z I CLm ϕε 91,0)42,0(coscos ≅−=ϕ 91,0 219 200 cos ≅== Z Rϕ b) Determine a amplitude e a fase da corrente c) Calcule o fator de potência ou d) Determine a potência média dissipada no resistor Ω177 2 fCC XC πω ( ) W69,2200x116,0 22 ≅== RIP rmsmed Como XC > XL (ϕ < 0) o circuito é predominantemente capacitivo. ) p p e) O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo ? ou W69,291,0x116,0x5,25cos ≅== ϕε rmsrmsmed IP Resumo Amortecimento RZR = ′ Fornecimento LXL ω= C XC ω 1 = 0ω ω′ ω Oscilações eletromagnéticas (movimento harmônico simples) LXL ω Ressonância: F328 – 1S2013 30 0ωω=
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