Numeros Reais alunos 2016

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UEMS: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
PLANO DE ENSINO
CURSO		: CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO
DISCIPLINA	:CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PROFESSOR	: ODIVAL FACCENDA
CARGA HORÁRIA: 136 H/A	VIGÊNCIA: 2016
OBJETIVOS:
- Proporcionar o conhecimento dos conceitos que fundamentam a Matemática.
- Permitir o inter-relacionamento dos conteúdos desta disciplina, bem como relacioná-los com os de outras, de modo que possa ser visualizado o papel da matemática como instrumento auxiliar no desenvolvimento da ciência, como também, desenvolver a capacidade de análise crítica das idéias.
EMENTA DA DISCIPLINA:
	Números reais; Funções; Limites; Continuidade; Derivadas e suas aplicações; Integrais e suas aplicações; 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
	NÚMEROS REAIS
1.1 Revisão
Números reais 
Equação do primeiro grau
Equação do segundo grau
Desigualdades
Intervalos
Valor absoluto
O plano numérico
Equação de uma reta
Posição relativa das retas no plano
FUNÇÕES
2.1 Conceito, operação com funções, domínio e representação gráfica
2.2 Principais funções usuais
2.3 Função composta, função inversa.
LIMITES E CONTINUIDADE
3.1 Definição, principais teoremas sobre limites de funções
 Limites unilaterais, no infinito e infinitos
 Assíntotas horizontais e verticais
 Continuidade de uma função em um número
 Continuidade de uma função em um intervalo.
	DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES
4.1 Taxa média de variação
 Conceito e significado geométrico
 Tabelas de derivadas fundamentais
 Derivação na forma implícita
 Regra de L`Hospital para cálculo de limites
 Estudo de Máximos e Mínimos de funções
 Pesquisa de pontos de inflexão
Assíntotas e traçado de curvas.
5. INTEGRAIS E SUAS APLICAÇÕES
Introdução, primitivação e antidiferenciação
Tabelas de primitivas fundamentais
5.3 Propriedades da integral
Integral por substituição e por partes
Integral definida e áreas
Área entre duas curvas
Aplicação da integral.
Técnicas de Integração
6. TÓPICOS ADICIONAIS
 
AVALIAÇÕES PERIÓDICAS
	Os acadêmicos serão avaliados periodicamente mediante aplicação de quatro provas escritas e elaboração de atividades programadas para verificação da aprendizagem:
	Entretanto para obter a Média de cada avaliação periódica, o aluno terá Nota do Trabalho e participação nas aulas (NT) com peso 0,2 mais a Nota da prova (NP), com peso 0,8, que substituídos na fórmula abaixo resultará na Nota do Bimestre (NB), onde
NB = 0,2( NT + 0,8( NP
Em que:
NB = Nota do Bimestre, NT = Nota do Trabalho, e NP = Nota da Prova		
Datas estimadas das provas escritas: 06/04/16, 15/06/16, 12/09/16, 07/11/16. 
AVALIAÇÃO OPTATIVA:
No final de cada semestre, haverá uma avaliação escrita optativa de zero a dez, substituindo a nota mais baixa do semestre. 
EXAME FINAL:
Uma avaliação escrita final, sem consulta, de zero a dez, envolvendo todo o conteúdo programático, com data prevista para o dia 05/12/2016.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
FLEMMING, D. M., GONÇLVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração. São Paulo: 6.ed, PEARSON PRENTICE HALL, 2009.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo, Vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro, LTC, 2002.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 e 2. São Paulo, HARBRA, 3 ed. 1994.
Bibliografia complementar:
ÁVILA, G. Cálculo, Vol. 1, 2 e 3. Rio de Janeiro, LTC,1999.
PSIKUNOW, N. Cálculo Diferencial e Integral. Porto, LOPES DA SILVA, 17 ed. 1997.
SIMMONS. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1 e 2. São Paulo 2005.
STEWART, J. Cálculo, Vol. 1 e 2. 4 ed. São Paulo. PIONEIRA, 2003.
REVISÃO
Potenciação é o produto de n fatores iguais. an = a(a(...(a;	a0 = 1; 		a-n = 
.
		 n vezes
Propriedades:
(a(b)m = am(bm;		
;		am(an = am+n;		
;
;		
.
Radiciação é a operação inversa da potenciação. Isto é, a = bn 
.
Propriedades: 
;	
;		
;	
Potência com expoente racional
;	ou	
Exercícios: Calcular
a) (-3)4 = 		b) (-2)-2 = 		c) 
	= 		d) 
 = 
e) 
= 		f) 
= 		g) 
= -28 = 		h)
 
i) 
		j) 
		l) 53(5-4 = 		m) 
=
Produtos Notáveis
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2				(a - b)2 = a2 - 2ab + b2		
(a + b)(a - b) = a2 - b2				(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab			
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3			(a - b)3 = a3 - 3ab2 + 3ab2 - b3		
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac	x3 ( y3 = (x ( y)(x2 
 xy + y2).
Fatoração é transformar uma expressão algébrica em um produto de fatores.
Exercícios: Fatore as seguintes expressões
2x2 + 4x - 6xy = 
2ay2 + bx + 2by2 + ax = 
4x2 + 4xy + y2 = 
9x2 - 12xy + 4y2 = 
x2 + 5x + 6 = 
4x2 - 81 = 
x3 - 1 = 
8x3 + 64(y6 = 
Simplifique, efetuando as operações indicadas 
 
Efetuar a divisão entre os polinômios:
a) 5x3 - 8x2 + 2x + 9 e x2 - 2x + 3. 	
b) 6x4 - 3x2 + 5x + 2 e x2 - x	
Racionalize as seguintes expressões
, para x ( y
Obs. Para racionalizar utilizou-se o produto notável (a + b)(a - b) = a2 - b2, com a = 
, e b = 
.
Obs. Para racionalizar utilizou-se o produto notável a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2), com a = 
, b = 
Logaritmos
O logaritmo é a operação inversa da potenciação, ou seja, 
 se, e só se, ax = b.
Exemplos 1. 1:
Calcule o logaritmo de 8 na base 2. 
Solução: 
Calcule o logaritmo de 625 na base 5.
Notação: logeb = lnb		log10b = logb
Propriedades:
;		
		
;	
;	loga1 = 0, pois a0 = 1;	logbb = 1.
Mudança de base
Dados logab, deseja-se logcb. Então logcb = 
.
Cologaritmo de um número é o logaritmo do inverso deste número. Isto é
Cologab = loga(1/b) = -logab
Exercícios:
1. Calcule log0,1254 = 
2. Resolva a expressão, aplicando a propriedade dos logaritmos, 
=
Solução: 
NÚMEROS REAIS
Tudo o que vamos estudar neste curso se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses conjuntos. Assim ao estudarmos limites, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais.
Definição e operações	
	Um número real é um número positivo, negativo ou zero e em cálculo elementar estamos interessados no conjunto dos números reais. Supõe-se que você esteja familiarizado com as operações algébricas de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais, bem como com os conceitos algébricos de soluções de equações, fatoração, e assim por diante. Aqui estamos interessados nas propriedades dos números reais que é a base para o estudo do cálculo.
	Qualquer número pode ser classificado como um número racional ou irracional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como o quociente de dois inteiros. Isto é, um número racional é da forma p/q, onde p e q são dois inteiros e q ( 0. Os números racionais consistem dos seguintes:
- Os inteiros (positivos, negativos e zero) 	..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
- As frações positivas e negativas, tais como 	2/7	-4/5	83/5 ...
- As decimais limitadas positivas e negativas, tais como	2,36 = 236/100	 -0,003251 = -3.251/1.000.000
- As decimais repetidas ilimitadas (dizimas) positivas negativas, tais como
0,333... = 1/3		-0,549549549... = - 61/111
	Os números reais não racionais são chamados números irracionais. Eles são as decimais não repetidas ilimitadas, por exemplo 
 = 1,732...		( = 3,14159...	e = 2,71828182...
	O conjunto dos números reais é denotado por R1. Este conjunto pode ser representado como pontos de uma reta horizontal chamada eixo. Veja a Figura 1.1. Um ponto sobre o eixo é escolhido para representar o número zero. Este ponto é chamado origem. Uma unidade de distância é selecionada. Então cada número positivo x é representado por um ponto a uma distância de x unidades à direita da origem e cada número negativo x érepresentado por um ponto a uma distância de –x unidades à esquerda da origem (deve ser observado que se x for negativo, então –x será positivo). A cada número real corresponde um ponto no eixo e a cada ponto do eixo está associado um único número real.
	 -2 -1	 0 1 2
		 -3/2			 9/4
Figura 1.1					
	No conjunto dos números reais introduziu-se duas operações, chamadas adição e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:
Fechamento. Se a e b ( R, existe um e somente um número real denotado por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a ( b, ou a ( b) chamado produto.
Comutatividade. Se a, b ( R, então a + b = b + a e a ( b = b ( a.
Associatividade. Se a, b, c ( R, então, a + (b + c) = (a + b) + c e a ( (b(c) = (a(b) (c
Distributividade. Se a, b, c ( R, então, a( (b + c) = ab + ac.
Existência de elementos Neutros. Existem 0 e 1 ( R tais que a + 0 = a e a ( 1 = a, para qualquer a ( R.
Existência de simétricos. Todo a ( R tem um simétrico denotado por – a, tal que a + (- a) = 0.
Existência de inversos. Todo a ( R, a ( 0 tem um inverso denotado por 1/a, tal que a( (1/a) = 1.
Subtração. A diferença entre a e b é definida por a – b = a + ( - b).
Divisão. O quociente de a e b é definido por a/b = a((1/b).
Outras propriedades
Lei do cancelamento da adição: se a + c = b + c, então a = b.
Prova: Suponhamos que a + c = b + c.
Pela propriedade (vi), existe -c o oposto de c. Somando -c a ambos os membros da equação, obtemos
(a + c) + (-c) = (b + c) + (-c)
Pela propriedade associativa da adição (iii), temos
a + [c + (-c)] = b + [c + (-c)]
Pela propriedade do elemento oposto (vi), temos
a + 0 = b + 0
pela propriedade do elemento neutro da adição (v), a + 0 = a e b + 0 = b.
Portanto, a = b.
Lei do cancelamento da multiplicação: se a(b = b(c e b ( 0, então a = c.
Lei do anulamento do produto: se a(b = 0, então a = 0 ou b = 0.
3. EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU
	Uma equação da forma
	ax + b = 0,
onde a e b são números reais, com a ( 0, chama-se equação do primeiro grau.
	Vamos resolver a equação ax + b = 0, passo a passo, a fim de ilustrar o uso das propriedades operatórias dos números reais.
	Somando -b, que existe pela propriedade do elemento oposto (vi), a ambos os membros da equação, obtemos
	(ax + b) + (-b) = 0 + (-b)
	Pelas propriedades (ii), (iii), (v) e (vi) da adição, temos
	ax + (b + (-b)) = -b
	ax + 0 = -b
	ax = -b.
	Todas essas passagens podem ser resumidas, dizendo simplesmente que passamos b para o segundo membro e trocamos o seu sinal.
	Agora, dividindo por a ambos os membros da equação (ou seja, multiplicando pelo inverso de a), obtemos, pelas propriedades do produto (ii), (iii), (v) e (vii) a solução da equação:
x = -b/a.
Nota: nos exercícios não será necessário detalhar tanto.
Exemplo 1.2: Resolva a equação 2x - 3 = 0 em R.
Exercício: resolva as equações em R
a) -4(4 – x) = 2(x – 1)	b) 0,1(x – 2) + 0,5x = 0,7 c) 
	d) 
4. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
	Uma equação da forma
	ax2 + bx + c = 0
onde a, b, e c são números reais, com a ( 0, chama-se uma equação do segundo grau.
	Para resolvê-la, utilizamos a fórmula de Bhaskara:
			
onde 
 = b2 - 4ac (discriminante).
Há três casos:
- se 
 > 0, a equação tem duas raízes reais distintas:
	
	 e 
- se 
 = 0, a equação tem uma única raiz real: 
.
- se 
 < 0, a equação não tem raízes reais.
Exemplo 1.3: Resolva as seguintes equações em R
3x2 - 4x + 1 = 0,
4x2 - 12 x + 9 = 0,
x2 - 4x + 7 = 0.
Resolução:
Exercícios:
1. Resolva a equação em R
a) 
		b) 
	c) 
2. Resolva as equações do segundo grau em R.
a) x2 + 4x = 0		b) x2 = 9		c) 6x2 - x - 1 = 0	d) 25x2 + 10x + 1 = 0
e) 8x2 + 39x - 5 = 0	f) x2 + x = 3x3		g) x2 + 
3. Fatore
a) x2 - 9		b) 2x2 + 5x - 3		c) x2 - 5x + 6
5. DESIGUALDADES
	Há uma ordenação para o conjunto R1 efetuada através de uma relação indicada pelos símbolos < (leia “é menor que”) e > (leia “é maior que”), os quais estão definidos por: 
a < b significa b – a é positivo
a > b significa a – b é positivo
Exemplo1.4
3 < 5, pois, 5 – 3 = 2, e 2 é positivo
-10 < -6, pois, -6 –(-10) = 4, e 4 é positivo.
	Vemos que a < b se e somente se o ponto na reta real que representa o número a estiver a esquerda do representado por b. Por exemplo, o número 3 é menor do que o número 5, e o ponto 3 está à esquerda do ponto 5.
	Os símbolos ( (leia “é menor que ou igual a”) e ( (leia “é maior que ou igual a”) são definidos por:
a ( b se, e somente se, ou a < b, ou a = b
a ( b se, e somente se, ou a > b, ou a = b.
Propriedades. Sejam a, b, c, d ( R.
Se a > b e b > c, então a > c.
Se a > b e c < 0, então ac < bc.
Se a > b e c > 0, então ac > bc.
Se a > b, então a + c > b + c para todo real c.
Se a > b e c > d, então a + c > b + d.
Se a > b > 0 e c > d > 0, então ac > bd.
Prova da propriedade i.
Se a > b, por definição, (a – b) > 0.
Se b > c, por definição, (b – c) > 0.
Como a soma de dois números positivos é sempre positivo, temos
(a – b) + (b – c) > 0, ou 
a – c > 0 ( a > c. 
Inequação linear
Exemplo 1.5: Resolva a inequação -3x + 4 < 0 em R.
Resolução: Passando 4 para o segundo membro e trocando o sinal, temos
-3x < -4
multiplicando por -1 ambos os membros da inequação, temos
3x > 4
dividindo por 3 ambos os membros da inequação, temos
x > 4/3, que é solução da inequação. 
Visualize a resposta geometricamente.
Inequação quadrática
	Cada uma das inequações ax2 + bx + c < 0, ou com qualquer um dos outros tipos de desigualdades (>, ( ou (), onde a, b, c ( R, com a ( 0, chama-se inequação quadrática ou inequação do segundo grau.
 	Para resolver estas inequações temos três casos
Caso 1: 
 > 0. Neste caso, a equação ax2 + bx + c = 0 tem duas raízes reais distintas x1 e x2, com x1 < x2. Daí, podemos formar o trinômio 
	f(x) = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).
	Os sinais das expressões podem ser vistos no seguinte quadro
	
	x1
	x2
	(x - x1) -
	+
	+
	(x - x2) -
	-
	+
	(x - x1)(x - x2) +
	-
	+
	Portanto, 
	Se a > 0, o sinal de f(x) é o mesmo do produto (x - x1)(x - x2), ou seja, f(x) > 0 se x < x1 ou x > x2 e f(x) < 0 se x1 < x < x2.
	Se a < 0, o sinal de f(x) é o contrário do sinal do produto, ou seja, f(x) > 0 se x1 < x < x2, e f(x) < 0 se x < x1 ou x > x2.
Exemplo 1. 6: a) Resolva a inequação 6x2 - x - 1 > 0 em R.
Solução: Como 
 = 25 > 0, esta equação tem duas raízes reais e distintas, a saber, x1 = -1/3 e x2 = 1/2.
Quadro:
	
	-1/3
	1/2
	(x + 1/3) -
	+
	+
	(x - 1/2) -
	-
	+
	(x + 1/3)(x - 1/2) 
	
	
	6(x + 1/3)(x - 1/2) 
	
	
	Portanto, f(x) = 6x2 - x - 1 > 0 ( ........... 
b) Resolva a inequação -2x2 + 5x - 3 ( 0
Solução: Como 
 = 1 > 0, esta equação tem duas raízes reais e distintas, a saber, x1 = 1 e x2 = 3/2.
Quadro:
	
	 1
	3/2
	(x - 1) -
	+
	+
	(x - 3/2) -
	-
	+
	(x - 1)(x - 3/2) 
	
	
	(-2)(x - 1)(x - 3/2) 
	
	
	Portanto, os pontos x tais que 1 ( x ( 3/2 formam o conjunto solução da inequação dada.
Caso 2: 
 = 0. Neste caso, a equação ax2 + bx + c = 0 tem uma única raiz, x1, então, podemos fatorar o trinômio 
	f(x) = ax2 + bx + c = a(x - x1)2.
Daí, o sinal de f(x) é o mesmo de a. Isto é, 
se a > 0, então f(x) > 0 para x ( x1; 
se a < 0, então f(x) < 0 para x ( x1.
Exemplo 1. 7: Resolva a inequação 2x - x2 < 1 em R.
Esta inequação é equivalente a x2 - 2x + 1 > 0.
Como o discriminante da equação x2 - 2x + 1 = 0 é 
 = 0, a equação tem uma única raiz, x1 =1. 
Portanto, se x ( 1, (x - 1)2 > 0 e consequentemente 2x - x2 < 1. Segue-se que o conjunto solução da inequação é R - {1}.
Caso 3: 
 < 0. Neste caso o sinal de f(x) é o mesmo do coeficiente dominante a. Isto é
Se a > 0, f(x) > 0, para todo x ( R.
Se a < 0, f(x) < 0, para todo x ( R.
Exemplo 1. 8: Resolva a inequação x2 ( x - 1 em R.
Solução: Como o discriminante da equação x2 - x + 1 = 0 é 
= - 3 < 0. Logo, como o coeficiente dominante é 1 > 0, x2 - x + 1 > 0, para todo número real x, o que significa que a inequação dada não tem solução real.
Exercícios:
1. Resolva a inequação em R.
a) 2x - 1 ( 5(x - 2) b) 1 - 2x ( 3x - 4 c) x/3 - x/2 < x/5 + 4 d)x/4 - x > x/5	 e)(x + 3)/2 < (2 - x)/5
2. Resolva a inequação em R.
a) (x + 1)(x + 2) > 0 b) (x - 1/2)(x - 2/3) ( 0 c) (x - 1)(x - 4) < 0 d) (1 - x)(x - 4) ( 0 e) x(x+1) < 0
3. Resolva a inequação em R
a) x2 + 2x - 3 ( 0 b) 2x2 + 3x + 1 < 0 c) x2 - x + 8 ( 0 d) 3x2 + 2x + 5 > 0.
INTERVALOS 
Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue:
Intervalo aberto. {x ( R ( a < x < b}, denota-se por (a, b) ou ]a, b[.
Intervalo fechado. {x ( R ( a ( x ( b}, denota-se [a, b].
Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda. {x ( R ( a < x ( b}, denota-se por (a, b] ou ]a, b].
Intervalos infinitos. {x ( R ( x > a}, denota-se por (a, +().
Exercícios
Escreva na notação de intervalo o conjunto dos números reais x tais que.
a) -1/2 ( x - 1 ( 1/2; b) -1/5 < x + 3 < 1/5; c) x - 3 ( 0; d) x + 2 > 0;
e) 3 + 7x < 8x + 9; f) 7 < 5x +3 ( 9; g) 
; h) (x + 5)(x – 3) > 0.
2. Descreva em termos de desigualdades os intervalos
a) ]-10, 5[ b) [-3, 6] c) [0, 9] d) [-4, 8[ e) ]-5, +([
3. Determine a interseção dos intervalos I e J
a) I = [-5, 7/2], J = ]0, 25/3[
b) I = ]-3, 3], J = [3, 4]
c) I = ]- (, 5/8], J = ]3/7, +([
7. VALOR ABSOLUTO								
	O conceito de valor absoluto de um número aparece em algumas definições importantes no estudo de cálculo. O valor absoluto de x, cuja notação é 
, está definido por
	Segue, da definição, que o valor absoluto de um número é um número positivo ou zero; isto é um número não negativo. Observe que 
.
Por exemplo, 
 e 
.
Propriedades
Se a > 0 :
 < a ( - a < x < a
 > a ( x > a ou x < - a.
Equação modular é uma equação na qual aparece efetivamente o módulo de algum número real.
Exemplo 1. 9: Resolva a equação 
.
Solução:
Exemplo 1. 10: Resolva a equação 
.
Solução: Temos, 
 = ((2x + 3) e 
 = ((3x - 4). Aparentemente são 4 casos a considerar:
+(2x + 3) = +(3x - 4)
+(2x + 3) = -(3x - 4)
-(2x + 3) = +(3x - 4)
-(2x + 3) = -(3x - 4).
Observe que a segunda e a terceira equações são equivalentes entre si e a primeira e a última também. Então há somente dois casos a considerar:
10 caso: +(2x + 3) = +(3x - 4), em que x = 7.
20 caso: +(2x + 3) = -(3x - 4), ou x = 1/5.
Logo, a equação tem duas soluções: 1/5 e 7.
Inequação modular é uma inequação onde aparece o módulo de algum número real.
Exemplo 1. 11: Resolva a inequação 
.
Solução: o 
 é equivalente a 
-4 ( 3x - 1 ( 4 ou 1 - 4 ( 3x ( 4 +1 ou -3 ( 3x ( 5 ou -1 ( x ( 5/3.
Exemplo 1. 12: Resolva a inequação 
Solução: Primeiro substituímos a desigualdade pela igualdade e encontramos as raízes 
2x + 1 = 3x - 4 ( x = 5 e
2x + 1 = -(3x - 4) ( x = 3/5.
Após determinar os intervalos (-(, 3/5]; [3/5, 5]; [5, () atribuir um valor a cada subintervalo. Se o valor satisfaz a inequação então satisfaz para todos os valores daquele intervalo, caso contrário não vale para nenhum ponto do intervalo. No exemplo, tomamos os pontos x1 = 0 do primeiro intervalo, temos 
 então 
 falso.
Seja x2 = 2 do segundo intervalo, temos 
 verdadeiro.
Seja x3 = 6 do terceiro intervalo, temos 
 falso.
Portanto o intervalo fechado [3/5, 5] é o conjunto solução da inequação.
Exercícios: 
1. Resolva as seguintes equações para x.
a) 
 b) 
 c)
 d) 
 e) 
2. Resolva as seguintes inequações
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
8. O PLANO NUMÉRICO 
	Abordaremos agora pares ordenados de números reais. Dois números reais quaisquer formam uma dupla, e quando a ordem da dupla de número reais é especificada, nós a chamaremos uma dupla ordenada de números reais. Se x for o primeiro número real e y o segundo, denotamos esta dupla por (x, y). Observe que a dupla ordenada (3, 7) é diferente da dupla ordenada (7, 3).
	O conjunto de todas as duplas ordenadas é chamado plano numérico, e cada dupla ordenada (x, y) é chamada um ponto no plano numérico. O plano numérico é notado por R2. Da mesma forma que em R1 onde podia-se identificar através de um eixo (um espaço unidimensional), podemos identificar R2 com os pontos em um plano geométrico (um espaço bidimensional).
	Uma reta horizontal é escolhida no plano geométrico e é chamada eixo x. Uma reta vertical é escolhida e chamada eixo y. O ponto de intercessão do eixo x com o eixo y é chamado origem, sendo denotada pela letra (. Uma unidade de comprimento é escolhida (normalmente a unidade de comprimento em cada eixo é a mesma). Estabelecemos a direção positiva sobre o eixo x à direita da origem, e a direção positiva sobre y acima da origem, conforme Figura 1.2.
		 y						 x (abscissa de P)
								 	 P(x, y)
									 y (ordenada de P)
			 x								
	 O									
		Figura 1.2						Figura 1.3
Associamos agora uma dupla ordenada de números reais (x, y) com o ponto P no plano geométrico, conforme Fig. 1.3. A distância de P ao eixo y (considerada positiva se P está à direita do eixo y e negativa se P está à esquerda do eixo y) é chamada abscissa (ou coordenada x) de P, sendo denotada por x. A distância de P ao eixo x é chamada ordenada (ou coordenada y) de P, sendo denotada por y. A abscissa e a ordenada de um ponto são chamadas coordenadas cartesianas retangulares do ponto. Há uma correspondência um a um entre os pontos do plano geométrico e R2.
Os eixos x e y são chamados eixos coordenados. Eles dividem o plano em 4 partes chamadas quadrantes.
Devido à correspondência um a um, R2 fica identificado com o plano geométrico, e por esta razão uma dupla ordenada (x, y) é chamada um ponto. Analogamente referimo-nos a uma reta em R2 como sendo o conjunto de todos os pontos correspondentes à reta no plano geométrico, e usamos outros termos geométricos para conjuntos de pontos em R2.
Exemplo 1.12 Faça o gráfico dos pontos (-6, 0), (-8, -6), (-4, 5), (0, -4), (1,2), (2, 0), (9, -7) e (8, 5).
	Consideremos a equação
	y = x2 – 2		(1)
Onde (x, y) é um ponto em R2 . Nós a chamamos uma equação em R2. 
	Para solucionar esta equação, determinamos uma dupla ordenada de números, um para x e outro para y, que satisfazem a equação. Por exemplo, se x é substituído por 3 na equação (1), vemos que y = 7; assim o ponto (3, 7) constitui uma solução da equação. Para qualquer número que substituir x no lado direito de (1), obteremos um valor correspondente para y. Vê-se, então, que (1) tem um número ilimitado de soluções. A Tabela 1.1 nos mostra algumas destas soluções.
Tabela 1.1 
	x
	0
	1
	2
	3
	4
	-1
	-2
	-3
	-4
	y = x2 – 2
	-2
	-1
	2
	7
	14
	-1
	2
	7
	14
	Se fizermos um esquema dos pontos tendo por coordenadas 
os pares de números (x, y) satisfazendo (1), teremos um esboço do 		Figura1.4 
gráfico da equação. Na figura 1.4 fizemos um mapa dos pontos cujas coordenadas são os pares de números obtidos da tabela 1.1. Estes pontos estão ligados por uma curva suave. Qualquer ponto (x, y) desta curva tem coordenadas que satisfazem (1). Também, as coordenadas de um ponto fora desta curva não satisfazem a equação. O gráfico de (1), mostrado na fig. 1.4, é uma parábola.
	O gráfico de uma equaçãoem R2 é o conjunto de todos os pontos (x, y) em R2 cujas coordenadas são números que satisfazem a equação. Tal gráfico é também chamado uma curva. 
Exemplo 1.13 Faça um esboço do gráfico da equação
 y2 –x –2 = 0.											(2)
EQUAÇÕES DE UMA RETA
	Há situações nas quais a taxa de variação de uma quantidade com relação a outra é constante. Exemplo 1.14 Suponhamos que custa R$ 15,00 para fabricar um determinado produto além de uma despesa fixa diária de R$ 400,00. Então, se x unidades forem produzidas por dia e y reais for o custo total diário para o fabricante, pode-se equacionar este problema assim:
y = 15x + 400
Algumas das soluções desta equação são dadas na tabela 1.2
Tabela 1.2
	x (unidades)
	0
	10
	20
	30
	40
	y = 15x + 400 (custo)
	400
	550
	700
	850
	1.000
Na figura 1.5 marcamos os pontos cujas coordenadas são as duplas
numéricas da Tabela 1.2 e ligamos estes pontos obtendo uma linha 
reta. Podemos observar que cada aumento de 10 unidades para x, y 
aumenta em 150 unidades ou, de forma equivalente, para cada 
aumento de 1 unidade em x, y aumenta em 15 unidades. 				Fig. 1.5
Esta taxa de variação constante é chamada a inclinação da reta.
Definição de inclinação de uma reta
	Do pressuposto de que dois pontos distintos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) definem uma reta l e que esta não seja paralela ao eixo y, então a inclinação de l, denotada por m, será dada por
m1 = tg(() = 
 = 
m1 = 
					(1)					 y2 – y1
Se tomarmos quaisquer outros dois pontos sobre a reta 			 
temos a mesma inclinação, logo, é verdade que
�� EMBED Equation.3 								x1	 x2	 x
Multiplicando ambos os lados da equação na definição acima por x – x1 obtemos
y – y1 = 
(x – x1)						(2)
Ou substituindo 
 por m, obtemos
y – y1 = m (x – x1)							(3)
A equação (3) é chamada a equação da reta dada por um ponto e a inclinação.
	A distância entre dois pontos pode ser calculada usando a relação do triângulo retângulo, “o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos”, assim a distância (d) entre P1 e P2 pode ser expressa por:
d = 
						(4)
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO PLANO
As retas: 
r: A1x + B1y + C1 = 0 e s: A2x + B2y + C2 = 0,			(5)
 de um plano podem ser concorrentes quando a intersecção entre elas é um único ponto P0(xo, yo). As coordenadas desse ponto podem ser obtidas resolvendo-se o sistema de equações simultâneas
 A1x + B1y + C1 = 0
 A2x + B2y + C2 = 0							(6)
neste caso o sistema deve ser consistente e determinado (uma única solução).
As retas dadas em (5) são paralelas quando não existe intersecção entre elas. Neste caso o sistema de equações simultâneas (6) não apresenta solução alguma.
	Quando o sistema (6) for consistente, mas indeterminado (infinitas soluções), as retas são ditas coincidentes.
Obs. Dadas duas retas: r1 com inclinação m1 e r2 com inclinação m2: diz-se que r1 é paralela a r2 quando m1 = m2, e r1 é perpendicular a r2 quando m1m2 = -1
Exemplo 1.15 Dados A1(2, 3), B1(-1, -2) e A2(-1, 4), pede-se:
A equação da reta r passando por A1B1
A equação da reta s passando por A2A1
O comprimento do segmento A1B1
A posição relativa das retas r e s
A intersecção P de r e s.
Exercícios
1) Faça um esboço das retas dadas e determine as coordenadas do ponto de intersecção de
6x – 5y – 6 = 0; 4x – 3y –2 = 0
3x + 2y = 2; 5x + 3y = 1
2) O fabricante de determinada mercadoria tem um custo total consistindo de despesas gerais semanais de R$ 3.000 e um custo de manufatura de R$ 25 por unidade.
se x unidades são produzidas por semana e y é o custo total semanal, escreva uma equação relacionando x e y.
Faça um esboço do gráfico da equação obtida em a)
3) O custo total para um fabricante consiste de um custo de manufatura de R$ 20 e de uma despesa diária fixa.
Se o custo total para se produzir 200 unidades em um dia é R$ 4.500,00, determine a despesa diária fixa.
Se x unidades são produzidas diariamente e se y é o custo total diário, escreva uma equação relacionando x e y.
Faça um esboço do gráfico da equação da parte b)
Faça o exercício 3, supondo que o custo do fabricante seja R$ 30,00 por unidade e o custo total ao se produzirem 200 unidades em 1 dia seja R$ 6.600,00.
Dados dois vértices consecutivos de um quadrado A1(0, 3) e A2(3, 0), encontre as coordenadas dos outros dois vértices.
Regras adicionais, se a, b ( R, então
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
y
P2
P1
(
x2 - x1
Fig. 1.6
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Gráfico6
		400
		550
		700
		850
		1000
y
x
y
Plan1
		x		y								x		y
		-4		14								0		400
		-3		7								10		550
		-2		2								20		700
		-1		-1								30		850
		0		-2								40		1000
		1		-1
		2		2
		3		7
		4		14
Plan1
		
y
Plan2
		
y
x
y
Plan3
		
		
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Gráfico3
		14
		7
		2
		-1
		-2
		-1
		2
		7
		14
y
Plan1
		x		y
		-4		14
		-3		7
		-2		2
		-1		-1
		0		-2
		1		-1
		2		2
		3		7
		4		14
Plan1
		
y
Plan2
		
Plan3
		
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