Apostila Matemática Vestibulinho

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Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 1 
 
Matemática para Vestibulinho 
Prof. Wlad 
Conteúdo programático 
 
1. Conjuntos ............................................................................................................................. 02 
 
2.Números naturais, inteiros, racionais e irracionais.................................................................... 08 
 
3. Potenciação, radiciação........................................................................................................... 13 
 
4. Expressões algébricas............................................................................................................. 14 
 
5. Produtos notáveis e fatorações............................................................................................... 16 
 
6. Razões e proporções............................................................................................................... 17 
 
7. Regra de Três ......................................................................................................................... 20 
 
8. Porcentagem. Problemas de aplicações................................................................................... 23 
 
9. Equações de 1º e 2º graus. Problemas de aplicações................................................................ 27 
 
10. Sistemas de equações de 1º grau........................................................................................... 30 
 
11. Plano cartesiano ................................................................................................................... 32 
 
12. Função do 1º Grau ............................................................................................................... 33 
 
13. Função exponencial ............................................................................................................. 35 
 
14. Elementos fundamentais da geometria plana e semelhança de figuras planas........................ 37 
 
15. Relações métricas no triângulo retângulo.............................................................................. 43 
 
16. Razões trigonométricas ........................................................................................................ 46 
 
17. Áreas de figuras planas......................................................................................................... 50 
 
18. Sólidos Geométricos .......................................................................................................... 53 
 
19. Análise combinatória e probabilidade.................................................................................... 56 
20. Noções de estatística............................................................................................................ 58 
21. Lógica e seqüências ............................................................................................................. 63 
Anexos .................................................................................................................................... 67 
 
EDIÇÃO 2010 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 2 
 
1. CONJUNTOS 
1.1. Introdução 
 
 a) Conjunto 
 A noção de conjunto em Matemática é praticamente 
a mesma utilizada na linguagem cotidiana: 
agrupamento, classe, coleção. Por exemplo: 
 Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto; 
 Conjunto dos números inteiros pares; 
 Conjunto dos dias da semana; 
b) Elemento 
Cada membro ou objeto que entra na formação do 
conjunto. Assim: 
 V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto 
acima; 
 2, 4, 6 são elementos do segundo; 
 Sábado, Domingo do terceiro; 
 
c) Pertinência entre elemento e conjunto 
 Por exemplo, V é um elemento do conjunto das 
letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele 
conjunto. Enquanto que v não pertence. 
 Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe 
sejam entendidos (evidentes) por todos. 
Notação 
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra 
maiúscula A, B, C, … 
 
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, … 
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é 
um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por: 
 
Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x 
não pertence a A) escrevemos: 
 
1.2. Representações de Conjuntos 
 
 
a) Extensão ou Enumeração 
 Quando o conjunto é representado por uma listagem 
ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos 
entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. 
Exemplos: 
 Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, 
Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana}; 
 Conjunto dos meses com menos de 31 dias: 
{fevereiro, abril, junho, setembro, novembro}; 
 Conjunto dos números pares inteiros maiores do 
que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 
20}. 
Observações: 
1. Na representação por extensão cada elemento 
deve ser escrito apenas uma vez; 
2. É uma boa prática adotar a separação dos 
elementos em conjuntos numéricos como 
sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões 
com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4}; 
3. Esta representação pode, também, ser adotada 
para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei 
de formação de seus elementos e colocando-se 
reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …}; 
4. Representação semelhante pode ser adotada para 
conjuntos finitos com um grande número de 
elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}. 
b) Propriedade dos Elementos 
Representação em que o conjunto é descrito por uma 
propriedade característica comum a todos os seus 
elementos. Simbolicamente: 
A = {x | x tem a Propriedade P} 
e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a 
propriedade P. 
Exemplos: 
 A = {x | x é um time de futebol do Campeonato 
Brasileiro de 2006}; 
 B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. 
Último exemplo do item a) acima; 
 C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}. 
c) Diagrama de Euler-Venn 
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha 
fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura 
abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os 
elementos do conjunto. 
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Resumo teórico 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio 
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia 
de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a 
existência de conjunto com apenas um elemento, 
chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem 
qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø). 
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um 
conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa. 
Exemplos de Conjuntos Unitários: 
 Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: 
{fevereiro}; 
 Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 
e menores do que 12: {11}; 
 Conjunto das vogais da palavra blog: {o}. 
Exemplos de Conjuntos Vazios: 
 { x | x > 0 e x < 0 } = Ø; 
 Conjunto dos meses com mais de 31 dias; 
 { x | x
2
 = -1 e x é um número real} = Ø. 
Conjunto Universo 
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos 
envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é 
simbolizado pela letra U. 
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma 
equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R 
(conjunto dos números reais); se estamos interessados em 
determinar os deputados federais envolvidos com o 
mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos 
todos os deputados federais da atual legislatura. 
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através 
de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que 
estamos trabalhando, escrevendo: 
 
 
 
 
 
 
Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A 
pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B 
pertence a A: 
 
 
Observações: 
1. A título de ilustração: OA invertido na expressão 
acima significa “para todo”; 
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a 
noção de ordem não interfere na igualdade de 
conjuntos; 
3. É evidente que para A ser diferente de B é 
suficiente que um elemento de A não pertença a B 
ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, 
c, d}. 
 
 
Subconjunto 
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, 
e somente se, todo elemento x pertencente a A também 
pertence a B: 
 
 
onde a notação significa “A é subconjunto de B” 
ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da 
notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. 
 
 Observe que a abertura do sinal de inclusão fica 
sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de 
diagrama é representado como: 
 
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Resumo teórico 4 
 
Exemplos: 
 {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
 Ø C {a, b}; 
 {a, b} C {a, b}; 
 {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está 
contido”, uma vez que o elemento b do primeiro 
conjunto não pertence ao segundo. 
Observe que na definição de igualdade de conjuntos está 
explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-
versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em 
A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais 
devemos provar que: 
 
Propriedades da Inclusão 
Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as 
seguintes propriedades: 
1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer 
conjunto; 
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio 
(propriedade Reflexiva); 
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade 
Anti-Simétrica); 
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é 
subconjunto de um outro e este é subconjunto de 
um terceiro, então o primeiro é subconjunto do 
terceiro (propriedade Transitiva). 
Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das 
demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, 
provar a primeira: 
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um 
subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um 
elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. 
Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a 
sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está 
contido em D é sempre verdadeira. 
Conjunto das Partes 
Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E - P(E) - o 
conjunto formado por todos os subconjuntos de E: 
Exemplos: 
 Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, 
{a.c}. {b,c}, {a,b,c}} 
 Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}}; 
 Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}. 
Observações: 
1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, 
que os elementos de P(E) são conjuntos; 
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos 
símbolos pertence (não pertence) e contido (não 
contido); 
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e 
{{a}} é um subconjunto de P(A); 
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de 
elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2
n(E)
. A 
propriedade é válida para conjuntos finitos; 
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2
3
, n(B) 
= 2 e n(P(B)) = 4 = 2
2
 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2
1
. 
 
 
1.3. Operações entre conjuntos 
 
►União :  
 
 Conjunto união são todos os elementos dos 
conjuntos relacionados. 
 
 A  B = { x  A ou x  B } 
 
Exemplo 1: 
Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4,} e B = {0, 2, 4, 5} a 
união desses dois conjuntos é : 
 
A  B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A  B 
 
 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união 
desses conjuntos é: 
A  B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 } 
nesse caso podemos dizer que A  B = B 
 
 
 
 
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Resumo teórico 5 
 
► Intersecção:  
 
 Os elementos que fazem parte do conjunto 
intersecção são os elementos comuns aos conjuntos 
relacionados. 
 A  B = { x  A e x  B } 
 
Exemplo 1: 
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 8}, se 
pedimos a intersecção deles teremos: 
 
A  B = { 2, 3 } , dizemos que A “inter” B é igual a 2 e 
3. 
 
 
 
 
 
 
A  B 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se 
pedirmos a intersecção deles teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B  C = { } ou B  C =  
 
então B e C são conjuntos distintos. 
 
 
►Diferença entre dois conjuntos. 
 
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou 
diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos 
de A que não pertencem a B. 
 
O conjunto diferença é representado por A - B 
 
Exemplo 1: 
 
A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 8 } a diferença dos conjuntos é: 
 
 
 
A – B 
 
A – B = { 1, 2 } 
 
 
 
 
 
 
B – A 
 
B – A = { 8 } 
 
 
 
Exemplo 2: 
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {8, 9, 10} a diferença dos conjuntos 
é: 
 
A – B = { 1, 2, 3, 4, 5 } 
 
 
Exemplo 3: 
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}a diferença dos conjuntos é: 
 
A – B =  
 
 
 
►Complementar 
 
 Dados dois conjuntos A e B em que A  B, chamamos 
de complementar de A em B 
 
, o conjunto formado pelos elementos de que pertencem a 
B que não pertencem a A 
 
 A  B  = B - A 
 
 
 
 
 
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Resumo teórico 6 
 
 
Exemplo 1: 
A = { 1, 2 , 3} e B = { 1, 2, 3, 4, 5} então = B – A = { 4, 
5} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
1. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5} e B = { 2, 3, 7} e C = { 2, 4, 6} , 
determine: 
 
a) A  B 
 A  B = { 1, 2, 3, 4 , 5}  { 2, 3, 7} = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7} 
 
b) A  B 
 A B = { 1, 2, 3, 4 , 5}  { 2, 3, 7} = { 2, 3} 
 
c) ( A  B )  ( B  C ) 
 A  B = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7} 
 B  C = { 2, 3, 7 } 
 
 ( A  B )  ( B  C ) 
 { 1, 2, 3, 4 , 5, 7}  { 2, 3, 7 } = { 2, 3, 4, 7 } 
 
2. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5 }, B = { 2, 3, 6} e C = { 1, 2, 4 }, 
encontre: 
 
a) B – C 
 B – C = { 2, 3, 6 } – { 1, 2, 4 } = { 3, 6 } 
 
b) 
 
 A - C = { 1, 2, 3, 4 , 5} - { 1, 2, 4 } = { 3, 5 } 
 
 
 
 
 
 
 
► Número de elementos da união de 
conjuntos 
 
 Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e 
n(B) o número de elementos do conjunto B, temos: 
 
 
 n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ) 
 
 
 
 
 
Exemplo1: 
 
 
 n(A) = 5 
 
 n (B) = 5 
 
 n(A  B ) = 2 
 
 
 
Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então 
 
n ( A  B ) = 5 + 5 – 2. Logo n ( A  B ) = 8 
 
 
 
 
 
Exemplo2: 
 
 
 n(A) = 3 
 
 n (B) = 4 
 
 n(A  B ) =  
 
 
 
Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
1. Determine n (D  M ) sendo D = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
e M = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 } 
 
 
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Resumo teórico 7 
 
 
 n(D) = 8 
 
 n (M) = 8 
 
 n(A  B ) = 4 
 
 
 
Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então 
 
n ( A  B ) = 8 + 8 – 4. Logo n ( A  B ) = 12 
 
 
2. Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal A e 
60% o jornal B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos um 
dos jornais, qual o percentual de alunos que lêem ambos 
os jornais? 
 
Solução 
Como todos os alunos lêem pelo menos um jornal, 
 
 n ( A  B )= 100% . Então: 
 
 n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B) 
 100% = 80% + 60% – n(A  B) 
 n(A  B) = 140% - 100% 
 n(A  B) = 40%Matemática 
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Resumo teórico 8 
 
2. NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, 
RACIONAIS E IRRACIONAIS. 
 
 
 2.1.Conjunto dos Números Naturais ( ) 
 
 = { 0,1,2,3,4,.. } 
 
 *= { 0,1,2,3,4,.. } 
 
 
 O conjunto dos números é fechado em relação as 
operações de adição e multiplicação; isto é a adição de 
dois números naturais é um outro número natural e a 
multiplicação de dois números naturais terá como 
resultado também um número natural. 
 
 
Representação geométrica dos números naturais 
 
 
 
 
 
 
2.2. Números inteiros ( ) 
 
 = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ...} 
 
 
Subconjuntos de 
 
 * = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } 
 + = { 0, 1, 2, 3, ... } 
 *+ = { 0, 1, 2, 3, ... } 
 - = { ..., -4, -3, -2, -1, 0 } 
 *- = { ..., -4, -3, -2, -1 } 
 
 Representação geométrica dos números inteiros 
 
 
2.3. Conjunto dos Números Racionais ( ) 
 Todo número que pode ser escrito na forma de fração 
 
 = x | x = 
a
b
 , a  ; b  e b ≠ 0 
 
 Inteiro: - 10, −
10
1
 , + 6, +
6
1
 
 Decimal exato: 0,1 ; 
1
10
 ; 1,32 = 
132
100
 
 Dízima periódica: 
a) 0,777... = 
7
9
 
 
b) 1,666 ... = 1 + 0,666... = 0,666... = 
6
9
 = 
2
3
 
1 + 
2
3
 = 
3 + 2
3
 = 
5
3
 
 
c) 0, 366... = 
36− 3
90
 = 
33
90
 = 
11
30
 
 
Cuidado! : Nem todo número racional é inteiro. 
 
Ex.: 
𝟏
𝟐
 = 0,5 é racional mas não é inteiro! 
 
 
 
2.4. Conjunto dos Números Irracionais ( I ) 
 
 Os números irracionais apresentam infinitas casas 
decimais e não periódicas, são números que não podem ser 
escritos na forma de uma fração. 
Exs:  , 2 , 3 ,  , etc... 
 
Obs.: As raízes quadradas de números que não são 
quadrados perfeitos são também chamadas de números 
irracionais. 
 
 
2.5. Números Reais ( ) 
 
 A união dos conjuntos dos números racionais e 
irracionais chama-se conjunto dos números, que será 
indicado por ” ” 
 = { números racionais}  { números irracionais } 
 
 
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Resumo teórico 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1.(SENAI 2008) Num jantar de comemoração, no final do 
ano passado, todos os participantes resolveram pedir o 
mesmo prato e a mesma sobremesa. No final do jantar 
pagaram um total de R$ 450,00 pelo prato principal e R$ 
250,00 pela sobremesa. Se cada sobremesa custou R$ 5,00 
a menos do que o prato principal, então o grupo era 
formado por 
a. 20 pessoas. 
b. 30 pessoas. 
c. 40 pessoas. 
d. 50 pessoas. 
e. 60 pessoas. 
 
2.(Trajano 2007) A roda-gigante de um parque de diversões 
tem dezoito cadeiras, igualmente espaçadas ao longo do 
seu perímetro e move-se no sentido anti-horário, isto é, no 
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura, as letras A, B, C, ... e R indicam as posições em 
que as cadeiras ficam cada vez que a roda-gigante pára. 
Com a roda-gigante parada, Bruna senta-se na cadeira que 
está na posição A, posição mais baixa da roda-gigante. A 
roda-gigante move-se de uma volta e pára. Nesse 
momento, a letra relativa à posição da cadeira ocupada por 
Bruna é 
(A) D. 
(B) I. 
(C) K. 
(D) P. 
(E) R. 
 
3.(Trajano 2007) Quando estava lendo uma reportagem 
sobre a sua banda favorita, Paula observou que havia um 
borrão de tinta no texto, como é mostrado a seguir: 
 
Curiosa, Paula determinou que o número de ingressos 
oferecidos para a área vip foi 
 
(A) 260. 
(B) 400. 
(C) 540. 
(D) 760. 
(E) 910. 
 
4.(Trajano 2007) Uma equipe de reportagem parte em um 
carro em direção a Santos, para cobrir o evento “Música 
Boa Só na Praia”. Partindo da cidade de São Paulo, o veículo 
deslocou-se com uma velocidade constante de 54 km/h, 
durante 1 hora. Parou em um mirante, por 30 minutos, para 
gravar imagens da serra e do movimento de automóveis. A 
seguir, continuaram a viagem para local do evento, com o 
veículo deslocando-se a uma velocidade constante de 36 
km/h durante mais 30 minutos. A velocidade escalar média 
durante todo o percurso foi, em m/s, 
de:................................ 
 
(A) 10 m/s. (D) 36 m/s. 
(B) 12 m/s. (E) 42 m/s. 
(C) 25 m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumo teórico 10 
 
5.(Trajano 2007) Eduardo e Mônica estavam brincando de adivinhações com números inteiros positivos. 
 
 
 
Ao ouvir a resposta de Mônica, Eduardo imediatamente revelou o número original que Mônica havia pensado. 
O número que Mônica havia pensado era um 
(A) divisor de 12. 
(B) divisor de 15. 
(C) divisor de 24. 
(D) múltiplo de 5. 
(E) múltiplo de 12. 
 
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Resumo teórico 11 
 
6.(Cotil 2002) As infrações de transito são classificadas de 
acordo com o quadro ao lado. Se um condutor de 
automóvel cometer as seguintes infrações: uma grave, duas 
medias e 1 leve, quantos pontos seriam registrados na sua 
carteira de motorista? E qual seria o valor total pago dessas 
multas em reais? 1 UFIR = R$ 1,0641 fonte: Receita 
Federal 
 
 
Infrações Pontos Multa 
Gravíssima 7 180 UFIRs 
Grave 5 120 UFIRs 
Média 4 80 UFIRs 
Leve 3 50 UFIRs 
↘ PROBLEMAS COM FRAÇÕES 
 
6.(Cotil 2005) O medo de atentado terrorista forçou a 
idealização de um plano de segurança para os jogos 
Olímpicos de 2004 de Atenas. A segurança reforçada contou 
com milhares de homens e mulheres, sendo 
5
9
 policiais , 
1
3
 
militares , segurança particulares e voluntários e outros 5 
mil homens eram da guarda costeira. O total de homens 
que participaram da segurança em Atenas 2004 foi de : 
a) 15 mil 
b) 25 mil 
c) 30 mil 
d) 45 mil 
e) 50 mil 
 
7.(Cotil 2005) O judô olímpico é um dos esportes mais 
premiados do Brasil. O primeiro judoca brasileiro a 
conquistar o ouro foi Aurélio Miguel, em 1998. Para quem 
na pratica o esporte, entender aquele empurra-empurra, 
agarra-aguarra e golpes rápidos não é muito fácil. Para 
compreender um pouco mais da dinâmica desse esporte, 
um caminho é aprender a matemática que envolve o 
sistema de pontuação dos golpes, conforme a tabela 
abaixo: 
 
Golpe Valor Punição Valor 
Ippon 1 ponto Shidô 1/8 ponto 
Waza-ari 1/2 ponto Chui 1/4 ponto 
Yuko 1/4 ponto Keikoku 1/2 ponto 
Koka 1/8 ponto Hansoku-make 1 ponto 
 
Acompanhe a descrição de uma luta entre um japonês e um 
coreano. 
 
 O lutador japonês obteve: um koka, um yoko, um waza-
ari e três shidô 
 
 O coreano teve o seguinte desempenho: um waza-ari, dois 
koka, um Chuí,um shidô e um yoko. 
 
Qual o total de pontos do lutador japonês e do coreano, 
respectivamente? 
 
a) 
1
2
 e 
9
8
 
 
b) 
10
8
 e 
5
8
 
 
c) 
4
8
 e 
7
8
 
 
d) 
2
8
 e 
5
8
 
 
e) 
4
8
 e 
5
8
 
 
 
8.(Cotil 2006) No COTIL , a alunos carentes são oferecidas 
bolsa-trabalho, cujo valor varia a cada ano. Depois de uma 
rigorosa avaliação, alguns alunos são beneficiados e 
prestam serviço à escola em horário oposto ao que 
estudam. Em um determinado ano, um estudante recebeu 
uma bolsa. Descubra quanto recebeu, sabendo que no final 
do mês ele gastou 
4
5
 do total e, em seguida, enviou mais 
1
6
 , restando-lhe..apenas..R$.7,00. 
 
a) R$ 150,00 d) R$ 240,00 
b) R$ 180,00 e) R$ 270,00 
c) R$ 210,00 
 
 
9.(Cotil 2006) As epidemias que afetam os animanis 
preocupam não só o Brasil, como também a humanidade. 
Um fazendeiro da região Centro-Oeste do Brasil possuía um 
rebanho de gado para corte e, num certo mês do ano, viu 
seu rebanho ser dizimado por uma dessas epidemias. Na 
primeira semana perdeu 
1
3
 do rebanho; na segunda 
semana, perdeu 
1
6
 ; na terceira1
9
 ; na quarta 
1
12
 , 
sobrando apenas 792 cabeças de gado. Quantas cabeças do 
rebanho ele perdeu? 
 
 
10.(Cotil 2007) Os desertos avançam. O total de áreas 
atingidas por seca dobrou em trinta anos. Só na China, as 
áreas desérticas avançaram 10.000 quilômetros quadrados 
por ano, o equivalente ao território do Líbano. A Área total 
da Terra é de aproximadamente 510 milhões de km
2
. Sabe-
se que 
3
4
 da superfície da Terra são cobertos por água e 
1
3
 
do restante é coberto por desertos. A área dos desertos, em 
milhões de quilômetros quadrados corresponde a 
aproximadamente: 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 12 
 
 
a) 127,5 
b) 170 
c) 42,5 
d) 420,5 
e) 425 
 
 
11.(PSS-SEE/SP) Um professor de uma escola de música vai 
comprar um livro para cada um dos 270 alunos. 
Pesquisando 
preços na internet, encontrou o seguinte: 
• No site A, o preço de cada livro era R$ 16,75. 
• No site B, o preço de cada livro era R$ 25,00, e na compra 
de dois livros o terceiro era cortesia. 
 
Qual a melhor opção para o professor? 
a) O site A, pois economizaria R$ 2.227,50 em relação ao 
que pagaria no site B. 
b) O site A, pois economizaria R$ 1.215,00 em relação ao 
que pagaria no site B. 
c) O site B, pois economizaria R$ 225,50 em relação ao que 
pagaria no site A. 
d) O site B, pois economizaria R$ 22,50 em relação ao que 
pagaria no site A. 
e) O site B, pois economizaria R$ 2,25 em relação ao que 
pagaria no site A. 
3.(PSS-SEE/SP) Um professor de Matemática apresentou o 
seguinte problema aos seus alunos: 
 
“Roberto comprou quatro barras de chocolate e dividiu 
igualmente aos seus cinco amigos. Qual a fração da barra 
que cada um receberá?” 
 
Dois alunos responderam da seguinte maneira à questão do 
professor: 
Aluno A: Cada um receberá 
3
4
 + 
1
20
 
 
Aluno B: Cada um receberá a fração 
4
5
 
 
Considerando as resoluções dos alunos, assinale a 
alternativa correta: 
 
a) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4 
partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5 amigos. O 
aluno B também acertou, pois dividiu as barras em 5 partes 
iguais, representando 
4
5
 
 
b) O aluno A errou, respondendo com uma adição de 
frações cuja soma não corresponde à resposta correta. 
O aluno B acertou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, 
representando 
4
5
 
 
c) O aluno A errou, respondendo com uma adição de 
frações cuja soma não corresponde à resposta correta. 
O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, 
logo sua resposta deveria ser 
5
4
. 
 
d) O aluno A acertou, respondendo com uma adição de 
frações cuja soma corresponde à resposta correta. 
O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, 
logo a resposta deveria ser 
5
4
. 
 
 
e) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4 
partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5 
amigos. O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes 
iguais, logo sua resposta deveria ser 
5
4
. 
 
12.(PSS-SEE/SP) A partir de um valor inicial igual a 16000, 
certa população P1 de bactérias dobra a cada 30 minutos. 
Simultaneamente, partindo de um valor inicial 8 vezes 
menor, outra população P2 de bactérias cresce, 
dobrando de valor a cada 15 minutos. Em qual instante t as 
duas populações terão o mesmo valor? 
a) 60 minutos. 
b) 90 minutos. 
c) 120 minutos. 
d) 150 minutos. 
e) 180 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 13 
 
3. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
3.1. Potenciação 
 Para a  , b  , n  
 
 
 
 
Assim; 
 
 a0 = 1 
 
 a1 = a 
 
 an = a · a · ... · a , se n  2 
 n fatores 
 
 
 a-n = = a ≠ 0 
 
 
3.1.1. Propriedades da Potenciação 
 
1) a
m
 · an = a m + n 
 
2) a
m
 : a
n
 = a 
m - n 
 
3) (a
m
)
n
 = a 
m · n 
 
4) (a · b)m = a m · b m 
 
5) (a : b)
m 
 = a 
m 
:
 
b 
m
 , b ≠ 0 
 
3.2. Radiciação 
 Para a  , b  , n  * , temos: 
 
 
 
Assim, 
 
 b
n
 = a  b = an 
 
3.2.1. Propriedades da Radiciação 
 
Para a  , b  , n  * , m  *, temos: 
 
1) a
n
 · bn = a · bn 
 
2) 
 a
n
 b
n = 
a
b
n
 , b ≠ 0 
 
3) a
mn
 = a
m . n 
 
 
4) ( a 
n
 )p = , p  * 
 
5) 
 
Obs.: Para radicais de índice par, devemos ter b  0 e a  
0 
 
3.2.2. Potenciação com expoente racional 
 
Sendo p  , n  *, temos: 
 
a  +  a = 
 
 0 = 0 , para 
p
n
 > 0 
 a = 0 
 0 não é definido para 
p
n
 ≤ 0 
 
 a nem sempre é real se n for par 
a  -  
 a = se n for ímpar 
 
 
Todas as propriedades da potenciação com expoente inteiro são 
válidas também para a potenciação com expoente racional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 14 
 
4. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 São expressões matemáticas que apresentam letras ou 
apenas letras, as quais são chamadas de variáveis ou 
incógnitas. 
 
Ex.: 2a2b + 3xy3 – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2 
No exemplo acima: 
 
 2; 3; -7 e -1 são chamados de coeficientes numéricos 
 
 a
2
b ; xy
3
; a
2
x
3 
; a
2
x
2
 e b
2
 y
2
 são chamadas de parte 
literal 
 
2a2b + 3xy3 – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2 
1º termo 2º termo 3º termo 4º termo 5º termo 
 
Os termos são separados apenas por adição ou subtração. 
 
4.1. Classificação das expressões algébricas 
 
a) Racional : Quando não existe variável dentro de uma 
raiz, esses tipos de expressões se subdividem em: 
 
  Inteiras: quando não aparecem variáveis no 
denominador 
 Exs.: 3x + 1 ; 7xy
2
 – by
4 
 
  Fracionárias: quando aparecem variáveis no 
denominador
 
 Exs.: 
2
x
 + 5x
3 
-2 ; 
5
ab
 + 
2
c
 
 
 
b) Irracional : Quando existe variável dentro de uma raiz. 
Exs.: 3 3x + 5a
2
b
3
 ; 2abc – y 
 
 
 
 
4.2. Termos semelhantes 
 
Termos que apresentam a mesma parte literal, inclusive os 
expoentes das variáveis. 
 
Ex.: 3 xy
2
 - 2 abc + 6 xy
2
 + 10 abc 
 
 
 Termos semelhantes 
 
 Esses termos semelhantes podem ser reduzidos, basta 
conservar a parte literal e fazer as respectivas operações 
com os coeficientes numéricos. Voltando ao exemplo 
anterior temos: 
( 3 xy
2
 + 6 xy
2 
) e ( - 2 abc + 10 abc ), reduzindo esses 
termos temos: 9xy
2
 + 8abc 
 
 
4.3. Polinômio 
Toda expressão racional e inteira é determinada pelo 
número de termos da expressão algébrica. 
 
a) Monômio: polinômio que possui apenas um termo 
 Ex.: 2 x
2
y
4
z 
 
b) Binômio: polinômio que possui dois termos 
 Ex.: 3 x
2
y
4
 + 2ab
2
 
 
c) Trinômio: polinômio que possui três termos 
 Ex.: 5 a
2
y
4
 + 7xb
2
 – 7xy
3
z 
 
 Acima de três termos, todos os demais são chamados de 
Polinômio. 
 
Cuidado!: Só podemos classificar um polinômio após 
reduzirmos todos os termos semelhantes. 
Por exemplo: 4x
2
 + 3ab + 4x
2
y – 5x
2
 aparentemente é um 
polinômio porém o primeiro e o quarto termo ( 4x
2
 e – 5x
2
 ) 
são semelhantes, podendo ser reduzidos. Após a redução 
observamos que o polinômio é um trinômio com esse 
aspecto: 
 -x2 + 3ab + 4x2y 
 
 
4.4. Grau do Polinômio 
 
 O grau de termos é a soma dos expoentes de 
suas variáveis, o termo que possuir maior soma de 
expoentes determinará o grau do polinômio. 
 
Ex.: 3a2b4 – 7b2 + 3 x3y2z 
 
1º Termo : 3 a
2
b
3
 = 2 + 3 = 5 ( Quinto grau) 
2º Termo : -7 b
 2 
= 2 ( Segundo grau) 
3º Termo : 3x
3
y
2
z = 3 + 2 + 1 = 6 ( Sexto grau) <maior> 
 
Podemos observar que esse trinômio é do sexto grau 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 15 
 
4.5. Valor numérico de uma expressão 
 
Toda expressão algébrica tem o seu valor numérico, esse 
valor é encontrado a partir do momento em que temos 
ou atribuímos valores para as letras. Se em um exercício é 
pedido para que calcule o valor numérico da expressão 
algébrica 2x
2
y é preciso que saibamos ou atribuímos valores 
para as letras x e y. 
 
Então vamos supor que na equação 2x
2
y, os valores das 
letras seja x = -2 e y = 1, agora substituindo esses valores, 
chegaremos em um valor numérico. 
 
 2x
2
y 
 2 · (-2)2 · 1 
 2 · 4 · 1 = 8 
  Valor numérico da expressão 2x
2
y 
 
Veja mais um exemplo de como achar o valor numérico da 
expressão a + ab + 5. O valor numérico desse e de todas as 
expressões algébricas irão variar dependendo do valor que 
iremos atribuir para as letras. 
Nesse exemplo vamos supor que as letras a = 5 e b = -5. 
 
 5 + 5 · (-5) + 5 
 5 – 25 + 5 
 -20 + 5 = - 15 
  Valor numérico da expressão a + ab + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 16 
 
5. PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
5.1. Produtos notáveis 
 
 São produtos que aparecem com muita freqüência 
na resolução de equações ou no desenvolvimento de 
expressões. 
Vejamos alguns casos: 
 
a) (a + b)2 = ( a+ b)( a+b ) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 
 
b) (a - b)2 = ( a - b)( a – b ) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 
 
c) ( a +b )( a – b ) = a2 – ab + ba – b2 = a2 - b2 
Resumindo: 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
 
( a +b )( a – b ) = a2 - b2 
 
 
5.2. Fatoração 
 Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la em 
produto. Vejamos alguns casos. 
 
 
1º Caso: Fator comum em evidência 
Ex.: 6x
2
 + 12x
3
z – 8 x
4
b = 2x
2
 (3 + 6xz – 4x
2
b ) 
 
 
2º Caso: Agrupamento 
Ex.: xy + xz + ay + az = x( y + z ) + a (y + z ) = (y + z) ( x + a ) 
 
 
3º Caso: Diferença de dois quadrados 
Ex.: x
2
 – y
2
 = ( x + y ) ( x – y ) 
 
 
4º Caso: Trinômio quadrado perfeito 
Exs.: 
 a) x
2
 +2xy + y
2
 = ( x + y )
2
 
 
 x 2 y = 2xy 
 
 b) x
2
 -2xy + y
2
 = ( x - y )
2
 
 
 x -2 y = -2xy 
5º Caso: Trinômio do 2º grau 
 São expressões da forma x
2
 - Sx + P, em que S e P 
repre-sentam, respectivamente, a soma e o produto de 
dois núme-ros a e b tal que se pode escrever: 
 
 x2 - Sx + P = ( x –(x1 )) ( x + (x2)) 
Exs.: 
 a) x
2
 + 7x + 12 = ( x+3) (x+4) 
 S P 
 
b) x
2 
 -6x +8 = ( x - 2 ) (x - 4) 
 S P 
 
c) x
2 
 +2x -8 = ( x - 2 ) (x + 4) 
 S P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 17 
 
6. RAZÕES E PROPORÇÕES 
 6.1. Razão 
 
 Razão é a comparação entre grandezas de mesma 
espécie. Essa comparação é representada por uma 
fração, onde o numerador é chamado de antecedente e o 
denominador de conseqüente. 
 
Exs.: 
a) A razão entre 3 e 7 = 
3
7
 , 
 (onde 3 é antecedente e 7 conseqüente) 
 
 Se invertermos , a razão entre 7 e 3 será 
7
3
 , 
 (agora 7 é antecedente e 3 conseqüente) 
 
b) A razão entre 4 e 2 = 2, a razão entre 2 e 4 = 
2
4
 = 
1
2
 
 
c) A razão entre 
3
2
 e 
8
9
 = 
2
3
 : 
8
9
 = 
27
16
 
 
 
 
 
6.2. Proporção 
 
 É uma igualdade entre duas razões. 
 
Exs.: 
A proporção a seguir pode ser representada da seguinte 
maneira: 
 
 
 
Lê-se: 3 está para 2 assim como 9 está para 6 
Nesta proporção, o 3 e 6 são extremos e o 2 e o 9 são 
meios. 
 
 
 
5.2.1. Propriedade fundamental das proporções 
 
 
 “O produto dos meios é igual ao produto dos extremos” 
 
Ex.: 
3
2
 = 
6
4
  2 · 6 = 3 · 4 
 = 12 
 
Generalizando: 
 
 
 
 
 
Obs. A recíproca também é verdadeira 
 
 a · d = b · c  
a
b
 = 
c
d
 
 
Exs.: 
 
a) Calcule o valor de “x”. 
 
x
2
 = 
10
4
 = x · 4 = 2 · 10 
 4x = 20 
 x = 5 
 
 
b) Calcule o valor de “y”. 
 
9
2
 = 
y
0,2
 = 2 · y = 9 · 0,2 
 2y = 1,8 
 y = 0,9 
 
 
6.3. Números proporcionais 
 
 Duas seqüências de números são proporcionais 
quando a razão entre dois números correspondentes de 
cada uma das seqüências for sempre a mesma. 
 Os números proporcionais são divididos em 2 grupos: 
os diretamente proporcionais e os inversamente 
proporcionais. Há também um outro grupo que não 
pertence a esses chamados números não proporcionais. 
 
6.3.1. Números diretamente proporcionais 
 
 Dada uma seqüência 
 a; b; c; d; ... e a’; b’ ; c’ ; d’; ... então: 
 
 
a
a´
 = 
b
b´
 = 
c
c´
 = 
d
d´
 = .... = k onde 
 
 
 k = constante de proporcionalidade 
 
Ex: Considere as seqüências 
 
 2; 4; 8; 16; 32 e 3; 6; 12; 24; 48 
 
 2
3
 = 
4
6
 = 
8
12
 = 
16
24
 = 
32
48
 = 
𝟐
𝟑
 
 
 
2
3
 é a constante de proporcionalidade. 
 
 
𝐚
𝐛
 = 
𝐜
𝐝
  a x d = b x c 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 18 
 
 
 Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências 
são diretamente proporcionais devido apresentarem 
sempre como resultado a razão entre as grandezas 
relacionadas 
𝟐
𝟑
 
 
 
6.3.2. Números inversamente proporcionais 
 
 Dada uma seqüência 
 a; b; c; d; ... e a’; b’ ; c’ ; d’; ... então: 
 
a
1
a´
 = 
b
1
b´
 = 
c
1
c´
 = 
d
1
d´
 = .... = k onde 
 
 a · a´ = b · b´ = c · c´ = d · d´ = .... = k 
 
Ex.: Considere as seqüências 2; 4; 8; 16; 32 e 48; 24; 12; 6; 
3 
 
 
2
1
48
 = 
4
1
24
 = 
8
1
12
 = 
16
1
6
 = 
32
1
3
 = .... = k onde 
 
 2 · 48 = 4 · 24 = 8 · 12 = 16 · 6 = 32· 3 = 96 
96 é a constante de proporcionalidade. 
Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências são 
inversamente proporcionais. 
 
Exercícios 
 
1.(SENAI) Dos 1.200 funcionários de uma empresa, 60% têm 
idade superior a 30 anos. Se entre o número de homens e o 
de mulheres com idade superior a 30 anos a razão é de 3 
homens para 2 mulheres, pode-se afirmar que a quantidade 
de mulheres com idade superior a 30 anos nessa empresa é 
a. 288. 
b. 296. 
c. 312. 
d. 360. 
e. 374. 
 
2. (Trajano 2008) É possível combater o vibrião colérico 
com o uso de uma solução aquosa de hipoclorito de sódio 
(NaClO) a uma concentração mínima de 0,11g/L. A massa de 
hipoclorito de sódio necessária para se preparar 10 litros 
dessa solução, expressa em miligramas, é 
(A) 0,11. 
(B) 1,10. 
(C) 110. 
(D) 1 100. 
(E) 11 000. 
 
 
 
3.(Trajano 2008) 
 
Se o temor de Eva, a personagem da cena apresentada, se 
confirmar, e os três dias de espera forem venusianos, então 
na Terra terão se passado (Obs. Desconsidere o ano bissexto) 
(A) 1 ano, 10 mesese 19 dias. 
(B) 1 ano, 11 meses e 29 dias. 
(C) 2 anos e 2 dias. 
(D) 2 anos e 5 dias. 
(E) 2 anos e 9 dias. 
 
4.(PSS-SEE/SP) O gráfico abaixo indica o preço em reais de 
cada bolsa que uma fábrica produz, de acordo com o 
número de bolsas compradas pelas lojas. 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 19 
 
 
Considere as afirmações abaixo: 
 
I. As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. 
II. As grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. 
III. As grandezas não são nem diretamente e nem 
inversamente proporcionais. 
IV. Analisando a relação existente entre as grandezas 
envolvidas, percebemos que, quando há aumento de 
uma, ocorre uma diminuição da outra. 
 
Dentre essas afirmações: 
a) Apenas a I está correta. 
b) Apenas a II está correta. 
c) Apenas a III está correta. 
d) I e IV estão corretas. 
e) III e o IV estão corretas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 20 
 
7. REGRA DE TRÊS 
 
7.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Regra de três simples é um processo prático para resolver 
problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos 
três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos 
três já conhecidos. 
 Passos utilizados numa regra de três simples: 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma 
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de 
espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m
2
, uma 
lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 
watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m
2
, 
qual será a energia produzida? 
 Solução: montando a tabela: 
Área (m
2
) Energia (Wh) 
1,2 400 
1,5 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar 
aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são diretamente 
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo 
sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e 
resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 
 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto 
tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse 
de 480km/h? 
 Solução: montando a tabela: 
Velocidade 
(Km/h) 
Tempo (h) 
400 3 
480 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso 
diminui. 
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), 
podemos afirmar que as grandezas são inversamente 
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido 
contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e 
resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 
minutos. 
 
 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela 
pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? 
 Solução: montando a tabela: 
Camisetas Preço (R$) 
3 120 
5 x 
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço 
aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são diretamente 
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
 
Logo, a Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas. 
 
 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, 
realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de 
serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o 
mesmo trabalho? 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 21 
 
 Solução: montando a tabela: 
Horas por 
dia 
Prazo para término 
(dias) 
8 20 
5 x 
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por 
dia, o prazo para término aumenta. 
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são inversamente 
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
 
 
7.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
A regra de três composta é utilizada em problemas com 
mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais. 
 Exemplos: 
 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m
3
 de 
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários 
para descarregar 125m
3
? 
 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna 
as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as 
grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
 Identificação dos tipos de relação: 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna 
que contém o x (2ª coluna). 
 
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela 
onde está o x. 
 Observe que: 
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos 
diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é 
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o 
número de caminhões. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos 
igualar a razão que contém o termo x com o produto das 
outras razões de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
 
 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 
carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 
4 homens em 16 dias? 
 Solução: montando a tabela: 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 Observe que: 
 Aumentando o número de homens, a produção de 
carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). 
 Aumentando o número de dias, a produção de 
carrinhos aumenta. Portanto a relação também é 
diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). 
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o 
produto das outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
 
 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro 
com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a 
altura para 4m, qual será o tempo necessário para 
completar esse muro? 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna 
que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 22 
 
para as grandezas diretamente proporcionais com a 
incógnita e discordantes para as inversamente 
proporcionais, como mostra a figura abaixo: 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 
 
 Exercícios complementares 
 Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando 
fazer esses exercícios: 
 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. 
Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? 
Resposta: 6 horas. 
 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 
dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas 
de carvão? Resposta: 35 dias. 
 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 
18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo 
levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por 
dia,para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 
 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, 
viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 
km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para 
entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 
60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 
 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 
5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. 
Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de 
largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 
metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 23 
 
8. PORCENTAGEM E PROBLEMAS DE 
...APLICAÇÃO. 
Porcentagem é uma razão centesimal, ou seja, o 
denominador é igual a 100. 
 
Ex.: 
25
100
 que se indica por 25% 
 
Existem dois métodos para se calcular porcentagem: 
a) Fração de um valor: Multiplica-se a fração pelo valor. 
Ex: Calcule 20% de 45 
 
 
20
100
 · 45 = 
900
100
 = 9 
 
 Portanto 20% de 45 é igual a 9 
b) Regra de Três Simples e direta: Comparação entre duas 
grandezas diretamente proporcionais 
Ex: Calcule 30% de 70 
 
Estamos comparando porcentagem e valor. 70 é o valor 
total portanto equivale a 100%. 
 100 % ............ 70 
 20% ................ x 100· x = 20 ·70 
 100 x = 1400 
 
 x = 
1400
100
 
 
 x = 14 
 
Obs.: É mais conveniente resolver por regra de três, pois 
serve para todos os casos. 
8.1. PROBLEMAS DE APLICAÇÃO – LUCROS E 
......PREJUÍZOS 
Todo comerciante compra uma certa mercadoria 
por um determinado preço, que é chamado de preço de 
custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro 
ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi 
passada ao mercado consumidor. 
 Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra 
e venda de mercadorias, temos os seguintes casos 
distintos: 
» porcentagem (%) sobre venda 
 » porcentagem (%) sobre custo 
E porque ter noção desta distinção?? Ela se torna 
muito importante na resolução de problemas envolvendo 
dinheiro. 
 
8.1.1. Porcentagem sobre o preço de custo 
 Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou prejuízo) é 
calculado, em bases percentuais, em cima do preço de 
custo do produto adquirido, temos o que é chamado de 
porcentagem sobre o custo. Este é o processo normal, e que 
é usado e adotado no mercado comercial..................... 
 
 Desta forma, se um comerciante ou pessoa física, 
compra um determinado produto por um valor de R$ 
200,00 (preço de custo) e este for ser revendido com um 
lucro de 30%, isto quer dizer que nesta operação o lucro em 
espécie da operação é de R$ 30,00 (lucro) para cada valor 
de R$ 100,00 do preço do custo. 
 
Acompanhe o raciocínio: 
Custo Lucro 
R$ 100,00 R$ 30,00 
R$ 100,00 R$ 30,00 
Custo total = R$ 200,00 Lucro total = R$ 60,00 
 
Através de um cálculo da regra de três , temos: 
R$ 200,00 .............. 100% 
 X .................... 30% 
 X = 
200 x 30
100
 
 X = 
6000
100
 
 X = R$ 60,00 (valor do lucro total na 
operação) 
Em toda operação, envolvendo problemas 
relacionados com porcentagem sobre o custo do produto, 
as partes obrigatórios de cálculos na operação são: 
» Venda 
 » Custo 
 » Lucro (ou prejuízo, conforme operação) 
Para que haja uma memorização melhor sobre 
estes elementos fundamentais de cálculo sobre 
porcentagem de custo, observe: 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 24 
 
C = CUSTO 
V = VENDA 
L = LUCRO 
P = PREJUÍZO 
 
Dicas importantes! 
1. O preço de custo (ou preço de compra) é sempre igual a 
100% (cem por cento) 
2. A venda do produto (com prejuízo na operação) é 
sempre igual ao preço de custo menos o prejuízo, da 
seguinte forma: 
 C – P = V ou V = C – P 
100% - 30% = 70% 70% = 100% - 30% 
3. a venda do produto (com lucro na operação) é sempre 
igual à soma do custo mais o lucro, da seguinte forma: 
 C + L = V ou V = C + L 
100% + 30% = 130% 130% = 100% + 
30% 
 
 
 
Exs.: 
a) Qual o preço que é possível vender um produto que 
teve seu custo de R$ 700,00, para se ter um lucro final 
de 15%? 
Solução: 
C * L = V » 100% + 15% = 115% 
R$ 700,00 ................ 100% (custo da operação) 
....................X ........................ 115% (venda da operação) 
 X = 
115 x 700
100
 
X = 
80500
100
 = R$ 805,00 
O valor do produto será de R$ 805,00 
 b) Qual o preço que é possível vender um produto que teve 
seu custo de R$ 300,00, para se ter um lucro final de 50%? 
Solução: 
C * L = V » 100% + 50% = 150% 
R$ 300,00 .............. 100% (custo da operação) 
 X ...................... 150% (venda da operação) 
 X = 
150 x 300
100
 
 X = 
45000
100
 = R$ 450,00 
Resposta:O valor do produto será de R$ 450,00 
 
c) Uma pessoa vendeu um automóvel pelo valor de 
R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte por cento) 
sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta 
operação? 
Solução: 
C + L = V » 100% + 20% = 120% 
25.000 ................. 120% (venda da operação) 
 X .................... 20% (lucro da operação) 
 X = 
25000 x 20
120
 
 X = 
500.000
120
 = R$ 4.166,67 (valor 
arredondado) 
 
Resposta: O lucro da operação foi de R$ 4.166,67 
 
d) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%. 
Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operação 
foi de R$ 250,00. 
 
Solução: 
C + L = V -à 100% + 35% = 135% 
250 ................ 35% (lucro da operação) 
 X .................... 135% (venda da operação) 
X = 
135 x 250
35
 
X = 
33750
35
 = R$ 964,29 (valor 
arredondado) 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 25 
 
Resposta: O valor da venda foi de R$ 964,29 
 
e) Uma casa foi comprada por R$ 20.000,00, e revendida 
em sucessivos negócios com lucros seqüentes de 15%, 25% 
e 30%. Nesta operação, qual foi o último preço de venda da 
casa? 
Solução: 
 1ª operação de venda (15% de lucro) ### 
 C + L = V » 100% + 15% = 115% 
 20.000 .............. 100% (custo da operação) 
 X ................. 110% (venda da operação) 
 X = 20.000 . 110 / 100 = R$ 22.000,00 
 .... 
2ª operação de venda (25% de lucro) 
 C + L = V » 100% + 25% = 125% 
(valor da casa R$ 22.000,00) 
22.000 ............... 100% (custo da operação) 
 X ................... 125% (venda da operação) 
X = 22.000 . 125 / 100 = R$ 27.500,00 
 .... 
3ª operação de venda (30% de lucro) 
 C + L = V » 100% + 30% = 130% 
(valor da casa R$ 27.500,00) 
 
 27.500 ............ 100% (custo da operação) 
......................X ................ 130% (venda da operação) 
 X = 
27500 x 130
100
 = R$ 35.750,00 
 Resposta: O valor final da casa foi de R$ 35.750,00 
 
f) Uma pessoa vendeu um aparelho de som que custou 
R$ 1.200,00 com 40% de prejuízo sobre o custo. Qual foi o 
prejuízo desta operação? 
 Solução:1.200 ........... 100% (custo da operação) 
.......................X ............ 40% (prejuízo da operação) 
 X = 
1200 x 40
100
 
 X = 
48000
100
 = R$ 480,00 
Resposta: O prejuízo desta operação foi de R$ 
480,00. 
Exercícios 
1.(SENAI) Um vendedor ambulante vende, diariamente, 50 
unidades de churrasco grego acompanhado de um copo de 
suco. O churrasco mais o copo de suco são vendidos por R$ 
1,50. O custo do referido produto (churrasco mais suco) é de 
R$ 0,90. Se o vendedor trabalhar dez dias consecutivos nessas 
condições, o lucro obtido corresponderá a 
a. R$ 1.200,00. 
b. R$ 900,00. 
c. R$ 750,00. 
d. R$ 550,00. 
e. R$ 300,00. 
 
 
2. (SENAI 2008) Um comerciante descontou em um banco um 
cheque pré-datado para trinta dias no valor de 
R$ 12.000,00. Se o banco utiliza uma taxa de desconto de 5,2% 
ao mês, o valor líquido recebido 
pelo comerciante foi de 
a. R$ 11.994,80. 
b. R$ 11.376,00. 
c. R$ 9.692,30. 
d. R$ 6.952,80. 
e. R$ 5.760,00. 
 
 
3. (SENAI 2008) Para participar de uma novela, uma atriz 
que pesava 100 kg em 1º de março de 2006, submeteu-se a 
um regime alimentar. O resultado obtido foi tal que o seu 
peso, a cada mês, sofreu uma perda de 10% em relação ao 
seu peso do mês anterior. Nessas condições, em 1º de 
junho de 2006, a atriz passou a “pesar”. 
Nota: o termo “peso” corresponde a massa. 
a. 58,6 kg. 
b. 60,0 kg. 
c. 65,4 kg. 
d. 70,0 kg. 
e. 72,9 kg. 
 
4.(Trajano 2008) Na sua edição de 27 de julho de 2008, o 
jornal Folha de S. Paulo divulgou uma pesquisa sobre o 
perfil do jovem brasileiro, a qual apresenta indicadores que 
contribuem com os estudos sobre a exclusão social no 
Brasil. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 26 
 
Para a pergunta “Você estuda?”, os dados obtidos foram: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para os jovens que estudam foi feita a pergunta “Em que 
ano você está?”, e os dados obtidos foram: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com os dados fornecidos e admitindo que há 
cerca de 35 milhões de jovens brasileiros, então o número 
de jovens brasileiros que estão no Ensino Superior é 
(A) 3 430 000. 
(B) 3 570 000. 
(C) 4 000 000. 
(D) 7 000 000. 
(E) 8 918 000. 
 
5.(Trajano 2007) Analise o texto e a tabela a seguir. 
 A possibilidade de ser mais ou menos cidadão depende, 
em larga medida, do ponto do território onde se vive. 
Muitos moradores da periferia tornam-se cidadãos 
incompletos por terem menos acesso aos serviços urbanos 
e direito à cidade como um todo. Morar na periferia é se 
condenar duas vezes à 
pobreza: além das desigualdades socioeconômicas, o pobre 
sofre com a má distribuição territorial dos serviços públicos 
como saúde, educação, segurança e lazer. 
(Adaptado de: SANTOS, Milton. O espaço do cidadão. São Paulo, Nobel, 
1987, pp. 81 e 115.) 
 O município do Rio de Janeiro pode ser dividido em 
três grandes zonas. Nas Zonas 1 e 2 (formadas 
respectivamente pelo centro histórico e seis bairros nobres 
com melhor poder aquisitivo) o território e a quantidade de 
moradores são muito menores do que os da Zona 3 
(formada por cerca de trinta bairros, em geral periféricos e 
com pior poder aquisitivo). 
 
 
 
 De acordo com as idéias do texto e as informações 
auxiliares, é correto afirmar que 
 
(A) a distribuição territorial desses equipamentos de lazer 
atende com justiça e igualdade às necessidades de 
todos os moradores do município. 
(B) os moradores das Zonas 1 e 2 são cidadãos privilegiados 
entre os moradores restantes do município, pois 
estes últimos fi cam mal servidos territorialmente de 
diversas oportunidades de lazer. 
(C) os moradores da Zona 3 podem ser considerados mais 
cidadãos por terem mais facilidade de acesso às 
múltiplas oportunidades de lazer do município. 
(D) os moradores da Zona 2 são menos cidadãos e sofrem 
duas vezes com a pobreza, pois são contemplados 
territorialmente com menos oportunidades de lazer que os 
outros moradores do município. 
(E) a distribuição territorial desigual dos equipamentos de 
lazer não agrava a pobreza e não interfere nos direitos 
de exercício de cidadania dos moradores do município. 
 
 
 
 
 
6.(PSS-SEE/SP) Em um determinado condomínio, paga-se 
atualmente um salário mensal de R$ 1418,00 para um 
zelador. Com todos os encargos, esse funcionário custa ao 
condomínio R$ 2392,00. Após uma análise de mercado e 
algumas reflexões junto à associação de trabalhadores que 
representa essa classe, a empresa administradora concluiu 
que deveria atualizar esse salário em 4,5% referentes ao 
ano de 2007, e mais 4% referentes ao ano de 2008. 
A taxa de reajuste do salário do zelador, após essas 
atualizações, será: 
a) 8,5%. 
b) Maior que 8,5%. 
c) 16,5%. 
d) 18%. 
e) Maior que 18%. 
 
 
 
Nível de Ensino Porcentagem 
Ensino Médio 52% 
Ensino Superior 20% 
Ensino Fundamental 16% 
Cursinho 4% 
Pós-graduação 2% 
Supletivo 2% 
Outras 4% 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 27 
 
9. EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS 
....PROBLEMAS DE APLICAÇÃO 
9.1. Equação do 1º grau 
 É toda equação do tipo ax + b = 0, com a  *, e b  
. 
Para determinar a solução de uma equação do 1º grau, 
procedemos assim: 
 ax + b = 0  ax = - b  
 
 Logo, S = - 
b
a
 
9.1.1. Problemas de aplicação 
 
 
9.2. Equação do 2º grau 
 
 Toda equação na variável x do tipo ax2 + b + c = 0, 
com a  *, b  e c  
 
 Discriminante:  = b
2
 - 4ac 
Se  > 0 ou  = 0 , Então x1 e x2 são as raízes da 
equação. 
 
 Para calcularmos as raízes fazemos: 
 
x1 e x2 =
−𝑏± 
2𝑎
 , sabendo que 
 
 
Exs. 
(1º Tipo)  > 0 
 
» Resolva a equação: x2 – 7x + 12= 0 
1º Passo : 
» Determinar os coeficientes a, b, e c em x2 – 7x + 12= 
0 
a = 1 
b = -7 
c = 12 
2º Passo: 
» Substituir esses coeficientes no discriminante:  = b
2
 - 4ac 
 = b2 - 4 a c 
 = ( -7 )2 - 4 ( 1 ) · (12 ) 
 = 49 – 48 
 = 1 
3º Passo : 
» Observar o valor de “” e verificar se tem raiz(es) reais 
Podemos observar que  = 1 , 
 
então  >0, a equação terá duas raízes diferentes 
 
4º Passo : 
» Calcular essa(s) raízes... 
x1 e x2 =
−𝑏± 
2𝑎
 
x1 e x2 =
− −7 ± 1
2( 1)
 
x1 e x2 =
7 ±1
2
 
 x1 = 
7+1
2
  x1 = 
8
2
  x1 = 4 
 x2 = 
7−1
2
  x2 = 
6
2
  x2 = 3 
 
5º Passo : 
» Representar a resposta: 
 
 S = { -3, 4 } 
 
(2º Tipo)  = 0 
 
» Resolva a equação: x2 – 8x + 16= 0 
1º Passo : 
» Determinar os coeficientes a, b, e c em x2 – 8x + 16 = 
0 
a = 1 
b = -8 
c = 16 
2º Passo: 
» Substituir esses coeficientes no discriminante:  = b
2
 - 4ac 
x = - 
𝐛
𝐚
 
Obs. Quando não “aparecer 
um número na frente do “ x
2 
”, 
ou do “x” devemos lembrar 
que lá está o 1. 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 28 
 
 = b2 - 4 a c 
 = ( -8 )2 - 4 ( 1 ) · (16 ) 
 = 64 – 64 
 = 0 
3º Passo : 
» Observar o valor de “” e verificar se tem raiz(es) reais 
Podemos observar que  = 0 , 
 
então  = 0, a equação terá duas raízes iguais 
 
4º Passo : 
» Calcular essa(s) raízes caso existam... 
x1 e x2 =
−𝑏± 
2𝑎
 
x1 e x2 =
− −8 ± 0
2( 1)
 
x1 e x2 =
8 ±0
2
 
 x1 = 
8+0
2
  x1 = 
8
2
  x1 = 4 
 x2 = 
8−0
2
  x2 = 
8
2
  x2 = 4 
 
5º Passo : 
» Representar a resposta: 
 
S = { 4 } 
(3º Tipo)  < 0 ( negativo) 
 
» Resolva a equação: 3x2 – 4x + 2= 0 
1º Passo : 
» Determinar os coeficientes a, b, e c em 3x2 – 4x + 2= 
0 
a = 3 
b = -4 
c = 2 
2º Passo: 
» Substituir esses coeficientes no discriminante:  = b
2
 - 4ac 
 = b2 - 4 a c 
 = ( -4 )2 - 4 ( 3 ) · (2 ) 
 = 16 – 24 
 = -8 
3º Passo : 
» Observar o valor de “” e verificar se tem raiz(es) reais 
Podemos observar que  = -8 ,então  < 0, a equação não admite raízes reais 
 “ negativo” 
 
 
4º Passo : 
» Representar a resposta: 
 
S = { } 
 
Resumindo 
 > 0  duas raízes reais diferentes 
 = 0  raízes reais e iguais 
 
 < 0  não possui raízes reais 
 
9.2.1. Problemas de aplicação 
1.(SENAI 2008) Na temporada do verão passado, um 
comerciante vendeu picolés, cuja renda (p) em reais, no 
final de cada dia, varia de acordo com a expressão p = x
2
 - 
11x - 10, em que x indica a quantidade de picolés vendidos 
no dia. Se num determinado dia, a renda final foi de R$ 
200,00, pode-se afirmar que o comerciante vendeu naquele 
dia 
a. 12 picolés. d. 21 picolés. 
b. 15 picolés. e. 27 picolés. 
c. 19 picolés. 
 
 
2.(Trajano 2008) Considere um número inteiro positivo tal 
que quatro quintos da soma desse número com 36 é igual à 
diferença entre o dobro desse número e 6. A soma dos 
algarismos do número considerado é 
(A) 11. (B) 12. (C) 13. (D) 14. (E) 15. 
 
 
 
3.(PSS-SEE/SP) Deseja-se construir uma calçada 
contornando-se dois lados consecutivos de um jardim cuja 
forma é 
retangular, conforme mostra a figura abaixo: 
Obs.: Podemos representar 
um único número, pois as 
respostas são iguais 
Obs.: Podemos também 
representar o conjunto 
vazio desta forma: S =  
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 29 
 
 
 
 
 
 
 
Deseja-se que a calçada ocupe uma área de 15m². A 
equação que permite calcular o valor de x é: 
 
a) x² − 9x + 15 = 0. 
b) x² − 15x + 10 = 0. 
c) x² − 15x + 20 = 0. 
d) x² − 20x − 15 = 0. 
e) x² − 9x − 20 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 30 
 
10. SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
....DO 1º GRAU 
10.1. Métodos de resolução de sistemas de 
equações do 1º grau 
 
 Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a 
escolha pelo método mais rápido de resolução. 
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é 
o método da adição. 
 
10.1.1. Método da adição 
 
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma 
incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a 
membro as duas equações recai-se em um equação com 
uma única incógnita. 
 
Ex: 
 
 
 
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para 
podermos cortar –2x com 2x 
 
 
 
2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações 
acima e encontrar o valor de x. 
 
 
 
3º passo: dar a solução do sistema. 
 
S = { (4, -2) } 
 
10.1.2. Método da substituição 
 
Este método consiste em isolar uma incógnita numa 
equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, 
recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única 
incógnita. 
 
Ex: 
 
 
 
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para 
podermos substituir na Segunda equação. 
 
 
 
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para 
encontrar o valor de x. 
 
 
 
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o 
valor de y. 
 
y = 6 – 2x 
y = 6 – 2.4 
y = 6 – 8 
y = -2 
 
4º passo: dar a solução do sistema. 
 
S = { (4, -2) } 
 
10.1.3. Método da comparação 
Esse método consiste em compararmos as duas equações 
do sistema, após termos isolado a mesma variável ( x ou y) 
nas duas equações: 
Ex.: 
Resolver o sistema pelo método da comparação 
 x + 2y = 2 
 x + y = 3 
 
1º passo: vamos isolar as mesmas variáveis nas duas 
equações 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 31 
 
 x + 2y = 2 »isolando “x” temos x = 2 - 2y 
 x + y = 3 »isolando “x” temos x = 3 - y 
2º passo: vamos igualar essas variáveis e calcular o valor de 
x 
Exercícios 
1.(Trajano 2008) Imagine que antes de posar para a foto de 
família, o pai, não resistindo à tentação diante de um 
maravilhoso bolo recheado e de uma divina torta de limão, 
comeu uma e meia fatia de bolo recheado e duas fatias de 
torta de limão, consumindo 1 482 quilocalorias. Por sua vez, 
a mãe comeu meia fatia do mesmo bolo e três quartos de 
uma fatia da mesma torta, consumindo 606 quilocalorias. 
Preocupada com o abuso das iguarias consumidas, a mãe se 
perguntou: “Quantas quilocalorias tem uma fatia de bolo 
recheado? E quantas tem uma fatia de torta de limão?” 
Para resolver o problema, a mãe montou um sistema de 
duas equações, representando por b a quantidade de 
quilocalorias de uma fatia do bolo recheado e por t a 
quantidade de quilocalorias de uma fatia da torta de limão, 
levando em consideração que o bolo foi fatiado 
uniformemente e a torta também. 
Assim sendo, o sistema que ela montou é equivalente ao 
sistema 
(A) 3b + 4t = 1 482 
 b + 2t = 1 212 
 
(B) 3b + 4t = 2 964 
 2b + 3t = 2 424 
 
(C) 3b + 4t = 1 212 
 b + 3t = 2 964 
 
(D) 3b + 2t = 2 964 
 b + 2t = 1 212 
 
 3b + 2t = 1482 
(E) b + 3t = 606 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 32 
 
11. PLANO CARTESIANO 
11.1. INTRODUÇÃO 
 
Traçando dois eixos – Ox, ao qual chamaremos de eixos das 
abscissas, e Oy, que chamaremos eixos das ordenadas – de 
forma que ambos se interceptem perpendicularmente em 
O, o plano sobre o qual construímos esses eixos fica dividido 
em quatro quadrantes. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 Todos os pontos do plano poderão ser identificados 
por dois valores ordenados que chamamos par ordenado e 
representamos por ( x, y ). Assim, para todo ponto no 
plano cartesiano temos um par ordenado, e para todo par 
ordenado temos um ponto correspondente no plano. 
 Essa correspondência chamaremos de sistema cartesiano 
ortogonal e o plano será chamado de plano cartesiano ( o 
termo ortogonal refere-se ao perpendicularismo entre os 
eixos). Vamos ver os pontos do plano correspondentes aos 
pares ordenados A(3,1), B(-2,3), C(-4,-3), D(0,-2) e E(-5,0) 
 
EXERCÍCIOS 
1. (COTIL 2002) Observando o plano cartesiano a seguir, 
dê os pares ordenados de cada ponto representado no 
gráfico. 
 
COTIL ( , ) 
Restaurante ( , ) 
Cantina ( , ) 
Gráfica ( , ) 
 
2.(SENAI) Um mapa rodoviário foi desenhado sobre o sistema 
de coordenadas cartesianas, para localizar uma reserva 
florestal. O segmento AB indica um trecho da rodovia principal, 
o segmento AC a estrada de acesso à reserva e M é o ponto 
médio de AB. No mapa, a estrada AC mede, em quilômetros, 
 
 
 
a. 4. c. 6. e. 8. 
b. 5. d. 7. 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 33 
 
12. FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
12.1.Definição 
 
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função 
afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da 
forma 
f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. 
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de 
coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. 
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
 
12.2.Gráfico 
 
 O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + 
b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. 
 Exemplo: 
 Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: 
 Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus 
pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: 
 a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um 
ponto é (0, -1). 
 
 b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x = 
1
3
 e 
outro ponto é ( 1
3
 , 0 ) 
 Marcamos os pontos (0, -1) e ( 1
3
 , 0 ) no plano 
cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 
x y 
0 -1 
 
0 
 
 
 Já vimos que o gráficoda função afim y = ax + b é uma 
reta. 
 O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da 
reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da 
reta em relação ao eixo Ox. 
 O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da 
reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente 
linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1.(SENAI 2008) A função horária de um ponto material é 
dada por S = 15 - 3 t, com t em segundos e S em metros. 
Podemos afirmar que o ponto material passa pela origem 
dos espaços no instante igual a 
a. 3 s. 
b. 4 s. 
c. 5 s. 
d. 6 s. 
e. 10 s. 
 
 
2.(SENAI 2008) Duas forças horizontais, de sentidos 
opostos, com intensidades 10 e 15 N, atuam num corpo que 
está livre de atrito e que tem massa de 2,5 kg. A aceleração 
que a força resultante imprime ao corpo é, em m/s
2
, de 
a. 1,5. 
b. 2,0. 
c. 4,0. 
d. 5,0. 
e. 7,5. 
 
3.(SENAI 2008) A energia mecânica de um sistema 
conservativo é de 180 J. Se num dado instante a energia 
cinética é de 120 J, a energia potencial é, nesse mesmo 
instante, de 
a. 180 J. 
b. 120 J. 
c. 100 J. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 34 
 
d. 80 J. 
e. 60 J. 
 
 
4.(TRAJANO 2008) Imaginando-se que o barco de Hagar 
desloque-se por um mar, onde a densidade da água é 
constante em qualquer ponto, pode-se afirmar que a força 
de empuxo que age no navio 
(A) diminui com o aumento da carga transportada. 
(B) diminui com a diminuição da carga transportada. 
(C) aumenta com a diminuição de carga transportada. 
(D) aumenta o espaço percorrido devido ao aumento de 
velocidade média. 
(E) diminui a velocidade média, provocando uma 
diminuição no espaço percorrido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 35 
 
13. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
13.1.Definição 
 
 Função exponencial é uma função na qual a 
variável (incógnita) se encontra no expoente. 
 
 A função exponencial pode ser escrita de forma geral, 
veja como: 
 
 f : R → R*+ tal que f(x) = a
x
, sendo que a R*+ e a ≠ 1. 
 
 
 Essa representação significa: dada uma função dos 
reais para os reais positivos, menos o zero, sendo que a 
função exponencial terá base “a” onde “a” só poderá 
assumir valores positivos diferentes de zero e diferentes 
de 1. 
 
 
Veja alguns exemplos de funções exponenciais: 
 
f(x) = 3
x
, função exponencial de base 3 e expoente x 
(variável). 
 
f(y) = 3
 y
, função exponencial de base 3 e expoente y 
(variável). 
 5 
 
f(x) = 0,5
x
, função exponencial de base 0,5 e expoente x 
(variável). 
 
f(x) = , função exponencial de base 5 e expoente x 
(variável). 
 
 
 
 
13.1. Gráfico de função exponencial 
 
 A construção de gráficos de função exponencial segue 
dois modelos, quando o valor da base é maior que 1 e 
quando o valor da base está entre 0 e 1. Veja esses modelos 
esboçados: 
 
 Dada a função f(x) = a
x
, veja como ficarão os 
gráficos dependendo do valor de a (base). 
 
 
 
• Esse gráfico representa uma função exponencial 
crescente onde a > 1. 
 
 
• Imagem e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio 
dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da 
imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre 
(quando o valor da base é maior que 1) um valor real 
positivo diferente de zero. 
 
 
 
• Esse gráfico representa uma função exponencial 
decrescente onde 
0 < a < 1. 
 
• Imagem e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio 
dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da 
imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre 
(quando o valor da base é maior que 1) um valor real 
positivo diferente de zero. 
 
 Os dois tipos de gráficos possuem características 
semelhan-tes, essas são características para qualquer 
gráfico de função exponencial. 
 
• O gráfico (curva) nunca irá interceptar o eixo x, pois a 
função exponencial não possui raiz. 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 36 
 
 
• O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será 
no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão 
positivos. 
 
EXERCÍCIOS 
1.(SENAI 2008) O volume d’água que resta, após abrir o 
registro de uma caixa completamente cheia d’água, pode 
ser obtido por meio da expressão: V = 900 ( 
2
3
 )t - 2, em que 
V indica o volume em litros d’água que resta na caixa após o 
registro ficar aberto t minutos. O tempo para que restem na 
caixa 600 L é 
a. 2,0 minutos. 
b. 2,6 minutos. 
c. 2,8 minutos. 
d. 3,0 minutos. 
e. 3,5 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 37 
 
14. ELEMENTOS FUNDAMENTAIS 
DA ...GEOMETRIA PLANA E 
SEMELHANÇA ...DE FIGURAS 
PLANAS. 
 
14.1. Introdução a geometria 
14.1.1. Conceitos primitivos 
 São conceitos que não tem definição, aceitamos como 
verdadeiro para a partir disso formar uma teoria. 
a) Ponto: Ponto não tem definição, apenas uma idéia 
intuitiva. O ponto é adimensional, isto é, não tem 
dimensão, e podemos representá-lo por uma letra 
maiúscula do nosso alfabeto. 
 
 
 Exs.:  A ( Ponto “A”) 
 
  G 
 
 
 
b) Reta: Podemos ter uma idéia de uma reta como infinitos 
pontos alinhados. A reta é unidimensional, uma 
dimensão, e podemos representá-la por uma letra 
minúscula do nosso alfabeto, ou por dois de seus 
pontos. 
 
Exs.: 
 
 ou 
 
 
 
 
 
c) Plano: Podemos ter uma idéia de plano como sendo uma 
superfície plana de tamanho infinito. O plano é 
bidimensional, duas dimensões, e podemos representá-
lo por uma letra minúscula do alfabeto grego. 
 
Ex. 
 
 α 
 
 Plano Alfa 
 
 
 
Ponto, reta e plano relacionam-se entre si de certas 
proprie-dades não demonstráveis, chamadas postulados. 
Entre os postulados da geometria plana, é importante que 
você guarde os dois seguintes: 
 
 Toda reta é formada por infinitos pontos. 
 Todo plano contém infinitas retas e também infinitos 
pontos 
 
 
14.1.2. Elementos básicos 
 
a) Semi-reta: Dada uma reta qualquer, um ponto dessa 
reta divide a mesma em duas semi-retas. 
 
Ex. 
 
 
Indica-se AB 
 
b) Segmento de reta: Dada uma reta qualquer e dois pontos 
dessa reta, o segmento e a região limitada entre esses dois 
po 
 
 Ex. 
 
 
 Indica-se AB 
 
c) Semiplano: Sabemos que um plano contém infinitas 
retas. Com uma reta r, dividimos o plano em dois 
conjuntos de pontos, situados cada um em um dos “lados 
da reta” 
 Chama-se semiplano (de origem r) cada um dos 
conjuntos de pontos em que um plano fica dividido por 
uma reta r, incluindo a própria reta. 
 
 Ex. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Pré-vestibulinho 
 
Resumo teórico 38 
 
14.2. Ângulos 
 
14.2.1. Definição 
 
 Ângulo é a região formada por duas semi-retas a partir 
da mesma origem. Cada semi-reta é chamada de lado do 
ângulo e o ponto de origem é denominado vértice. 
 
 â = ângulo 
 
 OA = semi-reta 
 
 OB = semi-reta 
 
Podemos também representar o ângulo como: 
 AÔB, BÔA ou Ô.