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pré - cálculo IFRS

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Prévia do material em texto

Curso 
de 
Pré-Cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alexsandro Cristovão Bonatto (Organizador) 
Eric Robalinho 
Daniela Haas 
Diana Vega Marona 
Fernanda Krüger Tomaschewski 
Silvane Verch 
 
Porto Alegre 
2016 
1ª edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Pré-Cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
Alexsandro C. Bonatto (Organizador) 
Eric Robalinho 
Daniela Haas 
Diana Vega Marona 
Fernanda Krüger Tomaschewski 
Silvane Verch 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Pré-Cálculo 
 
 
 
 
 
Alexsandro C. Bonatto (Organizador) 
Eric Robalinho 
Daniela Haas 
Diana Vega Marona 
Fernanda Krüger Tomaschewski 
Silvane Verch 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul 
Campus Restinga 
Porto Alegre – RS – Brasil 
2016 
 
 
Copyright © 2016 de Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do 
Rio Grande do Sul (IFRS) – Campus Restinga 
Todos os direitos reservados 
1a Edição, 2016. 
 
ISBN 978-85-66309-05-8 
 
 
Edição: 
 Alexsandro Cristovão Bonatto 
 
 
Revisão: 
 Eric Robalinho e Fernanda Krüger Tomaschewski 
 
 
Capa: 
 Eric Robalinho 
 
 
Endereço: 
 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do 
 Sul (IFRS) – Campus Restinga 
 Rua Alberto Hoffmann, 285 
 Bairro Restinga - CEP 91791-508 – Porto Alegre – RS 
 Fone: (51) 3247-8400 
 
 
 
C977 Curso de Pré-Cálculo / Alexsandro Cristóvão Bonatto (org.) , 
 Eric Robalinho... [et al.]. Porto Alegre: IFRS Campus 
 Restinga, 2016. 
 89 p. 
 
 
 ISBN: 978-85-66309-05-8 
 
 
 
 1. Matemática (Ensino Médio). I. Bonatto, Alexsandro 
Cristóvão. II. Eric Robalinho 
 
CDU 51 
Responsável: Bibliotecária Paula Porto Pedone – CBR10/1825 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 Operações com Números Reais e Complexos .........................................................9 
1.1 CONJUNTOS ....................................................................................... 9 
1.2 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS ................................................. 11 
1.3 CONJUNTOS NUMÉRICOS............................................................... 12 
1.4 OPERAÇÕES COM RACIONAIS - FRAÇÕES ................................... 14 
1.5 OPERAÇÕES COM RACIONAIS – NÚMEROS DECIMAIS............... 15 
1.6 NÚMEROS IRRACIONAIS – I .......................................................... 16 
1.7 NÚMEROS REAIS – R ..................................................................... 16 
1.8 POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS REAIS ......................................... 17 
1.9 RADICIAÇÃO ..................................................................................... 19 
1.10 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES ..................................... 21 
1.11 MÓDULO DE UM NÚMERO............................................................... 22 
1.12 INTERVALOS ..................................................................................... 22 
1.13 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .................................... 23 
1.14 Exercícios de Verificação de Aprendizagem....................................... 30 
2 Equações e Inequações Polinomiais ......................................................................35 
2.1 EQUAÇÃO DE 1º GRAU .................................................................... 35 
2.2 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU .............................................................. 35 
2.3 INEQUAÇÕES PRODUTO DO 1º GRAU ........................................... 36 
2.4 INEQUAÇÕES QUOCIENTE DO 1º GRAU ........................................ 37 
2.5 EQUAÇÃO DO 2º GRAU .................................................................... 37 
2.6 DISCRIMINANTE ............................................................................... 39 
2.7 PROPRIEDADE DAS RAÍZES ........................................................... 39 
2.8 INEQUAÇÕES DO 2º GRAU .............................................................. 40 
2.9 INEQUAÇÕES PRODUTO DO 2º GRAU ........................................... 41 
2.10 INEQUAÇÕES QUOCIENTE DO 2º GRAU ........................................ 41 
2.11 EQUAÇÕES MODULARES ................................................................ 42 
2.12 INEQUAÇÕES MODULARES ............................................................ 42 
2.13 Exercícios de verificação de aprendizagem:....................................... 44 
3 Funções Reais e Modelagem: Constante, 1º grau, 2º grau, Exponencial e 
Modular................................................................................................... ................47 
3.1 FUNÇÕES REAIS .............................................................................. 47 
3.2 Exercícios de Fixação e Aprendizagem .............................................. 53 
3.3 POLINÔMIOS ..................................................................................... 56 
 
 
3.4 FRAÇÕES PARCIAIS ......................................................................... 63 
3.5 Exercícios de Fixação e Aprendizagem .............................................. 65 
4 Matrizes e Sistemas Lineares .................................................................................71 
4.1 MATRIZES.......................................................................................... 71 
4.2 Exercícios de Fixação e Aprendizagem: ............................................. 74 
4.3 SISTEMAS LINEARES ....................................................................... 75 
4.4 Exercícios de Fixação e Aprendizagem: ............................................. 77 
5 Trigonometria no Triângulo Retângulo e no Ciclo Trigonométrico ..........................79 
5.1 O QUE É TRIGONOMETRIA? ............................................................ 79 
5.2 GRAUS X RADIANOS ........................................................................ 80 
5.3 TEOREMA DE PITÁGORAS .............................................................. 80 
5.4 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ..... 81 
5.5 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ........................................................... 83 
5.6 NOÇÕES SOBRE O CICLO TRIGONOMÉTRICO ............................. 84 
5.7 ARCOS CÔNGRUOS ......................................................................... 86 
5.8 PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA DE UM ARCO ................... 86 
5.9 Exercícios de verificação de aprendizagem........................................ 87 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................89 
 
 
 
 
PREFÁCIO 
Este livro, em sua 1ª edição revisada, foi inicialmente escrito pelos professores da área 
de matemática do IFRS Campus Restinga com o objetivo de ser utilizado em um curso de 
nivelamento em matemática do Ensino Médio. Para os Cursos de Tecnologia que têm 
disciplinas de cálculo, a matemática é uma grande aliada para resolver problemas e aplicações 
propostos ao longo do curso. 
O alto índice de reprovação na disciplina de Cálculo I do nosso instituto foi a causa 
propulsora deste projeto. Para os docentes desta disciplina a maior dificuldade dos alunos 
encontra-se na matemática básica. O objetivo principal do projeto é resgatar esses alunos, 
cuidar da evasão, melhorar o índice de aprovação, mantendo o nível e a qualidade da 
educação deste campus. Esperamos conseguir preencher as lacunas existentes na formação 
de nossos acadêmicos, em nível básico. Desta forma, acreditamos que conseguiríamos 
diminuir o desnível existente entre a Matemática do Ensino Médio para a de nível superior, em 
especial para o Cálculo Diferencial e Integral. 
Formato do curso: os encontros de Pré-Cálculo ocorrerão nas primeirassemanas de 
aula, totalizando cinco aulas de 4 horas cada. Recomenda-se, fortemente, que todos os 
calouros dos cursos de Tecnologia realizem esta atividade. 
Formato das aulas: exposição de conteúdos feita pelo professor, realização em grupos 
dos exercícios propostos, e apresentação das soluções no quadro, por representantes dos 
grupos. Ao término de cada aula, ficará para o acadêmico uma listagem de exercícios 
denominada “exercícios de verificação de aprendizagem”, é de suma importância sua 
realização. 
Este material está organizado em cinco capítulos, que serão trabalhados em cinco aulas: 
AULA 1: Conjuntos numéricos: operações (reais e complexos). 
AULA 2: Equações e inequações polinomiais. Fatoração polinomial. 
AULA 3: Funções reais e modelagem. 
AULA 4: Matrizes e sistemas lineares. 
AULA 5: Trigonometria no triângulo retângulo e ciclo trigonométrico. 
 
Autores: 
Daniela Haas (daniela.haas@restinga.ifrs.edu.br) 
Diana Vega Marona (diana.marona@restinga.ifrs.edu.br) 
Eric Robalinho (eric.robalinho@restinga.ifrs.edu.br) 
Fernanda Krüger Tomaschewski (fernanda.tomaschewski@restinga.ifrs.edu.br) 
Silvane Verch (silvane.verch@restinga.ifrs.edu.br) 
 
Organizador: Alexsandro Cristovão Bonatto (alexsandro.bonatto@restinga.ifrs.edu.br) 
 
mailto:daniela.haas@restinga.ifrs.edu.br
mailto:diana.marona@restinga.ifrs.edu.br
mailto:eric.robalinho@restinga.ifrs.edu.br
mailto:fernanda.tomaschewski@restinga.ifrs.edu.br
mailto:silvane.verch@restinga.ifrs.edu.br
mailto:alexsandro.bonatto@restinga.ifrs.edu.br
 
 
 
9 
 
1 Operações com Números Reais e Complexos 
Profa. Silvane Verch 
OBJETIVOS DA AULA: como não poderia deixar de ser, o primeiro encontro no curso destina-
se a retomar e aprofundar conceitos introdutórios tais como números reais e complexos, suas 
operações e propriedades. 
1.1 CONJUNTOS 
1.1.1 Conceito 
É uma coleção qualquer de objetos. 
Normalmente usamos letras maiúsculas  ,...,,, YXBA para denotar conjuntos, e letras 
minúsculas  ,...,,, yxba para denotar elementos de conjuntos. 
Usamos: 
Ap  para afirmar que “p é um elemento de A”, ou seja, “p pertence a A”. 
Ap  para afirmar que “p não é um elemento de A”, ou seja, “p não pertence a A”. 
BA   se e somente se os conjuntos A e B possuem os mesmos elementos. Caso 
contrário BA  . 
Observação: cada elemento de um conjunto deve ser listado apenas uma vez (conjuntos 
não possuem elementos repetidos). 
1.1.2 Representação de Conjuntos 
 Lista dos elementos 
 
 Exemplo:  uoieaA ,,,, 
 
 
 
 Propriedade ou condição 
Exemplo:  vogalumaéxxA (conjunto dos elementos x, tal que x é uma vogal) 
 Diagrama de Venn (John Venn, lógico inglês, 1834-1923) 
 Exemplo: 
 
 
 
Entre chaves. 
Separado por 
vírgula. 
Elementos. 
a e 
i 
o 
u 
10 
 
1.1.3 Conjunto Vazio –  ou   
É o conjunto que não possui elementos. 
Exemplo:  0 xeNxxA 
1.1.4 Conjunto Unitário 
É o conjunto que possui apenas um elemento. 
Exemplo:  10B . 
1.1.5 Conjunto Universo – U 
É o conjunto de todos os elementos dos conjuntos considerados. 
1.1.6 Subconjuntos 
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a outro conjunto, 
dizemos que A é um subconjunto de B, ou que A está contido em B, ou ainda que B contém 
A. 
BA 
AB 
 
Observações: 
1) AA (todo conjunto é subconjunto dele mesmo) 
2)  A (o conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos) 
 
 
Exemplo: 
 4 xNxA 
  01  xxRxB 
 3,2,1,0A e  1,0B 
Podemos afirmar que B é um subconjunto de A. ( AB ). 
Observação: se pelo menos um elemento de A não pertence a B, usamos , ou seja, 
BA (A não está contido em B). Também podemos usar B A (B não contém A). 
Exemplos: dados os conjuntos  3,2,1,0A
 
e  5,4,3,2,1,0B e  5,2,0C , temos: 
 BA , pois todos os elementos de A pertencem a B; 
 AC  , pois C5 e A5 ; 
 CB  , pois todo elemento de C pertence a B; 
 AB  , pois B4 e A4 , e também B5 e A5 ; 
11 
 
1.1.7 Relação de Inclusão entre Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, se todo elemento de A for também elemento de B, BA . 
Esta relação chama-se relação de inclusão. 
 
Propriedades 
 
a) Propriedade reflexiva: AA 
 
b) Propriedade antissimétrica: se BA e AB , então BA  .Usada sempre que se quer provar 
que dois conjuntos são iguais. 
 
 
c) Propriedade transitiva: se BA e CB  , então CA . 
É fundamental nas deduções. Na lógica é conhecida como uma forma de raciocínio 
chamada silogismo. 
Por exemplo: 
G: conjunto dos gaúchos 
B: conjunto dos brasileiros 
S: conjunto dos sul-americanos 
 Todo gaúcho é brasileiro. 
 Todo brasileiro é sul-americano. 
 Então, todo gaúcho é sul-americano. 
 Se BG  e SB  , então SG  . 
1.2 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
1.2.1 União de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B, ao conjunto 
representado por BA . Este conjunto é formado por todos os elementos pertencentes a A ou 
a B. Veja a figura a seguir: 
 BxouAxxBA 
 
 
Propriedades: sejam A, B e C três conjuntos arbitrários. Então: 
a)    CBACBA  (associativa) 
b) ABBA  (comutativa) 
S 
B 
G 
12 
 
c) A  A (elemento neutro) 
d) AAA  
e) UUA  
1.2.2 Interseção de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B ao conjunto 
representado por BA . Este conjunto é formado por todos os elementos pertencentes a A e 
a B, simultaneamente. Veja a figura abaixo: 
 BxeAxxBA  
Propriedades: sejam A, B e C três conjuntos arbitrários. Então: 
a)    CBACBA  (associativa) 
b) ABBA  (comutativa) 
c) A  
d) AAA  
e) AUA  
1.2.3 Diferença de Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao 
conjunto representado por BA . Este conjunto é formado por todos os elementos que 
pertencem a A, mas não pertencem a B. Veja a figura a seguir: 
 BxeAxxBA 
 
 
Observação: 
ABBA  
1.2.4 Complementar de um Conjunto 
A diferença AU  , onde U é o conjunto universo, é chamada de complementar de A e 
será denotada por 
CA , ou seja, AUAC  
 
1.3 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
1.3.1 Números Naturais – N 
Tem como elementos números inteiros e positivos, incluindo o zero. 
 ...,4,3,2,1,0N  
 
13 
 
Subconjunto 
Conjunto dos números naturais não nulos:  ...,4,3,2,1* N , ou seja,  0*  NN 
1.3.2 Números Inteiros – Z 
Tem como elementos números inteiros positivos e negativos, ou seja, são todos os 
números que pertencem ao conjunto mais os seus respectivos opostos (negativos). 
 ...,4,3,2,1,0,1,2,3,4..., Z 
Subconjuntos 
 Conjunto dos números inteiros não nulos:  ...,4,3,2,1,1,2,3,4...,* Z , ou seja, 
 0*  ZZ 
 Conjunto dos números inteiros não negativos:  ...,4,3,2,1,0Z  ; NZ  
 Conjunto dos números inteiros positivos:  ...,4,3,2,1* Z ;
** NZ  
 Conjunto dos números inteiros não positivos:  0,1,2,3,4...,Z  ;
*
  ZZZ 
 Conjunto dos números inteiros negativos:  1,2,3,4...,* Z ;   ZZZ
*
 
 
Observação: ZN  
1.3.3 Números Racionais – Q 
Tem como elementos números que podem ser obtidos como o quociente de dois 
números inteiros. 






 0qonde,Zqep
q
p
Q 
Exemplos: 
a) 
1
7
,0,
1
3
 (números inteiros) 
b) 6,0
5
3
;25,1
4
5
;5,0
2
1
 (números decimais finitos) 
c) ...142857142857,0
7
2
;...333,0
3
1
;...166,1
6
7
 (números decimais infinitos = 
dízimas periódicas) 
 
Subconjuntos 
 Conjunto dos números racionais não nulos: 
*Q 
 Conjunto dos números racionais não negativos: Q 
 Conjunto dos números racionais positivos: 
*
Q 
 Conjunto dos números racionais não positivos: Q 
 Conjunto dos números racionais negativos: 
*Q

 
Observação: QZN  
14 
 
1.4 OPERAÇÕES COM RACIONAIS- FRAÇÕES 
1.4.1 Adição e Subtração de Frações 
Para adicionar ou subtrair frações devemos analisar dois casos: 
 
1º Caso: denominadores iguais 
Para somarmos ou subtrairmos frações com denominadores iguais, mantemos o 
denominador em comum e somamos ou subtraímos os numeradores. 
Exemplo: 
 
7
6
7
15
7
1
7
5


 
 
12
5
12
38
12
3
12
8


 
 
2º Caso: denominadores diferentes 
Para somarmos ou subtrairmos frações com denominadores diferentes, uma solução é 
obter frações equivalentes de denominadores iguais ao mmc (mínimo múltiplo comum) dos 
denominadores das frações. 
Como obter as frações equivalentes: 
- Utilizar o mmc dos denominadores; 
- Dividir este valor do mmc pelo denominador original da fração; 
- Multiplicar o resultado pelo numerador original, obtendo assim a fração equivalente. 
Exemplo: 
 
4
3
3
4
 
mmc(3, 4) = 12 
12
16
3
4
 e 
12
9
4
3
 
12
25
12
9
12
16
4
3
3
4
 
1.4.2 Multiplicação de Frações 
Para multiplicar frações, devemos multiplicar os numeradores e os denominadores entre 
si. Quando fazemos uma multiplicação de frações, podemos simplificar a operação usando o 
processo de cancelamento. 
Exemplo: 
 
10
7
5
4


 
 
15 
 
 
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, devemos multiplicar esse número 
pelo numerador da fração e repetir o denominador. 
Exemplo: 
 
5
6
5
3
2  
1.4.3 Divisão de Frações 
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. 
Exemplo: 
 
5
11
7
3
 
 
1.5 OPERAÇÕES COM RACIONAIS – NÚMEROS DECIMAIS 
1.5.1 Adição e Subtração de Números Decimais 
Para adicionar ou subtrair números decimais devemos colocar vírgula embaixo de 
vírgula. 
Exemplo: 
 723,14,2  
 723,14,2  
 
123,4
723,1
400,2
 
677,0
723,1
400,2
 
1.5.2 Multiplicação de Números decimais 
Para multiplicar números decimais temos dois modos: 
 
1º Modo: transformar em frações decimais 
Transformar os números decimais em frações e realizar a multiplicação de numerador 
com numerador e denominador com denominador. 
Exemplo: 5,325,2  
16 
 
875,7
1000
7875
10
35
100
225
5,325,2  
 
2º Modo: multiplicar como se fossem números inteiros 
Multiplicar como se fossem números inteiros e dar ao produto tantas casas quantas 
forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. 
Exemplo: 5,325,2  
decimaiscasas3875,7
675
1125
decimalcasa15,3
decimaiscasas225,2


 
1.5.3 Divisão de Números decimais 
Para dividir números decimais devemos: 
- Igualar o número de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 
- Suprimir as vírgulas; 
- Efetuar a divisão. 
Exemplo: 735,0  
0,35 7,00  35 700  350 700  3500 700  3500 700 
 0, 0,0 -3500 0,05 
 0 
1.6 NÚMEROS IRRACIONAIS – I 
Os números irracionais são aqueles que não admitem uma representação decimal exata 
nem uma representação na forma de dízima periódica, ou seja, não podem ser expressões 
como fração. 
Exemplos: 
...1010010001x  
...14159265,3 
...41421356,12  
...73205080,13  
...7182818285,2e  
Observação: todas as raízes inexatas são números irracionais. 
1.7 NÚMEROS REAIS – R 
O conjunto dos números reais é definido como a união entre os conjuntos dos números 
racionais e irracionais. 
IQR  
17 
 
Subconjuntos 
 Conjunto dos números reais não nulos:    0R0xRxR*  
 Conjunto dos números reais não negativos:  0xRxR  
 Conjunto dos números reais positivos:  0xRxR*  
 Conjunto dos números reais não positivos:  0xRxR  
 Conjunto dos números reais negativos:  0xRxR*  
Observações: 
 
RQZN  
 RI  
 
QRI  
Veja o diagrama abaixo: 
 
Todo número real pode ser representado por um ponto sobre uma reta, e, 
reciprocamente, qualquer ponto sobre uma reta pode ser associado a um número real. 
 
1.8 POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS REAIS 
Definição: Dado um número real a qualquer, sendo n um número natural  1>n , define-
se a elevado a n  na , como sendo o produto de n fatores iguais ao número a, ou seja, 
 
1.8.1 Casos Particulares 
  010  aa 
 aa
1  
 
18 
 
1.8.2 Propriedades 
I. 
nmnm aaa  
Exemplo: 2433333 53232   
 
II.  nme0aa
a
a nm
n
m
  
Exemplo: 2555
5
5 224
2
4
  
 
III.   nnn baba  
Exemplo:   1441694343 222  
 
IV.  0b
b
a
b
a
n
nn






 
Exemplo: 
4
25
2
5
2
5
2
22






 
 
V.   nmnm aa  
Exemplo:   64222 63232   
 
VI.  0a
a
1
a
n
n  
Exemplo: 
16
1
4
1
4
2
2  
 
Cuidado!!! 
1)   nmnm aa  
Exemplo:   3232 22  
2566422 86  
 
2)   nnn baba  
Exemplo:   222 3434  
254991672  
 
3)   nnn baba  
Exemplo:   333 3232  
  1912781 3  
 
19 
 
1.8.3 Potências de Base 10: 
 
1.9 RADICIAÇÃO 
Definição: Define-se como raiz de índice n, 1n  , de um número a, Ra , ao número 
b, tal que b elevado a n resulta em a. 
 0babba nn  
Observação: em todo radical cujo índice é um número par, a raiz considerada é sempre 
positiva. 
 
Caso Particular: 
aa
n n  , onde 1n  
 
Observações: 
 Se n é par, então Ra . Exemplo: 55
2 2  
 Se n é ímpar, então Ra . Exemplo:   553 3  
 11n  
 
1.9.1 Propriedades 
I. 
pn pmn m aa
  e 
r
n
r
n
n m aa  , onde 1r e pn,  , r é divisor comum de n e m. 
Exemplos: 
8 624 234 3 777    
2 1
2
4
2
2
4 2 333  
 
II. 
nnn baba  , onde 1n  
 
Observações: 
 
 Se n é par, então Rb e a . 
Exemplo: 
222 6565  
20 
 
 
 Se n é ímpar, então Rb e a  . 
Exemplo: 5
55 3434  
 
III. 
n
n
b
a
n
b
a
, onde 1n  
 
Observações: 
 
 Se n é par, então R a e 
*R b  . 
Exemplo: 
5
2
5
2
 
 
 Se n é ímpar, então R a e 
*R b . 
Exemplo: 
3
3
3
3
1
3-
1

 
 
IV. mnn m aa  , onde 1m e n  e Ra 
Exemplo: 6233 333   
 
V.   n
m
n m
m
n aaa  , onde 1 n , Rm e Ra 
Exemplo:   4
3
4 3
3
4 222  
 
Cuidado!!! 
1) 
nnn baba  
Exemplo: 169169  
4325  
75  
 
2) 2222 baba  
Exemplo: 2222 8686  
866436  
14100  
1410  
 
3) 
2222 baba  
Exemplo: 2222 4545  
451625  
21 
 
19  
13  
 
1.10 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
Racionalizar o denominador de uma fração consiste em eliminar, através de 
 propriedades algébricas, o radical ou os radicais do denominador. 
1.10.1 Casos Principais 
1º Caso: o denominador contém radical de índice 2 
Exemplo: 
 
3
32
3
32
33
32
2
 
2º Caso: o denominador contém radical de índice diferente de 2 
Exemplo: 
 
5
54
5
54
5
54
55
54
3 2
3 3
3 2
3 21
3 2
3 23
3 2


 
3º Caso: o denominador contém soma ou subtração envolvendo raiz quadrada 
Exemplo: 
 
 
22 
 
   
13
432
163
432





 
1.11 MÓDULO DE UM NÚMERO 
Módulo ou valor absoluto de um número real x, indicado por x , é a 
relação: 






0,
0,
xsex
xsex
x 
 0x o módulo de um número positivo ou igual a zero é ele próprio 
 0x o módulo de um número negativo é igual ao seu oposto 
Exemplos: 
55  
  333  
Geometricamente, o módulo de x é a distância entre x e a origem (0). 
 
Observações: 
 Pela definição de módulo, 0xR, x  . O que se comprova geometricamente. 
 Pela definição de módulo podemos concluir que xx 2 . 
Exemplos: 
    7777 2  
6662  
1.12 INTERVALOS 
 São subconjuntos dos números reais. 
Intervalo aberto: exclui-se os extremos. 
( ) - , * | + 
 
 
Intervalo Fechado: inclui-se os extremos. 
, - * | + 
 
 
23 
 
Intervalo Aberto à Direita: exclui-se o extremo da direita e inclui-se o extremo da 
esquerda. 
, ) , , * | + 
 
 
Intervalo Aberto à Esquerda: inclui-se o extremo da direita e exclui-se oextremo da 
esquerda. 
( - - - * | + 
 
 
Intervalo Infinitos: um dos extremos é o infinito positivo ou negativo. 
 Semi-reta esquerda, aberta, de origem a 
( ) - , * | + 
 Semi-reta esquerda, fechada, de origem a 
( - - - * | + 
 Semi-reta direita, aberta, de origem a 
( ) - , * | + 
 Semi-reta direita, fechada, de origem a 
, ) , , * | + 
 Reta Real 
( ) - , 
1.13 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 √ 
 
Até o momento, no universo dos números reais, NÃO EXISTIA solução para isto! 
1.13.1 Unidade Imaginária 
Por isso, foi criado um número especial, que representamos algebricamente como i, e 
denominamos por unidade imaginária. Este número é tal que elevado ao quadrado resulte em 
– 1 matematicamente: 
 
 √ 
24 
 
Esse novo conceito possibilitou a resolução da equação mostrada anteriormente. Desse 
modo: 
 
 √ 
( √ ) 
 
Conclusão: Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos 
números complexos ou conjunto dos números imaginários, que representamos pela letra C. 
 
1.13.2 Relação Fundamental 
O conjunto dos números complexos possui, desse modo, a relação fundamental onde: 
  √ 
Exemplo: 
√ √ ( ) √ √ 
1.13.3 Forma Algébrica 
O número complexo possui uma parte real e outra imaginária. Como a parte imaginária 
conta com a presença do i, sua forma algébrica é 
 
Exemplos: 
  número complexo 
 √  número complexo 
  número complexo puro 
  número real 
  número complexo puro 
( )  o par ( ) é identificado como o número real ; 
( )  é chamado de unidade imaginária; 
( )  representam a parte real e a parte imaginária, respectivamente. 
 
25 
 
Exemplo: ( ) 
 
1.13.4 Representação Geométrica 
O conjunto dos números complexos pode ser compreendido como o conjunto de pares 
ordenados, ou seja: 
 ( ) 
onde e são números reais. 
Exemplo: ( ) 
 
 
Exemplo: 
Represente no plano de Argand-Gauss o número complexo 
 
1.13.5 Conjugado de um Número Complexo 
 Dado , define-se como conjugado de e representa-se por ̅ . 
Exemplo: , seu conjugado é ̅ 
26 
 
 
1.13.6 Igualdade entre Números Complexos 
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente 
iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se e , temos que: 
 
1.13.7 Adição de Números Complexos 
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes 
reais e imaginárias desses números. Assim, se e , temos que: 
 ( ) ( ) 
1.13.8 Subtração de Números Complexos 
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes 
reais e imaginárias desses números. Assim, se e , temos que: 
 ( ) ( ) 
Exemplos: 
a) ( ) ( ) ( ) ( ) 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 
c) ( ) ( ) ( ) ( ) 
d) ( ) ( ) 
1.13.9 Multiplicação de Números Complexos 
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois 
binômios, observando os valores das potências de . Assim, se e , temos 
que: 
 
27 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
Observação: 
Exemplos: 
a) ( )( ) 
( )( ) 
 
 
 
b) ( ) 
 ( ) 
 
c) ( )( ) 
( )( ) 
 
 
1.13.10 Divisão de Números Complexos 
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o 
denominador pelo conjugado do denominador. 
Sejam e , então: 
 
Exemplo: 
Sejam e , calcule 
 
 
: 
 
1.13.11 Potências de 
Se, por definição, temos que √ , então: 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
... 
Observamos que no desenvolvimento de (n pertencente a N, de modo que os valores 
se repetem de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos basta calcularmos onde r 
é o resto da divisão de n por 4. 
Exemplo: 
 
 
 
 dá resto 3, logo 
1.13.12 Módulo de um Número Complexo 
Dado , chama-se módulo de , o número real calculado por: | | 
 √ . 
Exemplo: 
 
| | √ √ √ 
 
1.13.13 Módulo e Argumento de um Número Complexo 
 
29 
 
1.13.14 Forma Algébrica versus Polar 
 
onde pode ser escrito como ( ) 
 
Lembrando: 
 
Exemplo: Dê a forma polar do complexo √ . 
1º) Calculamos o módulo de : 
| | √ 
2º) Calculamos o ângulo polar: 
 
 
 
 
√ 
 
  
 
 
 
3º) Escrevemos nosso complexo: 
 . 
 
 
 
 
 
/ 
1.13.15 Operações na Forma Trigonométrica 
Multiplicação: , ( ) ( )- 
 
Divisão: 
 
 
 
 
 
, ( ) ( )- 
 
Potenciação: Fórmula de Moivre: , ( ) ( )- 
 
Exemplos: Dados os números complexos abaixo, calcule o que se pede: 
30 
 







66
cos2

isenw e 






33
cos3

isenz 
a) w . z 
 0 ( ) .
 
 
 
 
 
/1 . 
 
 
 
 
 
/ 
 
b) w / z 
 
 
 
 
 
 
0 .
 
 
 
 
 
/ .
 
 
 
 
 
/1 
 
 
0 . 
 
 
/ . 
 
 
/1 
 
 
[ (
 
 
) (
 
 
)] 
 
c) z
6
 
 0 . 
 
 
/ . 
 
 
/1 ( ) 
1.14 Exercícios de Verificação de Aprendizagem 
1) Indique se cada um dos elementos 3;
3
1
;4 e 25,0 pertence ou não a cada um desses 
conjuntos: 
 eironúmerouméxxA int 
 1 xxB 
 0515  xxC 







4
1
2 xxD 
2) Considerando que F = {x | x é estado do sudeste brasileiro} e G = {x | x é capital de um 
país sul-americano}, quais das sentenças seguintes são verdadeira? 
a. Rio de Janeiro  F 
b. México  G 
c. Lima ∉ G 
d. Montevideo  G 
e. Espírito Santo ∉ F 
f. São Paulo  F 
 
3) Em cada caso, identifique os conjuntos unitários e os vazios. 
 31  xexxA 
 parepositivoprimonúmerouméxxB  








 4
2
53
50
x
exxC 
 BahiadacapitaléxxD  
 pénomedoinicialletracujamêséxxE  






 0
2
x
xF
 
 
31 
 
4) Calcule as expressões: 
 
a. 3,82,15352,17  
b.   1008,47,225,315  
c.    1,538,22,175,43,20  
d. 5,05,38,35,7  
e.    05,304,2408,215,32  
 
5) O preço à vista de um automóvel é 00,335.21$R . O mesmo automóvel a prazo custa 
50,740.4$R de entrada mais 6 prestações de 75,567.3$R . Qual a diferença entre o valor total 
da compra à vista e a prazo? 
 
6) Calcule: 
 
a. 4,05 
b. 06,09 
c. 9,081,9  
d. 09,0063,0  
 
7) Escreva, usando chaves, os subconjuntos de N . 
 
a. M(6): conjunto dos múltiplos de 6. 
b. D(6): conjunto dos divisores de 6. 
c. A: conjunto dos números primos menores do que 20. 
d. C: conjunto dos números naturais quadrados perfeitos. 
 
8) Represente o conjunto formado pelos possíveis valores de x em cada item. 
 
a. 3 xeNx 
b. 2 xeZx 
c. 1 xeNx 
d. 32  xeZx 
e. 0 xeNx 
f. 0 xeZx 
 
9) Sendo  5,3,0M  , classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F). 
a. M5 
b. M3 
c.  M 
d. M0 
e.  M 
f. 0  
g. 0  
h. M0  
 
10) Sendo  2,1A  ,  3,2B  ,  4,3,1C  e  4,3,2,1D  , classifique em 
verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças abaixo: 
 
( ) DB 
( ) BA 
( ) AD 
( ) CA 
32 
 
( ) BC  
( ) DC  
 
11) Julgue a afirmação a seguir: 
 “Quaisquer que sejam os números reais x e y, se x<y então x² < y².” 
 
12) Em cada linha da tabela abaixo, verifique a relação descrita nos blocos é válida: 
 
a b c cba  cba  cba  cba  
-1 0 2 
2 4 -3½ ½ ¾ 
-5 -5 -5 
0,75 1,25 1,25 
 
13) Qual o valor de ( ) ? 
 
14) Qual a base da potência ? 
 
15) Sem utilizar calculadoras, determine o valor de: 
 
a) √ 
 
 
b) . 
 
 
/
 
 
c) { , ( )- } 
d) √ 
e) 0
 
 
 
 
 
1
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
16) Se , qual o valor das expressões ( ) . O que você pode concluir da 
seguinte igualdade: ( ) . 
 
17) Uma emissora de TV, durante a transmissão de um evento esportivo, propõe uma enquete 
aos telespectadores “internautas” a respeito de dois jogadores A e B convocados para a 
seleção brasileira de futebol. Depois 30 minutos, obteve-se o seguinte resultado: 5000 pessoas 
preferem o jogador A; 7000 pessoas preferem o jogador B; 2000 pessoas preferem ambos e 
1000 pessoas não preferem nenhum deles. Quantas pessoas deram sua opinião? 
 
18) Qual(is) dos números abaixo apresenta(m) maior valor? Por quê? 
 
a) |√ | 
b) | √ | 
c) | √ | 
d) | √ | 
 
19) Em cada item, esboce um intervalo real que satisfaça as condições dadas: 
 
a) 
33 
 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
 
20) Represente no plano de Argand-Gauss os seguintes números complexos: 
 
a) 
b) √ 
c) 
d) 
 
21) Determine o valor de m, sabendo que a igualdade ( ) seja verdadeira. 
 
22) Dados os números e , calcular: 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
23) Determine a parte real do complexo 
 
 
 . 
 
24) Calcule o valor de . 
 
25) Determine a forma trigonométrica do complexo √ . 
 
26) Calcule , onde √ . 
 
27) Sejam os complexos ( ) e . Determine e de modo que 
 . 
 
28) Determine , de modo que ( )( ) seja imaginário puro. 
 
29) Qual é o conjugado de 
( )
( )
 ? 
 
30) Os módulos de √ ( ) são iguais, qual o valor de ? 
 
31) Escreva na forma trigonométrica o complexo 
( )
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
2 Equações e Inequações Polinomiais 
Profa. Silvane Verch e Profa. Fernanda Krüger Tomaschewski 
OBJETIVO DA AULA: nesta aula, apresenta-se a parte de manipulação algébrica na 
resolução de diferentes tipos de equações (1º grau, 2º grau e modular) e de diferentes tipos de 
inequações (produto e quociente) que envolvam raízes reais e complexas, com o propósito de 
introduzir a noção de função e sua linguagem. 
2.1 EQUAÇÃO DE 1º GRAU 
Possui uma relação de igualdade da forma , onde: 
 = variável dependente de . 
 = coeficiente angular. 
 = variável independente. 
 = coeficiente linear da equação. 
Exemplo: 
Resolva a equação . 
Nesse caso, devemos passar todos os “ ” para um lado da equação e todos os números 
para o outro lado. Observe a mudança de sinal quando os elementos mudam de lado da 
equação. 
 
 
2.2 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=). A inequação é caracterizada 
pelos sinais de maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤). 
312 x  inequação do 1º grau, calculando o valor de x, temos: 
2
2
4
132



x
x
x
 
Esse resultado diz que para que essa inequação seja verdadeira o x deverá ser maior 
que 2, ou seja, poderá assumir qualquer valor, desde que seja maior que 2. 
142214)1(2  xxxx  unindo os termos semelhantes temos: 
2142  xx 
12  x  multiplicando a inequação por -1, temos que inverter o sinal, veja: 
12 x 
2
1
x 
Exemplo: 0>5+-2x , -2=a (decrescente). 
36 
 
Objetivo é isolar x. 
-5>-2x 
52x  
2
5
x 
A inequação é positiva para valores 
2
5
x . 
 
2.3 INEQUAÇÕES PRODUTO DO 1º GRAU 
Exemplo: ( )( ) 
1º) Estudo do sinal de cada função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) Fazer o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma 
função: 
 
3º) Analisar os valores possíveis: neste caso a inequação quer valores que sejam 
menores que 0. Logo o conjunto solução da inequação será: 
 { | 
 
 
 } 
 
 
37 
 
2.4 INEQUAÇÕES QUOCIENTE DO 1º GRAU 
Exemplo: 
0
28
93



x
x
 
Objetivo é isolar x . 
Neste caso, x é a solução possível para que a equação seja zero, ou seja, x é a raiz da 
equação, valor de x onde y é igual a zero e a partir daí, realizar o estudo do sinal. 
Mas precisamos analisar separadamente: 
Para 93 x , 3=a (crescente), raiz 3-=x 
 
Para x28 , -2=a (decrescente), raiz 4=x 
 
 
4}xou3xR{x=S  
Observe que 4x  , pois não existe divisão por 0. 
2.5 EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
Uma equação na incógnita x é dita do 2º grau, quando pode ser escrita na seguinte 
forma: 
0=c+bx+ax2 
Onde 0a  . 
As raízes (soluções) desta equação são obtidas a partir da Fórmula de Bháskara: 
a2
ac4bb-
=x
2 
 ou 
a2
b-
=x

 
Exemplo: 
0=6+7x-x2 , onde 6=c e -7=b1,=a 
      
 12
61477--
a2
ac4bb-
=x
22 


 
38 
 
2
24497
=x

 
2
257
=x

 
2
57
=x

 
Aqui, deve-se dividir em duas operações: -e + 
6
2
12
2
57
x1 

 
1
2
2
2
57
x2 

 
Raízes da equação: 6x1  e 1x2  
2.5.1 Equações do 2º grau incompletas 
1º Caso: 0=c+ax
2
, onde 0a  , 0=b e 0c  
Resolução por meio de isolamento do x. 
Exemplo: 0=32-2x
2
 (Observe que 0<c ) 
32=2x2 
16
2
32
=x2  
416x  
Raízes da equação: 4x1  e 4x2  
 
Observações: 
 Quando 0>c , ou seja, 0=c+ax
2
, não existe raiz real. 
Exemplo: 0=36+x
2
 (observe que 0>c ) 
-36=x2 
36x  (não existe raiz real de número negativo) 
 As raízes, quando existem, são dois números reais distintos e opostos  4x  . 
 
2º Caso: 0=bx+ax
2
, onde 0a  , 0b  e 0c  
Resolução por meio de fatoração colocando x em evidência. 
Exemplo: 0=12x+x
2
 
  012xx  
39 
 
Aqui, basta separar em duas partes, pois há uma multiplicação de termos, em que pelo 
menos um deles é igual a 0. 
0=x 
Ou 
0=12+x 
-12=x 
Raízes da equação: 
0x1  e 12x2  
2.6 DISCRIMINANTE 
Conforme o valor do discriminante 4ac-b= 2 , há as seguintes possibilidades quanto 
à natureza das raízes da equação 0=c+bx+ax2 . 
 0 Existem duas raízes reais e distintas 
 0 Existem duas raízes reais e iguais 
 0 Não existem duas raízes reais (são imaginárias) 
2.7 PROPRIEDADE DAS RAÍZES 
Sempre que 0 podemos utilizar a seguinte propriedade para descobrir as raízes de 
uma equação do 2º grau. 
 Soma das raízes: 
a
b-
=x+x=S 21 
 Produto das raízes: 
a
c
=xx=P 21  
Exemplo: 0=6+5x+x
2
 
A ideia é encontrar números que somados resultam em 
a
b-
, e que os mesmos números 
multiplicados resultem 
a
c
. 
5
1
5-
=x+x 21  
    -5=6-+1- 
e 
6
1
6
=xx 21  
    6=6-1-  
2.7.1 Equação a partir das raízes 
Dados os valores da soma e do produto, pode-se encontrar a equação do 2º grau. 
0=P+Sx-x2 
40 
 
2.7.2 Teorema da decomposição 
   21
2 x-xx-xa=c+bx+ax 
 
2.8 INEQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Se 0a 
0 
 
0 
 
0 
 
 
Se 0a  
0 
 
0 
 
0 
 
Exemplo: 
Resolva a inequação 01x5x6
2  . 
Dados: 
0>6=a 
01 
Raízes: 
2
1
x1  e 
3
1
x2  
Sinal: 
3
1
x0y  ou 
2
1
x  
2
1
x
3
1
0y  
41 
 
 







2
1
x
3
1
Rx=S 
2.9 INEQUAÇÕES PRODUTO DO 2º GRAU 
Exemplos: 
 
 
2.10 INEQUAÇÕES QUOCIENTE DO 2º GRAU 
Exemplos: 
42 
 
 
 
2.11 EQUAÇÕES MODULARES 
Da definição de módulo, temos que kxkx  ou kx  , e ainda 0k  . 
Exemplo: 
Resolver | | . 
| | {
 
 
 
 
 * + 
2.12 INEQUAÇÕES MODULARES 
O módulo de um número real x, admite as seguintes propriedades para Ra e 0>a : 
I. axaax  
 
II. axax  ou ax  
 
Exemplos: 
1) Calcule: 
a) 47x  
 
43 
 
Solução: Pelapropriedade II da inequações modulares, temos: 
-47-x  
7-4x  
3x  
 
Ou 
47-x  
74x  
11x  
 11xou 3xRx=S  
 
b) x4x6x2  
 
Solução: 
1º) Analisar separadamente cada termo da inequação: 
 






0xse,x
0xse,x
x 
 
2º) Analisar os intervalos: 
 
Conclusão da análise: 









x0se,6x
3x0se,6x3
3xse,6x
x6x2 
 
3º) Resolver a inequação: 
Substituindo x6x2  pelas igualdades analisadas: 
1º Caso: x46x  
10x2  
5x  
44 
 
 5x3Rx=S1  
 
2º Caso: x-46+3x-  
2-2x-  
 
1x  
 3x1Rx=S2  
 
3º Caso: x-46+x-  
46  Absurdo! 
=S3 
 
Conjunto solução: 
A solução da inequação x4x6x2  é 321 SSSS  . 
     3x1Rx5x3RxS 
Portanto,  5x1RxS  
2.13 Exercícios de verificação de aprendizagem: 
 
 
1) Resolva as equações abaixo: 
 
a) ( ) ( ) 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) √ 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) | | | | 
l) | | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
2) Resolver as inequações: 
 
a) 
0)3x5)(3x3( 
 
b) 
0)x25)(x24( 
 
c) 
3x
2
4x
1


 
d) 
4x
3x
2x
1x





 
e) 
   052352 2  xxx
 
f) 
0
4
12



x
x
 
g) 
  
 
0
155
4252 2



x
xxx
 
h) 
0492 2  xx 
i) 
523 x
 
j) 
4
5
32

x
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
3 Funções Reais e Modelagem: Constante, 1º grau, 2º grau, 
Exponencial e Modular 
Profa. Daniela Haas 
OBJETIVOS DA AULA: o terceiro encontro é destinado para construção gráfica de funções 
(constante, 1º grau, 2º grau, exponencial, modular e mista) e resolução de situações-problema que 
envolvem fenômenos modelados. 
3.1 FUNÇÕES REAIS 
É possível relacionar grandezas por meio de uma equação graficamente representada por uma 
reta, parábola, etc., dependendo da situação. Vamos fazer alguns exemplos para que a ideia fique 
mais clara. 
Exemplo 1: O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, 
mais uma comissão de 10% sobre o valor de suas vendas no mês. 
Suponha que o vendedor tenha realizado, no mês, R$ 2000,00 em vendas, qual o valor de seu 
salário? 
Primeiramente vamos calcular a sua comissão, ou seja, determinar quanto equivale 10% de 
R$2000,00: 
 
 
 
Assim, o seu salário, neste mês, será a soma dos R$ 800,00 iniciais mais os R$ 200,00 de 
comissão. Em um total de R$ 1000,00.Genericamente, se consideramos x como o valor de suas 
vendas, e y o salário que o vendedor irá receber, podemos descrever o problema da seguinte forma: 
 
Assim, para cada valor de x, obteremos um valor de y, ou seja, y depende de x.Note que a 
menor quantidade possível de vendas a ser realizada é zero. Sendo assim, o menor salário que o 
vendedor irá receber será de R$ 800,00. 
Em geral, dizemos que uma variável y é uma função de uma variável x se, para cada valor de 
x, num conjunto D, estiver associado um único valor de y. Nesse caso, x é denominada variável 
independente e y variável dependente. 
O conjunto de soluções possíveis para x é chamado Domínio da função (Notação: Dom( )). E 
os valores alcançados pela variável dependente formam o conjunto imagem da função (Notação: 
Im( )). 
Em outras palavras, é uma função quando cada elemento do domínio associa um único 
número real. 
Na notação y = (x), entendemos que y é imagem de x pela função , ou seja: y está 
associado a x através da função . Reescrevendo a expressão do exemplo1, temos que: 
 ( ) 
Agora, vamos fazer uma tabela com alguns possíveis valores de vendas, e o salário a ser 
recebido, para então construir uma projeção que representa essa situação no plano xy. Esta projeção 
48 
 
chamaremos de gráfico. Mais precisamente, o gráfico de uma função é a representação, no plano 
coordenado xy, de todos os pares (x,y) para os quais y = ( ), com x percorrendo Dom( ). 
 
x Y 
0 800 
200 820 
800 880 
1000 900 
1400 940 
2000 1000 
 
Assim, o gráfico que representa esta função é uma reta: 
 
Exemplo 2: 
A Comissão de Obras de um condomínio decide construir uma calçada com 1,20m de largura, 
que deverá contornar um jardim retangular, planejado para ter 50m² de área. A área total a ser 
construída, que denotaremos por C, dependerá do comprimento x de um dos lados do jardim. 
Determine C se: 
a) x = 7,5m 
b) x = 10m 
c) Represente este problema em função de x. 
Para melhor interpretarmos o exercício vamos fazer um esboço da situação apresentada: 
Denotaremos a área do canteiro por A. Assim, 
 
x 
y 
49 
 
Área total a ser construída pode ser calculada através da expressão: 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Com isso, vamos resolver o exercício: 
a) x = 7,5m 
 
Portanto, a área total, quando x = 7,5 m é 89,79m² 
 
b) x = 10m 
 
Portanto, a área total, quando x = 10m é 91,76m². 
 
c) Represente este problema em função de x. 
Observe que a expressão que representa a área total ( ) ( ) depende de x e y. 
Então para que esta dependa apenas de x vamos isolar o y na equação da área, isto é: 
 
 ⁄ 
Substituindo na expressão original obteremos: 
 ( ) ( ⁄ ) 
Mas, observe que existem valores de x que não fazem sentido para o nosso problema. Por 
exemplo, x = -2. Apesar de ter solução matemática, não existe uma medida negativa. Portanto, para 
solucionar o nosso problema, x deve assumir qualquer valor acima de zero, ou seja, x > 0; 
É importante ressaltar que nem sempre o gráfico da função será uma reta, neste caso, temos 
um x no denominador indicando isso. Além disso, uma função pode estar representada apenas pelo 
seu gráfico, por exemplo: o resultado de um eletrocardiograma é um gráfico que mostra a atividade 
de um coração como uma função do tempo. 
No entanto, nem todos os gráficos representam uma função. Assim, fazendo o teste da “reta 
vertical”, descobrimos se está, ou não, sendo representada uma função. O teste é bem simples, na 
verdade: trace uma reta perpendicular ao eixo x, esta reta deve ter no máximo um ponto de 
intersecção com o gráfico representado. Como seguem os exemplos: 
50 = x.y 
50 = 10.y 
y = ⁄ 
y = 5 
50 = x.y 
50 = 7,5.y 
y = ⁄ 
y = 6,67 
C = (7,5+2,4).(6,67+2,4) 
C = 9,9.9,07 
C = 89,79 m² 
C = (10+2,4).(5+2,4) 
C = 12,4.7,4 
C = 91,76 m² 
50 
 
 
Exemplo 3: Um fazendeiro deseja cercar um de seus terrenos (retangulares), com 50 m de 
arame. Considere AR como sendo a área do terreno demarcada pela cerca. Qual a maior área que o 
fazendeiro pode cercar, em m², com este arame? 
O primeiro passo é esquematizar a situação: 
Assim, temos que o perímetro do terreno pode ser expresso 
por: 
P = 2y + 2x 
E sua área, expressa por: 
AR = x.y 
O segundo passo é atribuir o valor de 50 m ao perímetro e 
encontrar uma relação entre da área do terreno em função de um de seus lados. Ou seja: 
Se 
Se ( ) 
Como a área é uma função do 2º grau com concavidade voltada para baixo possui um máximo. 
O terceiro passo é calcular esse máximo, tem-se: 
Ponto Máximo: 
Pmáx( xv , yv) 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
O yv fornece o valor máximo para a área do retângulo. 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
A área máxima do terreno é 156,25 cm². 
Existem situações que não podem ser representadas por uma função linear, ou por uma função 
quadrática. Nestes casos chamamos de função polinomial de grau n, onde n é o valor do maior 
expoenteda variável x. 
51 
 
Exemplo 4: Uma caixa aberta é feita a partir de um pedaço retangular de cartolina, removendo 
em cada canto um quadrado de lado x e dobrando as abas. Sabendo que os lados da cartolina 
medem 8 e 6cm, expresse o volume da caixa obtida como 
função de x. 
V = Abx h 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Gerando um polinômio de grau 3. 
Além disso, existem, ainda, situações em que são necessárias mais de uma fórmula para 
definir a função desejada. 
Exemplo 5: É comum observarmos em casas de xerox promoções do tipo: "Até 100 cópias: 
R$0,10 por cópia. Acima de 100 cópias (de um mesmo original): R$ 0,07 por cópia excedente." 
Suponha que, durante certo mês, a promoção tenha se estendido do seguinte modo: até 100 
cópias, R$ 0,10 por cópia; de 100 a 200 cópias de um mesmo original, R$ 0,07 por cópia excedente 
e, acima de 200 cópias de um mesmo original, R$ 0,05 por cópia excedente. 
Determine: 
a) o preço pago por 230 cópias de um mesmo original; 
Seguindo a tabela, temos que dividir a quantidade de cópias em 3 blocos: 100+100+30. Assim, 
o total a ser pago é: 100.0,1+100.0,07+30.0,5 = 10+7+1,5 = 18,50. Logo, 230 cópias de um mesmo 
original custam R$18,50. 
b) a lei que define o preço (p) em função do número de cópias (x). 
Assim como as cópias, dividiremos a função em três opções: 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Exemplo 6: Vamos imaginar que em janeiro foi depositado em uma conta poupança R$ 
100,00, e em julho verificou-se o seu saldo. Sabendo que a taxa de juros atual da poupança é 
de 0,5% a.m. Qual o valor obtido? 
 
 
52 
 
Os juros da poupança incidem sempre sobre o valor total no mês anterior. Assim, temos 
que: 
Mês Saldo Anterior Juros Saldo atual 
Janeiro R$ 100,00 
Fevereiro R$ 100,00 100 x 0,005 = 0,5 R$ 100,50 
Março R$ 100,50 100,50 x 0,005 = 0,5025 R$ 101,00 
Abril R$ 101,00 101,00 x 0,005 = 0,5050 R$ 101,51 
Maio R$ 101,51 101,51 x 0,005 = 0,5076 R$ 102,02 
Junho R$ 102,02 102,02 x 0,005 = 0,5101 R$ 102,53 
Julho R$ 102,53 102,53 x 0,005 = 0,5127 R$ 103,04 
Note que podemos escrever o valor final em função dos valores anteriores: 
R$ 100,05 = 100 . 0,005 + 100 = 100(1+0,005) 
R$ 100,55 = 100,05 . 0,005 + 100,05 = (100 . 0,005 + 100) . 0,005 + 100 . 0,005 + 100 
 = (100 . 0,005 . 0,005 + 100 . 0,005) + 100 . 0,005 + 100 
 = 100 . (0,005² + 2.0,005.1 + 1) 
 = 100 . (0,005 + 1)² 
Desenvolvendo os produtos notáveis para cada um dos meses, chegaremos a conclusão 
que: 
R$ 103,04 = 100 . (1+0,005)
6
 = 100 . (1,005)
6
 
E podemos continuar fazendo isso para qualquer quantidade de meses. Ou seja, o saldo 
atual da conta poupança depende da quantidade de meses. E para cada mês obteremos um 
saldo diferente. Caracterizando que o Saldo Atual está em função da quantidade de meses. 
Permitindo-nos escrever: 
 ( ) 
A este tipo de função damos o nome de função exponencial. Genericamente podemos 
escrever uma função exponencial como: 
 ( ) 
Tal que, . Quando b > 1, dizemos que 
a função é crescente. Quando . Além disso, como podemos 
observar no gráfico abaixo, a função nunca atingirá o valor zero. 
 
 
 
Na situação acima, temos 
a = 100 e b = 1,005. 
b > 1 0 < b < 1 
53 
 
3.2 Exercícios de Fixação e Aprendizagem 
 
1) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada mais R$ 0,70 por quilômetro rodado. 
Determine: 
a) O valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 3 quilômetros. 
b) O valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 6 quilômetros. 
c) A quilometragem percorrida com um valor de R$ 25,00. 
d) A quilometragem percorrida com um valor de R$ 40,00. 
e) A equação matemática que relaciona a quilometragem com o valor a ser pago ao taxista. 
(Lembre-se de expressar, também, o domínio da função) 
f) Esboce o gráfico desta função. 
 
2) Um automóvel desloca-se em uma estrada com velocidade constante de 80km/h. Sabendo 
disso responda: 
a) Qual a distância percorrida em 1 hora? 
b) Qual a distância percorrida em 1,5 hora? 
c) Em quanto tempo o automóvel percorrerá 1000km? 
d) Qual a equação matemática que representa este problema?(Lembre-se de expressar, também, 
o domínio da função) 
e) Esboce o gráfico desta função. 
 
3) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma 
parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. 
a) Qual o seu salário se ele não fizer nenhuma venda? 
b) Qual o seu salário caso ele consiga vender R$ 450,00? 
c) Quanto ele conseguiu vender sabendo que seu salário foi de R$ 2500,00 
d) Qual a equação matemática que representa este problema?(Lembre-se de expressar, também, 
o domínio da função) 
e) Esboce o gráfico desta função. 
 
4) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Condições dos planos: 
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo 
período. 
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo 
período. 
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x 
dentro do período pré-estabelecido. 
Determine: 
a) A função correspondente a cada plano. 
b) Em qual situação o plano A é mais econômico; 
c) Em qual situação o plano B é mais econômico; 
d) Em qual situação os dois se equivalem. 
 
5) Uma companhia de telefones celulares oferece aos seus clientes duas opções: na primeira 
opção, cobra R$38,00 pela assinatura mensal e R$0,60 por minuto de conversação; na 
segunda, não há taxa de assinatura, mas o minuto de conversação custa R$1,10. 
a) Qual a opção mais vantajosa para 1 hora de conversação mensal? 
b) A partir de quanto tempo a outra opção torna-se mais vantajosa? 
 
54 
 
6) Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis e condensou 
as informações recebidas na tabela seguinte. 
 
Opções Diária Preço por km rodado 
Locadora 1 R$ 50,00 R$ 0,20 
Locadora 2 R$ 30,00 R$ 0,40 
Locadora 3 R$ 65,00 R$ 0,00 (km livre) 
 
a) Obtenha uma função que defina o preço y da locação por um dia, em termos do número x de 
quilômetros rodados, em cada uma das situações apresentadas na tabela. 
b) Represente no mesmo plano cartesiano, os gráficos dessas funções. 
c) A partir de quantos quilômetros rodados num dia o cliente deve preferir a Locadora 1 ao invés 
da Locadora 2? 
d) A partir de quantos quilômetros o cliente deve optar pela Locadora 3? 
 
7) Uma caixa sem tampa, com base quadrada, deve ter um volume de 600 cm³. O material usado 
para confeccionar a base da caixa custa 3 reais por cm² e o material usado nas laterais custa 5 
reais por cm². Determine a função que expressa o custo C para fabricar a caixa, em termos da 
medida x de um dos lados da base dessa caixa. 
 
8) Em uma praça, deseja-se construir um canteiro de 15 m² 
circundado por um gramado, conforme mostra a figura. 
Sabendo que cada m² da grama custa 20 reais, expresse o 
custo total do gramado em termos da medida x de um dos 
lados do canteiro. (A figura é meramente ilustrativa, não 
está em escala). 
 
9) Num jardim retangular com lados de 10 e 15 metros, será 
colocada uma cerca, fixando-a nos pontos A, B e C indicados na 
figura, para demarcar dois canteiros triangulares, que aparecem 
hachurados na figura dada. Sabendo que o ponto A está 
exatamente no meio do lado menor, expresse L da cerca, como 
função da medida x do cateto indicado na figura. Não se 
esqueça de indicar o domínio da função. (A figura é meramente 
ilustrativa, não está em escala). 
 
10) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua 
compra, é dado por v(t) = v0 . 2 
–0,2t
, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a 
máquina estivervalendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada. 
 
11) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de 
dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, 
dado em bilhões de dólares? Use 1,03
20
 = 1,80. 
 
 
 
 
55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
3.3 POLINÔMIOS 
Vamos iniciar relembrando a sessão anterior, na qual vimos que é possível modelar 
problemas matemáticos do cotidiano, através de uma equação matemática. 
Exemplo: Digamos que um fabricante necessite construir uma embalagem em forma de 
uma caixa sem tampa, de base quadrada, de tal maneira que tenha 1 unidade de volume. Para 
tal fim será utilizada uma superfície quadrada de papelão de lado a: deste, devemos retirar 
quatro quadrados iguais de lado x, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um polinômio sempre será da forma: anx
n 
+ an-1x
n-1
 +...+ a1x + a0, com n ϵ N, onde x é 
variável, e an, an-1,..., a1 e a0 são os coeficientes do polinômio. Neste capítulo, daremos atenção 
especial aos coeficientes reais. 
Dois polinômios serão iguais se tiverem o mesmo grau e os termos de mesmo grau 
forem iguais. 
Exemplo: p(x) = 4x
2
 + 2x + 2 e q(x) = 2x
2
 + x + 1. p(x) = q(x)? Não, pois p(x) = 2q(x) 
3.3.1 Função polinomial 
Podemos interpretar um polinômio como uma função polinomial, com p: R→R, 
representando por p(x) = anx
n
+ an-1x
n-1
 +...+a1x + a0. 
Voltando ao exemplo da caixa, se não tivéssemos fixado um valor para o volume, 
teríamos uma função polinomial, V(x) = 4ax³ - 4ax² + a²x, de grau 3. 
3.3.2 Valor Numérico 
Seja  C e o polinômio p definido por p(x) =anx
n
 + an-1x
n-1
 + ... + a2x
2
 + a1x
1
 + a0. O valor 
numérico de um polinômio p(x) para x = , é o número que se obtém substituindo-se x por , e 
efetuando-se todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. 
Exemplo: Seja o polinômio p(x) =2x
3
 + x
2
 - x+1. Se x = 3, então 
p(3) = 2(3)
3
 + (3)
2
 – (3) +1 
p(3) = 61 
x 
a 
Para calcular o volume desta caixa, basta multiplicarmos 
suas medidas, de comprimento, largura e altura. Desta 
forma temos que: 
V(x) = x.(a-2x)² = 1 
Pois, conforme o enunciado, queremos que o volume seja 
igual a 1. Que pode ser reescrito, tal que: 
4x³ - 4ax² + a²x – 1 = 0 
O que constitui um exemplo de equação polinomial de 
grau 3. a 
57 
 
3.3.3 Grau de um polinômio 
O grau de um polinômio p(x) = anx
n
+ an-1x
n-1
 +...+a1x + a0 (Notação: ∂(p) é n, se an ≠ 0. 
O polinômio nulo não possui grau. Por exemplo, p(x) = 0 pode ser escrito como 
p(x) = 0x
n
. 
O polinômio constante, p(x) = k tem grau zero, para k ≠ 0. Exemplo: p(x) = 4 = 4x
0 
3.3.4 Equações algébricas 
Chamamos de EQUAÇÃO POLINOMIAL ou ALGÉBRICA de grau n toda equação do tipo: 
p(x) = 0. Onde p(x) é um polinômio de grau n na variável x. 
 
Exemplo: x
3
 – 5x
2
 – 2x + 24 = 0; o conjunto solução é S = {-2, 3, 4} 
Observação: 
 O número de raízes de uma equação é sempre igual ao maior expoente da variável 
e estas raízes serão reais ou complexas. 
 O número real a é a raiz da equação p(x) = 0 se e somente se p(a) = 0. Toda 
equação algébrica admite ao menos uma raiz. 
Se o número complexo biaz  é raiz da equação p(x) = 0, de coeficientes reais, 
então seu conjugado biaz  também é raiz desta equação. 
3.3.5 Informações sobre as raízes 
Para determinarmos as raízes (x1, x2, x3, ..., xn) das equações de grau n  3, devemos 
achar uma das raízes e para reduzir o grau da equação algébrica utiliza-se o dispositivo de 
Briot-Ruffini. Caso a equação obtida seja de grau 2, resolvendo-a encontramos as demais 
raízes. Caso seja de grau maior que 2 utilizamos novamente Briot-Ruffini tantas vezes forem 
necessárias até chegarmos a uma equação de grau 2. 
3.3.5.1 Como Determinar a Primeira Raiz: 
a) Se a equação não possui termo independente, uma das raízes é ZERO. 
Exemplo: x
3
 – 5x
2
 + 6x = 0; o conjunto solução é S = {0, 2, 3} 
 
b) Se a soma dos coeficientes da equação for nula, uma das raízes é UM. 
Exemplo: x
3
 – 6x
2
 + 11x - 6 = 0; o conjunto solução é S = {1, 2, 3} 
Soma dos coeficientes = 1 – 6 + 11 – 6 = 0, logo x1 = 1. 
 
c) Se a primeira raiz não for UM ou ZERO as únicas possibilidades de raízes inteiras de 
uma equação são os divisores do termo independente que denominares de candidatos à raiz. 
Exemplo: x
3
 – 7x
2
 + 16x -12 = 0; o conjunto solução é S = {2, 3} 
Termo independente = -12 
58 
 
Soma dos coeficientes = 1 – 7 + 16 – 12 = - 2 
Candidatos à raiz =  1,  2,  3, , 4,  6,  12 
p(2) = 2
3
 – 7(2)
2
 + 16.2 – 12 = 8 – 28 + 32 – 12 = 0, logo x1 = 2. 
3.3.6 Raiz de um polinômio 
Chamamos de raiz de um polinômio p(x) toda solução da equação p(x) = 0. 
Exemplo: 1 e -1 são raízes do polinômio p(x) = x² - 1. 
3.3.7 Operações com polinômio 
Soma e subtração: 
Exemplo: p(x) = x
4
 + 3x
3
 + 2x – 1 e g(x) = x
3
 – 2x
2
 – x + 4. Para calcular p(x) + g(x), 
somamos ou subtraímos os coeficientes dos termos de mesmo grau. 
p(x) + g(x) = x
4
 + 4x
3
 – 2x
2
 + x + 3. Questionaremos sobre o grau do novo polinômio, 
mostrando que será no máximo o grau do maior entre eles. 
Exemplo: p(x) = -x
5
+1 e q(x) = x
5 
+ x³ 
p(x) + q(x) = x³ + 1 e o grau será 3 
p(x) – q(x) = -2x
5
 – x³ + 1 e o grau será 5. 
 
Multiplicação: Propriedade distributiva. O que acontecerá com o grau? Será a soma dos 
graus. 
Exemplo: p(x) = x² - 2x + 1 e q(x) = x – 2 
p(x).q(x) = x³ - 2x² + x – 2x² + 4x – 2 = x³ - 4x² + 5x – 2 
 
Divisão: Estamos habituados a resolver divisões envolvendo números, por exemplo: 
 
 
 
 
Que pode ser escrito como 3275 = 218 x 15 + 5 
Da mesma forma, podemos efetuar divisões entre polinômios com coeficientes reais. Por 
exemplo: 
59 
 
 
 
Que pode ser escrito como x³ + 5x² - 20x + 4 = (x² - 4x + 5).(x + 9) + (11x – 41) 
Teorema (divisão de polinômios): Sejam f(x) e g(x) dois polinômios com coeficientes 
reais, sendo g(x) ≠ 0. Existem polinômios q(x) e r(x) com coeficientes reais, tais que, f(x) = g(x). 
q(x) + r(x). E r(x) = 0 ou ∂(r) < ∂(g). Além disso, esses polinômios são únicos. 
No exemplo dado, para f(x) = x³ + 5x² - 20x + 4, e g(x) = (x² - 4x + 5), temos que 
q(x) = (x + 9) e r(x) = (11x – 41). E ∂(r) = 1 < 2 = ∂(g). 
Observe que, se o divisor g(x) tem grau 1, o resto será um polinômio constante. 
Exemplo: 
Divisão de x
4
 – 5x³ + 7x² - 5x + 9 por x – 2 
 
Observação: DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI. Este dispositivo serve para efetuar a divisão 
de um polinômio f(x) por um polinômio de primeiro grau da forma (x – a) ou (x + a). Neste 
dispositivo podemos encontrar o quociente q(x) e o resto r(x). 
Exemplo: Seja f(x) = x
3
 - 4x
2
 + 5x - 2 divido por g(x) = x - 3. Obter q(x) e r(x). 
1º) Calculamos a raiz de g(x) = x – 3 e encontramos x = 3. 
2º) Agora, montamos a seguinte estrutura: 
 
3º) Baixar o primeiro coeficiente do dividendo (na mesma coluna), depois multiplicar pela 
raiz de g(x) e somar com o segundo coeficiente de f(x). 
 
4º) Repete-se o procedimento até o último coeficiente de f(x). 
60 
 
 
 
Assim, o último dos números obtidos é o valor do resto, então r(x) = 4. Os demais 
números compõem o quociente, então q(x) = x
2
 – x + 2. 
 
Existe um modo mais simples de determinar o resto de uma divisão de um p(x) por um 
polinômio do tipo (x - α). 
Proposição 3.3.4.1 (Teorema do Resto): Sejam f(x) um polinômio de grau n, e α um 
número qualquer (que pode ser complexo). O resto da divisão de f(x) por (x-α) é f(α). 
Demonstração: Podemos representar a divisão de f(x) por (x- α) na forma: 
f(x) = q(x)(x – α) + r. Então f(α) = q(α)( α- α) + r, ou seja, f(α) = r. Se r=0, α é raiz do polinômio, e 
se r≠ 0, α não é raiz do polinômio. 
Voltando ao exemplo acima, f(2) = 3, que é justamente o resto da divisão que efetuamos. 
Proposição 3.3.4.2 (Decomposição): Sejam p(x) um polinômiode grau n e α um 
número qualquer (que pode ser complexo). Então, α é raiz de p(x) se, e somente se, existe um 
polinômio q(x) de grau n-1, tal que, p(x) = q(x).(x – α). 
Exemplo: Vamos fatorar o polinômio p(x) = x³ + x² - 5x + 3. 
Podemos ver que 1 é raiz, pois p(1) = 1³ + 1² - 5.1 + 3 = 0. Dividindo p(x) por (x-1) 
obtemos: 
p(x) = (x² + 2x – 3).(x – 1). Mas 1 também é raiz de x² + 2x – 3. Então, temos que: 
p(x) = (x-1)².(x+3). 
Decorre desta proposição que, se α é raiz de p(x) e também é raiz de q(x), então p(x) = 
q1(x).(x- α)². Dessa forma, dizemos que α é raiz de multiplicidade 2. Tantas vezes quanto α for 
raiz, será sua multiplicidade. Portanto, se α for k vezes raiz de p(x), sua multiplicidade será k, e 
podemos dizer que p(x) = qk(x- α)
k
. 
Assim, constatamos, no exemplo anterior que 1 e -3 são as raízes de p(x), sendo que 1 é 
raiz de multiplicidade 2 e -3 tem multiplicidade 1. 
Veremos mais alguns exemplos de fatoração de polinômios: 
Exemplo: p(x) = x
5
 – 3x
4
 – x³ + 11x² - 12x + 4. Notamos que 1 é raiz de p(x). Então, 
61 
 
 
Assim, podemos reescrever esse polinômio na forma: 
p(x) = (x-1)(x
4
 – 2x³ - 3x² + 8x – 4). 
Percebemos que 1 também é raiz do polinômio q(x) = x
4
 – 2x³ - 3x² + 8x – 4, e, portanto, 
é divisível por (x – 1). Efetuando a divisão, obtemos: 
 
 p(x) = (x-1)(x-1)(x³ - x² - 4x + 4) = (x-1)²(x³ - x² - 4x + 4). 
Só que 1 também é raiz do polinômio t(x) = x³ - x² - 4x + 4. Logo, ao realizar uma nova 
divisão por x-1, temos que: 
 ou seja, p(x) = (x-1)³(x²-4) 
Mas x²-4 pode ser escrito na forma (x-2)(x+2) (diferença de quadrados). Concluímos 
dessa forma que: 
p(x) = (x-1)³(x-2)(x+2), sendo que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 e 2 e -2 são raízes de 
multiplicidade 1. 
Assim, conseguimos fatorar completamente o polinômio p(x). 
Será que todo polinômio pode ser completamente fatorado? 
 
Exemplo: Fatorar o polinômio p(x) = 2x³ + 2. É fácil ver que -1 é raiz de p(x). Dividindo 
por x+1, temos: 
62 
 
 
 p(x) = (2x² - 2x + 1)(x+1) 
Mas o polinômio 2x² - 2x + 1 não admite raízes reais, pois ao calcularmos o Δ na fórmula 
de Báskara, teremos um valor negativo. Portanto, este polinômio não pode ser completamente 
fatorado, já que possui apenas uma raiz real, embora tenha grau 3, não estamos admitindo 
raízes complexas. 
Proposição 3.3.4.3: Um polinômio p(x) de grau n, com coeficientes reais, possui, no 
máximo, n raízes reais. Se α1, α2,..., αk são todas as raízes reais distintas de p(x) e n1,n2,...,nk 
suas respectivas multiplicidades, então podemos escrever: 
p(x) = (x – α1)
n1
.(x – α2)
n2
...(x – αk)
nk
.t(x), onde t é um polinômio sem raízes reais e com 
grau n – (n1 + n2 + ... + nk). 
Assim, vimos que, para fatorarmos um polinômio é necessário determinar suas raízes. 
No entanto, ao nos depararmos com polinômios de graus maiores, pode não ser tão simples 
determinar suas raízes. Para fazê-lo, podemos utilizar alguns métodos que restringem os 
candidatos a raízes. 
3.3.8 Sinal de um polinômio 
Já sabemos fatorar um polinômio. Agora podemos analisar o sinal deste verificando o 
sinal de cada um dos fatores. 
Exemplo: P(x) = x
4
 + 2x³ - 5x² - 6x 
Fatorando, obtemos x(x+3)(x-2)(x+1). Como obtemos fatores de grau um, fica mais fácil 
constatar o comportamento do polinômio em termos de sinais. 
 
Então, p(x) > 0 para x ϵ (-∞,-3)U(-1,0)U(2,+∞), p(x) < 0 para x ϵ (-3,-1)U(0,2) e p(x) = 0 
para x ϵ {-3,-1,0,2}. 
Podemos observar que o polinômio troca de sinal em suas raízes. 
63 
 
Proposição 3.3.5.1: Uma função polinomial só pode trocar de sinal em suas raízes. 
Observação: Em y=x², a função não altera de sinal em x=0, que é a raiz deste polinômio. 
Exemplo: Estudar o sinal de p(x): 
 
Fatoramos 2x – 5 = 2(x-5/2) e x² - 2x + 1 = (x-1)² (produto notável). Como (x-1)² é sempre 
positivo, temos que o sinal dependerá somente do fator (x-5/2). Assim, p(x) > 0 para x > 5/2 e 
p(x) < 0 para x < 5/2, com x ≠ 1. 
3.4 FRAÇÕES PARCIAIS 
Sabemos reduzir frações em um mesmo denominador: 
Exemplo: 
 
A ideia agora é inverter esse processo, ou seja, escrever uma fração como uma soma de 
frações. Esse procedimento é denominado decomposição em frações parciais. 
Exemplo: 
 
Podemos determinar os valores de A e B através de um sistema de equações ou pela 
substituição d raízes. 
1) Sistema: 
Segue que 8x -1 = Ax – 2A + Bx + B => 8x – 1 = (A+B)x – 2A + B.Então 8 = A+B e -2A + 
B = -1. Resolvendo este sistema, encontramos A = 3 e B = 5. 
2) Substituição de raízes: 
É fácil notarmos que -1 e 2 são as raízes do polinômio no denominador. Dessa forma, 
temos que: 
Se 8x – 1 = (x-2)A + (x+1)B, substituindo por estas raízes encontramos A=3 e B=5. 
Logo, podemos escrever: 
 
Esse método vale para um número qualquer de fatores lineares distintos: 
64 
 
 
E se os fatores não forem lineares distintos? 
Exemplo: Determinemos A, B, C e D tais que 
 
 
Os denominadores são iguais, então para que a igualdade seja satisfeita, devemos ter 
os numeradores iguais. Assim, 
-4x³ + 10x² - 3x + 3 = A(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)²(x+2) + D(x-1)³ 
-4x³ + 10x² - 3x + 3 = (C+D)x³ + (B – 3D)x² + (A + B – 3C + 3D)x + (2A – 2B + 2C – D) 
que nos leva ao sistema: 
C+D = -4 
B – 3D = 10 
A+B -3C + 3D = -3 
2A – 2B + 2C – D = 3 
Resolvendo o sistema, obtemos A=2, B=1, C=-1 e D=-3. 
Também poderíamos utilizar o método da substituição pelas raízes. Temos que as raízes 
são 1, de multiplicidade 3, e -2 de multiplicidade 1. Ao substituirmos x por -2, obtemos D = -3. E 
se tomarmos x = 1, 3A=6 => A=2. Agora, basta tomarmos um valor de x diferente das raízes 
para determinarmos os demais valores. Assim, se assumirmos x = 0 e x = -1 temos: 
= 2A – 2B + 2C - D => 3 = 4 – 2B + 2C + 3 => -4 = 2C – 2B, e 
20 = A – 2B + 4C -8D => 20 = 2 – 2B + 4C + 24 => 4C – 2B = -6 
Resolvendo este sistema mais simples, teremos C= -1 e B = 1+18x³ 
Logo, 
 
 
 
 
 
65 
 
3.5 Exercícios de Fixação e Aprendizagem 
 
1) Determine o quociente e o resto da divisão de ( ) por ( ): 
a) ( ) ( ) 
b) ( ) ( ) 
 
2) Determine o resto da divisão de ( ) por ( ) 
a) ( ) ( ) 
b) ( ) ( ) 
 
3) Fatore completamente os polinômios dados a seguir: 
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) 
 
4) Determine todos os valores reais que satisfazem as desigualdades dadas: 
a) 
b) 
c) ( )( ) 
 
5) Estude o sinal das funções racionais seguintes: 
a) ⁄ 
b) 
 
 
⁄ 
 
6) UFRGS – O polinômio( ) ( ) ( ) é de grau 2 se, e somente se, 
a) m = - 2 
b) m = 2 
c) m =  2 
d) m ≠ 2 
e) m ≠ - 2 
 
7) UFRGS – Se ( ) , então ( ) vale: 
a) -16 
b) -7 
c) 0 
d) 3 
e) 24 
 
 
 
 
66 
 
8) UCS – Se ( ) e ( ) , então vale: 
a) - 2 
b) - 4 
c) - 7 
d) 2 
e) 7 
 
9) O polinômio ( ) é idêntico a ( ) . O valor de 
 é: 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 0 
e) – 3 
10) UFRGS – Se 
x
B
1x
A
xx
2x
2





, o valor de A – B é: 
a) 5 
b) 3 
c) - 1 
d) - 3 
e) – 5 
 
11) Dividindo por encontramos como quociente: 
a) x + 3 
b) x + 4 
c) x + 5 
d) x – 1 
e) x – 3 
 
12) O resto da divisão do polinômio ( ) pelo polinômio ( ) é igual 
a: 
a) 0 
b) x + 2 
c) x – 2 
d) –x + 2 
e) –x – 2 
67 
 
13) UFRGS – A divisão de ( ) por tem quociente e resto . O polinômio ( ) é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
14) O quociente da divisão de por é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) n.r.a. 
 
15) O resto da divisão de por é: 
a) 3 
b) 6 
c) 4 
d) 5 
e) 7 
 
16) O resto da divisão de por é: 
a) - 2 
b) - 1 
c) 1 
d) 2 
e) 3 
 
17) 14. O polinômio () é divisível por . Então o valor de é igual 
a: 
a) - 9 
b) - 6 
c) 0 
d) 2 
e) 12 
68 
 
18) PUCRS – O resto na divisão de por é 17. O valor de é: 
a) 2 
b) 5 
c) 7 
d) 9 
e) 13 
 
19) Sendo 1 uma das raízes da equação . O valor da soma das outras 
duas raízes é: 
a) -6 
b) -5 
c) 5 
d) 6 
e) 11 
20) A soma dos quadrados das raízes de é: 
a) 45 
b) 35 
c) 25 
d) 15 
e) 5 
 
21) O conjunto solução da equação é: 
a) {-2, -1, 6} 
b) {-2, 2, 3} 
c) {-2, 3, 4} 
d) {-2, 1, 6} 
e) {-1, 2, 6} 
 
22) Faça a decomposição em frações parciais das seguintes funções racionais: 
a) ⁄ 
b) 
 
 ⁄ 
 
23) Um terreno retangular deverá ser cercado de modo que dois lados opostos recebam uma 
cerca reforçada, que custa R$ 5,00 por metro, enquanto que os outros dois lados 
receberão uma cerca padrão que custa R$ 3,00 por metro. Determine as medidas dos 
lados do terreno de maior área com estas características, sabendo que custo total para 
cercá-lo será de R$ 8.000,00. 
69 
 
 
70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
4 Matrizes e Sistemas Lineares 
Prof. Eric Robalinho 
OBJETIVOS DA AULA: nesta aula, o acadêmico terá a oportunidade de retomar e aprofundar 
conceitos que envolvem dados tabulados (matrizes) tais como a representação simbólica, 
algébrica, operações. E também, retomar resolução de equações interdependentes (sistemas 
lineares). Esta aula é fundamental para a disciplina de Álgebra Linear. 
4.1 MATRIZES 
Definição: Sejam dois números inteiros. Uma matriz m x n de números 
reais é uma dupla sequência de números reais, distribuídos em m linhas e n colunas, na forma 
de uma tabela: 
(
 
 
 
 
) 
Podemos abreviar a notação, usando( ) , ou apenas ( ). Cada 
número que compõe a matriz chama-se termo da matriz. Logo, chamamos ( ) de termo geral 
da matriz. 
4.1.1 Notações e propriedades: 
a) ( ) é o conjunto das matrizes reais m x n. 
b) Se m = 1 e n > 1, então a matriz 1 x n é chamada matriz linha. 
Exemplo: , - é uma matriz linha 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) 
 
c) Se m > 1 e n = 1, então a matriz m x 1 é chamada matriz coluna. 
Exemplo: 0
 
 
1 é uma matriz coluna 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna) 
 
d) Se m = n, então a matriz m x n é chamada matriz quadrada de ordem m. 
Exemplos: 0
 
 
1 é uma matriz quadrada de ordem 2. 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 é uma matriz quadrada de ordem 4. 
 
e) Matriz diagonal é uma matriz quadrada, na qual para , isto é, todos os 
elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. 
Exemplo: [
 
 
 
] é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são: 
 . 
 
72 
 
f) Matriz nula é a matriz na qual todos os elementos são nulos. 
Exemplo: [
 
 
 
] é uma matriz nula (quadrada de ordem 3). 
 
g) Matriz identidade é a matriz diagonal na qual os elementos da diagonal principal são 
todos iguais a 1. Notação: In 
Exemplo: [
 
 
 
]é a matriz identidade de ordem 3. 
 
h) Duas matrizes reais m x n, A = ( ) e B = ( ), são iguais, isto é, A = B, se, e 
somente se, ( ) 
Exemplo: seja [
 
 
 
] [
 
 
 
] , então x = 4, y = 2 e z = -3. 
 
i) Sejam duas matrizes reais m x n, A = ( ) e B = ( ), então indicamos por A + B a 
matriz soma de A com B, cujo termo geral é . 
 Propriedades da adição de matrizes: 
1) ( ) ( ) ( ) (associativa) 
2) ( ) (comutativa) 
3) Existe uma matriz ( ) tal que ( ) (elemento neutro) 
4) Seja ( ), existe uma matriz ( ) ( ) , tal que ( ) (matriz 
oposta) 
Exemplo: Sejam [
 
 
 
] e [
 
 
 
] , então [
 
 
 ( )
] [
 
 
 
] 
 
j) Sejam duas matrizes reais m x n, A = ( ) e B = ( ), então indicamos por a 
matriz diferença de A com B, cujo termo geral é , isto é, a matriz soma de A com a 
oposta de B: ( ) 
 
k) Seja uma matriz A = ( ), m x n, e um número real r (ou escalar), o produto de r por A 
é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por r, ou seja, é a matriz real m x n dada 
por: 
 (
 
 
 
 
) 
 Propriedades da multiplicação por escalar (matrizes quaisquer A e B, e números reais 
quaisquer r e s): 
1) (rs) A = r (sA); 
2) (r + s) A = rA + sA; 
3) r(A + B) = rA + rB; 
4) 1 A = A. 
73 
 
Exemplo: Sejam [
 
 
 
] , então [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
l) Seja a matriz A = ( ), m x n; chamamos de matriz transposta de A a matriz B = ( ), 
n x m, tal que Notação: A
t
 . 
 Propriedades da matriz transposta: 
1) (A + B)
t
 = A
t
+ B
t
 
2) (kA)
t
 = k A
t
 , k 
3) (A
t
)
t
 = A 
4) (A.B)
t
 = B
t
 . A
t
 
Exemplo: seja [
 
 
 
] , então a transposta de 0
 
 
1 
 
m) A matriz A é chamada matriz simétrica se for quadrada e . 
 
n) A matriz A é chamada matriz anti-simétrica se for quadrada e . 
 
o) Multiplicação de matrizes: sejam as matrizes A = ( ), m x n, e B = ( ), n x p;o 
produto , ou , é a matriz m x p cujo termo geral é dado por: 
 ∑ 
 
 
 
 Propriedades da multiplicação de matrizes: 
1) Sejam A = ( ), m x n; B = ( ), n x p; C = ( ), p x q. 
Então A(BC) = (AB) C. (associativa) 
2) Sejam A = ( ), m x n; B = ( ), n x p; C = ( ), n x p. 
Então A (B+ C) = AB + AC. (distributiva da adição) 
Exemplo: sejam 0
 
 
1 , 2 x 2, e 0
 
 
1 , 2 x 3, então o produto AB é 
determinado como: 
 [
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
] 
 0
 
 
1 , que é uma matriz 2 x 3. 
 
p) A matriz identidade de ordem n é representada por: 
 (
 
 
 
 
) (elemento neutro da multiplicação) 
q) A matriz identidade In verifica as condições: A.In = In.A = A, para toda matriz A de 
ordem n. 
74 
 
 
r) Uma matriz A de ordem n é chamada matriz inversível se, e somente se, existe uma 
matriz B, também de ordem n, de modo que: 
A.B = B.A = In 
A matriz B, caso exista, é única e é chamada de matriz inversa de A, e indica-se por A
-1
. 
Uma matriz não inversível é chamada de matriz singular. 
Observação: existe um método prático para a determinação da matriz inversa, que 
veremos mais adiante, no curso de Álgebra Linear. 
 
s) Uma matriz quadrada A é chamada matriz ortogonal se A é inversível e A
-1
 = A
t
 . 
4.2 Exercícios de Fixação e Aprendizagem: 
1) Sejam 0
 
 
1 , 2 x 2, e 0
 
 
1 , 2 x 3, é possível calcular o produto 
BA ? Justifique. 
2)Sejam 0
 
 
1 , 2 x 3, e [
 
 
 
] , 3 x 3, calcule o produto AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.1 Respostas: 
1) Não, pois o número de colunas da 1ª. matriz deve ser igual o número de linhas da 2ª. 
matriz para podermos aplicar a definição de multiplicação de matrizes. 
2) 0
 
 
1 
75 
 
4.3 SISTEMAS LINEARES 
Uma equação linear sobre nas incógnitas

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