Aula_Cap6_Fisica_Movi-água-solo_Solo

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F´ısica do Solo
Cap.6 - Fase L´ıquida do solo
Prof. H.J.Kliemann
Curso de Agronomia - Campus Palotina
Universidade Federal do Parana´ - UFPR
Palotina, PR, setembro de 2013
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Introduc¸a˜o
⇒ Para haver movimento ou fluxo de a´gua deve existir um gradiente de potencial. Caso contra´rio, o potencial total (φt ) na˜o
varia, porque o gradiente e´ igual a zero e a a´gua esta´ em equil´ıbrio.
⇒ Experimento e equac¸a˜o generalizada de Darcy.
⇒ Henry Darcy (Darcy, 1856) engenheiro sanitarista franceˆs, estudou a infiltrac¸a˜o da a´gua em filtros de areia homogeˆnea em
condic¸o˜es saturadas de acordo com a Figura FL626:
Figura FL626. Diagrama do arranjo experimental utilizado por Darcy na determinac¸a˜o
da condutividade hidra´ulica em meio poroso homogeˆno.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Introduc¸a˜o
⇒ Apo´s atingidas as condic¸o˜es de equil´ıbrio dinaˆmico (”steady-state”), Darcy chegou a`s seguintes concluso˜es:
1 A vaza˜o Q (volume de a´gua que atravessa uma coluna por unidade de tempo) e´ proporcional a` a´rea A de sua sec¸a˜o
transversal.
Q ∝ A (1)
2 A vaza˜o Q e´ proporcional a` diferenc¸a de carga piezome´trica (h1 − h2) atrave´s do filtro:
Q ∝ (h1 − h2) (2)
3 A vaza˜o e´ inversamente proporcional ao comprimento L do filtro:
Q ∝ 1/L (3)
4 Ora, se uma determinada grandeza e´ simultaneamente proporcional a va´rias outras, e´ tambe´m proporcional ao produto
delas. Combinando-as, a equac¸a˜o de Darcy resulta em
Q = A.
h1 − h2
L
(4)
5 Substituindo o s´ımbolo de proporcionalidade por uma constante de proporcionalidade K , obte´m-se a famosa fo´rmula de
Darcy, que expressa sua lei:
Q = K .A.
h1 − h2
L
(5)
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Introduc¸a˜o
⇒ Vamos ver o significado dos paraˆmetros da equac¸a˜o de Darcy: gradiente de potencial hidra´ulico, densidade de fluxo e
condutividade hidra´ulica.
⇒ A a´gua move-se apenas quando ha´ diferenc¸as de potencial hidra´ulico H nos diferentes pontos de um sistema. O movimento
da´-se no sentido do decre´scimo de H, isto do maior para o menor. A equac¸a˜o original de Darcy foi adaptada mais tarde por
Buckingham (1907) para solos na˜o-saturados. Apesar de as limitac¸o˜es, e´ a que melhor descreve o fluxo de a´gua no solo.
⇒ De acordo com Figura FL626, temos a carga piezome´trica h1 = φ1h (potencial hidra´ulico - energia/peso) na extremidade
superior do filtro de areia; da mesma forma, constatamos h2 = φ
2
h na extremidade inferior do filtro. Nessas condic¸o˜es o termo
h1 − h2
L
=
φ1h − φ2h
L
=
∆φh
L
(6)
e´ interpretado como o gradiente de potencial hidra´ulico, isto e´, a variac¸a˜o do escalar φh com a distaˆncia. Por outro lado, ∆φh
pode variar em diferentes pontos do meio poroso (se na˜o for homogeˆneo). Expressa-se, enta˜o, a lei de Darcy por:
~q = −K ~∇φh (7)
em que: ∣∣∣∣∣~q
∣∣∣∣∣ = QA.t (8)
⇒ Como K e´ um escalar e ~∇ um vetor, ~q tambe´m e´ um vetor, chamado de velocidade de fluxo, ou simplesmente de fluxo.
Representa o volume de a´gua Q que entra ou sai da unidade de a´rea das extremidades da coluna de a´rea A por unidade de
tempo (t). Ale´m disso, como o vetor ~q e´ igual, pore´m de sinal oposto ao vetor K ~∇φh , o sinal e´ negativo na equac¸a˜o de Darcy.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Introduc¸a˜o
Figura FL627. Decomposic¸a˜o de um vetor ~u em seus treˆs componentes.
Para entender o processo como um todo, vamos melhorar a definic¸a˜o de gradiente. No sistema cartesiano todo vetor ~u pode ser
decomposto em suas treˆs componentes ortogonais (Figura FL627):
~u=ux~i + uy~j + uz~k
em que: ux , uy e uz sa˜o os mo´dulos dos componentes;~i ,~j e ~k sa˜o os vetores unita´rios (mo´dulo=1), de direc¸a˜o x , y e z,
respectivamente.
~∇ e´ um operador matema´tico, que somente tem sentido f´ısico quando interage com outras grandezas.O operador ~∇ e´ um vetor,
que em coordenadas cartesianas possui os seguites componentes:
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Movimento da a´gua no solo - Introduc¸a˜o
~∇ =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
(9)
que, no caso do gradiente de potencial da a´gua no solo (∇H) pode ser escrita na forma:
gradH = ~∇H = ∂H
∂x
~i +
∂H
∂y
~j +
∂H
∂z
~k (10)
Quando o vetor ~∇ opera sobre uma grandeza escalar, como no exemplo da temperatura (grandeza escalar), o resultado e´ o
gradiente ~∇T de temperatura:
~∇ = gradT (11)
Para efetuar a operac¸a˜o basta operar ~∇T sobre T ;
~∇T = ∂T
∂x
~i +
∂T
∂y
~j +
∂T
∂z
~k = vetor (12)
⇒ O gradiente e´ o resultado da operac¸a˜o de ∇ sobre uma grandeza escalar, resultando em uma grandeza vetorial, com mo´dulo,
direc¸a˜o e sentido. Na equac¸a˜o de Darcy, temos a condutividade hidra´ulica K , que e´ uma grandeza escalar (energia) e o
gradiente ~∇H um vetor (forc¸a). Consequentemente, a grandeza ~q tambe´m e´ um vetor, chamado de velocidade de fluxo, ou
simplesmente de fluxo.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Introduc¸a˜o
⇒ Densidade de fluxo
⇒ A densidade de fluxo ~q e´ a vaza˜o de a´gua por unidade de a´rea de sec¸a˜o transversal normal a` direc¸a˜o de q. Representa o
volume de a´gua Q que entra ou sai da unidade de a´rea das extremidades da coluna de a´rea A por unidade de tempo. Ale´m
disso, como o vetor e´ igual, pore´m de sinal oposto ao vetor, o sinal e´ negativo na equac¸a˜o generalizada de Darcy.
⇒ Dimensionalmente, q tem dimensa˜o de velocidade (LT−1), que e´ dada por:
1 Fluxo saturado
~ν =
~q
f
(13)
em que: ~ν e´ a velocidade do fluxo; f , a porosidade total ocupada pela a´gua (solo saturado); e θ, parte do volume
poroso ocupada pela a´gua (solo na˜o-saturado).
2 Fluxo na˜o-saturado
~ν =
~q
θ
(14)
⇒ Por causa das difrenc¸as na forma, direc¸a˜o, largura e tortuosidade dos poros, a velocidade real da a´gua no solo e´ altamente
varia´vel, podendo-se, na melhor das hipo´teses, falar em velocidade real me´dia.
⇒ Define-se tortuosidade de um meio poroso como o quadrado da raza˜o entre a distaˆncia real percorrida por um flu´ıdo e a
distaˆncia em linha reta.
⇒ Devido a esse fato ~q difere de ~v . O paraˆmetro e´ adimensional, variando de 1 a 2.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Introduc¸a˜o
⇒ Condutividade hidra´ulica.
⇒ A condutividade hidra´ulica e´ uma grandeza escalar. A partir da equac¸a˜o de Darcy a condutividade hidra´ulica pode ser
definida como a densidade de fluxo por unidade de gradiente de potencial hidra´ulico (LT−1).
⇒ Por outro lado, para um mesmo gradiente, quanto maior for K, maior sera´ ~q e vice-versaa. Da´ı, a condutividade hidra´ulica
pode ser definida por um coeficiente que expressa a facilidade com que um flu´ıdo e´ transportado atrave´s de um meio poroso. K
depende ainda das propriedades do flu´ıdo.
⇒ O meio poroso (solo) e´ caracterizado pela distribuic¸a˜o de poros por tamanho, forma e natureza das part´ıculas, tortuosidade e
continuidade dos poros e superf´ıcie espec´ıfica, que definem a geometria porosa do solo. Assim, temos:
K = κ
(
ρf g
η
)
(15)
em que: κ e´ a permeabilidade intr´ınseca (L2); ρf , a densidade do flu´ıdo (ML
1−); g , a acelerac¸a˜o da gravidade (LT−1); e η, a
viscosidade do meio (ML1−T−1).
⇒ Pode-se ainda dizer que κ caracteriza as propriedades do meio poroso (matriz so´lida) e (ρf g), as propriedades do flu´ıdo.
Caso ρf e g forem constantes e o meio porosofor esta´vel κ (permeabilidade intr´ınseca) torna-se apenas func¸a˜o de θ (umidade
volume´trica), que, por sua vez, se relaciona com a a´rea dispon´ıvel ao fluxo. Formalmente,
K = K(θ) (16)
⇒ Quando θs = θ0, a umidade de saturac¸a˜o equivale a` porosidade total (f ), o fluxo e´ saturado e K tem o valor ma´ximo,
K = K0.
a
Nota: K e´ isotro´pico se essa propriedade na˜o depende da direc¸a˜o dentro do meio; e´ anisotro´pico, ao contra´rio,
quando K, que varia dentro do meio, depende da direc¸a˜o.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Introduc¸a˜o
⇒ Condutividade hidra´ulica.
 
 
50 cm 
Nível constante 
150 cm 
z = L 
z = 0 
Amostra de solo 
 
Figura FL628. Fluxo saturado de a´gua no solo.
⇒ Exemplo: Na Figura FL628 temos uma coluna de solo, pela qual passa um fluxo de a´gua, que se mede na proveta graduada.
A coluna de solo tem sec¸a˜o transversal A=10cm2 e comprimento L=50 cm. Um volume Q=30 cm3 de a´gua e´ coletada em um
hora. Qual a condutividade hidra´ulica do solo?
Soluc¸a˜o:
⇒ Como o solo esta´ saturado, determinaremos K0. Na equac¸a˜o de Darcy o gradiente ∂H∂z pode ser aproximado por uma
diferenc¸a finita ∆H
∆z
ou ainda (Hb − Ha)/L. Assim, a equac¸a˜o fica:
q=30/(10.60)=0,05 cm min−1
Ha = za + ha = 0 + 150 = 150 cm de H2O
Hb=zb + hb=50 + 0 = 50 cm de H2O
0,05 = −K0 (50− 150)/50
K0 =0,025 cm min
−1
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - direc¸ao
⇒ Condutividade hidra´ulica. ⇒ Regras para designar o sentido do movimento horizontal e
vertical da a´gua em meios porosos.
⇒ Vamos considerar um meio poroso homogeˆneo de comprimento L, com uma diferenc¸a de
potencial hidra´ulico em suas extremidades, a equac¸a˜o (2) podem enta˜o ser escrita de forma
simplificada
q = −K(θ) ∆φh
L
(17)
Para evitar confuso˜es, convencionam-se os sinais de fluxo do seguinte modo:
1 No fluxo horizontal
q = −K(θ)
φhdireita − φhesquerda
L
(18)
2 No fluxo vertical
q = −K(θ)φhacima − φhabaixo
L
(19)
Exemplo:
⇒ Na Figura FL629 veˆem-se dois tensioˆmetros colocados no solo nos pontos A e B. Deseja se
saber o fluxo de a´gua entre A e B.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - direc¸ao do fluxo
 
 
 
B 
 
 
30 cm 
 
30 cm 
 
Figura 6.22. Tensiômetros no solo indicando fluxo horizontal da água. 
A 
 
30 cm Hg 
 
10 cm 
20 cm Hg 
Direção do fluxo 
 
Figura FL629. Esquema de dois tensioˆmetros indicando fluxo horizontal de a´gua no solo.
⇒ Condutividade hidra´ulica. Soluc¸a˜o: O potencial h da a´gua nos pontos A e B e´ calculado por:
hA = −(13,6h − h1 − h2) = −(272− 20− 10− 30) = −212 cm de H20
hB = −(13,6h − h1 − h2) = −(408− 30− 15− 30) = −333 cm de H20
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - direc¸ao do fluxo
⇒ Condutividade hidra´ulica. ⇒ A curva caracter´ıstica de a´gua no solo e´ apresentada na Figura FL630 e a curva de
condutividade hidra´ulica na Figura FL631. ⇒ O potencial hidra´ulico utilizado como refereˆncia para a gravidade e´ a linha que
une os pontos A e B:
HA = hA + 0 = −212 cm de H2O
HB = hB + 0 = −333 cm de H2O
Pela curva caracter´ıstica do solo (Figura FL630) tem-se os valores de umidade nos pontos A e B.
hA = 0,45 cm
3cm−3
hB = 0,40 cm
3cm−3
⇒ Pela Figura FL630 verifica-se ainda que K do solo nos pontos A e B sa˜o KA=0,8 cm min−1 e KB =0,2 cm min−1. Como
na equac¸a˜o de DARCY e´ utilizada apenas um valor de K ,usa-se a me´dia de dois ou mais valores de K :
K =
KA + KB
2
= 0,5 cm min−1
e o fluxo fica:
q =
Q
A.t
= Ko =
Ha − Hb
L
= 0,5[333− (−212)]/200 = 0,3 cm min−1
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - direc¸ao do fluxo
⇒ Condutividade hidra´ulica.
 
 
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 
Umidade volumétrica ( - cm3 cm-3) 
500 
 
 
 
400 
 
 
 
300 
 
 
 
200 
 
 
 
100 
 
 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
N 
M 
P 
B 
A 
hB 
hA 
 
Po
te
nc
ia
l m
at
ri
ca
l 
(
m
 –
 c
m
 d
e 
ág
ua
) 
 
FL630. Curva caracter´ıstica de a´gua no solo - determinac¸a˜o do gradiente de potencial pelo me´todo da tangente.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - direc¸ao do fluxo
⇒ Condutividade hidra´ulica.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 
Umidade volumétrica ( - cm3 cm-3) 
 
10
0 
 
 
 
10
-1 
 
 
 
10
-3 
 
 
 
10
-4 
 
 
 
10
-5 
 
 
 
 
C
on
du
tiv
id
ad
e 
hi
dr
áu
lic
a 
–K
(

c
m
 s-
1 
 
 
Figura FL631. Condutividade hidra´ulica K(θ) em func¸a˜o da umidade do solo.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - direc¸ao do fluxo
⇒ Difusividade hidra´ulica. ⇒ Ale´m da condutividade hidra´ulica existe a difusividade hidra´ulica. Este conceito foi
introduzido da seguinte forma: para fluxo horizontal H=h, uma vez que a componente gravitacional na˜o entra em jogo. Nesse
caso a equac¸a˜o de DARCY fica:
q = −K
(
∂h
∂x
)
(20)
e, como h = h(θ) (a partir da curva caracter´ıstica), podemos reescreveˆ-la da seguinte forma:
q = −K
(
∂h
∂x
)(
∂θ
∂x
)
= −D
(
∂θ
∂x
)
(21)
de que:
D = −K
(
∂h
∂x
)
(22)
em que: D e´ a difusividade hidra´ulica. Ela e´, enta˜o, o produto de K (a um dado valor de θ) pela tangente a` curva caracter´ıstica
(no ponto correspondente ao mesmo valor de θ).
No caso do fluxo vertical, D tambe´m pode ser introduzido nas equac¸o˜es:
q = −K
(
H
z
)
= −K ∂
∂z
(h + z) = −K
(
∂h
∂θ
)(
∂θ
∂z
)
− K (23)
q = −
(
∂h
∂z
)(
∂θ
∂z
)
− K = −D
(
∂θ
∂z
)
− K (24)
isto e´, para o caso do fluxo vertical, pode-se utilizar a equac¸a˜o de Darcy nas duas formas:
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - direc¸ao do fluxo
⇒ Difusividade hidra´ulica.
q = −K
[
∂θ
∂z
+ 1
]
(25)
Para o exemplo 2, temos:
DA=−KA
(
∂h
∂z
)
θA
=0,8.200/0,2=1600 cm2 min−1
e
DB =−KB
(
∂h
∂z
)
θB
=0,2.250/0,1=500 cm2 min−1
em que: 200/0,1 e 250/0,1 sa˜o, respectivamente, as tangentes a` curva de retenc¸a˜o da Figura FL631 nos pontos θA e θB, isto
e´,
(
∂h
∂θ
)
em θA e θB .
D=
(
DA+DB
2
)
=1050 cm2 min−1
q=−D
(
θA−θB
L
)
q=0,26 cm min1 ,
que e´, aproximadamente, o valor obtido no exemplo, utilizando condutividades. Como se pode verficar, a maior fonte de erros
nesses ca´lculos com a equac¸a˜o de Darcy esta´ na estimativa de K e D, que aumentam com o gradiente.
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Movimento da a´gua no solo - direc¸ao do fluxo
⇒ Condutividade hidra´ulica.
⇒ E´ importante salientar que o fluxo de a´gua no solo, sendo o produto da condutividade
hidra´ulica do solo pelo gradiente de potencial hidra´ulico, depende da combinac¸a˜o dessas duas
grandezas. Quando a condutividade hidra´ulica e´ muito pequena na presenc¸a de um gradiente
grande (e vice-versa) obte´m-se um fluxo razoa´vel. Quando ambos sa˜o grandes, o fluxo atinge
grandes proporc¸o˜es e quando ambos sa˜o pequenos, ofluxo fica desprez´ıvel. Por outro lado, um
gradiente nulo tambe´m implica em q=0, mesmo que K seja grande.
.
⇒ Como K diminui drasticamente com θ [geralmente a curva K(θ) assume formato exponencial
em , para um mesmo gradiente, o fluxo e´ tanto menor quanto menor for θ. Por isso, o
movimento de a´gua em um solo seco e´ geralmente bem menor do que num solo u´mido.
.
⇒ Quando a a´gua infiltra em um solo seco, a camada superior fica quase saturada e K e´ ma´ximo
(K = Ko ). Ale´m disso, o gradiente de potencial entre a parte seca e a parte u´mida e´ e-norme,
resultando, da´ı, um fluxo muito grande. Da´ı surge a ide´ia erroˆnea de que a a´gua se move mais
rapidamente em solo seco. Quando a a´gua infiltra em um solo u´mido, K e´ grande, mas o
gradiente e´ pequeno e a infiltrac¸a˜o (fluxo) e´ pequeno, quando comparado com o solo seco.
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Movimento da a´gua no solo - Condutividade hidra´ulica saturada Kθ
⇒ Existem na literatura va´rios me´todos de determinac¸a˜o de Kθ, em laborato´rio e em campo.
⇒ Me´todos de laborato´rio
Permeaˆmetro do tipo carga constante
⇒ O permeaˆmetro de carga constante, cujo esquema de funcionamento esta´ na Figura FL632, e´
mais adequado para amostras cujos valores de Ko sejam > 0,01 cm min−1.
Figura FL632. Esquema do permeaˆmetro de carga constante para a medic¸a˜o da condutividade hidra´ulica saturada Ks .
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Condutividade hidra´ulica saturada Ks
⇒ O me´todo do permeaˆmetro de carga constante e´ a experieˆncia de Darcy. A amostra a usar deve ter estrutura indeformada,
seguindo-se as etapas:
– Cobrir uma das extremidades da amostra com uma pec¸a circular de pano presa no local com um ela´stico;
– colocar a amostra com essa parte coberta para baixo numa bandeja com a´gua, de maneira que o n´ıvel da a´gua da
bandeja fique pouco abaixo do topo da amostra;
– deixar a mostra assim por um per´ıodo m´ınimo de 16 horas (ou mais), ate´ que a amostra esteja completamente saturada;
– conectar um cilindro vazio adicional no topo do cilindro de Uhland, unindo os dois com anel de borracha ou fita adesiva
a` prova de a´gua (sem retirar a amostra da bandeja);
– colocar uma rodela de papel de filtro no topo da amostra e, vagarosamente, colocar a´gua no cilindro superior ate´ 3/4 do
seu volume;
– rapidamente transferir a amostra para a banca do permeaˆmetro (ou suporte) e ativar o sifa˜o de a´gua (Figura FL632).
Atingida a condic¸a˜o de equil´ıbrio dinaˆmico (steady state), aplica-se a equac¸a˜o de Darcy, lembrando que no presente caso o
potencial hidra´ulico (H) equivale a h + L no topo da amostra e zero na base. Portanto,
K =
(
Q
A.t
)(
∂z
∂H
)
(26)
em que: Q e´ o volume de a´gua coletado na proveta (ou medida na bureta de Mariotte) durante o tempo t; A, a a´rea de sec¸a˜o
transversal da amostra; L, o comprimento da amostra (z); h, o potencial de pressa˜o (carga hidra´ulica) no topo da amostra.
Exemplo: Qual e´ a condutividade hidra´ulica saturada de uma amostra indeformada, coletada com o cilindro de Uhland. A altura
da laˆmina de a´gua e´ de 1,7 cm e a condic¸a˜o de steady state foi atingida gastando-se 50 cm3 de a´gua em 180,2 s?
Soluc¸a˜o: A=sec¸a˜o da amostra=pir2=3,1416.3,8.3,8=45,364 cm2 H=h=7,6+1,7=9,3 cm t=180,2 s e Q=50 cm3
K0 =
50 cm3
45,364 cm 180 s
. 7,6 cm
99,3 cm
= 0,004998 cm s−1
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Condutividade hidra´ulica saturada Ks
Permeaˆmetro de carga decrescente
⇒ Este tipo de permeaˆmetro e´ adequado para solos com Ko baixo (< 0,01 cm min−1), tais como corpos de prova de
estruturas de terra (barragens, leitos de estradas). O funcionamento e´ ilustrado na Figura FL633.
⇒ O procedimento de saturac¸a˜o da amostra e´ o mesmo descrito para o caso do permeaˆmetro de carga constante. A u´nica
diferenc¸a e´ que, ao inve´s de se conectar um cilindro adicional no topo da amostra, conecta-se um tubo de vidro transparente
(Figura FL633). Pelo arranjo nota-se que no tempo t1 o potencial hidra´ulico no topo da amostra e´ H1 e no tempo t2 e´ H2.
Figura FL633. Esquema do permeaˆmetro de carga constante para a medic¸a˜o da condutividade hidra´ulica saturada Ks .
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Fluxo na˜o-saturado de a´gua no solo
⇒ O fluxo de a´gua denomina-se na˜o saturado quando ele ocorre no solo em qualquer condic¸a˜o
de umidade abaixo do valor de saturac¸a˜o θs . A maioria dos processos que envolvem movimento
de a´gua no solo, ocorrem em condic¸o˜es na˜o saturadas. Os processos de fluxo na˜o saturado sa˜o
complicados e, de maneira geral, de dif´ıcil descric¸a˜o quantitativa.
⇒ Para entender o fluxo na˜o-saturado tornam-se necessa´rias algumas explicac¸o˜es sobre
divergente, ale´m do gradiente de potencial, da densidade de fluxo e da condutividade hidra´ulica.
⇒ Quando o operador ∇ opera sobre um vetor na forma de um produto escalar de vetores, o
resultado e´ o divergente de um vetor, que mede a variac¸a˜o do fluxo dos vetores. Seja, por
exemplo, ~v = velocidade. Enta˜o, ∇ e´ o divergente de velocidade.
∇.~v = div ~v
em que o ponto(.) indica o produto escalar de dois vetores. Em termos de fluxo um soluto no
solo, por exemplo, treˆs situac¸o˜es distintas sa˜o poss´ıveis:
1 divA >0, existe uma fonte de A
2 divA <0, existe um sumidouro de A
3 divA >0, fluxo que entra = fluxo que sai, significa fluxo conservativo
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Fluxo na˜o-saturado - Conceito de divergente
⇒ Nessa operac¸a˜o basta efetuar o produto escalar de ∇ e ~v . Para tanto, vamos desdobra´-los
em seus componentes:
∇~v =
(
∂
∂x
~i +
∂
∂y
~j +
∂
∂z
~k
)
.
(
vx~i + vy~j + vz~k
)
=
=
∂
∂x
.~ivx +
∂
∂x
.vy~i +
∂
∂x
~i .vz~k +
∂
∂y
~j .vx~i + . . . . . . , (27)
mas, como ~i .~i =~j .~j = ~k.~k = 1 ( produto de vetores unita´rios de mesmo sentido e direc¸a˜o) e
como ~i .~j =~i .~k = ~k.~j = 0 (produto de vetores perpendiculares), tem-se que:
∇.v = ∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
(28)
⇒ O divergente, sendo o resultado da operac¸a˜o de ∇ sobre uma grandeza vetorial, consequentemente e´ uma grandeza escalar.
Para o exemplo da velocidade, o divergente e´ uma medida da soma das variac¸o˜es de seus componentes ao longo das direc¸o˜es x ,
y ez.
⇒ Como o gradiente de um escalar e´ um vetor, podemos obter o divergente do gradiente de um escalar. Por exemplo, a
temperatura e´ um escalar, o seu gradiente (gradT ) e´ um vetor, logo, o divergente do gradiente [div(gradT )] e´ um escalar. No
caso do fluxo da a´gua no solo o divergente ~q e´ variac¸a˜o da umidade do solo com o tempo. E´ a equac¸a˜o da continuidade.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Fluxo na˜o-saturado - Equac¸a˜o de continuidade
⇒ A lei de Darcy, por si so´, e´ apenas suficiente para descrever os processos de fluxo estaciona´rio
(ou estado esta´vel, ou noutra versa˜o para o portugueˆs, de equil´ıbrio dinaˆmico), que permanecem
constantes e, consequentemente, o potencial e o gradiente tambe´m permanecem constantes ao
longo do tempo.
Figura FL634. Elemento de volume de solo em torno de um ponto gene´rico M num pertil
hipote´tico de solo.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Fluxo na˜o-saturado - Equac¸a˜o de continuidade
⇒ Como nos processos de fluxo na˜o-esta´veis ou transientes a magnitude e ate´ a direc¸a˜o do
fluxo e dogradiente de potencial variam com o tempo, necessita-se da introduc¸a˜o de uma lei
adicional, ou seja, a lei da conservac¸a˜o da mate´ria, que e´ expressa pela equac¸a˜o de
continuidade. Em resumo, seria interessante dispor de uma equac¸a˜o do tipo θ = θ(x ,y ,z,t), que
nos permitisse determinar θ em qualquer posic¸a˜o no espac¸o (x , y e z) e em qualquer tempo (t).
Vamos considerar um elemento de volume ∆V de solo em torno de um ponto M, situado um
perfil hipote´tico de solo, para estudar as variac¸o˜es de umidade (Figura 23. A densidade de fluxo
~q que entra no elemento de volume
∂θ
∂t
= −∂qx
∂x
(29)
que no sistema tridimensional e´
∂θ
∂t
= −∇.q (30)
Relembrando a lei de Darcy,
∂θ
∂t
= −K∇H, (31)
que na forma unidimensional e´
qx = −K dH
dx
, (32)
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Fluxo na˜o-saturado - Equac¸a˜o de continuidade
em que: H e´ o potencial hidra´ulico e K , a conduvitidade hidra´ulica. Combinando a equac¸a˜o
(49) com a equac¸a˜o da continuidade (47), obte´m-se:
∂θ
∂t
= ∇.K∇.H, (33)
Na forma unidimensional, a equac¸a˜o 49 torna-se:
∂θ
∂t
= ∇.K∇.H, (34)
Na forma unidimensional, a equac¸a˜o 49 torna-se:
∂θ
∂t
=
∂
∂t
(
K
∂H
∂x
)
(35)
Considerando-se que o potencial hidra´ulico pode resolvido num potencial de pressa˜o Hp e num
potencial gravitacional (elevac¸a˜o acima de algum datum de refereˆncia, z), pode-se reescrever a
equac¸a˜o 34:
∂θ
∂t
= ∇. [K (∇Hp +∇z)] (36)
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Fluxo na˜o-saturado - Equac¸a˜o de continuidade
No fluxo horizontal, ∇z =0, enta˜o:
∂θ
∂t
=
∂
∂x
[
K
(
∂Hp
∂x
)]
(37)
No fluxo vertical, ∂z
∂t
=1, enta˜o:
∂θ
∂t
=
∂
∂z
[
K
(
∂Hp
∂z
+ 1
)]
(38)
Num solo saturado, com matriz incompress´ıvel, ∂θ/∂t = 0, assume-se, em geral, que a
condutividade permanece constante, logo, a equac¸a˜o (35) torna-se:
Ks∂
2H/∂x2 = 0 (39)
em que: Ks e´ a condutividade do solo saturado. Para o fluxo tridimensional e assumindo
condic¸o˜es de solo isotro´picas, a equac¸a˜o e´:
Kx
∂2H
∂z2
+ Ky
∂2H
∂z2
+ Kx
∂2H
∂z2
= 0 (40)
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Fluxo na˜o-saturado - Equac¸a˜o de continuidade
em que: Kx , Ky e Kz representam os valores de condutividade hidra´ulica nas direc¸o˜es x , y e z.
Em um solo isotro´pico, isto e´, Kx = Ky = Kz em cada ponto medido, que tambe´m deve ser
homogeˆneo, obte´m-se a conhecida equac¸a˜o de Laplace:
∂2H/∂y2 + ∂2H/∂y2 + ∂2H/∂z2 = 0 (41)
⇒ Em geral, equac¸o˜es diferenciais possuem um nu´mero infinito de soluc¸o˜es.
⇒ Para dar uma soluc¸a˜o para um caso espec´ıfico, e´ necessa´rio estabelecer as condic¸o˜es de
contorno, e, adicionalmente, em caso de fluxo na˜o-esta´vel, as condic¸o˜es iniciais.
⇒ E´ importante frisar que as equac¸o˜es (56 e 57) sa˜o idependentes do tempo. A umidade θ do
solo ou o potencial H variam no espac¸o, mas na˜o no tempo. Para existir fluxo e´ necessa´rio, no
entanto, que θ e H variem com a distaˆncia, pois esta variac¸a˜o e´ o gradiente responsa´vel pelo
fluxo. Da´ı se obte´m a deonimac¸a˜o de equil´ıbrio dinaˆmico.
⇒ A func¸a˜o K(θ) pode ser medida tanto em condic¸o˜es de equil´ıbrio dinaˆmico (steady state),
como em condic¸o˜es transientes.
⇒ Sob condic¸o˜es de equil´ıbrio dinaˆmico
⇒ Para determinar-se a condutividade hidra´ulica de um solo na˜o saturado sob condic¸o˜es de
equil´ıbrio dinaˆmico (steady state) basta desenvolver a experieˆncia de Darcy em condic¸o˜es de
na˜o-saturac¸a˜o. A condutividade e´ medida, aplicando-se um gradiente de potencial hidra´ulico
constante atrave´s da amostra e medindo a densidade de fluxo da a´gua resultante. O problema e´
trazer a amostra a uma condic¸a˜o de na˜o-saturac¸a˜o.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Condutividade hidra´ulica na˜o saturada em laborato´rio.
Figura FL635. Esquema de medic¸a˜o da condutividade hidra´ulica na˜o-saturada por succ¸a˜o da
a´gua em dois pontos da coluna de solo por meio de colunas de a´gua.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Condutividade hidra´ulica na˜o-saturada em laborato´rio.
⇒ Para obter-se essa condic¸a˜o emprega-se a seguinte metodologia: Usando placas porosas
mante´m-se succ¸o˜es iguais nas extremidades da coluna (Figura FL635) a. Nessas condic¸o˜es a
densidade de fluxo e´ igual a` condutividade hidra´ulica porque o gradiente e´ unita´rio.
⇒ Como as tenso˜es sa˜o iguais nos extremos da coluna, a umidade do solo e´ constante e pode
ser ajustada, variando a altura h. Portanto, para obter-se K(θ), as medidas de densidade de
fluxo sa˜o repetidas para uma se´rie de valores da altura h e, consequentemente, da umidade da
amostra de solo. Coloca-se a amostra numa caˆmara de pressa˜o entre placas porosas.
⇒ Um diagrama do arranjamento da ce´lula de pressa˜o e´ mostrada na Figura FL635. O valor de
K obtido que corresponde a` carga hidra´ulica me´dia h, e´ dado por:
h =
h1 + h2
2
+
ρ
ρ ag
.m (42)
em que: m e´ a pressa˜o dentro da caˆmara (ce´lula) expressa em termos de coluna do flu´ıdo de comprimento m; ρ, a densidade do
solo: e ρag , a densidade da a´gua. O grau de saturac¸a˜o da amostra e´ controlada pela pressa˜o de ga´s, que e´ maior que a
atmosfe´rica. Iniciando-se as medidas na saturac¸a˜o ou perto dela e fixando uma se´rie de fluxos em steady state, um conjunto de
pares de valores de K e h podem ser obtidos.
⇒ Me´todo sob condic¸o˜es transientes → O me´todo do perfil instantaˆneo e´ descrito abaixo (em
me´todos de campo), e´ perfeitamente aplica´vel em condic¸o˜es de laborato´rio, uma vez que foi
primeiramente desenvolvido em laborato´rio e depois em campo.
a
As sa´ıdas S1 e S2 (Figura FL635) eliminam as bolhas de ar que se formam nas caˆmaras de a´gua acima das
placas porosas P1 e P2, que podem causar erro na medida de volume.
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Movimento da a´gua no solo - Condutividade hidra´ulica saturada em campo.
⇒ A medic¸a˜o da condutividade hidra´ulica e´ feita, em condic¸o˜es de campo, abaixo do lenc¸ol frea´tico (sob condic¸o˜es de
saturac¸a˜o) e acima do lenc¸ol frea´tico.
⇒ Medidas abaixo do lenc¸ol frea´tico
⇒ O me´todo mais simples para a determinac¸a˜o da condutividade hidra´ulica, na presenc¸a de lenc¸ol frea´tico, e´ conhecido pelo
nome de auger-hole method - me´todo do buraco-de-trado, para um solo homogeˆneo, que consiste em:
Fazer um buraco no perfil do solo com um trado, ate´ certa profundidade (abaixo do lenc¸ol frea´tico);
permitir que o buraco se encha de a´gua;
bombear a´gua para fora do buraco va´rias vezes ate´ que se elimine todo o barro formado durante a tradagem;
medir a elevac¸a˜o do lenc¸ol frea´tico, permitindo que a superf´ıcie da a´gua no buraco se equilibre com a do lenc¸ol;
bombear novamente a a´gua para fora do buraco, ate´ que o n´ıvel da a´gua no seu interior fique abaixo do n´ıvel do lenc¸ol;
medir o ı´ndice de elevac¸a˜o do n´ıvel de a´gua no buraco e, a partir desse ı´ndice, calcular a condutividade hidra´ulica.
Figura 636. Me´todo do trado de medic¸a˜o da condutividade hidra´ulica em solo homogeˆneo sob condic¸o˜es de lenc¸ol frea´tico.
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Fase l´ıquida do solo
Movimento da a´gua no solo - Condutividade hidra´ulica saturada em campo.
⇒ Medidas abaixo do lenc¸ol frea´tico
⇒ A Figura FL636 mostra a situac¸a˜o em que o n´ıvel de a´gua no buraco esta´-se elevando a um
ı´ndice∆y
∆t
, de acordo com a expressa˜o:
K0 =
R ln(y1 − y2)
2.A.D.∆t
(43)
ou
K0 =
R.2,3. log(y1 − y2)
2.A.D.∆t
(44)
ou ainda
K0 =
R.1,15. log(y1 − y2)
A.D.∆t
(45)
⇒ A constante A e´ um fator geome´trico que depende de R, D, h e S e, normalmente, e´
determinada com um normogra´fico, relacionando 1/A no eixo das ordenadas e R/D no eixo das
abcissas para valores da raza˜o s/D, variando de zero ate´ o infinito e as medidas feitas antes de
o n´ıvel da a´gua subir a uma elevac¸a˜o, em que h/D = 0,2.
⇒ Medidas acima do lenc¸ol frea´tico
⇒ As medidas da condutividade hidra´ulica acima do lenc¸ol frea´tico, supo˜e que o mesmo esteja
ausente (ou suficientemente profundo, de tal maneira que na˜o afete o fluxo).
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Fase l´ıquida do solo
Modelagem das curvas de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo (φm)
⇒ Os modelos que descrevem a infiltrac¸a˜o da a´gua no solo enquadram-se em dois grupos: emp´ıricos e teo´ricos. Os primeiros
relacionam-se com atributos do solo, pore´m, sa˜o va´lidos para as condic¸o˜es locais; os baseiam-se no escoamento de flu´ıdos em
meios porosos, como foi descrito pela equac¸a˜o de Darcy (1856).
⇒ Modelos emp´ıricos de infiltrac¸a˜o...
Modelo de Kostiakov (1932), citado por Forsythe (1985), ate´ hoje e´ usado para dimensionamento de sistemas de
irrigac¸a˜o. E´ expresso por:
I = κtα (46)
em que: κ e α sa˜o os paraˆmetros ajustados a partir de dados de observac¸o˜es de locais espec´ıficos de solos e das
condic¸o˜es iniciais, respectivamente.
Derivando-se a func¸a˜o (20), determina-se a taxa de infiltrac¸a˜o da a´gua no solo:
vi =
dI
dt
= καtα−1 (47)
⇒ Desvantagens do modelo: A taxa de infiltrac¸a˜o inicial tende ao infinito e para tempos longos tende a zero, e na˜o a
um valor constante. No entanto, nos intervalos de tempo de interesse para a irrigac¸a˜o, a equac¸a˜o e´ adequada.
Modelo de Kostiakov-Lewis - citado por Branda˜o et al. (2003) foi proposto para contornar o problema de a taxa de
infiltrac¸a˜o tender ao infinito, quando o tempo t tende ao infinito, sendo assim expresso:
I = κtα + if t (48)
vi =
dI
dt
= καtα−1 + if t (49)
⇒ Nessa nova equac¸a˜o, quando t tende para o infinito, a taxa de infiltrac¸a˜o tende para vif .
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Fase l´ıquida do solo
Modelagem das curvas de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo
⇒ Modelos emp´ıricos de infiltrac¸a˜o...
Modelo de Horton
Horton (1940) - a reduc¸a˜o da taxa de infiltrac¸a˜o e´ controlada por fatores que ocorrem na superf´ıcie do solo, como
encrostamento superficial devido ao impacto das gotas de chuva e contrac¸a˜o/expansa˜o do solo. A taxa de infifltrac¸a˜o
aproxima-se de um valor constante, geralmente menor que Ks , decorrentes do aprisionamento do ar no solo e da
incompleta saturac¸a˜o do solo em condic¸o˜es de campo. A variac¸a˜o da taxa de infiltrac¸a˜o (dvi/dt) e´ proporcional a`
diferenc¸a entre a taxa de considerada e a taxa esta´vel (vi − vif ). Uma vez que o valor vi e´ decrescente, dvi/dt torna-se
negativo. E´ expressa por:
− di
dt
= β(vi − vif ) (50)
em que: β e´ o fator de proporcionalidade. Donde,
− di
vi − vif
= βdt (51)
Integrando e multiplicando por (-), obte´m-se:
ln(vi − vif )) = −βt + C (52)
em que: C e´ a constante de integrac¸a˜o.
Quando t = 0, o valor de vi e´ igual a` taxa de infiltrac¸a˜o inicial (vi ), logo C = ln(vi − vif ). Substituindo C na equac¸a˜o
(52), tem-se:
ln
(vi − vif )
(vi − vif )
= −βdt (53)
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Fase l´ıquida do solo
Modelagem das curvas de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo (φm)
⇒ Modelos emp´ıricos de infiltrac¸a˜o...
Modelo de Horton... Extraindo o logaritmo neperiano ln e reorganizando a equac¸a˜o (27), tem-se:
(i − vif )
(vi − vif )
= e−βdt ⇒ (vi − vif ) = (vi − vif )e
−βdt (54)
Donde, segundo o modelo de Horton, a taxa de infiltrac¸a˜o instantaˆnea sera´:
vi = vif
+ (vii
)e−βdt (55)
em que: β passa a ser denominada de constante de decaimento, T−1.
A infiltrac¸a˜o acumulada I passa a ser expressa por:
I = vif
t +
(vi ii − vif )
β
(
1− e−βt
)
(56)
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Modelagem das curvas de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo (φm)
⇒ Modelos emp´ıricos de infiltrac¸a˜o...
Modelo de Holtan (1968) desenvolveram um modelo emp´ırico que contempla os caminhos preferenciais que a umidade,
a porosidade e as fendas criadas no solo pelas ra´ızes, os fatores que alteram a capacidade de infiltrac¸a˜o dos solos:
vi = vif
+ a(M − I )n (57)
em que: a, M e n sa˜o paraˆmetros de ajuste, expressos nas unidades L1−nT−1, LT−1 e adimensional, respectivamente.
Embora na˜o expl´ıcito na equac¸a˜o (31), o modelo somente e´ va´lido na condic¸a˜o 0 ≤ I ≤ M, que deve ser completada com
vi = vif
para I > M. Mais tarde, Holtan et al. (1975) modificaram a equac¸a˜o para:
vi = vif
+ (IC)AM1,4 (58)
em que: IC e´ o ı´ndice de crescimento, que varia de 0,1 a 1,0 (adimensional); e, A, o ı´ndice que representa a porosidade
conectada a` superf´ıcie e a` densidade de ra´ızes, que afetam a capacidade de infiltrac¸a˜o, LT−1L−1,4 (Tabela FL167a):
Tabela FL167a. Paraˆmetro vegetativo A do modelo de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo de Holtan
Uso da terra ou I´ndice de a´rea basal
cobertura vegetal Pobre Bom
Pousio 0,10 0,30
Linha de cultivo 0,10 0,20
Forragem (leguminosas) 0,20 0,40
Pastagem (gram´ıneas e leguminosas) 0,40 0,60
Pastagem tempora´ria 0,20 0,60
Pastagem permanente 0,80 1,00
Florestas 0,80 1,00
Fonte: Frere et al., citados por Rawls et al. (1996)
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Fase l´ıquida do solo
Modelagem das curvas de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo
⇒ Modelos emp´ıricos de infiltrac¸a˜o...
Pela equac¸a˜o de Holtan calcula-se a taxa de infiltrac¸a˜o com base na capacidade de armazenamento de a´gua dispon´ıvel
na camada superficial, sendo muito usada para predizer a a´gua de infiltrac¸a˜o proveniente de chuvas. Os coeficientes de
entrada podem ser os obtidos da Tabela FL617a, associados ao tipo de uso da terra ou cobertura vegetal;
Em Holtan (1975) sa˜o encontradas as estimativas para IC para va´rias culturas no esta´dio de maturidade. A maior
dificuldade na utilizac¸a˜o do modelo e´ determinar a profundidade da camada superficial no perfil do solo (profunidade de
controle). Rawls et al. (1996) sugerem que a camada ara´vel ou a profundidade da camada de impedimento seja usada
para controle;
Para o ca´lculo do valor de M inicial necessita-se da umidade inicial do solo (θi ), a umidade de saturac¸a˜o (θs ) e
profunidade da camada superficial (L). O valor de M e´ recalculado para cada intervalo de tempo. A capacidade de
armazenamento inicial (Mi ) e´ determinada pela expressa˜o:
Mi = (θs − θi )L (59)
Para os outros intervalos de tempo, tem-se:
Mn = Mn−1 − In−1 + (vif ∆t)n−1 + (ET ∆t)n−1 (60)
em que: I e´ a laˆmina de a´gua infiltrac¸a˜o durante o intervalo de tempo ∆t, L; vif
, a laˆmina drenada L; ET , a
evapotranspirac¸a˜o no intervalo ∆t, L ; e N, o subscrito que indica o intervalo de tempo que esta´ sendo computado.
Para o segundo intervalo de tempo tem-se Mi = Mi , em que Mi e´ a capacidade de armazenamento no primeiro
intervalo de tempo.
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Fase l´ıquida do solo
Modelagem das curvas de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo
⇒ Modelos teo´ricos de infiltrac¸a˜o...
Diversas equac¸o˜es emp´ıricas ja´ foram propostas, que, no entanto, na˜o se aplicam para a faixa de umidade pro´xima a`
saturac¸a˜o. A existeˆncia de um ponto de inflexa˜o na curva caracter´ıstica de umidade do solo, na realidade divide a curva
em duas regio˜es, em que cada uma e´ descrita por uma diferente func¸a˜o;
Para descrever acurva completa, van Genuchten (1980) propoˆs o modelo (equac¸a˜o 35), aplicando-se a restric¸a˜o de
Mualem (1976) m = 1− 1/n, sendo (n > 1):
θ = (θsat − θres )
[
1 + (α.h)
1
1−m
]−m
+ θres , (61)
em que: θ , θsat e θres , sa˜o, respectivamente, os conteu´dos de a´gua correspondentes a` tensa˜o hi , sob saturac¸a˜o e sob
tensa˜o matricial (em m3 m−3); hi , a tensa˜o de a´gua no solo (em cm); n, m (adimensionais) e α (cm−), os paraˆmetros
de ajuste do modelo.
A principal aplicac¸a˜o do modelo de van Genuchten (1980), ale´m da determinac¸a˜o do ponto de inflexa˜o da tensa˜o da
a´gua no solo, sa˜o o valor S , idealizado por Dexter (2004a, b, c) e a estimativa da porosidade cheia de a´gua, a partir do
conteu´do de a´gua equivalente ao ponto de inflexa˜o (θi ) ate´ o conteu´do de a´gua no ponto de murcha permanente
(θPMP - Figura FL624a e FL624a)
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Fase l´ıquida do solo
Modelagem das curvas de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo
⇒ Curva caracter´ıstica de a´gua no solo:
Da mesma forma, a tensa˜o da a´gua no solo e´ determinada usando a derivada segunda da
equac¸a˜o de van Genuchten (1980), igualando a mesma a zero, de acordo com o
procedimento de Dexter (2004 a,b,c):
h1 =
1
α
(
1
m
) 1
m
(62)
Dexter(2004a,b,c) propoˆs um paraˆmetro a partir da declividade da curva caracter´ıstica de
a´gua no solo, estimada pela equac¸a˜o de van Genuchten (1980), ou por qualquer outro
modelo, em seu ponto de inflexa˜o, denominando-o de ı´ndice S:
S =
1
1− n (θsat − θres )
(
1 +
1
m
)−(1+m)
(63)
Dexter(2004a,b,c) sugere que o ı´ndice S pode ser usado na estimativa da conditividade
hidra´ulica na˜o-saturada, porque nesse ponto de inflexa˜o se encontra a maior frequeˆncia de
distribuic¸a˜o de tamanho de poros, confirmando a observac¸a˜o de Libardi (1999) de que o
pico da curva diferencial da curva de retenc¸a˜o de a´gua no solo encerra poros de raios mais
frequentes.
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Fase l´ıquida do solo
Modelagem das curvas de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo
Figura FL624a. Exemplo de partic¸a˜o sugerida por Marshall (1958) de uma das curvas ajustadas
pelo modelo de van Genuchten (1980), em que as cruzes superior e inferior representam o ponto
de inflexa˜o (θi ) e o ponto de murcha permanente (θPMP ), respectivamente; os trac¸os sa˜o pontos
me´dios referentes a cada suba´rea unita´ria, obtida pela divisa˜o do intervalo considerado (N=20).
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Fase l´ıquida do solo
Modelagem das curvas de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo
Figura FL624b. Exemplo de uma curva de retenc¸a˜o de a´gua mostrando o ponto de inflexa˜o
(tanω) da tangente a` curva no ponto de inflexa˜o (A). Curvas de retenc¸a˜o do mesmo solo
franco-arenoso, com diferentes densidades (B). A degradac¸a˜o f´ısica do solo ocorre quando o solo
e´ compactado, reduzindo a inclinac¸a˜o da curva de retenc¸a˜o no ponto de inflexa˜o (Dexter, 2004
a,b,c).
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Fase l´ıquida do solo
Conceitos esta´ticos da a´gua no solo
⇒ Vamos explicar os conceitos de capacidade de campo θCC , ponto de murcha permanente θPMP e a´gua dispon´ıvel θAD
⇒ Capacidade de campo
No solo saturado tem-se os valores de θ = θs ; em solos na˜o-saturados, θ = 0. Considerando o armazenamento de a´gua ate´
uma profundidade L, tem-se:
AL =
L∫
0
θs dz ' θs .L (64)
Todavia, essa a´gua na˜o e´ toda retida no solo por causa da distribuic¸a˜o dos potenciais. Decorre, da´ı, que o potencial matricial
(φm) e´ nulo, mas, na medida em que o tempo passa, o perfil perde a´gua por drenagem por causa da diferenc¸a de potencial
gravitacional (φg ), ou mais especificamente, por causa do gradiente de potencial (grad φg ).
A drenagem do solo saturado e´ lenta em solos argilos e ra´pida em solos arenosos. A velocidade depende da condutividade
hidra´ulica K(θ), entra em equil´ıbrio quando
grad φm=grad φg ,
donde decorre que
AL =
L∫
0
θCC dz ' θCC .L (65)
⇒ Como exemplo vamos considerar uma camada de interesse L de 50 cm, supondo um valor me´dio de θ =0,349 cm3 cm−3.
Em termos pra´ticos, para a determinac¸a˜o da CC devem-se inundar 3/2 de L. Apo´s a inundac¸a˜o, espera-se o equil´ıbrio, que e´
atingido em 2 a 3 dias em solos arenosos; e 3 a 4 dias em solos argilosos. A a´gua armazenada sera´ de
A50cm=0,349.50 cm=17,45 cm=174,5 mm
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Fase l´ıquida do solo
Conceitos esta´ticos da a´gua no solo
⇒ Ponto de murcha permanente→ O conteu´do de a´gua no solo na˜o mais atende a` demanda evaporativa da atmosfera:
O PMP e´ muito dif´ıcil de ser determinado por condutividade hidra´ulica, uma vez que os dados obtidos na˜o sa˜o mais confia´veis
quando os valores de umidade sa˜o muito baixos.
1 Alternativa→ Me´todo biolo´gico→ Planta-teste: GIRASSOL:
- Terra - 100 a 200 g em vaso de alum´ınio, plantando-se de 3 a 5 sementes;
- Apo´s a germinac¸a˜o, com o solo u´mido, faz-se o desbaste para 2 plantas por vaso;
- Com 4 a 6 folhas (' 15-20 cm de altura), suspende-se o fornecimento de a´gua e espera-se que as plantas entrem em
murcha;
- Levam-se, enta˜o, as plantas para um ambiente com 100% de UR na estufa;
- A operac¸a˜o e´ repetida tantas vezes ate´ que na˜o recuperem mais a turgidez, pois nessa condic¸a˜o as plantas ja´ esta˜o em
em murcha permanente;
- Eliminam-se as plantas e determina-se a umidade do solo (g g−1). - O valor encontrado fornece o PMP e o
armazenamento m´ınimo de a´gua sera´ dado por:
ALPMP
=
L∫
0
θPMP dz ' θPMP .L (66)
2 Exemplo: Calcula a quantidade de a´gua armazenada no solo ate´ a profundidade de 50 cm no ponto de murcha
permanente, com θPMP =0,252 cm
3 cm−3
APMP =0,252.cm
3 cm−3.50 cm=126,3 mm
3 Interpretac¸a˜o: Dos 174,5 cm de a´gua que esta˜o em CC , 126,4 mm na˜o esta˜o dispon´ıveis para as plantas.
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Infiltrac¸a˜o vertical de a´gua no solo em campo - exemplo pra´tico
⇒ A infiltrac¸a˜o vertical ocorre porque a a´gua da chuva ou da irrigac¸a˜o tem o potencial total praticamente nulo, mas a a´gua do
solo tem um potencial negativo, que e´ tanto mais negativo quanto mais seco for o solo.
⇒ Estabelece-se, enta˜o, um gradiente de potencial total (φt ), que e´ a soma do gravitacional (φg ) + matricial (φm).
⇒ No in´ıcio da infiltrac¸a˜o, quando o solo ainda esta´ relativamente seco, o gradiente e´ muito grande e depois de um longo
tempo, o gradiente de potencial matricial passa a ser igual ao gravitacional, isto e´, unita´rio (1 cm de a´gua por 1 cm de solo) e
relativamente pequeno em relac¸a˜o ao in´ıcio⇒ Por isso, a infiltrac¸a˜o e´ um processo desacelerado, ou seja, ra´pido no comec¸o e
decrescente com o tempo (Reichardt, 1987).
⇒ Infiltrac¸a˜o vertical em campo ⇒ Determinac¸a˜o cla´ssica→ inunda-se uma superf´ıcie de solo com laˆmina de 2-15
cm de altura, com a adic¸a˜o cont´ınua de a´gua. A laˆmina de 2-15 cm de altura confere a` a´gua um potencial ligeiramente positivo,
mas na pra´tica e´ considerado nulo.
⇒ Em campo cercam-se a´reas de 9 m2 a 100 m2 com diques (Figura FL615) ou usam-se cilindros conceˆntricos (de 30 e 60 cm
de diaˆmetro), encravados no solo e enchidos com a´gua para proceder-se a inundac¸a˜o. As medidas de infiltrac¸a˜o sa˜o feitas
somente no cilindro central (o de fora e´ usado para diminuir o efeito de bordadura).
Figura FL625. A´rea de solo inundada para a determinac¸a˜o da condutividade hidra´ulica saturada (Ks ), acima do lenc¸ol frea´tico.
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Velocidade de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo em campo - exemplo pra´tico
⇒ A definic¸a˜o de velocidade de infiltrac¸a˜o (vi )e´ ideˆntica a` do fluxo de a´gua (q) da equac¸a˜o de Darcy que infiltra na unidade de
a´rea e de tempo, resultando em cm s−1, cm min−1, cm h−1, cm dia−1, etc. Se o n´ıvel da a´gua dentro de um cilindro
utilizado para medir vi e´ h1 no instante t1 e h2 no instante t2, tem-se:
vi =
h1 − h2
t2 − t1
(67)
Se, por exemplo, para uma a´rea inundada a`s 15:00 horas, h1 for de 15,00 cm, e a`s 18:00 horas h2 de 9,00 cm, tem-se;
vi =
15,00−9,00
18,00−15,00 =
6,00
3,00
=0,5 cm h−1,
⇒ sendo vi o fluxo (q) da equac¸a˜o de Darcy. Apo´s longo tempo de infiltrac¸a˜o, uma camada profunda de solo encontra-se
saturada: θs e´ K0 (condutividade hidra´ulica saturada). Enta˜o o potencial total φt resume-se no potencial gravitacional, pois o
potencial matricial e´ nulo e o de pressa˜o e´ desprez´ıvel para pequenas profundidades e, enta˜o,
−−→
gradφ = 1. Nesse ponto, a
equac¸a˜o 67 toma a forma:
vi = K0, (68)
Verifica-se experimentalmente que vi tende para K0 para tempos longos, que e´ de algumas horas em solos arenosos e ate´ de dias
em alguns solos argilosos.
A integral de vi em func¸a˜o do tempo ti da´-nos a quantidade de a´gua que infiltrou, chamada de infiltrac¸a˜o acumulada:
I =
∫
vi dt, (69)
que e´ numericamente igual a` a´erea (A) sob a curva vi versus ti . Para um solo arenoso, a infiltrac¸a˜o acumulada (I ) e´ igual a` a´rea
A para o tempo de cerca de 2 horas:
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Velocidade de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo em campo - exemplo pra´tico
vi = K(θ).
−−→
gradφ (70)
⇒ A velocidade de infiltrac¸a˜o foi calculada pela equac¸a˜o (69) e a infiltrac¸a˜o acumulada, embora sendo a integral da equac¸a˜o
(71), e´ dada diretamente pela leitura da re´gua. Pelos dados veˆ-se que K0=1,80 cm hora
−1.
Tabela FL640. Infiltrac¸a˜o aumulada e velocidade de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo (cm hora−1).
Tempo (min.) Re´gua (cm) IAcum. (cm) VInf.(cm h−1)
Hora Acum. Leit. Difer. (a) (b) (c) (d)
8:30 0 15,00 - - - - -
8:35 5 13,50 1,20 1,20 1,30 14,40 8,77
8:40 10 12,90 0,90 2,10 1,92 10,80 6,47
8:50 20 12,10 0,80 2,90 2,84 4,80 4,78
9:00 30 11,40 0,70 3,60 3,57 4,20 4,00
9:10 40 10,80 0,60 4,20 4,19 3,60 3,53
9:30 60 9,80 1,00 5,20 5,27 3,00 2,95
9:50 80 8,90* 0,90 6,10 6,19 2,70 2,60
10:30 120 13,30 1,70 7,80 7,78 2,50 2,18
11:10 160 12,00 1,30 9,10 9,15 1,95 1,92
11:50 200 10,80 1,20 10,30 10,37 1,80 1,74
12:30 240 9,60 1,20 11,50 11,49 1,80 1,61
IAcum. - Infiltrac¸a˜o acumulada: (a) determinada e (b) estimada pela equac¸a˜o I = a.tn .
VInf. - Velocidade de infiltrac¸a˜o calculada - (c) de dados observados vi = (h1 − h2)/(t2 − t1)
VI - Velocidade de infiltrac¸a˜o calculada - (d) da derivada vi = a.n.t
n−1 = dI/dt
(∗) O cilindro foi recarregado ate´ os 15 cm de altura.
⇒ A velocidade de infiltrac¸a˜o foi calculada pela equac¸a˜o (69) e a infiltrac¸a˜o acumulada, embora sendo a integral da equac¸a˜o
(71), e´ dada diretamente pela leitura da re´gua. Pelos dados veˆ-se que K0=1,80 cm hora
−1.
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Velocidade de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo em campo - exemplo pra´tico
⇒ Va´rios modelos tem sido usados para descrever o processo de infiltrac¸a˜o por meio de uma equac¸a˜o matema´tica. O modelo
que se adapta bem aos dados experimentais da maioria dos solos e´ a equac¸a˜o potencial (Kostiakov, 1932):
I = a.tn (71)
A equac¸a˜o de infiltrac¸a˜o acumulada (IA) calculada a partir dos dados da Tabela 45 e´:
I = 0,5266.t0,5625 (r=0,9969)
em que: I e´ a infiltrac¸a˜o em cm; e t o tempo em minutos. Uma equac¸a˜o assim e´ muito u´til, pois com ela se pode calcular I
para qualquer tempo t. Por exemplo, para t=100 min, tem-se I =7,0 cm.
A velocidade de infiltrac¸a˜o pode ser calculada pelos dados observados, item(c) e item (d) da Tabela 45.
Valendo-se das definic¸o˜es de vi e I , verifica-se que a velocidade de infiltrac¸a˜o e´ a derivada da infiltrac¸a˜o acumulada em func¸a˜o
do tempo. Assim,
vi =
dI
dt
= d
a.tn
dt
(72)
do que resulta
vi = a.n.t
n−1 (73)
e para o nosso exemplo, no tempo de 100 minutos, tem-se:
vi =0,5266.0,5622.100
0,562−1=0,29595−0,438.100=2,36 cm h−1.
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Velocidade de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo em campo - exemplo pra´tico
As duas equac¸o˜es (72 e 73) apresentam valores ligeiramente diferentes no in´ıcio da infiltrac¸a˜o, pore´m, com o passar do tempo,
isto e´, na medida em que o solo chega a` saturac¸a˜o, os dois valores praticamente se equivalem (Tabela 618).
Tempo (minutos)
0 40 80 120 160 200 240
v i 
(c
m
 h
or
a-
1 )
0
2
4
6
8
10
12
14
I (
cm
 h
or
a-
1 )
I (cm hora
-1
)
I=0,5266.t
0,562
 r=0,9969
v
i
=0,29595.t
-0,438
v
i
 (cm hora
-1
)
Valores determinados (a campo)
 
Figura FL626. Infiltrac¸a˜o acumulada e velocidade de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo em func¸a˜o do tempo.
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Velocidade de infiltrac¸a˜o de a´gua no solo em campo - exemplo pra´tico
⇒ O ca´lculo da infiltrac¸a˜o acumulada por meio da equac¸a˜o (72) em relac¸a˜o a` derivada da
infiltrac¸a˜o acumulada (I ) apresenta resultados da curva de infiltrac¸a˜o (Figura FL626) e, ou,
pelas equac¸o˜es (72 e 73), e´ de grande valor pra´tico. Ela fornece informac¸o˜es sobre a capacidade
de o solo absorver a´gua. Vejamos algumas situac¸o˜es:
1 Chuvas - com intensidades de ate´ 45 mm h−1 - sa˜o absorvidas pelo solo, desde que na˜o
durem mais que 20 minutos. Por outro lado, se uma chuva de 30 mm h−1 perdurar por
um tempo mais prolongado, digamos, mais de uma hora, o solo na˜o tera´ condic¸o˜es de
absorveˆ-la, porque vi e´ menor do que a intensidade da chuva.
Obviamente, ale´m disso, devemos levar em conta a declividade do terreno.
Muitas vezes, mesmo com chuvas de menor intensidade do que a infiltrac¸a˜o ba´sica, por
causa da declividade do terreno, pode haver escorrimento superficial da a´gua ou enxurrada
(Bertoni, 1985; Reichardt, 1987).
2 Irrigac¸a˜o - na irrigac¸a˜o ocorrem treˆs situac¸o˜es distintas:
1 Irrigac¸a˜o por inundac¸a˜o - quando se deseja inundar uma a´rea, preciso fornecer a´gua a taxas elevadas, bem
maiores do que a infiltrac¸a˜o ba´sica K0, para se conseguir manter uma certa laˆmina de a´gua;
2 Irrigac¸a˜o por sulcos - nesse caso, para que a a´gua chegue ao final do sulco, sem infiltrar demais no in´ıcio do
sulco, necessa´rio suprir a´gua a taxas elevadas. Por isso, no manejo dessa irrigac¸a˜o joga se com o comprimento
do sulco e declividade, vaza˜o de fornecimento de a´gua etc.;
3 Irrigac¸a˜o por aspersa˜o - nesse caso deseja-se que toda a a´gua aplicada infiltre no pro´prio local. Portanto,
deve-se aplica´-la em taxas tais que ela nunca supere vi . Como vi varia com o tempo, toma-se por base a
infiltrac¸a˜o ba´sica K0. Aplicando-se a a´gua em taxas ate´ o limite de K0, tem-se certeza de que toda a a´gua se
infiltra no pro´prio local de aplicac¸a˜o.
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