Variedades e a Teoria da Relatividade

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Variedades
29/08/2013
"Não é o ângulo reto que me atrai. Nem a linha reta, dura inflexível, criada
pelo homem. O que me atrai é a curva livre e sensual. A curva que encontro
nas montanhas do meu país, no curso sinuoso dos seus rios, nas nuvens do céu,
no corpo da mulher amada. Da curva é feito todo o universo. O universo curvo
de Einstein."
Oscar Niemayer.
1 Variedades
A teoria da relatividade geral apresentada por Einstein em 1915 faz uso das var-
iedades diferenciais para caracterizar o espaço-tempo. Farei aqui uma pequena
discussão acerca das variedades.
1.1 Propriedades locais e globais
Uma variedade de  dimensões é um espaço diferente do  embora localmente
sejam parecidos. O espaço 2 é o espaço de um plano enquanto que a variedade
2 é o espaço de uma superfície esférica. Uma propriedade global é a área dos
espaços, infinita para o primeiro e finita para o segundo, sendo portanto muito
diferentes mas localmente eles são parecidos. Isto pode ser visualizado quando
sabemos que a Terra possui uma superfície esférica mas localmente ela parece
uma superfície plana.
Exercise 1 Mostre, utilizando um círculo de latitude fixa, que o comprimento
de um círculo numa variedade 2 não é definido por
 =  (1)
onde  é o diametro do círculo. Qual é a fórmula do comprimento do círculo
equatorial em termos de seu diâmetro?
Exercise 2 Qual é a soma dos ângulos internos do seguinte triângulo em uma
variedade 2, cujos dois lados são perpendiculares e partem do ’polo Norte’,
enquanto o terceiro lado é um segmento do equador?
1
1.2 Variedades
Podemos dizer que uma variedade -dimensional  é um conjunto de pontos,
tal que cada ponto possui o conjunto de  coordenadas (1 2  ), onde
cada coordenada possui sua faixa de variação em um subconjunto dos reais. Em
particular a faixa pode se estender de −∞ a +∞ Essas coordenadas podem
significar distâncias ou ângulos.
1.3 Sistema de coordenadas degenerado
Uma propriedade impotante das variedades é que muitas vezes não é possível
cobrir toda a variedade com um sistema de coordenadas não degenerado, onde
há um conjunto único de coordenadas para cada ponto da variedade. Podemos
visualizar um sistema degenerado o de coordenadas polares de um plano onde
não é possível definir um ângulo para a origem. No caso do plano, como é um
espaço 2 podemos fazer uma mudança de sistema de coordenadas de polares
para cartesianas.
1.4 Remendos
No caso de sistemas de coordendas com degenerescências podemos dividir a var-
iedade em pedaços ou remendos (coordinate patch) que possuem intersecções.
Podemos ir de um pedaço ao outro através de transformações de coordendas.
No caso da variedade 2 podemos considerar as coordenadas angulares  e ,
definidas no sistema de coordenadas esféricas. Observa-se que há degenerescên-
cias nos polos, onde não se pode definir o ângulo  Em termos geográficos
nos polos há a intersecção dos meridianos, caracterizando a degenerescência.
Podemos construir dois remendos, um que exclui o polo norte e outro que ex-
clui o polo sul. Excluindo o polo norte temos as seguintes coordenadas (1 2)
dadas por:
(1 2) =
µ
21
1− 3 
22
1− 3
¶
(2)
onde  são as coordenadas cartesianas de uma superfície esférica que tangencia
o plano
3 = −1 (3)
no ponto (0 0−1) e as coordenadas (1 2) são dadas pelas intersecções de
retas oriundas do polo norte (0 0+1) que passam pelos pontos (1 2 3) com
o plano acima definido.
2
Analogamente, excluindo-se o polo sul temos as coodenadas
(1 2) =
µ
21
1 + 3 
22
1 + 3
¶
(4)
com 3 = 1
Exercise 3 Verifique as coordenadas definidas acima.
1.5 Atlas
Como no estudo de geografia em que temos uma série de mapas para visualizar
as várias regiões aproximadamente planas reunidas em um atlas, dizemos que o
conjunto de remendos formam um atlas.
No estudo das variedades são introduzidos objetos chamados de tensores,
que vermos mais adiante.
1.6 Exemplos
Exemplos de variedades:    (-toróides), superfície cilíndrica e não
variedades: Plano mais uma semirreta com origem no plano e saindo deste, um
cone duplo, mas não um simples cone.
2 Curvas e superfícies.
2.1 Curvas
Dada uma variedade podemos definir curvas sobre ela como conjuntos de pontos
dados pelas coordenadas
 = ()  = 1   (5)
3
sendo uma função de do parâmetro  Significa que uma curva pode ser descritoa
através de um parâmetro  Estas são as equações paramétricas. Podemos
simplificar a notação escrevendo () como (), ou seja
 = ()  = 1   (6)
2.2 Hipersuperfícies
Uma hipersuperfície é caracterizada pelo conjunto de pontos dados por funções
de − 1 parâmetros
 = (1  −1)  = 1   (7)
Eliminando-se os −1 parâmetros das equações acima obtemosuma equação
de vínculo entre as coordenadas da variedade
(1  ) = 0 (8)
Esta equação é inteiramente análoga à equação de estado de um sistema
termodinâmico, por exemplo dado um gás ideal com número fixo de moles () a
equação de estado, que corresponde a uma superfície no espaço termodinâmico
(   ) é dada por
(   ) =  −  = 0 (9)
Exercise 4 Como você escreveria as equações paramétricas correspondente à
equação de estado do gás ideal?
2.3 Região de dimensão 1    − 1
Uma região de dimensão 1    −1 é caracterizada por coordenadas funções
de  parâmetros. Eliminando-se estes parâmetros obtemos  − funções de
vínculos
1(1  ) = 0 (10)
2(1  ) = 0 (11)
... (12)
−(1  ) = 0 (13)
4
3 Transformação de coordenadas
Dada uma região da variedade coberta por dois remendos com sistemas de co-
ordenadas diferentes ( e 0) podemos efetuar uma transformação de coorde-
nadas ( → 0), como vemos abaixo
0 = (1  ) = () = 0() (14)
Por exemplo transformação das coordenadas polares em cartesianas
0 = ( ) (15)
 = ( ) (16)
Equações de transformação
01 =  =  cos = 1 cos2 (17)
02 =  =  sin = 1 sin2 (18)
3.1 Jacobiano da transformação
O Jacobiano ( 0) da transformação ( → 0) é o determinante da matriz das
derivadas parciais entre os dois sistemas de coordenadas. Dada a matriz de
transformação
∙0

¸
=
¯¯¯¯
¯¯¯¯
¯¯
01
1
01
2
01
202
1
02
2
02

. . .
0
1
0
2
0

¯¯¯¯
¯¯¯¯
¯¯  (19)
o jacobiano da transformação é dado por
 0 =
¯¯¯¯0

¯¯¯¯
=
(01  0)
(1  )  (20)
Sempre que o jacobiano é não nulo a transformação é invertível, ou seja, se
 0 6= 0 existe a transformação (0 → )  Nesse caso
 =
¯¯¯¯ 
0
¯¯¯¯
=
1
 0 (21)
Os jacobianos têm propriedades de multiplicação de frações
(01  0)
(001  00)
(001  00)
(1  ) =
(01  0)
(1  ) (22)
5
Podemos também escrever uma derivada parcial em termos de um jacobianoµ

¶
2
=
( 2  )
( 2  ) (23)
Por ser definido em termos de um determinante, temos
(01  0  0   0)
(1  ) = −
(01  0   0  0)
(1  ) (24)
3.2 Diferencial de uma função de  variáveis
Dada a coordenada 0 , função das coordenadas  temos
0 =
X
=1
0
 
 (25)
Notamos que o índice  é repetido. Nesse caso, bem como numa expressão
de produto de matrizes, sempre que aparece um índice repetido (índice mudo)
aparece também a somatória. Podemos, portanto, omitir a somatória quando
houver índices repetidos. Essa é a convenção de Einstein. Ela simplifica enorme-
mente as expressões que envolvem muitos índices. Então
0 = 
0
 
 (26)
3.3 Delta de Kronecker
Define-se o delta de Kronecker como
 =
½
1 se  = 
0 se  6=  (27)
Dado um conjunto de coordenadas independentes , então
 = 

 (28)
4 Tensores contravariantes
4.1 Deslocamento infinitesimal
Dados dois pontos infinitesimalmente próximos  e em uma variedade. Sejam
as coordenadas destes dois pontos  e + . O deslocamento infinitesimal
entre estes pontos é dado por 6
M
P Q
xa x +dx
a a
Este deslocamento dado em outro sistema de coordenadas 0 é dado por
0 = 
0
 
 (29)
Estas derivadas parciais são calculadas no ponto inicial  , ou seja,
0
 =
∙0

¸

(30)
4.2 Vetores Contravariantes
Se queremos estudar os vetores, o mais simples deles é o vetor deslocamento,
de modo que consideraremos  como sendo um vetor. Chamamos de vetores
contravariantes a todos os vetores que se transformam como o vetor , ou seja,
 é um vetor contravariante se através de uma transformação de coordenadas
ele se transformar do seguinte modo:
 0 = 
0
 
 (31)
Generalizamos o conceito de vetor contravariante para o de tensor contravari-
ante de ordem  para o objeto  1 de  índices contravariantes (colocados
acima do símbolo do tensor), que se tansforma assim (com  somatórias suben-
tendidas):
 01 = 
01
1 
0
 
01 (32)
Um tensor de segunda ordem se tansforma como
 0 = 
0

0
 
 (33)
Um vetor contravariante pode ser pensado como um tensor contravariante
de ordem 1. Se a variedade é de ordem , ele tem  elementos. Já um tensor
de ordem  tem  elementos. Por exemplo, um tensor de segunda ordem em
um espaço de 3 dimensões, tem 9 elementos:  11  12  13  21   33
Um tensor de ordem zero é chamado de escalar e tem apenas um elemento.
Exercise 5 Mostre que um tensor de ordem zero é invariante a transformação
de coordenadas.
7
5 Vetores Covariantes
Um outro tipo de vetor é o obtido aravés de gradiente de um escalar. Seja o
escalar (). As componentes de seu gradiente são dadas por

  (34)
Em relação ao sistema de coordenadas 0, temos

0 =



0 (35)
Examinando-se as transformações (29) e (35), vemos que estes vetores se
transformam de maneira diferente. Definimos como vetores covariantes os ve-
tores que se transformam como o gradiente de um escalar, ou seja,
 0 = 

0 (36)
Analogamente definimos um tensor covariante de ordem  como sendo
1 que se transforma como
 01 =
1
01 

0 1 (37)
Os tensores covariantes apresentam índices covariantes (índices colcados abaixo
do símbolo do tensor).
6 Tensores mistos
Os tensores mistos apresentam índices co e contravariantes e suas transformações
se dão de acordo com cada tipo de índice, ou seja, dado o tensor  ele se
transforma do seguinte modo
1 1 = 
01
1 
0

+1
01 
+
0 
1 +1+ (38)
Note bem, cada índice ocupa um lugar. Não se coloca um índice em cima de
outro. O tensor acima é do tipo () contravariante de ordem  e covariante
de ordem 
Um campo tensorial é um tensor que é função da posição na variedade.
   () =    () (39)
Muitas vezes quando se diz tensor, na realidade se está falando de um campo
tensorial. É uma forma de abreviar a foram de se falar.
8
7 Operações elementares com tensores
7.1 Adição e subtração
Somamos ou subtraímos tensores do mesmo tipo.
   =   +    (40)
7.2 Partes simétrica e antissimétrica de um tensor
Um tensor é simétrico se
 =  (41)
Um tensor é antissimétrico se
  = −  (42)
A parte simétrica de um tensor é dada por
 () = 1
2
¡  +  ¢ (43)
A parte antissimétrica do tensor de ordem 2 é dada por
[] = 1
2
[ − ] (44)
É claro que
  =  () +  [] (45)
A parte simétrica de um tensor (covariante ou contravariante) de de ordem
 é dada por
(1) = 1! (soma dos tensores com todas as combinações dos índices)
(46)
A parte antissimétrica de um tensor de ordem  é dada por
[1] = 1! (soma alternada dos tensores com todas as combinações dos índices)
(47)
Com três índices temos
 [] = 1
3!
¡  −   +   −   +   −  ¢ (48)
9
7.3 Multiplicação de tensores
A multiplicação de um tensor do tipo (11) por outro de tipo (22) é um
tensor do tipo (1 + 21 +2), por exemplo
     =    (49)
7.4 Contração de índices
A operação de contração de índices faz com que sejam diminuídos um índice
contravariante e outro covariante, ou seja, transformamos um tensor do tipo
() em um tensor do tipo ( − 1 − 1) por exemplo contraindo os índices
 e  do tensor    obtemos o tensor    =   .
A contração pode ser efetuada multiplicando-se o tensor por um tensor delta
de Kronecker
    =    (50)
Observação. O delta de Kronecker é de fato um tensor. Podemos escrever
 =   =   (51)
8 Espaço tangente
Até agora falamos das componentes dos vetores. Precisamos especificar a que
espaço vetorial eles pertencem e qual a base dos vetores deste espaço. Vamos
inicialmente tomar a variedade 2. Nela os vetores deslocamentos são tangentes
à superfície e podemos expressá-los como uma combinação linear dos versores ˆ
e ˆ, definidos no sistema de coordenadas esféricas e, portanto, juntamente com
o versor ˆ formam a base de versores das coordenadas esféricas.
Em cada ponto da variedade 2 os versores ˆ e ˆ são diferentes e, portanto,
os vetores associados ele são expressos em bases diferentes, cada qual gerando
vetores tangentes à variedade naquele ponto. Como conclusão os vetores asso-
ciados a um ponto da variedade 2 pertencem a um espaço tangente ao ponto
e não à variedade em si. Esta é uma característica das variedades: os vetores
contravariantes pertencem ao espaço tangente à variedade.
Vamos tentar agora definir os versores de 2 em termos de quantidades de
2 Observando que
ˆ = ˆ e ˆ =
1
sin 
ˆ
 (52)
podemos pensar em uma base que não seja normalizada como sendo constituída
dos versores:
ˆ = ˆ e ˆ =
ˆ
 (53)
10
mas ainda temos o problema de definir a base em termos de um elemento externo
à variedade (ˆ).
Lembrando que os operadores derivadas direcionais (  e

) formam a base
de um espaço vetorial pois
  + 

 (54)
é um também um operador derivada direcional, pois satisfaz a propriedade de
Leibniz, da derivada do produto de funções, ou sejaµ
  + 


¶
 = 
µ
  + 


¶
 + 
µ
  + 


¶
 (55)
podemos definir como base do espaço tangente os vetores de base  e

  que
são definidos unicamente em termos de elementos da variedade 2 O fato de
esses vetores de base serem operadores não tem importância pois tratamos dos
vetores usando apenas suas componentes, sem se importar com a base!
Voltando à base de vetores em 2 vemos que podemos caracterizar curvas
com  constante e curvas com  constante. Em cada ponto da variedade há
cruzamentos dessas curvas e, portanto, podemos caracterizar os vetores de base
nesse ponto. Poderíamos em vez de escolher as curvas com  ou  constantes,
escolher outras curvas, não necessariamente ortogonais em cada ponto, descritas
por parâmetros  constante e  constante, que se cruzam em todos os pontos da
variedade. Nesse caso os vetores de base seriam  e

 . Teríamos uma base
que não precisaria ser nem ortogonal nem normalizada, mas uma base suficiente
para descrever os vetores de 2
Generalizando para uma variedade qualquer de  dimensões, podemos definir
um sistema de curvas suaves, cada qual caracterizada por um parâmetro difer-
ente (1 2  ), e teremos os vetores de base em cada ponto dados pelo
conjunto de operadores derivadas direcionais½ 
1 

2  


¾
(56)
Ao se escrever os vetores completamente, com componentes e vetores de
base, obtemos uma nova interpretação para os vetores contravariantes. Dado o
vetor contravariante de componentes  temos
 =   (57)
que é um operador diferencial! Em particular, se escolhermos os parâmetros 
como as coordenadas dos pontos na variedade, teremos
 =   (58)
Observação: Para cada ponto  da variedade, temos um espaço tangente,
logo a notação mais precisa seria
 = []
∙ 

¸

(59)
11
Considerando os vetores  e  , podemos definir o comutador ou colchete
de Lie comosendo o operador
[ ] =  −   (60)
Portanto,
[ ]  = ( −  )  = ¡  −  ¢  (61)
Uma vez que  é uma função arbitrária, temos
[ ] =  =   −   (62)
Exercise 6 Prove a expressão acima.
Exercise 7 Mostre que
[] = 0 (63)
Exercise 8 Mostre que
[ ] = − [] (64)
Exercise 9 Mostre a identidade de Jacobi
[ []] + [ [ ]] + [ []] = 0 (65)
Para finalizar é impotante salientar que nos espaços planos, por exemplo o
de Euclides e o de Minkowski (espaço-tempo), os espaços tangentes coincidem
com o próprio espaço.
9 Referências
1) ’Introducing Einstein’s Relativity’, Ray d’Inverno.
2) ’Lecture Notes on General Relativity’, Sean Carroll.
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