Unidade 3 - Eliminação Gaussiana

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MÉTODO DA ELIMINAÇÃO GAUSSIANA COM PIVOTAMENTO DIAGONAL 
Este método consiste em utilizar o pivotamento sobre os elementos da diagonal e transformar o 
sistema dado 
Ax b
 através de operações elementares sobre as linhas em um sistema 
equivalente triangular superior, tomando em cada passo como pivô os elementos da diagonal da 
matriz 
A
. 
Observação: Caso o elemento 
11a
(primeira linha e primeira coluna) seja nulo, deve-se 
permutar as linhas até que o elemento 
11a
seja diferente de zero. 
Algoritmo 
1º) Eliminação dos elementos para construção da matriz triangular superior equivalente 
Para 
1,..., 1k n 
, faça 
 Para 
1,...,i k n 
, faça 
 ( )( )
( )
k
k ik
ik k
kk
a
m
a

 
 Para 
,..., 1j k n 
, faça 
 
( 1) ( ) ( ) ( )k k k k
ij ij ik kja a m a
   
 
2º) Cálculo da solução do sistema triangular superior 
 
( )
1
( )
n
nn
n n
nn
a
x
a

 
 Para 
( 1),( 2),...,1i n n  
 faça 
 
( ) ( )
1
1
( )
n
n n
in ij j
j i
i n
ii
a a x
x
a

 



 
Fim. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Usando o método da eliminação de Gauss com pivotamento diagonal, resolva o sistema de 
equações lineares: 
1
2
3
3 0 1 1
3 2 1 1
3 1 3 3
x
x
x
     
     
     
          
 
Solução 
1º) Calcular o determinante da matriz dos coeficientes (A) e verificar se ele é diferente de zero, 
para podermos aplicar o método: 
3 0 1
det det 3 2 1 18 0 3 6 0 3 24 0
3 1 3
A
 
         
 
  
 
2º) Montar a matriz ampliada (matriz dos coeficientes e termos independentes): 
Matriz (1) 
3 0 1 1
3 2 1 1
3 1 3 3
 
 
 
  
 
3º) Aplicar o algoritmo de Gauss com pivotamento diagonal para eliminação e construção da 
matriz triangular superior: 
Como o elemento 
11a
 e o determinante são diferentes de zero, temos: 
Inicio: 
3n 
 
 
1k 
 
 
2i 
 
 (1)
(1) 21
21 (1)
11
a
m
a

 3
3

(1)
21 1m 
 
 
1j 
 
 
(2) (1) (1) (1) (2) (2)
21 21 21 11 21 213 (1) 3 0a a m a a a        
 
 
2j 
 
 
(2) (1) (1) (1) (2) (2)
22 22 21 12 22 222 (1) 0 2a a m a a a        
 
 
3j 
 
 
(2) (1) (1) (1) (2) (2)
23 23 21 13 23 231 (1) 1 0a a m a a a        
 
 
4j 
 
 
(2) (1) (1) (1) (2) (2)
24 24 21 14 24 241 (1) 1 0a a m a a a        
 
 
3i 
 
 (1)
(1) (1)31
31 31(1)
11
3
1
3
a
m m
a

    
 
 
1j 
 
 
(2) (1) (1) (1) (2) (2)
31 31 31 11 31 313 ( 1) 3 0a a m a a a          
 
 
2j 
 
 
(2) (1) (1) (1) (2) (2)
32 32 31 12 32 321 ( 1) 0 1a a m a a a         
 
 
3j 
 
 
(2) (1) (1) (1) (2) (2)
33 33 31 13 33 333 ( 1) 1 4a a m a a a         
 
 
4j 
 
 
(2) (1) (1) (1) (2) (2)
34 34 31 14 34 343 ( 1) 1 4a a m a a a         
 
Obs.: estes resultados geram a matriz (2) 
3 0 1 1
0 2 0 0
0 1 4 4
 
 
 
  
 
Continuando o processo de eliminação temos: 
2k 
 
 
3i 
 
 (2)
(2) 32
32 (2)
22
1
2
a
m
a
 
 
 
2j 
 
 
(3) (2) (2) (2) (3) (3)
32 32 32 22 32 32
1
1 ( ) 2 0
2
a a m a a a        
 
 
3j 
 
 
(3) (2) (2) (2) (3) (3)
33 33 32 23 33 33
1
4 ( ) 0 4
2
a a m a a a        
 
 
4j 
 
 
(3) (2) (2) (2) (3) (3)
34 34 32 24 34 34
1
4 ( ) 0 4
2
a a m a a a        
 
Estes valores geram a matriz triangular superior equivalente: 
3 0 1 1
0 2 0 0
0 0 4 4
 
 
 
  
 
A partir desta matriz devemos utilizar a segunda parte do algoritmo que calcula a solução deste 
tipo de matriz para os valores de 
nx
, então: 
(3)
34
3 3(3)
33
4
1
4
a
x x
a
   
 
2i 
 
(3) (3)
24 23 3
2 2(3)
22
0
0
2
a a x
x x
a
 
   
 
1i 
 
(3) (3) (3)
14 12 2 13 3
1 1(3)
11
( ) 1 (0 1)
0
3
a a x a x
x x
a
     
   
 
Fim. 
Portanto, a solução para o sistema utilizando o método da eliminação de Gauss do sistema é 
dado por: 
 
1 2 3( , , ) (0,0,1)
T Tx x x x x  
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
Usando o método da eliminação de Gauss, resolva o seguinte sistema de equações lineares: 
1 2 3
1 2
2 3
0
3 6 27
6 4 24
x x x
x x
x x
  

 
    
 
Resposta: 
1 2 3
7 10
( , , ) ( , ,1)
3 3
T Tx x x x x  