Estatistica - Lista de Exercicios - Intervalo de confianca; Teste de hipoteses

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Lista de Exerc´ıcios - Intervalos de confianc¸a e Teste de hipo´teses
1. Num grupo de pacientes, o n´ıvel de colesterol e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o Normal, de me´dia
desconhecida e variaˆncia 64(mg/ml)2.
a) Para uma amostra de 46 indiv´ıduos que forneceu n´ıvel me´dio de colesterol de 120mm/ml, construa um
intervalo de confianc¸a de 88%.
b) Se voceˆ desejasse diminuir a amplitude do intervalo encontrado, quais seriam as alternativas?
2. Antes de comec¸ar um estudo que investiga a habilidade do medicamento heparina para evitar broncocontric¸a˜o,
os valores de base pulmonar foram medidos para uma amostra de 12 indiv´ıduos com histo´rico de asma induzida
por exerc´ıcios. O valor me´dio da capacidade vital forc¸ada (FVC) para amostra foi de x1 = 4, 49 litros e o
desvio padra˜o s1 = 0, 83 litros; a me´dia do volume expirato´rio forc¸ado (FEV) em um segundo foi de x2 = 3, 71
litros e o desvio padra˜o s2 = 0, 62 litros.
a) Calcule um intervalo de confianc¸a bilateral de 95% para µ1, o FVC verdadeiro da populac¸a˜o.
b) Calcule um intervalo de confianc¸a de 99% para µ2, o FEV verdadeiro da populac¸a˜o.
3. Suponha interesse em estimar a proporc¸a˜o de consumidores de um certo medicamento. Se a amostra de
tamanho 300 forneceu 100 indiv´ıduos que consomem o dado medicamento, determine o intervalo de confianc¸a
para p, com coeficiente de confianc¸a de 95% utilizando o me´todo otimista e conservativo.
4. A dosagem de certa substaˆncia no sangue segue distribuic¸a˜o Normal com me´dia µ e desvio padra˜o 15 mg/l.
Se uma amostra de tamanho 25 for coletada, determine o intervalo para µ com 98%, se temos xobs = 98mg/l.
5. Considere uma distribuic¸a˜o t-Student com 5 graus de liberdade.
a) Que proporc¸a˜o da a´rea sob a curva se encontra a` direita de t = 2, 015?
b) Que proporc¸a˜o da a´rea sob a curva se encontra a` esquerda de t = −3, 365?
c) Que proporc¸a˜o da a´rea se encontra entre t = −4, 032 e t = 4, 032?
d) Que valor de t limita os 2, 5% superiores da distribuic¸a˜o?
6. O tempo de reac¸a˜o de uma certa droga e´ considerado uma varia´vel aleato´ria com me´dia 5 minutos e desvio
padra˜o de 3 minutos. Esse tempo foi medido em uma amostra com 80 pessoas escolhidas ao acaso, na cidade
de Sa˜o Paulo. Qual a probabilidade do tempo me´dio na amostra ser inferior a 5, 5?
7. A infecc¸a˜o E. canis e´ uma doenc¸a canina, produzida por carrapato e, algumas vezes, e´ contra´ıda pelos
humanos. Entre os homens infectados, a distribuic¸a˜o de contagem de ce´lulas brancas no sangue tem me´dia
µ e desvio padra˜o σ desconhecidos. Na populac¸a˜o geral, a contagem me´dia de ce´lulas brancas no sangue e´
de 7.250/mm3. Acredita-se que as pessoas infectadas com E. canis devam, em me´dia, ter contagem mais
baixa de ce´lulas brancas no sangue. Para uma amostra de 15 pessoas infectadas, a contagem me´dia de ce´lulas
brancas no sangue e´ de x = 4.767/mm3 e o desvio padra˜o e´ de s = 3.204/mm3. Conduza o teste usando
α = 0, 05.
8. O tempo de cura para um doente tratado pelo me´todo A segue uma distribuic¸a˜o Normal, com me´dia de 7
dias e desvio padra˜o de 2 dias. Um me´todo B e´ proposto com a finalidade de diminuir o tempo de cura desse
tipo de paciente. Em um experimento cl´ınico, 25 pacientes com a doenc¸a foram tratados com o me´todo B e
observou-se que a me´dia de tempo de restabelecimento para eles foi de 6 dias. Admita que ao utilizar B o
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tempo de cura tem distribuic¸a˜o Normal com a mesma variaˆncia do me´todo A.
a) Fac¸a um teste de hipo´tese considerando um n´ıvel de significaˆncia de 4%.
b) Construa um intervalo de confianc¸a (1-α = 95%) para a verdadeira me´dia da distribuic¸a˜o do tempo de
cura sob o tratamento B.
9. Suponha que deseje estimar a proporc¸a˜o p de indiv´ıduos com certa mole´stia em uma dada regia˜o. Selecionou-
se uma amostra aleato´ria de 100 pessoas e constatou-se que 25 eram portadores da mole´stia.
a) Calcule um intervalo de confianc¸a para p com coeficiente de confianc¸a de 0, 95.
b) Um pesquisador acredita que a proporc¸a˜o p de doentes e´ diferente a 20%. Teste essa hipo´tese ao n´ıvel de
α = 0, 04.
10. O ı´ndice de massa corpo´rea e´ calculado com a divisa˜o do peso da pessoa pelo quadrado de sua altura; e´ uma
medida que avalia se o indiv´ıduo esta´ com excesso de peso. Para a populac¸a˜o masculina de meia-idade que
mais tarde desenvolve a diabetes mellitus a distribuic¸a˜o dos ı´ndices ba´sicos de massa corpo´rea e´ aproximada-
mente normal, com me´dia µ e desvio padra˜o α desconhecidos. Uma amostra de 58 homens selecionados desse
grupo tem me´dia x = 25km/m2 e desvio padra˜o s = 2, 7kg/m2.
a) Construa um intervalo de confianc¸a de 95% para a me´dia µ da populac¸a˜o.
b) Ao n´ıvel de significaˆncia de 0, 05, teste se o ı´ndice ba´sico me´dio de massa corpo´rea para a populac¸a˜o
masculina de meia-idade que desenvolve diabetes e´ igual a 24kg/m2, me´dia para a populac¸a˜o masculina que
na˜o desenvolve. Qual e´ o p-valor do teste?
11. As estaturas de 20 rece´m-nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados
sa˜o em cm:
41 50 52 50 49
50 52 50 46 49
49 54 47 52 49
47 51 50 49 50
Suponha inicialmente que a populac¸a˜o das estaturas e´ normal com variaˆncia de 2 cm; teste a hipo´tese de que
a me´dia destes dados e´ diferente de 50. Adote α = 4%.
12. O escrut´ınio realizado na amostra de 100 eleitores, escolhidos ao acaso entre todos os votantes de um deter-
minado distrito, indicou que 55% deles eram a favor de um certo candidato. Determinar o intervalo de 95%
de confianc¸a para a proporc¸a˜o de todos os votantes favora´veis a`quele candidato. Qual deve ser o tamanho
de amostra para que o erro seja no ma´ximo de 1% para mais ou para menos, considerando o mesmo n´ıvel de
confianc¸a?
13. O intervalo de [35, 21; 35, 99] com confianc¸a de 95% foi constru´ıdo a partir de uma amostra de tamanho 100,
para me´dia µ de uma populac¸a˜o Normal com desvio-padra˜o igual a 2.
a) Qual o valor encontrado para a me´dia dessa amostra?
b) Se utiliza´ssemos essa mesma amostra, mas uma confianc¸a de 90% qual seria o novo intervalo de confianc¸a?
14. Numa pesquisa de mercado, desejamos estimar a proporc¸a˜o de pessoas que compram o sabonete Bom Cheiro.
a) Que tamanho da amostra devemos colher para que, com probabilidade 0, 9; a proporc¸a˜o amostral na˜o se
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desvie do verdadeiro valor em mais de 0, 05?
b) Se tivermos a informac¸a˜o adicional de que a aceitac¸a˜o do sabonete e´ no mı´nimo 0, 8, qual deve ser enta˜o
o tamanho da amostra?
c) Decidimos colher uma amostra de tamanho 81. Qual e´ o erro ma´ximo que cometemos com probabilidade
0, 9?
d) Para a amostra de tamanho 81, qual a probabilidade de que o erro ma´ximo seja 0, 08?
15. Respostas: Alunos na˜o se prendam a elas!
1. a) (118, 6; 121, 39)
2. a) (3, 962; 5, 017) b) (3, 154; 4, 267)
3. Otimista: (0, 2852; 0, 3748) Conservativo: (0, 2823; 0, 3776)
4. (91, 82; 104, 18)
6. a) 0, 9319
7. Rejeita-se H0 , T = −3
8. Na˜o rejeita-se H0 , Z = −2, 5
9. a) Na˜o rejeita-se H0, Z = 1, 15 b) Otimista (0, 165; 0, 335) e Conservativo (0, 152; 0, 348)
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