EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE MOMENTO E DE MASSA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CAMPUS DE TOLEDO
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO MOMENTO E DE MASSA
GABRIELA JULIANI MOREIRA
LUÍSA ROBERTO MARTINS
TOLEDO– PR, 
JANEIRO – 2016.
GABRIELA JULIANI MOREIRA
LUÍSA ROBERTO MARTINS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO MOMENTO E DE MASSA
Trabalho entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Fenômenos de Transporte I da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo.
Prof. Jamal Abd Awadallack
	
	
 TOLEDO – PR, 
JANEIRO – 2016.
1. ANÁLISE DIFERENCIAL DO ESCOAMENTO
A análise de um escoamento de fluído pode ser feita de duas maneiras. A primeira analisa a região de interesse como um volume definido (volume de controle). A outra engloba as troca que ocorrem dentro do volume de controle, por cada elemento diferencial de fluido, sendo uma análise microscópica. As expressões resultantes do segundo tipo de análise são equações diferenciais e sua solução fornecerá informações diferentes da obtida através da análise macroscópica. 
O princípio da conservação de massa pela equação da continuidade é dado por:
Na forma integral a equação da continuidade é dada por:
Aplicando o teorema da divergência (teorema de Gauss) pode-se transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Assim, a integral de superfície da Equação 1 fica:
E a Equação 1 pode ser reescrita da seguinte forma:
Simplificando a Equação 3:
O volume de controle é arbitrário de forma que o integrando da Equação 4 deve ser nulo, resultando em:
A equação obtida representa a Equação da continuidade na forma diferencial. Esta fornece um balanço diferencial de massa por unidade de volume para um volume de controle infinitesimal fixo no espaço.
A Figura 1 representa um elemento com as coordenadas retangulares. Nesta configuração a Equação Diferencial da Continuidade é dada pela Equação 6.
Figura 1- Elemento cúbico em coordenadas retangulares.
1.1 SIMPLIFICAÇÕES
Fluido incompressível:
Neste tipo de escoamento tem-se constante, portanto, a Equação 5 fica sendo:
Simplificando a Equação 6 para a mesma condição, tem-se:
Escoamento permanente:
Nos escoamentos permanentes, as propriedades dos fluidos e do escoamento são invariantes com o tempo, de maneira que a Equação 5 se reduz a:
Simplificando a Equação 6, para essa condição, tem-se:
Alguns problemas não podem ser representados na geometria retangular, sendo então necessário utilizar as equações em coordenadas cilíndricas. A Equação Diferencial da Continuidade em coordenadas cilíndricas (r,z) é dada pela Equação 11.
As mesmas simplificações anteriores podem também ser aplicadas quando se trata de coordenadas cilíndricas. No caso de fluido incompressível a Equação 11 se reduz a:
Já no caso do escoamento permanente a Equação Diferencial da Continuidade fica sendo:
2. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO MOVIMENTO DE UM FLUIDO (EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES).
As Equações de Navier-Stokes são relações fundamentais para o estudo do escoamento de fluidos. Elas são o resultado da aplicação da segunda lei de Newton ao movimento do fluido. 
Aplica-se a segunda lei de Newton a uma partícula infinitesimal de massa . Neste caso a segunda lei de Newton pode ser escrita da seguinte maneira:
Ainda pode-se escrever a Equação 14 em um campo de velocidades, como mostra a Equação 15.
A Equação 15 pode ser escrita também em três equações escalares , e . 
As forças que atuam sobre um elemento fluido são devidas as tensões normais (), devidas as tensões cisalhantes () e também à aceleração gravitacional.
A Figura 2 representa um esquema das tensões normais e de cisalhamento que atuam sobre as faces de um elemento fluido cúbico.
Figura 2 – Tensões na direção x atuando em uma partícula de fluido.
A componente x da Equação Diferencial do Movimento do fluido pode ser dada pela seguinte equação:
Sendo assim, também temos as componentes da Equação Diferencial do Movimento para as direções y e z, que são dadas por:
Os termos do lado esquerdo dessas equações (16,17 e 18) representam as forças que atuam sobre um elemento fluido, enquanto os termos do lado direito representam a taxa de variação do momento linear do elemento fluido. 
Utilizando o operador derivada material pode-se escrever as componentes de Equação do Movimento de um fluido da seguinte forma:
As tensões normais e cisalhantes podem ser escritas em termos dos gradientes de velocidade e propriedades do fluido. Para fluidos newtonianos, em escoamento laminares as tensões normais são dadas pelas seguintes equações:
As tensões cisalhantes são dadas pelas seguintes equações:
Onde p é a pressão e é a viscosidade do fluido. Introduzindo essas relações nas equações do movimento do fluido, obtém-se:
As Equações 28, 29 e 30 são as componentes x, y e z da Equação Diferencial do Movimento para um fluido newtoniano em coordenadas retangulares. 
Para escoamento incompressível, laminar e com viscosidade constantes, essas equações são simplificadas. Sendo a viscosidade constante, as equações resultam em:
As equações acima são as componentes x, y e z da Equação Diferencial do Movimento chamada de Equação de Navier-Stokes. Estas equações, também, podem ser escritas de forma vetorial:
Considerando coordenadas retangulares e a definição de derivada material, as componentes x, y e z da Equação 34 podem ser escritas, respectivamente, como:
Em um escoamento ideal, onde não há manifestação dos efeitos viscosos, a Equação 34 se reduz a:
A Equação 38 é conhecida como Equação de Euler.
As equações do movimento do fluido e da continuidade formam um sistema de quatro equações diferenciais de onde podem-se obter as distribuições de velocidade e pressão para um determinado escoamento. Devido a natureza não linear das equações diferencias do movimento de um fluido, há soluções analíticas somente para problemas simples.
Sendo assim, como há diversos problemas que apresentam uma geometria cilíndrica, é necessário utilizar essas equações em coordenadas cilíndricas. As componentes da equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas (r, e z) são dadas, respectivamente, por:
3. APLICAÇÕES
As equações de Navier-Stokes, juntamente com a Equação da Continuidade, a Equação de Estado, a Equação de Energia e conhecendo-se a lei empírica da viscosidade e as condições de contorno e iniciais, determinam completamente a pressão, densidade, temperatura, viscosidade e componentes da velocidade em um escoamento de um fluido.
As equações diferenciais de massa e momento podem ser aplicadas em diversas formas de escoamento. Em superfícies planas, por exemplo, ela é aplicada em:
- Duas placas verticais separadas por grandes dimensões;
- Duas placas inclinadas separadas por grandes dimensões;
- Placas horizontais com movimento de uma delas;
-Escoamento de uma película em uma superfície inclinada.
Quando utilizada em coordenadas cilíndricas, tais equações podem ser aplicadas no escoamento de fluido incompressível no interior de tubos cilíndricos e no viscosímetro capilar.
As operações envolvendo sistemas fluidos integram o dia-a-dia do engenheiro químico. Todas as unidades de processo químico utilizam água, ar comprimido, vapor e combustível. Os produtos e subprodutos muitas vezes também são fluidos. O profissional da engenharia química deve dominar todos os aspectos relacionados com os fluidos: propriedades, armazenamento, escoamento, manuseio, entre outros. 
O escoamento é o aspecto mais importante a ser analisado em um fluido, para isso, recorrem-se as equações anteriormente apresentadas. Para dimensionamento de equipamentos, bem como a resolução de problemas industriais deve-se levar em conta a natureza do fluido, sua temperatura, viscosidadee pressão de vapor. Além disso, analisar se o escoamento se dá através de meios porosos e realizar os cálculos de perda de carga. 
4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Um fluido viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais conforme mostra a Figura 3. Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. 
a) Determine, usando as equações de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na direção do escoamento. Expresse como uma função da vazão por unidade de largura (q). 
b) Qual seria a vazão se dp/dy = 0 ?
Figura 3 – Esquema do exercício 1.
RESOLUÇÃO:
O problema apresenta apenas velocidade na direção y, sendo função apenas de x para escoamento plenamente desenvolvido.
Como há escoamento apenas na direção y:
As Equações 31, 32 e 33, de Navier-Stokes, ficam:
Como o escoamento esta no sentido do eixo positivo de y, . Ajustando a Equação de Navier-Stokes para a direção y, temos:
Integrando:
Sendoem e da Equação 25 temos:
Logo, 
Integrando novamente:
Sendo v=0 em x=h, tem-se que:
Isolando :
Substituindo em :
A vazão por unidade de largura é:
A partir disso, é possível obter:
b) Caso dp/dy = 0, o escoamento é devido apenas à gravidade e é dado por:
2) Um fluxo viscoso (μ ≠ 0) e incompressível (ρ = cte) em regime permanente entre duas placas infinitas em z, paralelas e horizontais. A placa superior é móvel com U = cte. O fluido move-se com u ≠ 0, v = 0 e w = 0 (1D). Obter o perfil de velocidades no fluido lubrificante com e sem bombeamento. A Figura 4 mostra o esquema do problema.
Figura 4 – Esquema do Exercício 2.
RESOLUÇÃO:
Pela Lei da Conservação:
Simplificando a Equação 31, têm-se:
Integrando ambos os lados:
Integrando novamente:
Pelas condições de contorno:
Substituindo em (*):
Esse é o perfil de velocidade para o escoamento com bombeamento. Caso não haja bombeamento , e o fluxo ocorre apenas pelo arrasto da placa superior.
3) Uma esteira larga movendo-se com velocidade vertical, passa através de um recipiente que contém um líquido viscoso (Figura 5). Devido às forças viscosas a esteira "pega" uma lâmina de fluído de espessura h. A gravidade tende a drenar o fluído para baixo. Use as equações de Navier-Stokes para determinar uma expressão para a velocidade média da lâmina de fluído à medida que ela é arrastada para cima pela esteira. Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme.
Figura 5 – Esquema do Exercício 3.
RESOLUÇÃO:
Para este caso: 
E também:
Sendo assim, a Equação 32 resulta em:
De maneira análoga ao exercício 1, . Temos:
Integrando ambos os lados:
Sendo o em x=h:
Integrando novamente:
Para determinar a velocidade média, é necessário calcular a vazão, que é:
Portanto, a velocidade média é:
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GOMIDE, R., Operações Unitárias: Fluidos na indústria. v. 2. São Paulo: Edição do autor, 1993.
LIVI, C.P., Fundamentos de fenômenos de transporte. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2004.
http://www2.eesc.usp.br/netef/Oscar/Aula21 . Acesso em: 18/01/2016
http://www.ocw.unicamp.br/fileadmin/user_upload/cursos/EQ541/Capitulo_VIII.pdf . Acesso em: 19/01/2016
https://sites.google.com/site/carlosruberto/disciplinas/graduacao/fenomenos-de-transporte-i . Acesso em: 18/01/2016