Aula 04_Estatistica_Nassau pptx

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1
Sandro Cruz
P R O F E S S O R :
INTELIGÊNCIA ESTATÍSTICA 
PARA ENGENHARIA
Campus Recife
Aula 04
2
MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
Um grande conjunto de dados pode ser representando
por UM ou ALGUNS valores, chamados medidas de
posição central:
MODA;
MEDIANA;
MÉDIA.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MODA
EXEMPLOS
2 - Considere a amostragem apresentada na Página 11,
para o número de filhos:
{1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 2, 0, 5, 2, 1, 3, 2, 3}.
Pergunta-se: - Qual a Moda da amostra?
R. 1º ordenar a amostra
{0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5}.
F=4 F=5 F=7 F=3 F=1
4
MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MODA
EXEMPLOS
3 - Considere a amostra:
{1, 3, 5, 5, 6, 6}.
Pergunta-se: - Qual a Moda da amostra?
R. 5 e 6 => a amostra é BIMODAL
4 – Considere a amostra:
{1, 3, 2, 5, 8, 7, 9}.
Pergunta-se: - Qual a Moda da amostra?
R. A amostra NÃO APRESENTA MODA
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MEDIANA
Ordem Elementos
1o 3
2o 4
3o 7
4o 8
5o 8
6
MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MEDIANA
No caso de dados não classificados, quer para
variáveis contínuas quer discretas, são calculadas
conforme a seguir.
Para populações (n) ímpares:
a mediana será o elemento central (n+1)/2.
Para populações (n) pares:
a mediana será o resultado da média simples dos
elementos n/2 e (n/2)+1.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MEDIANA
Ordem Elementos ÍMPAR
1o 3
2o 4
3o 7
4o 8
5o 8
n. elementos = 5
Mediana = (n+1)/2 = (5+1)/2 = 6/2 = 3o
8
MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MEDIANA
Ordem Elementos PAR
1o 3
2o 4
3o 7
4o 8
5o 8
6o 9
n. elementos = 6
Mediana => (n) / 2 = 3o ; ((n) / 2) +1 = 4o
(7 + 8) / 2 = 7,5
9
MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MEDIANA
EXEMPLO
1 - Considere a amostra:
{1, 3, 5, 7, 9 }.
Pergunta-se: - Qual a Mediana da amostra?
R. 5
10
MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MEDIANA
EXEMPLO
2 - Considere a amostra:
{1, 2, 4, 10, 13 }.
Pergunta-se: - Qual a Mediana da amostra?
R. 4
11
MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MEDIANA
EXEMPLO
3 - Considere a amostra:
{1, 2, 4, 7, 9, 10}.
Pergunta-se: - Qual a Mediana da amostra?
R. 5,5
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MEDIANA
Quando se trata de um conjunto de dados
classificados, o cálculo da mediana é feito através do
histograma, ou através da função cumulativa de
frequências relativas. A mediana é o ponto do eixo
das abcissas correspondente a 50% da frequência
relativa acumulada.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MEDIANA
No caso de variáveis contínuas, a mediana é
calculada através de interpolação linear entre os
pontos centrais das duas classes entre as quais se
encontra o ponto correspondente a 50% da
frequência relativa acumulada.
No caso de variáveis discretas, e quando as
frequências estão calculadas por unidade, a mediana
é o ponto do eixo das abcissas para o qual a
frequência relativa acumulada é inferior ou igual a
50% e superior ou igual a 50% para o ponto
imediatamente a seguir.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
MÉDIA
Nome Equação ou descrição Aplicação 
Média aritmética 
 
Geral 
Média ponderada 
 
Geral 
Média geométrica 
 
Economia 
Média harmônica 
 
Elétrica (resistências) 
Média quadrática 
(ou RMS) 
Geral 
 
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
DESVIO
Em alguns momentos somente MÉDIA não
colabora para análises mais profunda, de uma série
de dados.
Exemplo: Considere os seguintes conjuntos de resultados
de tensões de ruptura dos Corpos de Prova de concreto,
medidos em Mpa.
A = {16, 18, 20, 22, 24}; Média = 20 Mpa.
B = {13, 17, 21, 25, 29}; Média = 21 Mpa.
C = {11, 15, 19, 23, 27}; Média = 19 Mpa.
QUAL O MELHOR CONCRETO ?
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
DESVIO
Uma boa opção é identificar o desvio (distância)
dos valores até a MÉDIA.
A = {16, 18, 20, 22, 24}; Média = 20 Mpa.
|16-20|=4 |18-20|=2 |20-20|=0 |22-20|=2 |24-20|=4
B = {13, 17, 21, 25, 29}; Média = 21 Mpa.
|13-21|=8 |17-21|=4 |21-21|=0 |25-21|=4 |29-21|=8
1242024|| =++++=− xxi
2484048|| =++++=− xxi
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
DESVIO
Uma boa opção é identificar o desvio (distância)
dos valores até a MÉDIA.
C = {11, 15, 19, 23, 27}; Média = 19 Mpa.
|11-19|=4 |15-19|=2 |19-19|=0 |23-19|=2 |27-19|=4
A = 12 B = 24 C=12
Comparando as amostras A, B e C, não conseguimos 
expressar uma comparação consistente.
1242024|| =++++=− xxi
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
DESVIO MÉDIO
É a média aritmética dos valores absolutos dos
desvios.
n
xxi
xdm
||
)(  −
=
Através da análise do Desvio Médio é possível
avaliar a homogeneidade (Dispersão) de
amostragens de diferentes valores.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
VARIÂNCIA
É a média do quadrado da distância de cada ponto
até a média. É assim a “média do quadrado dos
desvios”
n
xxi
x
2)(
)var(  −
=
[un2]
Através da análise da Variância é possível avaliar
a homogeneidade (Dispersão) de amostragens de
diferentes valores.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
DESVIO PADRÃO
Sendo a Variância uma medida cuja unidade final é
quadrática [un2], causando problemas de
interpretação, assim tomasse a raiz da Variância
chamada DESVIO PADRÃO.
O desvio padrão retrata a distribuição dos valores
da variável com relação a média. Quanto maio o
valor, maior a dispersão com relação a média.
)var()( XxdP =
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA / RESUMO
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
É uma medida de dispersão que se presta para a
comparação de distribuições diferentes.
O desvio-padrão, uma medida de dispersão, é relativo à
média e como duas distribuições podem ter médias
diferentes, o desvio dessas duas distribuições não é
comparável. A solução é usar o coeficiente de variação,
que é igual ao desvio-padrão dividido pela média.
100
)(
)( ×=
x
xdp
xCV [%]
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EXERCÍCIO 1
Na construção de uma estrada, o material (solo) que compõe a plataforma
rodoviária deve ser compactado por camadas com as seguintes especificações:
Grau de Compactação (GC) = 98%, com um Desvio Médio = 2%
Umidade ótima (h) = 9 %, com um Desvio Padrãob) A especificação serviço estabelece a resistência média do concreto (Classe C-20) é 20
Mpa com um desvio padrão de 2,50 Mpa. Qual(ais) a(s) concretagem(ens) que
seguiram a especificação? Justifique;
c) Pode-se afirmar que a dosagem de concreto que teve maior homogeneidade, quando
amostrada e verificada pela análise das variâncias, foi a segunda concretagem
(Grupo 2). Justifique;
d) Pode-se afirmar que a dosagem de concreto que teve maior dispersão, quando
amostrada e verificada pela análise dos coeficientes de variação, foi a terceira
concretagem (Grupo 3). Justifique.
Amostra Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
1 13,21 12,98 16,80
2 15,11 16,21 18,00
3 19,33 20,99 20,79
4 23,23 24,78 21,32
5 27,99 30,43 23,68
* Tensão em Mpa
26
FIM