AULA 04

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Capítulo 4 
 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 
Neste capítulo o livro diferencia-se bastante de todos os outros sobre o assunto. Como já foi 
feito em relação à equação da continuidade no Capítulo 3, restringe-se a equação a aplicações 
em regime permanente. Novamente, a ausência de variações com o tempo permite simplificar 
a compreensão dos fenômenos e a solução de problemas importantes, sem restringir muito as 
aplicações, já que, a maioria dos problemas práticos aproxima-se dessa hipótese. No Capítulo 
10 a equação é generalizada para permitir a solução de problemas mais complexos. 
Inicialmente, apresentam-se as energias mecânicas associadas a um fluido, excluindo-se 
efeitos térmicos. O leitor deve perceber que, sendo as energias entidades da mesma espécie, 
podem-se, por meio delas, associar entidades heterogêneas como velocidades, cotas e 
pressões. Graças às seis hipóteses estabelecidas inicialmente é possível deduzir a equação de 
Bernoulli para um tubo de corrente, que relaciona de forma elementar essas entidades em duas 
seções do escoamento. O desenvolvimento da equação de Bernoulli conduz a energias por 
unidade de peso, denominadas cargas, e por coincidência, as cargas podem ser medidas em 
unidade de comprimento, o que permite interpretações interessantes em certas aplicações. 
Nos itens seguintes as hipóteses de Bernoulli são retiradas aos poucos, o que permite resolver 
problemas sem restrições práticas, com exceção da hipótese de regime permanente. 
Após a retirada de todas as hipóteses simplificadoras chega-se à equação mais geral, que nada 
mais é do que a primeira lei da Termodinâmica para volume de controle, em regime 
permanente. 
A grande vantagem desse tratamento é a separação dos efeitos térmicos dos efeitos 
mecânicos, o que possibilita uma concentração maior nos tipos de problemas que podem ser 
resolvidos. 
Assim, o professor de Termodinâmica pode dedicar sua atenção a problemas em que os 
efeitos térmicos são predominantes e o de Mecânica dos Fluidos pode se dedicar àqueles em 
que os efeitos são desprezíveis. Apesar de se perder inicialmente na generalidade, ganha-se na 
compreensão e na facilidade de absorver os conceitos e visualizar os fenômenos físicos. 
Observa-se, no fim do capítulo, a interpretação da perda de carga. 
 
Exercício 4.1 
 
 
 
 
 
 
 
Ressaltar as hipóteses de Bernoulli: 
1) R.P. Reservatório de grandes dimensões. 
2) S.M. Visual. Não há bombas nem turbinas no trecho (1)-(2). 
3) S.P. Dado do enunciado: fluido ideal. 
4) F.I. Líquido. 
5) P.U.S. Jato livre. Não vale o princípio da aderência. 
6) S.T.C. Visual. 
 
v2 
(1) 
(2) 
PHR 
h 
O leitor deve ser hábil na escolha dos pontos (1) e (2). Como regra, o ponto (1) deve ser 
escolhido numa seção onde v, p e z sejam conhecidos, e o ponto (2), onde estiver a incógnita, 
ou vice-versa. 
 
gh2v
g2
v
h
PHRnoponto0z
efetivaescalanap0p
incógnitaaév
PHRdopartiraacothz
efetivaescalanap0p
ioreservatórnofluidodonível0v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
2
2
2
2
atm2
2
1
atm1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
=→=
→=
→=
→
→=
→=
→=
+
γ
+=+
γ
+
 
Observa-se que o PHR é arbitrário. Ao ser mudado alteram-se z1 e z2, mas a solução da 
equação permanece a mesma. 
 
Exercício 4.3 
 
m3,6
10
1075
20
9,4
zz
p
g2
v
zzz
p
g2
v
z
kPa7510025ppp
z
p
g2
v
z
p
g2
v)b
s/m9,42,120gz2v
g2
v
z
z
p
g2
v
z
p
g2
v)a
4
32
AS
S
2
S
ASS
s
2
S
A
atmSS
S
S
2
S
A
A
2
A
AB
2
B
A
B
B
2
B
A
A
2
A
absef
=
×−
−−=−
γ
−−=−→+
γ
+=
−=−=−=
+
γ
+=+
γ
+
=×==→=
+
γ
+=+
γ
+
 
 
Exercício 4.5 
 
4vv2,0
g2
vv
2,0
p
comoez
p
g2
v
z
p
g2
v
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
1
2
1
0
0
2
0
=−→=
−
=
γ
+
γ
+=+
γ
+
 
 
 
s
N211,210gQQ
s
kg1,20026,0
10
000.8Q
g
QQ
s
L6,2
s
m0026,0
4
08,052,0Q
4
D
vQ
s/m52,0v4vv16:anteriornadoSubstituin
v4v40v80v
4
D
v
4
D
v
mG
m
322
0
0
0
2
0
2
0
01
2
1
2
0
2
1
1
2
0
0
=×==
=×=
γ
=ρ=
==
×π
×=→
π
=
=→=−
=→×=×→
π
=
π
 
 
Exercício 4.7 
 
 
cm3
16,3
07,72
v
v
DD
4
D
v
4
D
v
s
m16,35,020v
m5,0
10
1020
20
07,7p
g2
v
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v)b
s
N2,22
4
02,007,710
4
D
vQ
s
m07,75,2102gh2vh
g2
v
:PitotdetuboNo)a
1
2
21
2
2
2
2
1
1
1
4
32
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
4
2
2
2G
2
2
2
=×==→
π
=
π
=×=
=
×
−=
γ
−=→+
γ
+=+
γ
+
=
×π
××=
π
γ=
=××==→=
 
 
Exercício 4.9 
 
s
kg14,8
4
072,02
10
000.10
4
D
v
g
Q
s
m2v84,59vv16
anteriornadosubstituinv4v
4
D
v
4
D
v
84,59
10
920.2920vv
p
g2vvz
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa920.2922,0000.136hp
22
1
1m
1
2
1
2
1
12
2
1
2
2
2
4
2
1
2
2
22
1
2
21
1
2
1
2
2
2
2
Hg2
1
=
×π
××=
πγ
=
=⇒=−
→=→
π
=
π
=
−
×−=−
γ
−=−→+
γ
+=+
γ
+
−=×−=γ−=
 
 
 
 
 
Exercício 4.11 
 
( ) ( )
( ) N1,3810101081,1102010F
Pa1081,1pm81,1
20
5,1210
10
10p
s
m5,12
108
01,0
A
Q
v
g2
vvpp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa10110p
HpHpHz
p
g2
v
z
p
g2
v
AApApFFAApAp)b
kW375,0
000.1
1
8,0
301,010QHN
s
m01,0101010AvQ
m342
20
10HH
g2
v
Hz
Hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v)a
4444
4
G
22
4
4
G
4G
G
2
G
2
44G
G
G
2
G
4
4
2
4
44
4
p4p
4
p6
6
2
6
4
4
2
4
HpGp4HpGp4
4
B
B
B
3
4
66
2
Bp
2
6
B1
p2
2
2
2
B1
1
2
1
6,46,46,4
6,1
6,1
=×××−−××=
×−=→−=
−
+=
γ
=
×
==
−
+
γ
=
γ
→+
γ
+=+
γ
+
=×=
γ=→=
γ
→++
γ
+=+
γ
+
−−=→+−=
=
××
=
η
γ
=
=××==
=−+=→+=+
++
γ
+=++
γ
+
−−
−
−
 
 
Exercício 4.13 
 
( ) ( )
s
m047,0101007,4AvQ
s
m7,4
8
176
v176vv9
v3vAvA3vAvAv
176
10
108,820vv
Pa108,810102,18,0hpp
phhp:amanométricEquação
pp
g2vv
z
p
g2
v
z
p
g2
v)a
3
4
44
4
2
4
2
4
4555545544
4
4
2
4
2
5
445
F54
5F4
542
4
2
5
5
5
2
5
4
4
2
4
=××==
==→=−
=→=→=
=
×
×=−
×=−×=γ−γ=−
=γ−γ+
γ
−
=−
+
γ
+=+
γ
+
−
 
 
( ) kPa49Pa109,47,368,410p
HzH
p
Hz
p
H
Hz
p
g2
v
Hzp
g2
v)c
m8,4
047,010
75,0103
Q
N
H
QH
N)b
44
6
p6B
6
p6
6
B
p6
6
2
6
B1
1
2
1
4
3
BB
B
B
B
B
6,16,1
6,1
−=×−=−−×=
−−=
γ
→++
γ
=
++
γ
+=++
γ
+
=
×
××
=
γ
η
=→
η
γ
=
 
 
Exercício 4.15 
 
( ) ( )
s
m75,0
667,0
5,0
667,0
v
v667,0v
2
h10
3
h25
h
v
v
dyy10y25
h
v
Ldyyv10yv25
bL
1
v
yv10yv25v:Logo
v10bev25a:sistemaosolvendoRe
b2,0a20bay2
dy
dv0
dy
dv
;m2,0ypara
2,0b2,0avvv;m2,0ypara
0c0v;0ypara)d
m7,16
8000
103,0
20
4,2078,0H
s
m4,20
05,0
10404
D
Q4
v
s
m78,0
255,0
10404
D
Q4
v
p
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v)c
m255,0
200010
10404
Re
Q4D
D
Q4D
D
Q4Re
D
Q4
v;
Dv
Re)b
s
m5,0
4,02,0
1040
bL
Q
vbLvQ)a
m
máxmáx
23
máx
m
h
0
2máxh
0 máx
2
máxm
máx
2
máx
máxmáx
2
máxmáx
622p
2
3
2
2
2
2
3
2
1
1
1
2
2
2
1
p
p2
2
2
2
1
1
2
1
4
3
1
1
1
1
212
1
1
11
1
3
canalcanal
2,1
2,1
2,1
1
===⇒×=








+
−
=
+−=+−=
+−=
=−=
+×=→+=→==
×+×=⇒==
=⇒==
=
×
+
−
=
=
×π
××
=
π
=
=
×π
××
=
π
=
γ
+
−
=
++
γ
+=+
γ
+
=
××π
××
=
πν
=
νπ
=
ν
×
π
=→
π
=
ν
=
=
×
×
==→=
∫∫
−
−
−
−
−
 
 
Exercício 4.17 
 
( )
m545
20
2030
10
104,0H
p
g2
v
H
p
H
HHHH)c
mca4525
10
102,0pHpp
z
p
g2
v
Hzp
g2
v)b
kW4
1000
18,025102010pQHN
m25H
m25305
10
104,01510
10
1025,0H
Hz
p
HHz
p
HHHHH
)0(a)5(deEscoamentoHH
m455
10
102,0
20
20
z
p
g2
v
H
s
m20
1010
1020
A
Q
v
m3510
10
1025,00zp
g2
v
H)a
2
4
6
p
2
2
2
M
5
p
p2M5
4
6
2
M
12
1
1
2
1
M2
2
2
2
34
TTT
T
4
6
4
6
M
p0
0
MM5
5
p0MM5
01
4
62
1
1
2
1
1
4
3
1
1
4
6
0
0
2
0
0
2,5
22,5
2,52
1
1
1
0,512
0,512
=−−+
×
=
γ
−−+
γ
=
+=+
=−−
×
=
γ
→−
γ
=
γ
+
γ
+=++
γ
+
=×××××=ηγ=
=
−=−−
×
−++
×
=
++
γ
=+++
γ
+=++
→>
=+
×
+=+
γ
+=
=
×
×
==
=+
×
+=+
γ
+=
−
−
−
 
 
Exercício 4.19 
 
1,2
1,2
p1
1
2
1
2
2
2
2
p12
22
4
4
2
4
2
3
3
2
3
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
HHH)b
)1(para)6(deSentido
13
g2
v49
g2
v
z
p
g2
vH
11
g2
v
z
p
g2
vH)a
++
γ
+=+
γ
+
+=
+=++=+
γ
+=
+=+
γ
+=
 
 
kW84,0
1000
1
7,0
8,910610QHN
m8,9239
20
6H
Hzz
p
g2
v
H
Hzp
g2
v
Hz
p
g2
v
HHHH)d
kW192,0
1000
18,0410610QHN
m4Hm4117
pp
H)c
s
m10610106vAQ
s
m6vm8,1728,17
g2
v
34
B
B
B
2
M
p64
4
2
4
M
p4
4
2
4
M6
6
2
6
p4M6
34
TTT
T
32
M
3
34
2
2
2
2
4,62
4,62
4,62
1
=×
×××
=
γ
γ
=
=+−+=
+−+
γ
+=
++
γ
+=++
γ
+
+=+
=×××××=ηγ=
=→−=−=
γ
−
γ
=
×=××==
=→=−+=
−
−
−−
 
 
Exercício 4.21 
 
( )
( )
4,1
2,1
2,1
2,1
2,1
p4
4
2
4
1
1
2
1
4
622
p
42
243
3
TB
32
2
3
2
2
p
p3
3
2
3
TB2
2
2
2
p3TB2
3
4
3
TT
T
TTT
T
B
TTTB
4
6
21
B
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v)c
m45,02030
10
101,00
20
45H
s
m5
1080
04,0
A
Q
v;
s
m4
10100
04,0
A
Q
v
HH
pp
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
HHzp
g2
v
HHHHH)b
s
m04,0
75,02010
106
H
NQQHN
m20
75,02
30
2
H
HQH2QH
m30
10
1003,0ppH)a
++
γ
+=+
γ
+
=−+
×−
+
−
=
=
×
===
×
==
−+
γ
−
+
−
=
++
γ
+=−++
γ
+
+=−+
=
××
×
=
ηγ
=→ηγ=
=
×
=
η
=→ηγ=γ
=
×−
=
γ
−
=
−−
 
 
m55,9
10
101,0
20
54p
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v)d
MPa295,0Pa1095,245,010103,0Hpp
H
pp
4
622
3
2
2
2
3
p
p2
2
2
2
3
3
2
3
546
p14
p
14
2,3
2,3
4,1
4,1
=
×
+
−
=
γ
+
−
=
++
γ
+=+
γ
+
=×=×−×=γ−=
−
γ
=
γ
 
 
Exercício 4.23 
( )
( )
2
24
316
24
312181216
8
R
6
R3
4
R3
2
R
R
16
drrrR3rR3rR
R
16
rdrrR
R
16
rdr2
2
v
R
r1v
R
1
dA
v
v
A
1
8888
8
R
0
752346
8
R
0
322
8
3
R
0 máx
2
máx
2
3
A
m
=α
×=
−+−
×=








−+−=α
−+−=α
−=π
































−
π
=α








=α
∫
∫∫
∫
 
 
Exercício 4.25 
 
 
 
( )dy8y8,4y96,0y064,0
135
1dy2
3
2y4,0
52
1
2y4,0v:olog
4,0C2C544v5ypara
2C2v0ypara
CyCv
dA
v
v
A
1)c
s
m30523bhvQ)b
s
m3
2
24
v)a
5
0
235
0
3
11
2
21
3
A m
3
m
m
∫∫
∫
+++=






+
×
=α
+=
=⇒+=⇒=→=
=⇒=→=
+=








=α
=××==
=
+
=
m5,0
20
311,1
g2
v)e
W104985,1
2
103100011,1
2
AvC)d
11,1
58
2
58,4
3
596,0
4
5064,0
135
1
22
m
5
33
m
234
=×=α
×=
××
×=
ρ
α=
=α








×+×+×+×=α
 
 
Exercício 4.27 
 
kW31,1
1000
18,01640NN
W1640N
10006,010103510N71015109102010
m6,0
20
5,31H
s
m5,3
10100
1035
A
Q
v
g2
v
H
m7H
m9H
s
L351520QQQ
s
L20
s
m02,0101002AvQ
s
m28,4
10
10409
1
20
v
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
HHH
NHQNHQHQ
TT
343434
2
6
4
3
t
6
6
2
6
66
1
0
106
3
4
t20
4
3
2
p2
2
2
2
20
0
2
0
0
p20
diss661100
2,0
2,0
=××=η=
−=
+××××=+×××+×××
=×=
=
×
×
==→α=
=
=
=+=+=
==××==
=








−
×
−=
++
γ
+α=+
γ
+α
+=
+γ=+γ+γ
−−−
−
−
−
 
 
Exercício 4.29 
 ( ) ( )
kW75,3
8,0
3NN
kW68,05,7NN
m10H;0H;0H
HQHHQHHQHQHQNNHQ
T
T
2
BB1
760
p7pp6pp077662100 7,36,54,33,21,0
==
η
=
=×=η=
===
γ++γ++γ+γ+γ=−+γ
 
3
60
6
4
0
4
34
6
4
0
434
1010QQ
1050Q108Q106
21010108Q106Q101010101037506000
−
−−
×+=
=××+××
×××+××+××+×××=−
 
 Resolvendo o sistema de equações: 
 
m2,117
8,0102,310
103
Q
N
HHQN
m4,45
102,1310
8,0105,7
Q
N
H
HQ
N
s
L2,13Q
s
L2,3Q
34
3
T6
T
TTT6T
34
3
0
BB
B
B
B0
B
0
6
=
×××
×
=
ηγ
=→ηγ=
=
××
××
=
γ
η
=→
η
γ
=
=
=
−
−
 
 
Exercício 4.31 
 
kW15
1000
1
48,0
80897,010HQN
s
m0897,0
4
138,06
4
D
vQ
s
m6v
s
m2v140v35v9v20v6140
v2vv3v
g2
v
g2
v
5
g2
v
67
g2
v
3
g2
v
5
g2
v
g2
v
210
g2
v
783
g2
v
5,1H;
g2
v
5H
;
g2
v
3
1H;
g2
v
5H;
g2
v
7H;8H;0H
H2HH3H2HH3H3
HQ2HQHQ3HQ2HQHQ3HQ3
Q3QQQQ;Q2Q
HQHQHQHQHQHQHQ
4
B
Be
B
322
e
ee
e1
2
1
2
1
2
1
2
1
121e
2
e
2
2
2
1
2
2
2
1
2
e
2
2
2
1
2
2
p
2
1
p
2
e
p
2
2
2
2
1
1B0
ppp21B0
p1p1p12111B101
1021012
p2p1p02211B000
2,s1,s
e,0
2,s1,se,0
2,s1,se,0
2,s1,se,0
=×
××
=
η
γ
=
=
×π
×=
π
=
=⇒=→=→++=
==
++=
++++++=×
==
=+=+===
++++=+
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
=→+==
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
 
 
 
 
 
Exercício 4.33 
 
m6,13z
104404,3026,13z44204424,3096,13
m9
10
1080
20
53,4p
g2
v
H
HQHQHQHQHQHQHQ
s
m53,4
1030
0136,0
A
Q
v
s
m0136,00304,0046,0QQQ)d
s
m046,0
2010
8,01011
H
NQHQN)c
s
m0304,087,3
4
1,0
v
4
DQ
QQ)b
m3,2615
20
87,31515
g2
v15
H
s
m87,3v12
g2
v16
3
g2
v
15
g2
v15
30:)1(nadoSubstituin
15
g2
v15pp
g2
vv16pp
g2
vv
H
v4vevv
)1(H
g2
v
Hz
HHHH
turbina0H
ppevvpp
g2
vv
H
HHH)a
4
32
6
2
6
6
p9p4p699BB4466
4
6
6
3
CB6
3
4
3
B
BB
B
BBB
B
32
2
2
A
AC
22
2
T
2
2
2
2
2
2
2
2
221
2
2
2
221
2
2
2
1
T
2123
p
2
3
T0
p3T0
M
1212
12
2
1
2
2
M
2M1
9,85,47,6
3,0
3,0
=
×+×+×+=×+×+×
=
×
+=
γ
+=
γ+γ+γ+γ=γ+γ+γ
=
×
==
=−=−=
=
×
××
=
γ
η
=→
η
γ
=
=×
×π
=
π
=
=
=+
×
=+=
=⇒=
+=−−
+=
γ
−
+
−
=
γ
−
+
−
=
==
+=−
+=−
⇒<
<<→
γ
−
+
−
=
=+
−
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4.35 
 
kg
kJ5,7
kg
J7500qg
massa
calor
m750
20
25125
g2
vv
q
p
g2
v
qp
g2
v
s
m125255v5v
5
2,0
1
p
ppp
v
v
AvAv
222
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
12
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
222111
===
=
−
=
−
=
γ
+=+
γ
+
=×==
===
ρ
ρ
→
ρ
=
ρ
ρ
ρ
=→ρ=ρ
 
 
Exercício 4.37 
 
( )
s
kg1634
42,5
10001098,02
vv
NQ~2
Q
s
m2,5
4.0
52,04
A
A
vv
TTeppSe
g2
v
gQ
N
gQ
Q~
g2
v
gQ
NHgHQN
gQ
Q~qqgQQ~
pp
TT
g
p
g2
v
HqTc
g
p
g2
v
222
1
2
2
m
2
1
12
212121
2
2
mm
2
1
m
MMm
m
m
2
2
1
1
21
2
2
2
2
M1v
1
1
2
1
=
−
×+−×
=
−





 +
=
=×==
ρ=ρ⇒==
=++
=→=
=→=
ρ
=
ρ
⇒=
ρ
+=+++
ρ
+
�
�
�
�
 
 
Exercício 4.39 
 
 
diss332211 NHQHQNHQ +γ+γ=+γ 
 
 
 
949,0
7,14273
273
N
N
kW273W1073,2107,1425,215,2108,315,11025,31110N
m8,31
10
103,0
20
6p
g2
v
H
m25,31
10
103,0
20
5p
g2
v
H
m25,21
10
102,0
20
5p
g2
v
H
s
m6
25,0
5,1
A
Q
v
s
m5
5,0
5,2
A
Q
v
s
m5,115,2QQQ
s
m12,05AvQ
B
B
53442
4
62
3
2
3
3
4
62
2
2
2
2
4
62
1
2
1
1
3
3
3
1
1
1
3
213
3
222
=
+
==η
=×=×+××−××+××=
=
×
+=
γ
+=
=
×
+=
γ
+=
=
×
+=
γ
+=
===
===
=−=−=
=×==