Equação Diferencial Aplicações

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exercício quantas vezes quiser.
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D
E
1 Marcar para revisão
Um objeto com massa de 5 kg está em queda livre em um ambiente cuja
constante de proporcionalidade da resistência do ar é de 0,5 Ns /m. O objeto
sai do repouso. Determine a expressão da velocidade em função do tempo
obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade como
10 m/s .
2
2
v(t)=50(1-e )m/s -0,1t
v(t)=150(1-e )m/s -0,2t
v(t)=100(1-e )m/s -0,1t
v(t)=150(1-e )m/s -0,1t
v(t)=50(1-e )m/s -0,2t
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A expressão correta para a velocidade do objeto em função do tempo
durante a queda é v(t)=100(1-e )m/s. Esta expressão é derivada da
equação do movimento de um objeto em queda livre com resistência do ar,
onde a velocidade é dada pela aceleração da gravidade multiplicada pelo
-0,1t
Questão 1
de
10
Corretas (2)
Incorretas (8)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Aplicações De Equações… Sair
A
B
C
D
E
tempo, menos o produto da constante de proporcionalidade da resistência
do ar e a velocidade. Neste caso, a aceleração da gravidade é 10 m/s , a
massa do objeto é 5 kg e a constante de proporcionalidade da resistência
do ar é 0,5 Ns /m, resultando na expressão dada.
2
2
2 Marcar para revisão
Você foi incumbido de delimitar um terreno retangular de 300 m usando muros
externos e divisórias internas como mostrado na figura abaixo.
Sabendo-se que o preço do muro é de R
5,00/m, determine as dimensões do terreno de modo que o custo total seja o
menor possível.
2
10, 00/meopreçodasdivisóriasédeR
x = 5√6m e y = 10√6m.
x = 6√10m e y = 5√6m.
x = 6√10m e y = 6√10m.
x = 5√10m e y = 6√10m.
x = 10√10m e y = 10√10m.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Área do terreno:
Sabe-se que, pela figura, serão necessários metros de divisórias e
 metros de muro. Assim, o custo total será:
Usando a equação da área para isolar o em função do :
Voltando na equação e custo:
Derivando o custo para obter o custo mínimo:
Verificando os pontos críticos, fazendo 
Analisando o sinal da derivada:
Quando 
Quando 
portanto é um mínimo da função.
Voltando na equação da área e substituindo o valor de encontrado para
determinar o valor de .
As dimensões para minimizar o custo em delimitar o terreno são:
Aret.  = xy = 300m2
2x + y
2x + 2y
C = 5(2x + y) + 10(2x + 2y) = 10x + 5y + 20x + 200y = 30x + 25y
y x
y =
300
x
C = 30x + 25y = 30x + 25( ) = 30x +
300
x
7500
x
C ′ = 30 + =
7500
x2
30x2 + 7500
x2
C ′ = 0
= 0
30x2 + 7500 = 0 → x2 = 250 → x = √250 = 5√10
30x2 + 7500
x2
x 5√10 : C ′ > 0
x = 5√10
x
y
5√10 ⋅ y = 300
y = = = = 6√10
300
5√10
60
√10
60√10
10
A
B
C
D
E
x = 5√10m e y = 6√10m.
3 Marcar para revisão
Deseja-se construir uma janela normanda, para isso coloca-se um semicírculo
em cima de uma janela retangular, conforme esquematizada na figura abaixo.
Encontre as dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu
perímetro é de 5 m.
x = m e y = m
20
4 + π
5
4 + π
x = m e y = m
10
4 + π
5
4 + π
x = m e y = m
5
4 + π
10
4 + π
x = m e y = m
10
2 + π
5
2 + π
x = m e y = m
1
4 + π
1
4 + π
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do
retângulo e do semicírculo:
Sabemos que , logo
Área total da janela:
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que vale
 :
Substituindo o por , temos:
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do
retângulo e do semicírculo:
Sabemos que , logo
Área total da janela:
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que vale
 :
Aret.  = xy
Asem.  =
πr2
2
r = x
2
Asem.  = =
π( )
2x
2
2
πx2
8
Atotal  = Aret.  + Asem.  = xy +
πx2
8
5m
2y + x + = 5
2y + x + πr = 5
2πr
2
r x
2
2y + x + π = 5
x
2
Aret.  = xy
Asem.  =
πr2
2
r = x
2
Asem.  = =
π( )
2x
2
2
πx2
8
Atotal  = Aret.  + Asem.  = xy +
πx2
8
5m
Substituindo o por , temos:
Agora precisamos descobrir se o ponto encontrado é o máximo da função.
Analisando o sinal da derivada perto de , temos:
- Antes de 
- Depois de 
Logo, é um ponto de máximo local.
Também precisamos do valor de quando . Sabemos que
Substituindo o valor de que encontramos
Assim, as dimensões para a janela de área máxima devem ser:
2y + x + = 5
2y + x + πr = 5
2πr
2
r x
2
2y + x + π = 5
x
2
x = 10
4+π′
x = : A′
total  > 010
4+π
x = : A′
total k = 0,25 Ns /m. Portanto, a alternativa correta é: 0,25.2
6 Marcar para revisão
Seja um circuito RC em série com resistência de 100Ω e capacitor de 1F. A
tensão é fornecida por meio de uma fonte contínua de 50V ligada em t = 0s.
Determine a corrente no capacitor após 2 s.
0,25 e-
1
100
0,5 e -
1
50
0,5 e -
1
100
D
E
A
B
C
D
E
0,25 e -
1
50
0,25 e -1
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A corrente em um circuito RC em série é dada pela fórmula I(t) = V/R * e^(-
t/RC), onde V é a tensão, R é a resistência, C é a capacitância e t é o tempo.
Substituindo os valores fornecidos na questão, temos I(2) = 50/100 *
e^(-2/(100*1)) = 0,25 e^(-1/50). Portanto, a corrente no capacitor após 2
segundos é 0,25 e - .
1
50
7 Marcar para revisão
Um estagiário em seu primeiro dia de trabalho recebeu a tarefa desafio de com
apenas 1200 cm de papelão construir um caixa. Quais devem ser as dimensões
desta caixa para que seu volume seja máximo, sabendo que ela deve ter uma
base quadrada e sem tampa?
2
Vmáx  = 1000cm3.
Vmáx  = 2000cm3.
Vmáx  = 3000cm3.
Vmáx  = 4000cm3.
Vmáx  = 5000cm3.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Considerando uma caixa de base quadrada, com lado de tamanho e
altura .
A área superficial será dada soma da área da base com as áreas dos lados
dessa caixa e tem área máxima de :
Já seu volume será dado pelo produto da área da base pela sua altura:
Isolando na equação da área:
Substituindo na equação do volume:
Derivando o volume para determinar o ponto de máximo:
Voltando na equação do volume, para determinar o volume máximo:
y
x
1200cm2
A = y2 + 4xy = 1200cm2
x
x =
1200 − y2
4y
x
V = y2 ( ) = 300y −
1200 − y2
4y
y3
4
V ′ = 300 − = 0
3y2 = 4 ⋅ 300 → y2 = 400 → y = 20cm
3y2
4
V = 300y − = 300 ⋅ 20 −
Vmáx  = 4000cm3.
y3
4
203
4
8 Marcar para revisão
Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC sabendo
que R = 20Ω, C = 2 x 10^-3 F, L = 1 H e v(t) = 12 sen(10t). Sabe-se que a carga e
a corrente elétrica para t = 0 são nulas.
A
B
C
D
E
A
B
C
e [0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t)-10t
e [0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)-20t
e [-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)-10t
e [-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)-20t
0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A carga de um capacitor em um circuito RLC pode ser determinada pela
equação e [0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t).
Esta equação é derivada da equação diferencial que descreve o
comportamento de um circuito RLC, levando em consideração as
condições iniciais do problema, que são a carga e a corrente elétrica nulas
para t = 0. As demais alternativas não correspondem à solução correta da
equação diferencial para as condições dadas.
-10t
9 Marcar para revisão
Uma esfera com 20 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que
está a 100 C. Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 10 seg.,
determine a temperatura da esfera, em C, após 10 seg.
0 
0 
 0
Entre 60 e 70
Entre 70 e 80
Entre 80 e 90
D
E
A
B
C
Entre 90 e 100
Entre 100 e 110
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A questão envolve o conceito de constante de tempo de aquecimento, que
é o tempo necessário para que a temperatura de um objeto mude em
63,2% da diferença entre a temperatura inicial e a temperatura final. No
caso, a temperatura inicial da esfera é de 20 C e a temperatura final é de
100 C, uma diferença de 80 C. Portanto, após 10 segundos (uma constante
de tempo), a esfera terá aquecido 63,2% dessa diferença, ou seja,
aproximadamente 50 C. Somando isso à temperatura inicial da esfera,
chegamos a uma temperatura entre 70 e 80 C.
0
0 0
0
0
10 Marcar para revisão
Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de , um resistor de
, um capacitor de e um indutor de todos conectados em
série. Determine a carga que circula pelo circuito em todo tempo, se
inicialmente o capacitor estiver totalmente descarregado e não flui corrente
sobre o circuito.
1, 5V
20Ω 10−3F 0, 1H
q(t) = 0, 0015 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
q(t) = 0, 015 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
q(t) = 0, 15 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
D
E
q(t) = 1, 5 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
q(t) = 15 (1 − e−100t − 100e−100t)C.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A equação para um circuito RLC é dada por:
Rearranjando:
Para resolver, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar.
Primeiramente determinaremos a solução geral da equação homogênea
associada e posteriormente a solução particular dessa EDO não-
homogênea.
Neste caso, temos que a equação homogênea associada é:
Com as condições iniciais e . A equação
característica é
As raízes são: .
Como as raízes são iguais, a solução geral da equação homogênea fica
Por outro lado, uma solução particular é
L + Ri + = V (t) → 0, 1 + 20i + 10−3q = 1, 5
di
dt
q
C
di
dt
+ 200 + 104q = 15
d2q
dt2
dq
dt
+ 200 + 104q = 0
d2q
dt2
dq
dt
q(0) = 0C i(0) = 0A
r2 + 200r + 104 = 0
r′ = r′′ = −100
qh(t) = C1e
−100t + C2e
−100t
qp(t) = = 0, 0015
15
10000
A carga é dada por:
Derivando a carga em relação ao tempo para se obter a corrente no
circuito:
Usando as condições iniciais, e , obtemos as
equações:
De onde, temos e .
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a carga é:
q(t) = qp(t) + qh(t) → q(t) = 0, 0015 + C1e
−100t + C2e
−100t
i(t) = −100C1e
−100t + C2e
−100t − 100C2e
−100t
q(0) = 0C i(0) = 0A
0, 0015 + C1 = 0
−100C1 + C2 = 0
C1 = −0, 0015 C2 = −0, 15
q(t) = 0, 0015 + (−0, 0015)e−100t + (−0, 15)e−100t
q(t) = 0, 0015 − 0, 0015e−100t − 0, 15e−100t
q(t) = 0, 0015 (1 − e−100t − 100e−100t)C