APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS_gabarito_2

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A
B
C
1 Marcar para revisão
Você foi incumbido de delimitar um terreno retangular de 300 m usando muros
externos e divisórias internas como mostrado na figura abaixo.
Sabendo-se que o preço do muro é de R
5,00/m, determine as dimensões do terreno de modo que o custo total seja o menor
possível.
2
10, 00/meopreçodasdivisóriasédeR
x = 5√6m e y = 10√6m.
x = 6√10m e y = 5√6m.
x = 6√10m e y = 6√10m.
Questão 1
de
10
Corretas �10�
Em branco �0�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Exercicio Aplicações De Equações Diferenciais Sair
D
E
x = 5√10m e y = 6√10m.
x = 10√10m e y = 10√10m.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Área do terreno:
Sabe-se que, pela figura, serão necessários metros de divisórias e 
metros de muro. Assim, o custo total será:
Usando a equação da área para isolar o em função do :
Voltando na equação e custo:
Derivando o custo para obter o custo mínimo:
Verificando os pontos críticos, fazendo 
Analisando o sinal da derivada:
Quando 
Quando 
portanto é um mínimo da função.
Voltando na equação da área e substituindo o valor de encontrado para
determinar o valor de .
Aret.  = xy = 300m2
2x + y 2x + 2y
C = 5(2x + y) + 10(2x + 2y) = 10x + 5y + 20x + 200y = 30x + 25y
y x
y =
300
x
C = 30x + 25y = 30x + 25( ) = 30x +
300
x
7500
x
C ′ = 30 + =
7500
x2
30x2 + 7500
x2
C ′ = 0
= 0
30x2 + 7500 = 0 → x2 = 250 → x = √250 = 5√10
30x2 + 7500
x2
x < 5√10 : C ′ < 0
x > 5√10 : C ′ > 0
x = 5√10
x
y
A
B
C
D
E
As dimensões para minimizar o custo em delimitar o terreno são:
5√10 ⋅ y = 300
y = = = = 6√10
300
5√10
60
√10
60√10
10
x = 5√10m e y = 6√10m.
2 Marcar para revisão
Uma esfera com 20 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a
100 C. Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 10 seg., determine a
temperatura da esfera, em C, após 10 seg.
0 
0 
 0
Entre 60 e 70
Entre 70 e 80
Entre 80 e 90
Entre 90 e 100
Entre 100 e 110
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A questão envolve o conceito de constante de tempo de aquecimento, que é o
tempo necessário para que a temperatura de um objeto mude em 63,2% da
diferença entre a temperatura inicial e a temperatura final. No caso, a temperatura
inicial da esfera é de 20 C e a temperatura final é de 100 C, uma diferença de
80 C. Portanto, após 10 segundos (uma constante de tempo), a esfera terá
aquecido 63,2% dessa diferença, ou seja, aproximadamente 50 C. Somando isso à
temperatura inicial da esfera, chegamos a uma temperatura entre 70 e 80 C, que é
a alternativa B.
0 0
0
0
0
A
B
C
D
E
3 Marcar para revisão
O peso de um astronauta pode ser monitorado por meio da expressão
, onde é o peso e é a distância até o nível do mar .
Determine o valor da variação do peso com o tempo, em kg/s, para uma velocidade de
 e altura de .
W = 100( )
2
5200
5200+x
W (kg) x (km)
1, 2Km/s 2000Km
�0,017.
�0,018.
0,018.
0,019.
0
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Velocidade: 
Precisamos encontrar uma relação para :
Determinando :
Aplicando regra do quociente para determinar :
dx
dt
dW
dt
=
dW
dt
dW
dx
dx
dt
dW
dx
= [100( )
2
] = 100 ⋅ [( )
2
]
 Chamando de  = u;
= 100 ⋅ [u2] = 100 ⋅ [u2]
dW
dx
d
dx
5200
5200 + x
d
dx
5200
5200 + x
5200
5200 + x
dW
dx
d
dx
d
du
du
dx
du
dx
A
B
C
Voltando a :
Como , temos:
g(x) = 5200 → g′(x) = 0
h(x) = 5200 + x → h′(x) = 1
= = = −
= −
du
dx
g′(x)h(x) − g′(x)h′(x)
[h(x)]2
0 ⋅ 5200 + x − 5200 ⋅ 1
[5200 + x]2
5200
[5200 + x]2
du
dx
5200
[5200 + x]2
dW
dx
= 100 ⋅ [u2] = 100 ⋅ [u2] = 100 ⋅ 2u ⋅
= 100 ⋅ 2( ) ⋅ (− )
dW
dx
d
dx
d
du
du
dx
du
dx
dW
dx
5200
5200 + x
5200
[5200 + x]2
=
dW
dt
−200(5200)2
(5200 + x)3
dx
dt
= v = 1, 2Km/srx = 2000Kmdx
dt
= = ⋅ 1, 2 = −0, 017kg/s
= −0, 017kg/s
dW
dt
−200(5200)2
(5200 + x)3
dx
dt
−200(5200)2
(5200 + 2000)3
dW
dt
4 Marcar para revisão
Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC sabendo que R �
20Ω, C � 2 � 10^�3 F, L � 1 H e v(t) � 12 sen(10t). Sabe-se que a carga e a corrente
elétrica para t � 0 são nulas.
e �0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t)�10t
e �0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)�20t
e ��0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)�10t
D
E
A
B
C
D
E
e ��0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)�20t
0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é a letra A. A carga de um capacitor em um circuito RLC pode
ser determinada pela equação e �0,012cos20t-0,006
sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t). Esta equação é derivada da equação
diferencial que descreve o comportamento de um circuito RLC, levando em
consideração as condições iniciais do problema, que são a carga e a corrente
elétrica nulas para t � 0. As demais alternativas não correspondem à solução
correta da equação diferencial para as condições dadas.
�10t
5 Marcar para revisão
Um objeto com massa de 2 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de
proporcionalidade da resistência do ar é de k Ns /m. O objeto sai do repouso.
Determine o valor de k sabendo que ele atinge uma velocidade máxima de 80 m/s.
2
0,15
0,25
0,35
0,50
1.00
Resposta correta
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A
B
C
D
E
Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos entender que a velocidade máxima de um
objeto em queda livre é alcançada quando a força de resistência do ar é igual à
força gravitacional atuando sobre o objeto. A força de resistência do ar é dada pela
fórmula F � kv², onde k é a constante de proporcionalidade e v é a velocidade. A
força gravitacional é dada por F � mg, onde m é a massa do objeto e g é a
aceleração devido à gravidade. Igualando as duas equações e resolvendo para k,
obtemos k = mg/v². Substituindo os valores dados na questão (m � 2 kg, g � 9,8
m/s² e v � 80 m/s), encontramos k � 0,25 Ns /m. Portanto, a alternativa correta é a
B� 0,25.
2
6 Marcar para revisão
Deseja-se construir uma janela normanda, para isso coloca-se um semicírculo em cima
de uma janela retangular, conforme esquematizada na figura abaixo. Encontre as
dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu perímetro é de 5 m.
x = m e y = m
20
4 + π
5
4 + π
x = m e y = m
10
4 + π
5
4 + π
x = m e y = m
5
4 + π
10
4 + π
x = m e y = m
10
2 + π
5
2 + π
x = m e y = m
1
4 + π
1
4 + π
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do
retângulo e do semicírculo:
Sabemos que , logo
Área total da janela:
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que vale :
Substituindo o por , temos:
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do
retângulo e do semicírculo:
Sabemos que , logo
Área total da janela:
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que vale :
Aret.  = xy
Asem.  =
πr2
2
r = x
2
Asem.  = =
π( )
2x
2
2
πx2
8
Atotal  = Aret.  + Asem.  = xy +
πx2
8
5m
2y + x + = 5
2y + x + πr = 5
2πr
2
r x
2
2y + x + π = 5
x
2
Aret.  = xy
Asem.  =
πr2
2
r = x
2
Asem.  = =
π( )
2x
2
2
πx2
8
Atotal  = Aret.  + Asem.  = xy +
πx2
8
5m
Substituindo o por , temos:
Agora precisamos descobrir se o ponto encontrado é o máximo da função.
Analisando o sinalda derivada perto de , temos:
� Antes de 
� Depois de 
Logo, é um ponto de máximo local.
Também precisamos do valor de quando . Sabemos que
Substituindo o valor de que encontramos
Assim, as dimensões para a janela de área máxima devem ser:
2y + x + = 5
2y + x + πr = 5
2πr
2
r x
2
2y + x + π = 5
x
2
x = 10
4+π′
x = : A′
total  > 010
4+π
x = : A′
total  < 010
4+π
x = 10
4+π
y x = 10
4+π
y =
10 − x(2 + π)
4
x
y = = =
y = = =
10 − ⋅ (2 + π)10
4+π
4
10(4+π)−10⋅(2+π)
4+π
4
40+10π−20+10π
4+π
4
20
4+π
4
20
4(4 + π)
5
4 + π
x = m
10
4 + π
y = m
5
4 + π
7 Marcar para revisão
Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de , um resistor de , um
capacitor de e um indutor de todos conectados em série. Determine a
corrente que circula pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver
totalmente descarregado e não flui corrente sobre o circuito.
1, 5V 20Ω
10−3F 0, 1H
A
B
C
D
E
i(t) = 150e−100tA.
i(t) = 1, 5e−100tA.
i(t) = 0, 15e−100tA.
i(t) = 15e−100tA.
i(t) = 0, 015e−100tA.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação para um circuito RLC é dada por:
Rearranjando:
Para resolver, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar.
Primeiramente determinaremos a solução geral da equação homogênea associada
e posteriormente a solução particular dessa EDO não-homogênea.
Neste caso, temos que a equação homogênea associada é:
Com as condições iniciais e . A equação característica é
As raízes são: 
L + Ri + = V (t) → 0, 1 + 20i + 10−3q = 1, 5
di
dt
q
C
di
dt
+ 200 + 104q = 15
d2q
dt2
dq
dt
+ 200 + 104q = 0
d2q
dt2
dq
dt
q(0) = 0C i(0) = 0A
r2 + 200r + 104 = 0
r′ = r′′ = −100
A
B
Como as raízes são iguais, a solução geral da equação homogênea fica
Por outro lado, uma solução particular é
A carga é dada por:
Derivando a carga em relação ao tempo para se obter a corrente no circuito:
Usando as condições iniciais, e , obtemos as equações:
De onde, temos e .
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a corrente é:
qh(t) = C1e
−100t + C2e
−100t
qp(t) = = 0, 0015
15
10000
q(t) = qp(t) + qh(t) → q(t) = 0, 0015 + C1e
−100t + C2e
−100t
i(t) = −100C1e
−100t + C2e
−100t − 100C2e
−100t
q(0) = 0C i(0) = 0A
0, 0015 + C1 = 0
− 100C1 + C2 = 0
C1 = −0, 0015 C2 = −0, 15
i(t) = −100(−0, 0015)e−100t + (−0, 15)e−100t − 100(−0, 15)e−100t
i(t) = 0, 15e−100t − 0, 15e−100t + 15e−100t
i(t) = 15e−100tA
8 Marcar para revisão
Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de , um resistor de , um
capacitor de e um indutor de todos conectados em série. Determine a
corrente que circula pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver
totalmente descarregado e não flui corrente sobre o circuito.
1, 5V 20Ω
10−3F 0, 1H
i(t) = 150e−100tA.
i(t) = 1, 5e−100tA.
C
D
E
i(t) = 0, 15e−100tA.
i(t) = 15e−100tA.
i(t) = 0, 015e−100tA.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação para um circuito RLC é dada por:
Rearranjando:
Para resolver, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar.
Primeiramente determinaremos a solução geral da equação homogênea associada
e posteriormente a solução particular dessa EDO não-homogênea.
Neste caso, temos que a equação homogênea associada é:
Com as condições iniciais e . A equação característica é
As raízes são: 
Como as raízes são iguais, a solução geral da equação homogênea fica
Por outro lado, uma solução particular é
L + Ri + = V (t) → 0, 1 + 20i + 10−3q = 1, 5
di
dt
q
C
di
dt
+ 200 + 104q = 15
d2q
dt2
dq
dt
+ 200 + 104q = 0
d2q
dt2
dq
dt
q(0) = 0C i(0) = 0A
r2 + 200r + 104 = 0
r′ = r′′ = −100
qh(t) = C1e
−100t + C2e
−100t
qp(t) = = 0, 0015
15
10000
A
B
C
A carga é dada por:
Derivando a carga em relação ao tempo para se obter a corrente no circuito:
Usando as condições iniciais, e , obtemos as equações:
De onde, temos e .
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a corrente é:
q(t) = qp(t) + qh(t) → q(t) = 0, 0015 + C1e
−100t + C2e
−100t
i(t) = −100C1e
−100t + C2e
−100t − 100C2e
−100t
q(0) = 0C i(0) = 0A
0, 0015 + C1 = 0
− 100C1 + C2 = 0
C1 = −0, 0015 C2 = −0, 15
i(t) = −100(−0, 0015)e−100t + (−0, 15)e−100t − 100(−0, 15)e−100t
i(t) = 0, 15e−100t − 0, 15e−100t + 15e−100t
i(t) = 15e−100tA
9 Marcar para revisão
Um circuito em série consiste em um indutor de , um resistor de , um
capacitor de e uma força eletromotriz dada por . Se a
corrente inicial e a carga inicial no capacitor são ambos zeros, determinar a carga no
capacitor para qualquer tempo .
0, 25H 40Ω
4 × 10−4F V (t) = 5 sen 100tV
t > 0
q(t) = e−20t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t.
1
800
1
600
1
800
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t.
1
800
1
600
1
800
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t.
1
80
1
60
1
80
D
E
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 10t.
1
800
1
600
1
800
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t.
1
600
1
800
1
800
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A equação para um circuito RLC é dada por:
Rearranjando após multiplicar os membros por 4 �
Note que se trata de uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea de
coeficientes.
A equação característica da equação homogênea associada é
As raízes são: e .
Como tem raízes complexas conjugadas, a solução geral será da forma
Logo,
Usando o método dos coeficientes a determinar, chega-se à solução particular:
A solução dessa EDO é
L + Ri + = V (t) → 0, 25 + 40i + = 5 sen 100tV
di
dt
q
C
di
dt
q
4 × 10−4
+ 160 + 10000q = 20 sen 100t
d2q
dt2
dq
dt
r2 + 160r + 10000 = 0
r′ = −80 + 60i r′′ = −80 − 60i
y(x) = eax (C1 cos bx + C2 sen bx)
qh(t) = e−80t (C1 cos 60x + C2 sen 60x)
qp(t) = − cos 100t
1
800
A
B
C
D
E
Das condições iniciais e segue que
De onde, temos e .
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a carga é:
q(t) = qp(t) + qh(t) → q(t) = e−80t (C1 cos 60x + C2 sen 60x) − cos 100t
1
800
q(0) = 0C i(0) = 0A
C1 − = 0
−80C1 + 60C2 = 0
1
800
C1 = 1
800
C2 = 1
600
q(t) = e−80t (C1 cos 60x + C2 sen 60x) − cos 100t
q(t) = e−80t( cos 60x + sen 60x) − cos 100t
1
800
1
800
1
600
1
800
10 Marcar para revisão
O peso de um astronauta pode ser monitorado por meio da expressão
, onde é o peso e é a distância até o nível do mar .
Determine o valor da variação do peso com o tempo, em kg/s, para uma velocidade de
 e altura de .
W = 100( )
2
5200
5200+x
W (kg) x (km)
1, 2Km/s 2000Km
�0,017.
�0,018.
0,018.
0,019.
0
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Velocidade: 
Precisamos encontrar uma relação para :
Determinando :
Aplicando regra do quociente para determinar :
Voltando a :
Como , temos:
dx
dt
dW
dt
=
dW
dt
dW
dx
dx
dt
dW
dx
= [100( )
2
] = 100 ⋅ [( )
2
]
 Chamando de  = u;
= 100 ⋅ [u2] = 100 ⋅ [u2]
dW
dx
d
dx
5200
5200 + x
d
dx
5200
5200 + x
5200
5200 + x
dW
dx
d
dx
d
du
du
dx
du
dx
g(x) = 5200 → g′(x) = 0
h(x) = 5200 + x → h′(x) = 1
= = = −
= −
du
dx
g′(x)h(x) − g′(x)h′(x)
[h(x)]2
0 ⋅ 5200 + x − 5200 ⋅ 1
[5200 + x]2
5200
[5200 + x]2
du
dx
5200
[5200 + x]2
dW
dx
= 100 ⋅ [u2] = 100 ⋅ [u2] = 100 ⋅ 2u ⋅
= 100 ⋅ 2( ) ⋅ (− )
dW
dx
d
dx
d
du
du
dx
du
dx
dW
dx
5200
5200 + x
5200
[5200 + x]2
=
dW
dt
−200(5200)2
(5200 + x)3
dx
dt
= v = 1, 2Km/srx = 2000Kmdx
dt
= = ⋅ 1, 2 = −0, 017kg/s
= −0, 017kg/s
dW
dt
−200(5200)2
(5200 + x)3
dx
dt
−200(5200)2
(5200 + 2000)3
dW
dt