Unidade 2 fenomenos

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i t d ã
FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
PROPRIEDADES EPROPRIEDADES E
ESTÁTICA DOS FLUIDOSESTÁTICA DOS FLUIDOS
Autor: Me. Rafaela Fi lomena Alves Guimarães
I N I C I A R
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introduçãoIntrodução
Nesta unidade, serão apresentados conceitos relativos à medição de pressão e
instrumentos de medida para podermos mensurar o escoamento dos �uidos e depois
classi�cá-los em relação, por exemplo, aos tipos de regime: se um �uido possui regime de
�uxo variado ou permanente, ou se o �uxo pode ser classi�cado como laminar, de transição
ou turbulento.
Essa classi�cação é feita por meio do número de Reynolds. Estudaremos também os
conceitos de vazão mássica e volumétrica que serão úteis para podermos calcular a
velocidade. Compreenderemos o princípio da conservação de massa e como podemos, por
meio de um tubo de Venturi, utilizar essa con�guração para alterar a velocidade de um
�uido de maneira simples e e�ciente.
Finalmente, estudaremos a equação de conservação de energia e os vários tipos de energia
que um �uido em movimento pode despender como a energia potencial, a cinética e a
energia de pressão.
O estudo será seguido de atividades práticas para que o aluno possa perceber a vantagem
da utilização dessas equações para tornar o cálculo simples e preciso. Esses cálculos são
muito empregados em líquidos incompressíveis, como a água.
Bons estudos!
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A pressão é uma das características mais importantes em se tratando de fenômenos de
transporte e escoamento de �uidos. Por isso, precisamos ter a certeza de que estamos
utilizando o medidor certo e estamos medindo exatamente a pressão da tubulação que nos
interessa.
Escalas de Pressão
Quando uma pressão é medida, em relação ao vácuo ou ao zero absoluto, temos o que
chamamos de “pressão absoluta”. Já quando uma pressão é medida, em relação à pressão
atmosférica (o nível de referência mais comum), chamamos de “pressão efetiva”, e a relação
entre essas pressões é dada por:
 (Equação 2.1)
“A maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão – a diferença entre a
pressão medida e aquela do ambiente (usualmente a pressão atmosférica). Os níveis de
pressão medidos em relação à pressão atmosférica são denominados de pressões
manométricas” (FOX et al., 2010, p. 90). Uma pressão negativa é também referida como
vácuo.
Medições eMedições e
Medidores deMedidores de
PressãoPressão
= +pabs patm pef
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Além disso, para sabermos se um manômetro está marcando a pressão efetiva, basta que
ele seja submetido a um teste simples: medimos a pressão atmosférica. Se a marcação for
igual a zero (ao nível do mar), ao instalarmos esse equipamento na tubulação, esse marcará
a pressão efetiva. A Figura 2.1 ilustra a Equação 2.1:
Podemos medir pressões em várias unidades, e algumas relações entre essas unidades é
dada por:
1 kgf/cm² = 10 kgf /m² = 9,8 x 10 Pa = 0,98 bar = 14,2 psi.
1 atm = 760 mmHg = 101.230 Pa = 101,23 kPa = 10.033 kgf/m² = 1,033 kgf/cm² =
1,01 bar = 14,7 psi = 10,33 mca
1,01 bar = 14,7 psi = 10,33 mca
Ainda assim, é possível medir a pressão em mmHg (milímetros de coluna de mercúrio) ou
mca (metros de coluna-d’água) e transformar o valor medido para kPa, por exemplo.
Medidores de Pressão
As pressões ou depressões (pressões negativas) são medidas pelos manômetros que podem
ser de uso industrial como os manômetros:
Metálico ou de Bourdon.
Figura 2.1 - Escala mostrando as pressões absoluta, efetiva e atmosférica
Fonte: Fox et al. (2010, p. 91).
4 4
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Strain-gages.
Transdutores piezelétricos.
O manômetro metálico ou de Bourdon é o mais utilizado industrialmente e está
representado na Figura 2.2. Ele mede a pressão por meio da deformação do tubo elástico
localizado no interior de (em nosso exemplo) um tubo metálico. Ao ligarmos o manômetro, o
tubo elástico é submetido à pressão que queremos medir, deformando, assim, o tubo
elástico, e, através de um sistema de engrenagens (Figura 2.3), acionando o ponteiro,
indicando a pressão da tubulação em que o equipamento foi instalado.
Figura 2.2 - Manômetro instalado em ambiente industrial. Esse manômetro mede uma
pressão de 0 a 1 MPa
Fonte: anita_starzycka / Pixabay.
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Também temos os manômetros chamados de transdutores de pressão, ou de strain-gages,
que funcionam por meio de um diafragma que se curva entre duas câmaras abertas para as
entradas de pressão e os transdutores piezelétricos que funcionam de acordo com o
princípio de que um potencial elétrico é gerado em uma substância cristalina quando ela é
submetida à pressão mecânica.
Os manômetros industriais são projetados para medir até ¾ ou 75% da sua escala. Nunca
devemos con�ar na leitura de um equipamento que está com o ponteiro apontando para o
fundo de escala, pois a medição pode ser dezenas de vezes superior ao número que está no
visor, simplesmente porque o aparelho não tem capacidade de realizar a medição que
queremos.
Figura 2.3 - Vista interna e partes constituintes de um manômetro metálico
Fonte: DStaiger / Wikimedia Commons.
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Já os manômetros piezométricos e com tubo em U são muito utilizados para a realização de
experimentos em laboratório ou a medição de grandes reservatórios, em que o controle por
meio de uma coluna-d’água é a melhor forma de obtermos informações sobre um
reservatório. Essa técnica utiliza colunas de líquido verticais ou inclinadas. Os três tipos
mais utilizados são:
Tubo piezométrico.
Manômetro em U.
Tubo inclinado.
Tubo Piezométrico
O manômetro de coluna piezométrica consiste em um tubo de vidro que, ligado a um
reservatório, permitindo medir diretamente a carga de pressão. Esse manômetro é usado
para medir pequenas pressões devido à limitação da altura do tubo de vidro. Também não
pode ser utilizado para medir pressões de gases e pressões negativas.
Esse manômetro indicará uma leitura dada pela fórmula
 (Equação 2.2)
saibamaisSaiba mais
Agora, assista ao vídeo em que se explicam as partes
constituintes de um manômetro, bem como quais os
requisitos que necessitamos saber para especi�car
esse equipamento, desde detalhes construtivos até
tipo de conexão:
ASS IST IR
p = + γ. hp0
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sendo que é a pressão atmosférica, é o peso especí�co e h é a altura da coluna do
�uido. “Essa equação fornece a pressão gerada por qualquer coluna de �uido homogêneo
em função da pressão de referência e da distância vertical entre os planos que
apresentam p e ” (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004, p. 45).
Manômetro com o Tubo em U
O manômetro com tubo em U é muito utilizado em laboratórios e pode ser visto na Figura
2.4. O �uido que está em seu interior é denominado �uido manométrico. Também podemos
instalar dois recipientes com líquidos diferentes no lugar das saídas da tubulação aberta em
A e B. A equação desse tipo de con�guração é dada por:
 (Equação 2.3)
Na Figura 2.4, temos dois �uidos diferentes (o ar e o mercúrio), então a equação de pressão
será dada por:
 (Equação 2.4)
Em que a gravidade especí�ca (SG) é dada por , temos:
 (Equação 2.5)
Em que os pontos A e A’ têm a mesma pressão.
p0 γ
p0
p0
− = Δp = ρ. g. hPfinal(A)Pinicial(B)
= + ρHgg. hPA PB
ρ/ρágua
= S . . g. hPA GHG ρágua
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praticarVamos Praticar
A �gura a seguir mostra o esboço de um tanque pressurizado que contém óleo (densidade = SG =
0,9). A placa de inspeção instalada no tanque é quadrada e possui uma largura de 0,6 m. O módulo
da força resultante que mantém a pressão relativa em 50 kPa (conforme a indicação do
manômetro da �gura) é um número entre:
Dado: o tanque está exposto à atmosfera.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos �uidos. Tradução da
quarta edição americana de: Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blucher, 2004.
a) 0 e 10 kN.
Figura - Tanque de óleo exposto à atmosfera
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 61).
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b) 11 e 20 kN.
c) 21 e 30 kN.
d) 31 e 40 kN.
e) 41 e 50 kN
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Esse princípio é baseado no mesmo princípio da equação de Lavoisier, que nos diz que “a
quantidade de massa na natureza não pode ser criada, apenas transformada”. Para sistemas
fechados, o princípio da conservação de massa é usado implicitamente como exigência que
a massa permaneça constante durante um processo. Para volumes de controle (sistemas
abertos), a massa pode cruzar as fronteiras do sistema, então esse princípio se transforma
em “a quantidade de massa que entra no volume de controle tem que ser igual à quantidade
de massa que dele sai”.
Em termos matemáticos, temos que:
 (Equação 2.6)
Para estudarmos o princípio de conservação de massa, devemos, primeiramente, entender
como o escoamento de um �uido pode ser classi�cado.
Comportamento de um Fluido
Temos duas maneiras de analisarmos o comportamento de um �uido:
O método de Lagrange.
O método de Euler.
Balanço Global deBalanço Global de
MassaMassa
=Qm1 Qm2
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“Lagrange inventou um método de análise que acompanha a trajetória de uma única
partícula de �uido ao longo do escoamento. A trajetória é o lugar geométrico dos pontos
ocupados por uma única partícula em instantes sucessivos começando por , seguido de 
+ dt, + 2 dt e assim sucessivamente” (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004, p. 147). Aqui,
acompanhamos a mesma partícula em vários instantes, conforme a Figura 2.5. Esse método
é útil para o cálculo da vazão de um �uido.
Já Euler inventou outro método de análise que estuda as propriedades de um escoamento
�uido em pontos �xos no espaço em função do tempo, conforme a Figura 2.6. Esse método
é utilizado quando escolhemos um volume de controle (representado por partículas na
�gura), que é uma quantidade de volume ou região do espaço, através da qual há �uxo de
massa como objeto de estudo. Portanto, nesse método, as propriedades do campo de
escoamento são descritas como sendo uma função das coordenadas espaciais e do tempo.
A maioria dos problemas de mecânica dos �uidos utiliza esse método. Esse método é
utilizado no princípio da conservação de massa, por exemplo.
t0 t0
t0
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Regimes de Escoamento
Os regimes de escoamento podem ser separados segundo várias formas de classi�cação.
Podemos separá-los segundo o tempo que ocorrem, ou segundo as dimensões nos eixos x, y
e z que ocupam quando um �uido está em movimento.
Segundo o tempo em que ocorrem os escoamentos, podem ser classi�cados em regimes
permanente e variado.
Regimes Variado e Permanente
Os escoamentos podem ser separados segundo o tempo que ocorrem, e devemos lembrar
que um mesmo escoamento em um dado tempo pode ser variado e em outro tempo ser
permanente. Tudo vai depender do momento em que estivermos fazendo nossa análise.
Escoamento em Regime Permanente
O escoamento em regime permanente pode ser de�nido como:
Regime permanente é aquele em que as propriedades do �uido são invariáveis em
cada ponto com o passar do tempo (elas podem variar de ponto para ponto,
desde que não variem com o tempo). Isto signi�ca que apesar de um certo �uido
Figura 2.6 - Análise do método de Euler
Fonte: Çengel e Cimbala (2007, p. 113).
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estar em movimento, a con�guração de suas propriedades em qualquer instante
permanece a mesma (BRUNETTI, 2008, p. 67).
Escoamento em regime variado
Segundo Brunetti (2008, p. 67), “O escoamento em regime variado é aquele em que as
condições do �uido em alguns pontos ou regiões de pontos variam com o passar do tempo”.
O exemplo mais comum é o estudo de um reservatório, como o da Figura 2.7. Temos que,
quando a quantidade que entra no reservatório é a mesma quantidade que sai dele, o
volume do �uido é constante e o regime será permanente. Entretanto, se interrompermos a
entrada de �uido no reservatório, seu volume vai diminuir, fazendo com que o volume do
�uido varie com o tempo, aí ele se torna um regime variado.
Reservatórios de grandes dimensões, que mantêm o nível de água aproximadamente
constante com o passar do tempo, são considerados reservatórios com regime permanente.
Número de Reynolds
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“O número de Reynolds classi�ca o escoamento como laminar, de transição ou turbulento”
(BRUNETTI, 2008, p. 69).
Reynolds injetou uma linha de corante em um tubo transparente dentro de um reservatório
de água, conforme é mostrado na Figura 2.8.
Para pequenas velocidades do �uido, chamadas de velocidade de descarga, o �lete formado
é reto e contínuo. Quando aumentamos a velocidade, o �lete se tornará turbulento,
aparecendo uma con�guração de transição até que ele se dissolva totalmente na água, em
um escoamento turbulento.
O escoamento laminar é aquele em que as partículas se deslocam em lâminas
individualizadas, sem trocas de massa entre elas. Já o escoamento turbulento é
aquele em que as partículas apresentam um movimento aleatório macroscópico,
isto é, a velocidade apresenta componentes transversais ao conjunto do �uido
(BRUNETTI, 2008, p. 69).
A classi�cação entre um escoamento e outro é dado pelo número de Reynolds de�nido pela
fórmula:
(este número é adimensional) (Equação 2.7)
Figura 2.8 - Representação da experiência feita por Reynolds para determinar se o
escoamento é laminar ou turbulento
Fonte: Brunetti (2008, p. 68).
Re = =
ρ velocidade D
μ
 velocidade D
ν
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Variação de Escoamento nos Eixos x, y e
z
Os escoamentos também podem ser classi�cados segundo sua variação nos eixos de
coordenadas x, y e z. É claro que, na maioria das vezes, os escoamentos serão fenômenos
tridimensionais (como tudo que nos cerca). Mas, muitas vezes, podemos realizar nossos
cálculos somente com uma coordenada e, ainda assim, obtermos um valor bem preciso.
Escoamento unidirecional
Quando utilizamos uma única coordenada (eixo x) para descrever as propriedades do �uido,
temos um escoamento unidimensional.
Escoamento bidirecional
Os escoamentos bidirecionais precisam de duas coordenadas (eixos x e y) para descrever a
variação de sua velocidade.
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Escoamento tridirecional
Escoamentos tridimensionais (eixos x, y e z) utilizam as três coordenadas para obter a
velocidade e são de difícil resolução matemática.
Taxas de Escoamento: Vazão
Volumétrica e Vazão Mássica
Agora, vamos de�nir os conceitos de vazãoem massa e volume para que possamos calcular
a velocidade do �uxo. Também utilizamos a vazão para o cálculo do tempo que um
reservatório leva para encher ou esvaziar.
De�nimos vazão em volume pela letra Q como: o volume do �uido que atravessa uma seção
de escoamento por unidade de tempo, ou seja:
 (Equação 2.8)
Com a aplicação dessa fórmula, podemos calcular o tempo de enchimento de um
reservatório, para um volume V conhecido a partir de uma vazão especi�cada.
A vazão (Q) também pode ser calculada utilizando a velocidade média e a área:
 (Equação 2.9)
onde é a velocidade média (m/s) e A é a área (m).
A vazão mássica ( ) é obtida pela multiplicação da vazão volumétrica pela massa
especí�ca do �uido, dada por
 (Equação 2.10)
Para casos especiais em que a velocidade não é uniforme na seção (escoamentos
turbulentos ou de transição), temos que usar o cálculo da integral de área, dado por
 (Equação 2.11)
O cálculo da vazão é de extrema importância para o cálculo da velocidade e para podermos
traçar os per�s de velocidade de um �uido. A vazão também será muito empregada no
Q = ( /s,L/s, /h,L/min)V
t
m3 m3
Q = AVm
Vm
Qm
= ρQ = ρ AQm Vm
Q = V elocidade .  dA∫
A
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aumento ou na diminuição de velocidade de um �uido por meio da diminuição ou aumento
da área de tubulação, como no caso dos bocais utilizados nas mangueiras de jardim.
praticarVamos Praticar
Os reservatórios da �gura a seguir são cúbicos. Eles são enchidos pelos tubos bifurcados,
respectivamente, em 100 e 500 segundos. Dado: o diâmetro do condutor nessa seção é de 1 m. A
velocidade da água na seção (A) em m/s é um número que varia entre:
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
a) Entre 0 e 1 m/s.
b) Entre 1,1 e 2 m/s.
Figura -Reservatórios (1) e (2) sendo enchidos por um tubo com diâmetro .
Fonte: Brunetti (2008, p. 80).
DA
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c) Entre 2,1 e 3 m/s.
d) Entre 3,1 e 4 m/s.
e) Entre 4,1 e 5 m/s.
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Já estudamos que a vazão em massa na seção de entrada dada por tem de ser igual à
vazão em massa na seção de saída dada por , conforme está ilustrado na Figura 2.9:
Em termos matemáticos, temos que:
 ou ou (Equação 2.12)
Balanço Global deBalanço Global de
MassaMassa
Qm1
2Qm
Figura 2.9 - Escoamento de um �uido por um tubo de corrente
Fonte: Brunetti (2008, p. 75).
=Qm1 Qm2 =ρ1Q1 ρ2Q2 =ρ1v1A1 ρ2v2A2
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“Essas equações são de�nidas como as equações da continuidade para um �uido em
regime permanente” (BRUNETTI, 2008, p. 75).
Caso o �uido seja incompressível, temos que a massa especí�ca na entrada e na saída do
volume V deverá ser a mesma. Dessa forma, a Equação 2.13 �ca:
 ou (Equação 2.13)
“A equação nos diz que a vazão em volume de um �uido incompressível é a mesma em
qualquer seção do escoamento ou que as velocidades médias e as áreas são inversamente
proporcionais” (BRUNETTI, 2008, p. 75), isto é, a uma diminuição de área corresponde um
aumento da velocidade média proporcional, conforme está ilustrado na Figura 2.10, no
tubo conhecido por tubo de Venturi. A parte onde o tubo se estreita é chamada de garganta
do tubo.
 (Equação 2.14)
O tubo de Venturi é utilizado em variadas áreas, como para espalhar fertilizantes na
agricultura, para aumentar o nível de oxigênio para peixes criados em cativeiro, até mesmo
para dar sustentabilidade a aviões voando a altitudes de cruzeiro.
ρ = ρ ⇒ =Q1 Q2 Q1 Q2 =v1A1 v2A2
=
v1
v2
A2
A1
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Per�il de Velocidade e Velocidade Média
Os �uidos aderem à superfície sólida com o qual estão em contato, de forma que, em um
escoamento, uma película do �uido que está em contato direto com uma superfície sólida
possui a mesma velocidade que essa superfície, ou seja, não ocorre deslizamento do �uido
sobre uma superfície sólida.
Em algumas ocasiões, podemos dividir o campo de escoamento em duas regiões principais:
Junto às superfícies sólidas onde existe uma região com gradientes de velocidade
de escoamento, havendo, assim, tensões de cisalhamento.
Na região fora da camada limite, em que não existem estas tensões de
cisalhamento.
A primeira região é chamada camada limite e a segunda região de região, de escoamento
ideal ou livre, respectivamente.
saibamaisSaiba mais
Assista ao vídeo que utiliza o tubo de Venturi para
montar uma experiência bastante simples simulando
como um avião utiliza esse princípio para se sustentar
voando em altitudes de cruzeiro. No vídeo, é utilizado
com um envelope, 3 clipes de papel, um secador de
cabelo e um suporte para reproduzir a asa de um
avião: https://www.youtube.com/watch?v=b8lQfIr-
XCg
ASS IST IR
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Em que = densidade (kg/m³), = viscosidade (kg/m.s), - viscosidade cinemática (m²/s) e
D = diâmetro do tubo (m).
Reynolds de�niu que, para valores de Re:
Re 2.400 - Escoamento turbulento.
O escoamento turbulento é variado por natureza, devido às alterações, por exemplo, no
formato de um rio, por quedas, estreitamentos ou alargamentos feitos pelo homem. A
maioria dos aparelhos não indicará essa variação na velocidade do escoamento com
precisão.
ρ μ ν
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A Figura 2.11 mostra um esquema simpli�cado da formação de uma camada limite para o
escoamento de um �uido sobre uma placa plana. O escoamento atinge a placa com um
per�l de velocidade . Como os �uidos possuem a propriedade de aderência às superfícies
sólidas, uma �na película adere à placa, exercendo uma força retardadora sobre o
escoamento, desacelerando o �uido na vizinhança da superfície sólida. A in�uência da placa
cria uma região no escoamento com gradientes de velocidade em que existem tensões de
cisalhamento. O escoamento não sofre a in�uência da placa fora da camada limite.
O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento. Para escoamentos sobre
uma placa �na, a fórmula para o cálculo do número de Reynolds é dada por:
 (Equação 2.15)
em que a coordenada x é a medida a partir do bordo de ataque da placa, na direção do
escoamento sobre a placa na qual a camada limite se desenvolve. O tipo de escoamento na
camada limite depende do número de Reynolds.
v0
=Rex
ρ   xV0
μ
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Os escoamentos internos em dutos podem ser classi�cados como de entrada ou
estabelecido. Um escoamento interno em um duto de seção circular constante é mostrado
na Figura 2.12. Antes da entrada da tubulação, tem-se um escoamento livre com per�l
uniforme de velocidade . Na região com comprimento , a camada limite está em
formação e temos o escoamento de entrada. Após a camada limite está totalmente
desenvolvida e o escoamento é estabelecido.
Depois do comprimento da entrada, no escoamento estabelecido o per�l da velocidade �ca
invariante ao longo de um duto de seção constante, e a forma da distribuição real de
velocidade depende de o regime ser laminar ou turbulento. Para um escoamento laminar
em um duto de seção transversal circular, o per�l de velocidade numa seção parabólica é
dado por:
 (Equação2.16)
em que é a velocidade de escoamento no centro da seção.
Teorema de Transporte de Reynolds
Muitas vezes, estamos interessados no que acontece numa região particular do
escoamento e, em outras vezes, estamos interessados no efeito do escoamento num objeto
que interage com o escoamento.
v0 Le
Le
Figura 2.12 - Esquema simpli�cado dos escoamentos de entrada e estabelecido em um duto
Fonte: Livi (2017, p. 71).
V (r) = [1  − ]Vmáx   ( )r
R
2
Vmáx
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O teorema de transporte de Reynolds é uma ferramenta que transforma a abordagem dos
sistemas (considerando uma massa �xa de um �uido) em volume de controle (considerando
um dado volume).
Sistema é uma quantidade �xa de massa identi�cável que se move com o �uido, e volume de
controle é um volume no espaço.
A maioria das leis que descrevem o movimento dos �uidos envolve a taxa de variação
temporal de uma propriedade extensiva (como a taxa de variação da quantidade de
movimento de um sistema). Assim, sempre existirão termos representados por:
 Equação 2.17)
onde B é um parâmetro físico e b = V (quantidade de movimento por unidade de massa).
Na abordagem do volume de controle, precisamos obter uma expressão para a taxa de
variação de uma propriedade extensiva no volume de controle, , e não em um sistema.
Isso pode ser escrito do seguinte modo
(Equação 2.18)
onde os limites de integração, denotados por você, cobrem o volume de controle em que
estamos interessados.
O teorema de transporte de Reynolds fornece uma relação entre a taxa de variação
temporal de uma propriedade extensiva para um sistema e aquela para um volume de
controle, ou seja, a relação entre as equações (2.17) e (2.18).
Vamos estudar melhor esse teorema por meio de um exemplo:
Um �uido escoa do extintor de incêndio mostrado na Figura 2.13. Vamos ver as diferenças
entre e , considerando que B representa a massa do �uido.
=
dBsis
dt
d( ρ b dQ)∫
sis
dt
cBv
=
dBvc
dt
d( ρ b dQ)∫
vc
dt
dBsis
dt
dBvc
dt
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Como B = m, a massa do sistema, segue que b = 1 e as Equações 2.17 e 2.18 podem ser
reescritas como:
 e (Equação 2.19)
Essas equações representam a taxa de variação temporal da massa no sistema e a taxa de
variação temporal da massa no volume de controle. Vamos escolher o �uido contido no
extintor no instante inicial, dado por t = 0 como sistema e o tanque (recipiente) como
volume de controle (a superfície de controle será a parede interna do extintor). Um instante
após a abertura da válvula, uma parte do sistema escoa para fora do volume de controle,
como mostra a Figura 2.13, item b. O volume de controle permanece imóvel. Os limites de
integração são �xos para o volume de controle, e eles são uma função do tempo para o
sistema.
Se a massa deve ser conservada, a massa de �uido do sistema é constante, ou
 (Equação 2.20)
Do outro lado, é claro que uma certa quantidade de �uido deixou o volume de controle por
meio da válvula do tanque durante o processo. Assim, a quantidade de massa no tanque (o
volume de controle) decresce ao longo do tempo, ou
 (Equação 2.21)
Figura 2.13 - Extintor de incêndio. Em a) o extintor está cheio e em b) em uso
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 165).
= =
dBsis
dt
dmsis
dt
d( ρ  dQ)∫
sis
dt
= =
dBvc
dt
dmvc
dt
d( ρ  dQ)∫
vc
dt
= 0
d( ρ  dQ)∫
sis
dt
e o trabalho realizado pela vizinhança sobre o sistema são representados pelo
sinal negativo.
Considerando um sistema que troca calor e trabalho com a vizinhança, mostrado na Figura
2.16, onde foram representados o �uxo de calor e a potência (taxa de realização de trabalho
como positivo), a 1ª Lei da Termodinâmica pode ser escrita como:
 (Equação 2.27)
A taxa de variação da energia total do sistema é igual ao �uxo líquido de calor que entra no
sistema menos a taxa líquida de trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança.
Agora que nos lembramos conceitualmente da 1ª Lei da Termodinâmica, vamos aplicá-la
aos �uidos. A 1ª Lei da Termodinâmica aplicável a um volume de controle pode ser obtida a
partir da equação básica da formulação de volume de controle dada por
 (Equação 2.28)
Na dedução da equação básica da formulação de controle, consideramos que o sistema e o
volume de controle são coincidentes no instante t, de modo que:
 (Equação 2.29)
= −
dEsist
dt
δQ
dt
δW
dt
Figura 2.16 - Sistema que troca calor e trabalho com a vizinhança
Fonte: Livi (2017, p. 96).
= ∫ βρ (  .   ) dA + ∫ ∫ βρ d ∀
dEsist
dt
∫
S.C. V−− n−−
d
dt
∫
V . C.
=  (   −  )δQ
dt
δW
dt sistema
(   −  )δQ
dt
δW
dt volume de controle
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resultando
 (Equação 2.30)
sendo e a energia total especí�ca (por unidade de massa) do �uido dada por
 (Equação 2.31)
em que: g. y é a energia potencial especí�ca, é a energia cinética especí�ca e u é a
energia interna especí�ca.
A Equação 2.31 é uma expressão da 1ª Lei da Termodinâmica (princípio da conservação de
energia) na formulação de volume de controle e ela fornece um balanço global de energia,
para um volume de controle (V. C.) que pode ser escrito da seguinte forma:
ou
 (Equação 2.32)
onde:
 é o trabalho realizado pelo �uido dentro do volume de controle e transmitido para a
vizinhança por meio de um eixo que atravessa a superfície de controle, normalmente esse
trabalho é realizado por turbinas ou bombas.
 é o trabalho realizado pelo �uido ao escoar através de superfícies de controle,
resultante das forças devidas às tensões normais , ou seja, é o trabalho realizado pelas
forças de pressão.
 é o trabalho realizado pelo �uido contra as tensões cisalhantes (atrito
viscoso) conhecido também como perda de carga.
praticarV P ti
  − = ∫ e ρ (  .   ) dA + ∫ ∫ eρ d ∀
δQ
dt
δW
dt
∫
S.C. V−− n−−
d
dt
∫
V . C.
e = g. y + + uV 2
2
V 2
2
= + +δW
dt
δWeixo
dt
δWescoamento
dt
δWcisalhamento
dt
Weixo
Wescoamento
σ
Wcisalhamento
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praticarVamos Praticar
Um dos métodos para se produzir vácuo em uma câmara é descarregar água por um tubo
convergente-divergente, como é mostrado na �gura a seguir. Temos que produzir uma depressão
de 22 cm de mercúrio na câmara da �gura. Dados: as perdas de carga devem ser desprezadas.
\gammaágua = 104 N/m3, \gammaHg = 1,36 x 105 N/m3, g = 9,81 m/s2, D1 = 70 mm e D2 = 36
mm. A vazão em massa de água pelo convergente-divergente deve ser um número situado entre:
a) Entre 0 e 2 kg/s.
b) Entre 2,1 e 4 kg/s.
c) Entre 4,1 e 6 kg/s.
d) Entre 6,1 e 8 kg/s.
e) Entre 8,1 e 10,0 kg/s.
Figura: Tubo convergente-divergente
Fonte: Brunetti (2008, p. 109).
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indicações
Material
Complementar
L I V R O
Mecânica dos �uidos: fundamentos e
aplicações
Editora: McGraw Hill
Autores: Yunus A. Çengel e John M. Cimbala
ISBN: 978-85-86804-58-8
Comentário: você encontrará inúmeras aplicações da equação de
Bernoulli explicadas passo a passo (p. 169 a 175). Esse livro
apresenta exemplos reais para ajudar os alunos a resolverem
problemas de forma intuitiva e analítica.
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F I L M E
Sob pressão
Ano: 2015
Comentário: a 160 km da costa da Somália, uma equipe é
designada para descer e realizar a manutenção corretiva em um
oleoduto de petróleo. O problema é que o navio que daria
suporte ao módulo de descida afunda por causa de uma
tempestade e quatro trabalhadores �cam presos no fundo do mar
com o oxigênio acabando. Trata-se de uma emocionante história
de como esses operários lutaram para retornar à superfície, e
sobreviver a pressões extremas é retratado de uma maneira
muito verídica.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, aprendemos a diferenciar os tipos de escoamento em laminar, de transição
e turbulento por meio do cálculo do número de Reynolds, assim como a reconhecer se um
escoamento é uni, bi ou tridimensional.
Também estudamos o cálculo da vazão em função do tempo e da massa para
determinarmos o tempo de enchimento de um reservatório ou sua velocidade de
enchimento. Vimos que a velocidade é inversamente proporcional à área para líquidos
incompressíveis.
Também estudamos o princípio da conservação de massa que pode ser utilizado em um
tubo de Venturi. Por esse tubo, podemos alterar a velocidade de um �uido de maneira
simples, razão pela qual ele é utilizado na agricultura e no projeto de aeronaves.
Finalmente, compreendemos o princípio da conservação de energia, as energias
acumuladas em quedas-d’água, no movimento dos �uidos, e a energia de pressão.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
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ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: fundamentos e aplicações. Tradução de
K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão Técnica de F. Saltara, J. L. Baliño e K. P. Burr.
Consultoria técnica de H. M. Castro. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
FOX. R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; LEYLEGIAN, J. C. Tradução e revisão
técnica de R. N. Koury, Introdução à mecânica dos �uidos. 8. ed. São Paulo: LTC, 2010.
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos básicos. 2.
reimp. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos �uidos.
Tradução da 4. ed. americana de Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blucher, 2004.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C. Mecânica dos �uidos. Tradução de Francisco Araújo da
Costa. Revisão Técnica: Jorge Luis Baliño. Porto Alegre: Bookman, 2018.
TARDELLI FILHO, J. Aspectos relevantes do controle de perdas em sistemas públicos de
abastecimento de água. Revista Dae, jan./abr. 2016. Disponível em:
http://revistadae.com.br/artigos/artigo_edicao_201_n_1622.pdf. Acesso em: 15 dez. 2019.
http://revistadae.com.br/artigos/artigo_edicao_201_n_1622.pdf
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